第一章函数与极限 · 数苑

01本章结构（对应教材）—

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码	状态
§1	函数（函数概念、初等函数、经济函数）	3	已学
§2	数列极限	25	已学
§3	函数极限（含两个重要极限、无穷小比较）	33	已学
§4	函数的连续性（间断点分类、闭区间性质）	55	已学
—	第一章综合题	72	—

说明：本页按考点组织，不按教材节序。做题时用上面的页码回教材找原文，用本页的标签判断哪里该重点看。

02本章在考什么—

本章在考什么#

极限是每年必考的第一道大题，也是最容易拉开差距的地方：会做的人 30 秒出答案，不会的人写满一页还得不到分。

题型	常见位置	分值	频率
求极限（含未定式）	选择、填空、计算第一题	8–20 分	必考
无穷小阶的比较	选择、填空	3–5 分	高频
间断点判定与分类	选择、计算	5–10 分	高频
分段函数在分界点的连续性	计算	5–8 分	高频
闭区间连续函数性质（证明）	证明题	5–8 分	中频

判断依据：本章内容几乎没有孤立考点，它和导数定义、定积分定义、级数收敛都直接相连。极限算不快，后面全章都会被拖慢。

03知识框架—

知识框架#

函数
├─ 三要素：定义域、对应法则、值域
├─ 复合 / 反函数 / 分段函数
├─ 初等函数：幂、指数、对数、三角、反三角
└─ 性质：奇偶、单调、周期、有界

极限
├─ 数列极限：ε-N
├─ 函数极限：ε-δ（x→x₀）、ε-X（x→∞）
├─ 左右极限：极限存在 ⟺ 左右极限存在且相等
├─ 性质：唯一性、局部有界性、保号性
├─ 存在准则：夹逼准则、单调有界准则
└─ 两个重要极限

无穷小与无穷大
├─ 定义：lim α = 0；lim β = ∞
├─ 关系：无穷大的倒数是无穷小（反之需加「非零」）
├─ 比较：高阶、同阶、等价、k 阶
└─ 等价替换：乘除可用，加减慎用

连续
├─ 定义：lim f(x) = f(x₀)
├─ 间断点：第一类（可去、跳跃）/ 第二类（无穷、振荡）
└─ 闭区间性质：有界、最值、介值、零点

04核心定义与定理5 个知识分组

核心定义与定理#

函数极限的 ε-δ 定义

设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。若对任意给定的 $ε > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，恒有

| f (x) - A | < ε,

则称 $A$ 为 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 。

›提示这个定义在考试里怎么用

直接考 ε-δ 证明的学校不多，但它会变形出现：证明极限不存在（找两条路径或两个子列，得到不同极限）、证明无界、以及判断题里「 $δ$ 依赖于 $ε$ 」这类概念辨析。真正要背的是量词顺序：先 $ε$ 后 $δ$ 。

极限存在的充要条件

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A .

这是处理分段函数分界点、含绝对值、含 $e^{1 / x}$ 或 $arctan \frac{1}{x}$ 的题目的第一反应。

连续的定义

$f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，当且仅当同时满足三条：

$f (x_{0})$ 有定义；
${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在；
${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 。

等价说法： ${lim}_{Δ x \to 0} Δ y = 0$ 。三条缺一不可，这也是判断间断点的三条线索。

两个存在准则

夹逼准则：若在 $x_{0}$ 的去心邻域内 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，且 $lim g (x) = lim h (x) = A$ ，则 $lim f (x) = A$ 。
单调有界准则：单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

闭区间上连续函数的四条性质

设 $f \in C [a, b]$ ，则：

性质	结论	典型用途
有界性	$f$ 在 $[a, b]$ 上有界	说明分母不为零、估计
最值性	必取到最大值与最小值	最值应用题的存在性
介值性	任意介于 $m, M$ 之间的值都能取到	证明方程有根
零点定理	$f (a) f (b) < 0 \Rightarrow \exists ξ \in (a, b), f (ξ) = 0$	根的存根性证明

★重难点零点定理的使用套路

证明「方程有且仅有一个根」= 零点定理证存在 + 单调性证唯一。两步都要写全，只写存在会扣分。区间端点是否取到不影响结论，但要注意函数在闭区间上连续这个前提，开区间要说明延拓。

05公式与结论速查2 个知识分组

公式与结论速查#

等价无穷小（ $x \to 0$ ）

无穷小	等价于	无穷小	等价于
$sin x$	$x$	$ln (1 + x)$	$x$
$tan x$	$x$	$e^{x} - 1$	$x$
$arcsin x$	$x$	$a^{x} - 1$	$x ln a$
$arctan x$	$x$	$(1 + x)^{α} - 1$	$α x$
$1 - cos x$	$\frac{x^{2}}{2}$	$x - sin x$	$\frac{x^{3}}{6}$
$tan x - x$	$\frac{x^{3}}{3}$	$x - ln (1 + x)$	$\frac{x^{2}}{2}$

两个重要极限与 1∞ 型公式

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1, lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e, lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e .

对 $1^{\infty}$ 型（ $u \to 1$ ， $v \to \infty$ ）：

lim u^{v} = exp (lim v (u - 1)) .

◆方法这个公式为什么成立

把 $u^{v}$ 写成 $e^{v ln u}$ ，再用 $ln u = ln (1 + (u - 1)) \sim u - 1$ 。所以本质是等价无穷小 + 复合，忘了公式可以现场推，比硬背安全。

06重难点20 条要点

重难点#

★重难点等价无穷小只能在乘除中整体替换

加减法中直接替换会丢掉主项。典型错例： ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$ ，若写成 $\frac{x - x}{x^{3}} = 0$ 就错了——两项同阶相消，真正的差是 $x^{3}$ 量级（正确答案 $\frac{1}{2}$ ）。

正确做法：先合并成乘积（提公因式、通分、有理化），再替换；或者用泰勒展开到足够阶。

★重难点1∞ 型：先写成 e 的指数，再算指数上的极限

形如 $lim (\frac{x + 1}{x - 1})^{x}$ 、 $lim (1 + sin x)^{1 / x}$ 都是这一类。核心是把底数写成 $1 + α (x)$ ，其中 $α \to 0$ ，则原式 $= exp (lim \frac{ln (1 + α)}{α} \cdot α v) = exp (lim α v)$ 。

不要先算底数极限得 1 再写 $1^{\infty} = 1$ ——这是最经典的错误。

★重难点洛必达法则的三个前提，缺一不可

必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ；
分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为零；
$lim \frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$ ）。

第三条最容易被忽略：若 $lim \frac{f'}{g'}$ 不存在，不能反推原极限不存在。例如 ${lim}_{x \to \infty} \frac{x + sin x}{x}$ ，求导后 $\frac{1 + cos x}{1}$ 无极限，但原极限等于 1。

★重难点数列极限不能直接洛必达

洛必达要求函数在区间上可导， $n$ 是离散变量。两种正规处理：

转化为函数极限：先求 ${lim}_{x \to + \infty} f (x)$ ，再用海涅定理回到数列；
直接用夹逼或单调有界。

考试中「 ${lim}_{n \to \infty}$ 却对 $n$ 求导」是典型的逻辑错误，即使答案对也会扣分。

★重难点分段点处的一切判断都要左右分算

极限、连续、可导、单调，在分界点 $x_{0}$ 处都必须分别看 $x \to x_{0}^{-}$ 与 $x \to x_{0}^{+}$ 。含 $| x - a |$ 、 $\sqrt{x^{2}}$ 、 $e^{1 / x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 的式子，分界点几乎必是考点。

07易错点24 条要点

易错点#

⚠易错点用

lim \frac{sin x}{x} = 1

时忘了

x \to 0

这个极限只在 $x \to 0$ 时成立，且 $x$ 必须是弧度。 ${lim}_{x \to \infty} \frac{sin x}{x} = 0$ （有界量除以无穷大），两者完全不同。

⚠易错点无穷小 × 有界 = 无穷小，但无穷大 × 有界不一定

${lim}_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0$ 成立（ $x$ 是无穷小， $sin \frac{1}{x}$ 有界）。

但 ${lim}_{x \to \infty} x sin \frac{1}{x} = 1$ ，不能因为「 $sin$ 有界」就判成无穷大或不存在。判断前先看无穷小/无穷大的阶。

⚠易错点0·∞ 型不能直接洛必达

洛必达只认 $\frac{0}{0}$ 与 $\frac{\infty}{\infty}$ 。遇到 $0 \cdot \infty$ ，先化为 $\frac{0}{1 / \infty}$ 或 $\frac{\infty}{1 / 0}$ ，再判断。同理 $\infty - \infty$ 要通分、有理化或提公因式， $1^{\infty}$ 、 $0^{0}$ 、 $\infty^{0}$ 要取对数。

⚠易错点间断点分类：左右极限都存在才是第一类

左右极限存在且相等，但不等于函数值（或函数无定义）→ 可去间断点；
左右极限都存在但不相等 → 跳跃间断点；
至少一侧极限不存在（趋于无穷或振荡）→ 第二类（无穷间断 / 振荡间断）。

把「跳跃」写成「可去」是最常见的失分点，判据是左右极限是否相等，不是函数值。

⚠易错点极限存在 ≠ 在该点连续

${lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ ，但 $\frac{sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处无定义。极限只看「去心邻域」，连续还要看「函数值」。判断题常在这里设套。

⚠易错点忽略定义域直接化简

${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$ 没错，但原函数在 $x = 1$ 无定义；而 ${lim}_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ 这类题，先看根号内是否非负。化简会扩大定义域，可能把不该取的路径算进来。

08典型例题20 条要点

典型例题#

✎例题例 1｜等价无穷小：先合并，再替换

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x sin x}$ 。

思路：分子、分母各自是「可直接替换」的单个因子，不必合并。

解：当 $x \to 0$ 时， $1 - cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ ， $sin x \sim x$ ，故 $x sin x \sim x^{2}$ 。于是

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x sin x} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} / 2}{x^{2}} = \frac{1}{2} .

另一种写法（更稳妥，不依赖替换规则）：

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} \cdot \frac{x}{sin x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .

点评：把待求式拆成「已知极限的乘积」，是避免替换出错的最可靠办法。

✎例题例 2｜1∞ 型 + 泰勒：

((1 + x)^{1 / x} - e) / x

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1 / x} - e}{x}$ 。

思路：底数趋于 $e$ ，整体是 $e - e = 0$ 型，需要知道 $(1 + x)^{1 / x}$ 比 $e$ 差多少——这是展开到一阶的信号。

解：写成指数形式

(1 + x)^{1 / x} = exp (\frac{ln (1 + x)}{x}) .

由 $ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$ ，得 $\frac{ln (1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o (x)$ 。于是

(1 + x)^{1 / x} = e \cdot e^{- x / 2 + o (x)} = e (1 - \frac{x}{2} + o (x)) = e - \frac{e}{2} x + o (x) .

所以

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1 / x} - e}{x} = lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e}{2} x + o (x)}{x} = - \frac{e}{2} .

点评：凡是「 $f (x) - A$ 除以 $x - x_{0}$ 」的形式，本质都是导数定义或泰勒一阶项。这里也可以直接用导数定义：设 $g (x) = (1 + x)^{1 / x}$ ，所求即 $g' (0)$ 。

✎例题例 3｜陷阱题：加减中替换会归零

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$ 。

错误做法： $tan x \sim x$ ， $sin x \sim x$ ，分子 $\sim x - x = 0$ ，得极限为 0。

错因：分子两项同阶，相减后主项抵消，剩下的低阶项才是主导，不能各自替换。

正确解：先提出公因子，化成乘积：

tan x - sin x = sin x (\frac{1}{cos x} - 1) = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

于是

lim_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1 - cos x}{x^{2}} \cdot \frac{1}{cos x} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .

点评：判断能不能替换，看替换后主项是否被消掉。被消掉就必须展开到更高阶（ $tan x - x \sim \frac{x^{3}}{3}$ ， $x - sin x \sim \frac{x^{3}}{6}$ ）。

✎例题例 4｜夹逼准则

求 ${lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}})$ 。

思路： $n$ 项相加，每项结构相同但分母不同，没有统一公式——先放缩成同一个式子。

解：各项分母满足 $\sqrt{n^{2} + 1} \leq \sqrt{n^{2} + k} \leq \sqrt{n^{2} + n}$ ，故

\frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} \leq S_{n} \leq \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}} .

而

lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 1 / n}} = 1, lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}} = 1 .

由夹逼准则， $S_{n} \to 1$ 。

点评：夹逼的关键是找到同一个极限的两侧。分母最小取 1、最大取 $n$ ，就是把每一项夹在最大项与最小项之间。

✎例题例 5｜零点定理 + 单调性：证明根存在且唯一

证明方程 $x = cos x$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 内有且仅有一个实根。

思路：「有且仅有一个」= 存在性（零点定理）+ 唯一性（单调性）。

解：令 $f (x) = x - cos x$ ，则 $f$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上连续。

存在性： $f (0) = 0 - 1 = - 1 < 0$ ， $f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 0 = \frac{π}{2} > 0$ 。由零点定理，存在 $ξ \in (0, \frac{π}{2})$ 使 $f (ξ) = 0$ 。
唯一性： $f' (x) = 1 + sin x > 0$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 内恒成立，故 $f$ 严格单调递增，零点至多一个。

综上，方程在 $(0, \frac{π}{2})$ 内有且仅有一个实根。

点评：这类题的分值几乎全在「唯一性」上。只写零点定理通常只得一半分。

09自测清单—

自测清单#

做完下面五条再进入第 2 章：

☐ 能不查表写出 10 个等价无穷小，并说清各自的成立条件（ $x \to 0$ ）。
☐ 拿到一个极限，能先判断未定式类型，再选方法（替换 / 洛必达 / 泰勒 / 夹逼 / 单调有界）。
☐ 能对含 $| x |$ 、 $e^{1 / x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 的函数，在分界点分别求左右极限。
☐ 能判断四类间断点，并说明「可去」与「跳跃」的区别。
☐ 能用零点定理 + 单调性完整写出「有且仅有一个根」的证明。

原书导读#

教材原文按节折叠，展开可读原文与例题；已掌握 0/0。

一函数与确界选自 §1.1、§1.26 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.1（函数）

设 $D$ ， $B$ 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则 $f$ ，使得对 $D$ 中任何一个实数 $x$ ，在 $B$ 中都有唯一确定的实数 $y$ 与 $x$ 对应，则称 $f : D \to B$ 是 $D$ 上的函数，记为

f : x \mapsto y, x \in D 或 f : D \to B,

$y$ 称为 $x$ 对应的函数值，记为

y = f (x), x \in D,

其中 $x$ 叫做自变量， $y$ 叫做因变量。

有时也简称因变量 $y$ 是自变量 $x$ 的函数。虽然这种说法并不太确切，但反映了 $y$ 是依赖于 $x$ 的变量，在使用上有方便之处。所以我们以后常用这种说法，但应正确理解，函数的本质是指对应法则 $f$ 与定义域，不是指因变量 $y$ 。

$D$ 称为函数 $f$ 的定义域，记为 $D (f)$ 。集合 ${f (x) : x \in D}$ 称为函数的值域，记为 $R (f)$ 。在平面坐标系 $O x y$ 下，集合 ${(x, y) : y = f (x), x \in D}$ 称为函数 $y = f (x)$ 的图形或图像。

邻域、去心邻域

对区间我们常引入下面的记号。开区间 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ) (δ > 0)$ 称为以 $x_{0}$ 为心，以 $δ$ 为半径的邻域，简称为 $x_{0}$ 的 $δ$ 邻域，记作 $U (x_{0}, δ)$ 。若不需要指明半径 $δ$ 时，记作 $U (x_{0})$ ，称为 $x_{0}$ 的某邻域。

$(x_{0} - δ, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + δ)$ 称为以 $x_{0}$ 为心，以 $δ$ 为半径的空（去）心邻域，简称为 $x_{0}$ 的 $δ$ 空（去）心邻域，记作 $U^{\circ} (x_{0}, δ)$ 。

说明已掌握+

函数的两个要素

由函数的定义可知，定义域和对应法则是确定函数的两个要素。至于变量本身的具体意义及采用什么记号是无关紧要的，比如

y = f (x), x \in D 与 S = f (t), t \in D

代表同一个函数。

如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，就必须用不同的记号加以区别，如 $f, g, φ, ψ, \dots$ 。有时为了简便起见，可用 $y = y (x)$ 表示一个函数，这样 $y$ 既代表对应规律又代表因变量。

在函数的定义中，当 $x$ 在 $D$ 上每取一个值 $x_{0}$ ，所对应的值 $y_{0}$ 称为函数 $f$ 在 $x = x_{0}$ 处的值，记作 $f (x_{0})$ ，即有 $y_{0} = f (x_{0})$ 。

定义域怎么定

如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意义的自变量所取数值的全体。如果该函数有实际背景，则它的定义域还要根据问题的实际条件来确定。

表示函数的定义域常用区间、不等式这两种方法。

确界已掌握+

定义 1.7（上确界）

设 $A \subset R$ ， $A \neq \emptyset$ ，若常数 $α$ 满足下列两个条件：

（1） $α$ 是 $A$ 的上界，即对一切 $x \in A$ ，都有 $x \leq α$ ；

（2） $α$ 是 $A$ 的最小上界，即对任意给定的 $ε > 0$ ， $α - ε$ 都不是 $A$ 的上界，即任给 $ε > 0$ ，一定存在 $x_{0} \in A$ ，使 $x_{0} > α - ε$ （注意：这里的 $x_{0}$ 随 $ε$ 变化而变化），

则称数 $α$ 为数集 $A$ 的上确界，记作 $α = sup A$ 或 $α = {sup}_{x \in A} {x}$ 。

定义 1.8（下确界）

设 $A \subset R$ ， $A \neq \emptyset$ ，若常数 $β$ 满足下列两个条件：

（1） $β$ 是 $A$ 的下界，即对一切 $x \in A$ ，都有 $x \geq β$ ；

（2） $β$ 是 $A$ 的最大下界，即对任意给定的 $ε > 0$ ，一定存在 $x_{0} \in A$ ，使 $x_{0} < β + ε$ ，

则称数 $β$ 为数集 $A$ 的下确界，记作 $β = inf A$ 或 $β = {inf}_{x \in A} {x}$ 。

例如 $sup [0, 2] = 2$ ， $inf [0, 2] = 0$ ； $sup (0, 2) = 2$ ， $inf (0, 2) = 0$ ； $sup {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots} = 1$ ， $inf {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots} = 0$ 。

确界原理与推论

从上面的例子可以看出，若数集 $A$ 有上（下）确界，则上（下）确界可能属于 $A$ ，也可能不属于 $A$ 。可以证明上（下）确界属于 $A$ 的充要条件是上（下）确界为 $A$ 的最大（小）值。若数集 $A$ 存在上（下）确界，则一定是唯一的。

确界原理　非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。

推论　非空有界的数集，必有上（下）确界。

这个原理，我们作为公理来接受，它是微积分理论的基础，因此，我们应给予足够的重视。

定义（§1.2）已掌握+

定义 1.4（奇函数与偶函数）

设 $D$ 是关于原点对称的数集， $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，若对每一个 $x \in D$ （这时也有 $- x \in D$ ），都有

f (- x) = - f (x) (f (- x) = f (x)),

则称 $f$ 为 $D$ 上的奇（偶）函数。

从函数图像上看，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。

周期函数

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，若存在某个非零常数 $T$ ，使得对一切 $x \in D$ ，都有 $x + T \in D$ ，且

f (x + T) = f (x),

则称 $f$ 为周期函数。 $T$ 称为 $f$ 的一个周期。显然，若 $T$ 是 $f (x)$ 的周期，则 $k T$ 也是 $f (x)$ 的周期， $k \in Z$ 。若周期函数 $f$ 的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为 $f$ 的基本周期。一般地，函数的周期指的是基本周期。

单调性与有界性（§1.2）已掌握+

单调函数

设 $f$ 为定义在数集 $D$ 上的函数，若对 $D$ 中任意两点 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ （或 $f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ ），则称 $f$ 在 $D$ 上单调增加（减少）；若不等式严格成立（ $x_{1} < x_{2}$ 时 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ），则称 $f$ 在 $D$ 上严格单调增加（减少）。单调增加与单调减少的函数统称单调函数。

有界函数与无界函数

设 $f$ 为定义在数集 $D$ 上的函数，若存在常数 $M > 0$ ，使得对每一个 $x \in D$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ ，则称 $f$ 在 $D$ 上有界；否则称 $f$ 在 $D$ 上无界，即对任何实数 $M > 0$ ，都存在 $x_{0} \in D$ ，使 $| f (x_{0}) | > M$ 。

判别有界性最常用的办法：求出 $| f (x) |$ 在 $D$ 上的最大值或一个上界。例如 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ 在 $R$ 上满足 $| f (x) | \leq \frac{1}{2}$ ，故有界。

例题已掌握

例 1★☆☆☆☆计算题函数定义域展开题目与讲解

例 1　求三个函数 $y = x^{2}$ 的定义域

（1） $y = x^{2}$ ，其中 $x \in [0, 1]$ ，该函数的定义域是 $[0, 1]$ ；

（2） $y = x^{2}$ ，该函数的定义域是 $(- \infty, + \infty)$ ；

（3） $y = x^{2}$ ，其中 $x$ 表示正方形的边长， $y$ 表示正方形的面积，它的定义域是 $[0, + \infty)$ ．

例 2★★☆☆☆判断题同一函数的判定展开题目与讲解

例 2　判断每组两个函数是否相同

判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数．

（1） $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， $y = x + 1$ ；　　（2） $y = ln x^{2}$ ， $S = 2 ln | t |$ ．

解　（1）函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的定义域是 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ ；而函数 $y = x + 1$ 的定义域是 $(- \infty, + \infty)$ ，即两个函数的定义域不同，尽管当 $x \neq 1$ 时，有 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ ，两个函数的对应法则相同，但不是同一个函数．

（2）函数 $y = ln x^{2}$ 的定义域是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ；而函数 $S = 2 ln | t |$ 的定义域是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，所以两个函数的定义域相同．又

S = 2 ln | t | = ln | t |^{2} = ln t^{2},

所以两个函数的对应法则也相同．尽管两个函数的自变量、因变量所用的字母不同，但两个函数表示同一个函数．

例 3★☆☆☆☆计算题函数的表格表示展开题目与讲解

例 3　保险丝熔断电流与直径的关系表

保险丝的熔断电流 $I$ （单位：A）和直径 $D$ （单位：mm）之间有如下表所示的关系：

| 直径 $D$ / mm | 0.508 | 0.559 | 0.61 | 0.71 | 0.813 | 0.915 | 1.22 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 10.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 熔断电流 $I$ / A | 1.63 | 1.83 | 2.03 | 2.34 | 2.65 | 2.95 | 3.26 | 16.0 | 19.0 | 22.0 | 27.0 | 32.0 | 37.0 | 44.0 |

从表中由直径 $D$ 可读出对应的熔断电流 $I$ 值．

例 4★☆☆☆☆计算题气压计的图像表示展开题目与讲解

例 4　自动记录气压计的曲线

在自动记录气压计中，有一个匀速转动的圆柱形记录鼓，印有坐标方格的记录纸就裹在这鼓上，记录鼓每 24 小时转动一周．气压计指针的端点装有一支黑水笔，笔尖接触着记录纸．这样经过 24 小时之后，取下的记录纸上就描画了一条曲线，这条曲线表示气压 $P$ 随时间 $t$ 变化的函数关系．

例 5★☆☆☆☆计算题心电图的图像表示展开题目与讲解

例 5　心电图（EKG）显示的心率模式

如图 1-1 所示的心电图（EKG）显示两个人的心率模式，一位正常，另一位不正常．尽管也可以构造一个心电图函数的近似公式，但很少这样做．这种重复出现的图形正是医生需要了解的．从图像上可以看出，每个心电图都把一个显示电流活动的函数表示为一个相对于时间的函数．

例 6★★☆☆☆计算题取整函数及其性质展开题目与讲解

例 6　取整函数 $y = [x]$

取整函数

y = [x], x \in (- \infty, + \infty) .

符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，其图像如图 1-2 所示．如 $[4] = 4$ ， $[4.15] = 4$ ， $[- 4.5] = - 5$ ， $[\sqrt{2}] = 1$ ．由取整函数定义，不难看出，取整函数有如下性质： $[x] \leq x < [x] + 1$ ．

例 7★★☆☆☆计算题符号函数及其图像展开题目与讲解

例 7　符号函数 $y = sgn x$

符号函数

y = sgn x = {\begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ - 1, & x < 0 . \end{cases}

其图像如图 1-3 所示．

例 8★★☆☆☆计算题狄利克雷函数展开题目与讲解

例 8　狄利克雷（Dirichlet）函数

狄利克雷（Dirichlet）函数

y = D (x) = {\begin{cases} 1, & x \in ℚ, \\ 0, & x \in ℝ ∖ ℚ . \end{cases}

其中 $ℚ$ 为有理数集．这个函数定义在整个数轴上，把定义域全体实数分成两类，有理数的函数值为 1，无理数的函数值为 0．在平面坐标系中无法画出它的图像．

例 9★★★☆☆判断题函数奇偶性的判定展开题目与讲解

例 9　判断 $y = {log}_{a} (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 的奇偶性

判断函数 $y = {log}_{a} (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）的奇偶性．

解　函数 $y$ 的定义域是 $R = (- \infty, + \infty)$ ，由于

f (- x) = {log}_{a} (- x + \sqrt{1 + (- x)^{2}}) = {log}_{a} (- x + \sqrt{1 + x^{2}})

= {log}_{a} \frac{1 + x^{2} - x^{2}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} = - {log}_{a} (x + \sqrt{1 + x^{2}}) = - f (x),

所以 $f (x)$ 是奇函数．

例 10★★☆☆☆计算题周期函数的周期展开题目与讲解

例 10　 $f (x) = x - [x]$ 的周期为 1

$f (x) = x - [x]$ ， $x \in (- \infty, + \infty)$ 的周期为 1（见图 1-4）．

例 11★★★☆☆证明题狄利克雷函数的周期性展开题目与讲解

例 11　 $D (x)$ 是周期函数但无最小正周期

D (x) = {\begin{cases} 1, & x \in ℚ, \\ 0, & x \in ℝ ∖ ℚ \end{cases}

是周期函数，但不存在最小正周期．

事实上，我们可以证明任何非零有理数都是 $D (x)$ 的周期．设 $T$ 是一个非零有理数，任给 $x \in R$ ，

（1）当 $x$ 是有理数时， $x + T$ 也是有理数，则 $D (x + T) = D (x) = 1$ ；

（2）当 $x$ 是无理数时， $x + T$ 也是无理数，则 $D (x + T) = D (x) = 0$ ．

所以当 $x \in R$ 时， $D (x + T) = D (x)$ ，故 $T$ 是 $D (x)$ 的周期．但是所有正有理数中不存在最小的正数，所以 $D (x)$ 无最小正周期．

例 12★★★☆☆证明题函数无界性的证明展开题目与讲解

例 12　证明 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0, 1]$ 上无界

证明 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0, 1]$ 上无界．

证　对任何正常数 $M$ ，取 $x_{0} = \frac{1}{(M + 1)^{2}}$ ，则有

| f (x_{0}) | = | \frac{1}{\sqrt{x_{0}}} | = M + 1 > M,

故 $f$ 为 $(0, 1]$ 上的无界函数．□

二数列极限选自 §2.1、§2.2、§2.35 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.13（数列极限的

ε

N

定义）

设 ${a_{n}}$ 是一个数列， $a$ 是一个确定的常数，若对任意给定的正数 $ε$ ，总存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，都有 $| a_{n} - a | < ε$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 的极限是 $a$ ，或者说数列 ${a_{n}}$ 收敛到 $a$ ，记作

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

（读作当 $n$ 趋向于无穷大时， $a_{n}$ 的极限是 $a$ ）或记作 $a_{n} \to a (n \to \infty)$ （读作当 $n$ 趋向于无穷大时， $a_{n}$ 趋向于 $a$ ）。

此定义称为数列极限的 $ε$ - $N$ 定义。若“任给”用“ $\forall$ ”表示，“存在”用“ $\exists$ ”表示，则 $ε$ - $N$ 定义可叙述为：

若 $\forall ε > 0$ ， $\exists$ 正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| a_{n} - a | < ε$ ，则 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ 。

说明已掌握+

对定义的几点说明

1. $ε$ 的任意性。 $ε$ 是一个正数，其作用在于衡量 $a_{n}$ 与 $a$ 的接近程度。尽管 $ε$ 是任意给定的，但当它一经给出，就应暂时看成一个定值，以便根据它来求 $N$ 。既然 $ε$ 是任意的正数，那么 $2 ε$ ， $10 ε$ ， $\sqrt{ε}$ ， $ε^{2}$ 等同样也是任意的正数，因此此定义中不等式右边的 $ε$ 也可用 $2 ε$ ， $10 ε$ ， $\sqrt{ε}$ 或 $ε^{2}$ 等来代替。同样可以把“ $<$ ”号换成“ $\leq$ ”号。（注意：可限制 $ε$ 小于某一个正常数，不影响衡量 $a_{n}$ 与 $a$ 接近的程度。）

2. $N$ 的相应性。 一般说， $N$ 是随着 $ε$ 的变小而变大的，但 $ε$ 给定以后，确定的 $N$ 不是唯一的，因为对已给的 $ε$ ，若 $N = 100$ 满足要求，则 $N = 101, 102, \dots$ 自然更能满足要求。在定义中，只要求存在一个正整数 $N$ ，而不在于它的值有多大，只要求对一切 $n > N$ 时，都有 $| a_{n} - a | < ε$ 。至于 $n \leq N$ 时， $| a_{n} - a |$ 是大于或等于 $ε$ 是无关紧要的，而且 $n > N$ 也可改成 $n \geq N$ 。

3. 几何意义。 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ 等价于任意给定正数 $ε$ ，相应地存在 $N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| a_{n} - a | < ε$ ，即有 $a - ε < a_{n} < a + ε$ 或 $a_{n} \in (a - ε, a + ε)$ 。换句话说， $a$ 的任何给定的 $ε$ 邻域中都含有数列 ${a_{n}}$ 中除了有限项以外的所有项。

性质已掌握+

性质 1（唯一性）

若数列 ${a_{n}}$ 的极限存在，则极限值是唯一的。

分析　如果不唯一，即有 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = b$ ， $a \neq b$ 。当 $n$ 充分大时，由于

| a - b | = | a - a_{n} + a_{n} - b | \leq | a - a_{n} | + | a_{n} - b | < ε + ε = 2 ε,

要想推出矛盾，只要取 $ε \leq \frac{| a - b |}{2}$ 即可。

证（反证法）　假设极限值不唯一，即有 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = b$ ， $a \neq b$ 。取 $ε = \frac{| a - b |}{3} > 0$ ，由 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ 知，存在正整数 $N_{1}$ ，当 $n > N_{1}$ 时，有……（教材续证）。

性质 2（有界性）

若数列 ${a_{n}}$ 收敛，则 ${a_{n}}$ 为有界数列。即存在某正常数 $M$ ，使得对一切正整数 $n$ ，都有 $| a_{n} | \leq M$ 。

证　设 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ 。由极限定义知，取 $ε = 1$ ，存在相应的正整数 $N$ ，对一切 $n > N$ ，有 $| a_{n} - a | < 1$ 。由 $| a_{n} | - | a | \leq | a_{n} - a | < 1$ 知，对一切 $n > N$ ，有 $| a_{n} | < 1 + | a |$ 。设

M = max {| a_{1} |, | a_{2} |, \dots, | a_{N} |, 1 + | a |},

则对一切正整数 $n$ ，都有 $| a_{n} | \leq M$ 。

有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件。例如，数列 ${(- 1)^{n}}$ 有界，但它并不收敛。该性质的逆否命题为真，即：若数列 ${a_{n}}$ 无界，则数列 ${a_{n}}$ 发散。

性质 3（保序性）与推论（保号性）

性质 3　设 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， ${lim}_{n \to \infty} b_{n} = b$ 且 $a < b$ ，则存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时（即 $n$ 充分大时），都有 $a_{n} < b_{n}$ 。

推论（保号性）　若 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a > 0 (a < 0)$ ，则对于满足 $0 < η < a (a < η < 0)$ 的任何常数 $η$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $a_{n} > η > 0 (a_{n} < η < 0)$ 。

性质 4（不等式性质）

若 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， ${lim}_{n \to \infty} b_{n} = b$ ，且存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时，都有 $a_{n} \geq b_{n}$ ，则 $a \geq b$ 。

证（反证法）　假设 $a < b$ ，由性质 3 知，存在正整数 $N_{1}$ ，当 $n > N_{1}$ 时，都有 $a_{n} < b_{n}$ 。取 $N = max {N_{0}, N_{1}}$ ，当 $n > N$ 时，有 $a_{n} < b_{n}$ ，与当 $n > N$ 时 $a_{n} \geq b_{n}$ 相矛盾，所以假设不成立。因此 $a \geq b$ 。

注　在性质 4 中，即使存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时，都有 $a_{n} > b_{n}$ ，也不能保证 $a > b$ 。例如， $a_{n} = \frac{1}{n}$ ， $b_{n} = - \frac{1}{n}$ ， $a_{n} > b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，但 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ， ${lim}_{n \to \infty} b_{n} = 0$ ，两极限相等。

性质 5（数列极限的四则运算）

如果 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ， ${lim}_{n \to \infty} b_{n} = b$ ，则数列 ${a_{n} \pm b_{n}}$ ， ${a_{n} b_{n}}$ ， ${\frac{a_{n}}{b_{n}}} (b \neq 0)$ 的极限都存在，且

（1） ${lim}_{n \to \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = {lim}_{n \to \infty} a_{n} \pm {lim}_{n \to \infty} b_{n} = a \pm b$ ；

（2） ${lim}_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = {lim}_{n \to \infty} a_{n} \cdot {lim}_{n \to \infty} b_{n} = a \cdot b$ ，特别地，当 $k$ 为常数时，有 ${lim}_{n \to \infty} k a_{n} = k {lim}_{n \to \infty} a_{n} = k a$ ；

（3） ${lim}_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{{lim}_{n \to \infty} a_{n}}{{lim}_{n \to \infty} b_{n}} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ 。

注　数列极限的四则运算前提是两个数列的极限都存在，并可把数列极限推广到有限项极限的四则运算，但数列极限的运算法则不能推广到无限项。例如

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}) = 1 \neq 0

括号里共 $n$ 项，每项都是 $\frac{1}{n}$ ，所以和的极限是 $1$ ；但逐项取极限得到的是 $n$ 个 $0$ 相加，项数随 $n$ 变，这个运算不合法。

收敛准则已掌握+

定理 1.5（单调有界定理）

若数列 ${a_{n}}$ 递增（递减）有上界（下界），则数列 ${a_{n}}$ 收敛，即单调有界数列必有极限。

证（不妨设 ${a_{n}}$ 递增）　由于 ${a_{n}}$ 有上界，由确界原理知，必有上确界，设为 $a$ ，则 $a_{n} \leq a$ 。任给 $ε > 0$ ，存在正整数 $N$ ，使 $a_{N} > a - ε$ 。因为 ${a_{n}}$ 递增，所以当 $n > N$ 时，有 $a - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq a < a + ε$ ，即 $| a_{n} - a | < ε$ ，于是 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ 。因此数列 ${a_{n}}$ 收敛。

同理可证，递减有下界数列必有极限且这个极限就是该数列的下确界。

注意　单调有界定理只能证明数列极限存在，如何求极限需用其他方法。由于改变数列的有限项不影响数列的敛散性和极限，所以数列从某一项开始单调有界结论依然成立。

夹逼定理

若存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时，都有

a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n},

且 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = {lim}_{n \to \infty} b_{n} = A$ ，则 ${lim}_{n \to \infty} c_{n} = A$ 。

用它的典型场合：和式里每一项都随 $n$ 变化时，把每项统一放大、统一缩小，两侧极限相等即得。

定义 1.14（子列）

给定数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ ，如果任意地从中挑选无穷多项并按照原有的次序排列出来，即

a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}, \dots (n_{1} < n_{2} < \dots < n_{k} < \dots),

就得到一个以 $k$ 为序号的数列 ${a_{n_{k}}}$ ，称为原数列 ${a_{n}}$ 的子数列（或子列）。例如 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \dots$ ； $a_{2 k - 1}, \dots$ ； $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \dots$ ； $a_{2 k}, \dots$ 都是 ${a_{n}}$ 的子列。由子列的定义可知， $n_{k} \geq k$ 。

定理 1.3、1.4（用子列判敛散）

定理 1.3　数列 ${a_{n}}$ 收敛的充要条件是 ${a_{n}}$ 的任一子列 ${a_{n_{k}}}$ 都收敛且极限相等。

定理 1.4　数列 ${a_{n}}$ 发散的充要条件是 ${a_{n}}$ 中有两个子列极限存在但不相等，或有一个子列极限不存在。

我们常用两个子列极限存在但不相等来判断一个数列发散。

例 17　判断数列 ${sin \frac{n π}{4}}$ 的敛散性。

解　由于 ${lim}_{k \to \infty} sin \frac{4 k π}{4} = 0$ ， ${lim}_{k \to \infty} sin \frac{(8 k + 2) π}{4} = 1$ ，即两个子列 ${sin \frac{4 k π}{4}}$ ， ${sin \frac{(8 k + 2) π}{4}}$ 的极限都存在但不相等，故 ${sin \frac{n π}{4}}$ 发散。

重要极限

{lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

可以证明 $e$ 是一个无理数，用十进制小数表示时，其前 13 位数字是

e \approx 2.718 281 828 459 .

在科学上最频繁使用的对数的底就是这个数 $e = 2.718 281 828 459 \dots$ 。以 $e$ 为底的对数称为自然对数，并用 $ln$ 来表示。

这个例子是一个重要的极限，从它也可以发现一个有趣的结果：数列 ${(1 + \frac{1}{n})^{n}}$ 的每一项都是有理数，但它的极限 $e$ 却是无理数。

例题已掌握

例 1★☆☆☆☆计算题数列极限的直观描述展开题目与讲解

例 1　观察数列 ${\frac{1}{2^{n}}}$ 的变化趋势

数列

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots, \frac{1}{2^{n}}, \dots

或 ${\frac{1}{2^{n}}}$ ．不难看出，数列 ${\frac{1}{2^{n}}}$ 的通项随着 $n$ 的无限增大而无限地接近于 $0$ （图 1-5），这个例子反映了一类数列的某种特性．即数列 ${a_{n}}$ 的通项随着 $n$ 的无限增大而无限地接近某一个常数 $a$ ．让我们看一看该数列的变化趋势：

n > 10, | \frac{1}{2^{n}} - 0 | < \frac{1}{2^{10}};

n > 100, | \frac{1}{2^{n}} - 0 | < \frac{1}{2^{100}};

n > 1000, | \frac{1}{2^{n}} - 0 | < \frac{1}{2^{1000}} .

即 $n$ 越大， $| \frac{1}{2^{n}} - 0 |$ 越接近于 $0$ ，而且这种接近是没有限制地接近，即要有多接近就有多接近．

例 2★☆☆☆☆计算题数列极限的直观描述展开题目与讲解

例 2　观察数列 ${\frac{1}{n}}$ 的变化趋势

${\frac{1}{n}} : 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ 随着 $n$ 的无限增大而无限地接近于 $0$ （图 1-6）．

例 3★☆☆☆☆计算题数列极限的直观描述展开题目与讲解

例 3　观察数列 ${3 + \frac{(- 1)^{n}}{n}}$ 的变化趋势

${3 + \frac{(- 1)^{n}}{n}} : 2, 3 + \frac{1}{2}, 3 - \frac{1}{3}, \dots, 3 + \frac{(- 1)^{n}}{n}, \dots$ 随着 $n$ 的无限增大而无限地接近于 $3$ （图 1-7）．

例 4★☆☆☆☆计算题数列发散的直观认识展开题目与讲解

例 4　数列 ${n^{2}}$ 不与任何常数无限接近

${n^{2}} : 1, 4, 9, \dots, n^{2}, \dots$ 随着 $n$ 的无限增大而越来越大，不能与某一个常数 $a$ 无限地接近．

例 5★☆☆☆☆计算题数列发散的直观认识展开题目与讲解

例 5　数列 ${(- 1)^{n}}$ 不与任何常数无限接近

${(- 1)^{n}} : - 1, 1, - 1, \dots, (- 1)^{n}, \dots$ 随着 $n$ 的无限增大也不能与某一个常数 $a$ 无限接近．

例 6★★☆☆☆证明题用 ε-N 定义证极限展开题目与讲解

例 6　证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$

证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ ， $k > 0$ 为常数．

证　对 $\forall ε > 0$ ，要使 $| \frac{1}{n^{k}} - 0 | < ε \Leftrightarrow \frac{1}{n^{k}} < ε \Leftrightarrow n^{k} > \frac{1}{ε}$ ，只要 $n > (\frac{1}{ε})^{\frac{1}{k}}$ ．取 $N = max {1, [(\frac{1}{ε})^{\frac{1}{k}}]}$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| \frac{1}{n^{k}} - 0 | < ε$ ．所以 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ ．□

注　取 $N = max {1, [(\frac{1}{ε})^{\frac{1}{k}}]}$ 是为了保证 $N$ 是正整数．

例 7★★☆☆☆证明题用 ε-N 定义证极限展开题目与讲解

例 7　证明 ${lim}_{n \to \infty} q^{n} = 0$ （ $| q | < 1$ ）

证明 ${lim}_{n \to \infty} q^{n} = 0$ ， $| q | < 1$ 为常数．

证　（1）当 $q = 0$ 时，显然有 ${lim}_{n \to \infty} 0 = 0$ ．

（2）当 $0 < | q | < 1$ 时， $\forall ε > 0$ ，要使 $| q^{n} - 0 | < ε \Leftrightarrow | q |^{n} < ε \Leftrightarrow lg | q |^{n} < lg ε \Leftrightarrow n lg | q | < lg ε$ （注意 $lg | q |$ 为负数），只要

n > \frac{lg ε}{lg | q |} .

取 $N = max {1, [\frac{lg ε}{lg | q |}]}$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| q^{n} - 0 | < ε$ ．所以 ${lim}_{n \to \infty} q^{n} = 0$ ．□

例 8★★☆☆☆证明题用 ε-N 定义证极限展开题目与讲解

例 8　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ （ $a > 1$ ）

证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ ， $a > 1$ 为常数．

证　对 $\forall ε > 0$ ，要使

| n] a - 1 | < ε \Leftrightarrow n] a - 1 < ε \Leftrightarrow a^{\frac{1}{n}} < 1 + ε \Leftrightarrow {log}_{a} a^{\frac{1}{n}} < {log}_{a} (1 + ε) \Leftrightarrow \frac{1}{n} < {log}_{a} (1 + ε),

只要

n > \frac{1}{{log}_{a} (1 + ε)} .

取 $N = max {1, [\frac{1}{{log}_{a} (1 + ε)}]}$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| n] a - 1 | < ε$ ．所以 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ ．□

例 9★★★☆☆证明题适当放大法展开题目与讲解

例 9　证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$

证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$ ， $a$ 是常数．

证　（i）当 $a = 0$ 时，显然有 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = {lim}_{n \to \infty} 0 = 0$ ．

（ii）当 $a \neq 0$ 时，设 $| a | < m$ ， $m$ 是正整数，且为常数．设 $\frac{| a |}{1} \cdot \frac{| a |}{2} \cdot \dots \cdot \frac{| a |}{m} = K$ 是正常数，从而

| \frac{a^{n}}{n!} - 0 | = \frac{| a |}{1} \cdot \frac{| a |}{2} \cdot \dots \cdot \frac{| a |}{m} \cdot \frac{| a |}{m + 1} \cdot \dots \cdot \frac{| a |}{n - 1} \cdot \frac{| a |}{n} < \frac{K | a |}{n} (n > m),

因此， $\forall ε > 0$ ，要使 $| \frac{a^{n}}{n!} - 0 | < ε$ ，只要 $\frac{K | a |}{n} < ε \Leftrightarrow n > \frac{K | a |}{ε}$ ．取 $N = max {m, [\frac{K | a |}{ε}]}$ ，当 $n > N$ 时，就有 $| \frac{a^{n}}{n!} - 0 | < ε$ ．所以 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$ ．□

例 10★★★☆☆证明题二项式放大法展开题目与讲解

例 10　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] n = 1$

证明 ${lim}_{n \to \infty} n] n = 1$ ．

证　设 $| n] n - 1 | = n] n - 1 = h_{n}$ ，可得 $n = (1 + h_{n})^{n}$ ．利用二项式公式，有

n = 1 + n h_{n} + \frac{n (n - 1)}{2} h_{n}^{2} + \dots + h_{n}^{n} > 1 + \frac{n (n - 1)}{2} h_{n}^{2},

可推出 $h_{n}^{2} < \frac{2}{n}$ ，即 $h_{n} < \sqrt{\frac{2}{n}}$ ，于是

| n] n - 1 | < \sqrt{\frac{2}{n}} .

所以 $\forall ε > 0$ ，要使 $| n] n - 1 | < ε$ ，只要 $\sqrt{\frac{2}{n}} < ε \Leftrightarrow \frac{2}{n} < ε^{2} \Leftrightarrow n > \frac{2}{ε^{2}}$ ．取 $N = max {1, [\frac{2}{ε^{2}}]}$ ，当 $n > N$ 时，都有 $| n] n - 1 | < ε$ ．所以 ${lim}_{n \to \infty} n] n = 1$ ．□

例 11★★☆☆☆计算题四则运算的适用条件展开题目与讲解

例 11　极限四则运算不能用于无限项

括号内是 $n$ 个 $\frac{1}{n}$ 相加，则

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}) \neq lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \dots + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 .

实际上

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} 1 = 1 .

例 12★★☆☆☆证明题n 次根式的极限展开题目与讲解

例 12　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ （ $a > 0$ ）

证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ （ $a > 0$ 为常数）．

证　当 $a > 1$ 时，我们已证 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ ；当 $a = 1$ 时， ${lim}_{n \to \infty} n] 1 = {lim}_{n \to \infty} 1 = 1$ ；当 $0 < a < 1$ 时， ${lim}_{n \to \infty} n] a = {lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n] \frac{1}{a} = 1}$ ．

故 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ ．□

例 13★★☆☆☆计算题有理分式的极限展开题目与讲解

例 13　求有理分式的极限（ $m \leq k$ ）

求

lim_{n \to \infty} \frac{a_{0} n^{m} + a_{1} n^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} n + a_{m}}{b_{0} n^{k} + b_{1} n^{k - 1} + \dots + b_{k - 1} n + b_{k}},

其中 $m \leq k$ ， $a_{0} \neq 0$ ， $b_{0} \neq 0$ ．

解

lim_{n \to \infty} \frac{a_{0} n^{m} + a_{1} n^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} n + a_{m}}{b_{0} n^{k} + b_{1} n^{k - 1} + \dots + b_{k - 1} n + b_{k}}

= lim_{n \to \infty} \frac{n^{m} (a_{0} + a_{1} \frac{1}{n} + \dots + a_{m - 1} \frac{1}{n^{m - 1}} + a_{m} \frac{1}{n^{m}})}{n^{k} (b_{0} + b_{1} \frac{1}{n} + \dots + b_{k - 1} \frac{1}{n^{k - 1}} + b_{k} \frac{1}{n^{k}})}

= {\begin{cases} \frac{a_{0}}{b_{0}}, & m = k, \\ 0, & m < k . \end{cases}

注　这个例子表明当分子的次数和分母的次数相同时，这个分式的极限就是分子、分母最高次项的系数之比；当分子的次数小于分母的次数时，这个分式的极限为 $0$ ．同理可证对分子、分母的每一项次数是正数时也成立．例如

lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{\frac{5}{4}} + 2 n + n^{\frac{1}{5}} + 2}{3 n^{\frac{5}{4}} - 2 n^{\frac{2}{3}} - 6} = \frac{2}{3} .

例 14★★★☆☆计算题夹逼准则求极限展开题目与讲解

例 14　求 ${lim}_{n \to \infty} n] a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}$

求极限 ${lim}_{n \to \infty} n] a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 均为正常数．

解　不妨设 $a_{1} = max {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}}$ ，由于 $a_{1} < n] a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n} < n] m \cdot a_{1}^{n} = a_{1} n] m$ ，且 ${lim}_{n \to \infty} a_{1} = a_{1}$ ， ${lim}_{n \to \infty} a_{1} n] m = a_{1} {lim}_{n \to \infty} n] m = a_{1}$ ．故由夹逼定理知，

lim_{n \to \infty} n] a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n} = a_{1} = max {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}} .

例 15★★☆☆☆计算题夹逼准则求极限展开题目与讲解

例 15　求 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2 n - 1}{2 n}$

求极限 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n}$ ．

解　由于 $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{2 n}{2 n + 1}$ ，所以

(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n})^{2} < \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} \times \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{2 n - 2}{2 n - 1} \times \frac{2 n}{2 n + 1} = \frac{1}{2 n + 1},

即

0 < \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}} < \frac{1}{\sqrt{n}},

且 ${lim}_{n \to \infty} 0 = 0$ ， ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ ，由夹逼定理知 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} = 0$ ．

例 16★★☆☆☆计算题幂指数为任意常数展开题目与讲解

例 16　求 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{β}$

求 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{β}$ ，其中 $β$ 是任意常数．

解　当 $β = 0$ 时，显然有 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{β} = 1$ ．当 $β$ 为正整数 $m$ 时，

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{m} = lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n}) \dots (1 + \frac{1}{n})] = 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1

（方括号内共 $m$ 个因子）．

当 $β$ 为负整数 $- k$ 时，

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{- k} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{k}} = \frac{1}{1} = 1 .

一般地，设 $[β] = m$ ，则 $m$ 是固定整数，且 $m \leq β < m + 1$ ，并有

(1 + \frac{1}{n})^{m} \leq (1 + \frac{1}{n})^{β} < (1 + \frac{1}{n})^{m + 1},

且 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{m} = 1$ ， ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{m + 1} = 1$ ，由夹逼定理知 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{β} = 1$ ．

例 17★★☆☆☆计算题用子列判别发散展开题目与讲解

例 17　判断数列 ${sin \frac{n π}{4}}$ 的敛散性

判断数列 ${sin \frac{n π}{4}}$ 的敛散性．

例 18★★★☆☆证明题单调有界准则展开题目与讲解

例 18　证明 $x_{n} = \sqrt{c + \sqrt{c + \dots + \sqrt{c}}}$ 收敛并求极限

设 $c > 0$ ，证明 $x_{n} = \sqrt{c + \sqrt{c + \dots + \sqrt{c}}}$ （ $n$ 重根号）极限存在，并求 ${lim}_{n \to \infty} x_{n}$ ．

分析　由于 $x_{n + 1} = \sqrt{c + x_{n}}$ ，容易观察出 ${x_{n}}$ 是递增的，并可用数学归纳法证明．关键是证明它有上界，哪一个数是 ${x_{n}}$ 的上界呢？我们观察不出来．由于 ${x_{n}}$ 是递增的，所以，若 ${x_{n}}$ 的极限存在，则极限一定是它的一个上界．若 ${x_{n}}$ 有极限，设 ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = a$ ．由于 $x_{n + 1} = \sqrt{c + x_{n}}$ ，令 $n \to \infty$ ，有 $a = \sqrt{c + a}$ ，两边平方得 $a^{2} - a - c = 0$ ，解得

a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 c}}{2} .

由题意知 $a > 0$ ，所以 $a = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 c}}{2}$ ．由于 $a$ 太复杂，我们对它作适当放大

a < \frac{1 + \sqrt{1 + 4 c + 4 \sqrt{c}}}{2} = \frac{1 + (1 + 2 \sqrt{c})}{2} = 1 + \sqrt{c},

则必有 $x_{n} \leq 1 + \sqrt{c}$ ．

证　我们先证明 ${x_{n}}$ 是递增的，即 $x_{n} < x_{n + 1}$ ．

由于 $x_{1} = \sqrt{c}$ ， $x_{2} = \sqrt{c + \sqrt{c}}$ ，显然 $x_{1} < x_{2}$ ，即当 $n = 1$ 时成立．

假设当 $n = k$ 时成立，即 $x_{k} < x_{k + 1}$ ．

现在证明当 $n = k + 1$ 时成立，当 $n = k + 1$ 时， $c + x_{k} < c + x_{k + 1}$ ，有

\sqrt{c + x_{k}} < \sqrt{c + x_{k + 1}},

即 $x_{k + 1} < x_{k + 2}$ ，所以当 $n = k + 1$ 时也成立．因此，对一切正整数 $n$ ，都有 $x_{n} < x_{n + 1}$ ，即 ${x_{n}}$ 递增．

再证明 ${x_{n}}$ 有一个上界为 $1 + \sqrt{c}$ ． $x_{1} = \sqrt{c} < 1 + \sqrt{c}$ ，即当 $n = 1$ 时成立．假设当 $n = k$ 时成立，即有 $x_{k} < 1 + \sqrt{c}$ ．当 $n = k + 1$ 时，有

x_{k + 1} = \sqrt{c + x_{k}} < \sqrt{c + 1 + \sqrt{c}} < \sqrt{1 + 2 \sqrt{c} + c} = 1 + \sqrt{c},

即当 $n = k + 1$ 时也成立．所以对一切正整数 $n$ ，都有 $x_{n} < 1 + \sqrt{c}$ ，即 ${x_{n}}$ 有上界．

由单调有界定理知， ${x_{n}}$ 收敛．设 ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = a$ ，对 $x_{n + 1} = \sqrt{c + x_{n}}$ ，令 $n \to \infty$ ，得 $a = \sqrt{c + a}$ ，即 $a^{2} - a - c = 0$ ，解得 $a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 c}}{2}$ ，由 $a > 0$ 知 $a = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 c}}{2}$ ，即

lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 c}}{2} .

例 19★☆☆☆☆判断题递推求极限的逻辑错误展开题目与讲解

例 19　判断数列 ${(- 1)^{n}}$ 的敛散性

数列 ${(- 1)^{n}}$ 是发散的．如果我们不去判断它的敛散性，直接求极限会怎么样呢？设 $a_{n} = (- 1)^{n}$ ， $a_{n + 1} = (- 1)^{n + 1} = - a_{n}$ ，设 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，令 $n \to \infty$ ，有 $a = - a$ ，即 $2 a = 0$ ，得 $a = 0$ ．于是

lim_{n \to \infty} (- 1)^{n} = 0 .

这里犯错误的原因是还没有证明 $a_{n}$ 的极限是否存在，便假设 ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = a$ ．

例 20★★★★☆证明题单调有界准则展开题目与讲解

例 20　 $x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}}$ 的收敛性

设 $x_{0} = 2$ ， $x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），证明 ${lim}_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并计算此极限．

分析　由于

x_{n} - x_{n - 1} = \frac{1 - x_{n - 1}^{3}}{3 x_{n - 1}^{2}},

且 $3 x_{n - 1}^{2} > 0$ ，所以要判断 ${x_{n}}$ 是否单调，关键是判断分式的分子中 $x_{n - 1}^{3}$ 与 $1$ 之间的大小．若 ${x_{n}}$ 收敛，设 ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = a$ ，对

x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}}

令 $n \to \infty$ ，有 $a = \frac{2 a^{3} + 1}{3 a^{2}}$ ，解得 $a = 1$ ．若 $x_{n} \geq 1$ ，则 $x_{n} - x_{n - 1} < 0$ ，即 ${x_{n}}$ 递减；若 $x_{n} \leq 1$ ，则 ${x_{n}}$ 递增．

证　由于

x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}} = \frac{1}{3} (2 x_{n - 1} + \frac{1}{x_{n - 1}^{2}})

= \frac{1}{3} (x_{n - 1} + x_{n - 1} + \frac{1}{x_{n - 1}^{2}}) \geq 3] x_{n - 1} \cdot x_{n - 1} \cdot \frac{1}{x_{n - 1}^{2}} = 1,

所以 ${x_{n}}$ 有下界．由于

x_{n} - x_{n - 1} = \frac{1 - x_{n - 1}^{3}}{3 x_{n - 1}^{2}} \leq 0,

所以 ${x_{n}}$ 递减．由单调有界定理知， ${x_{n}}$ 收敛．设 ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = a$ ，对

x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}}

令 $n \to \infty$ ，有 $a = \frac{2 a^{3} + 1}{3 a^{2}}$ ，即 $a^{3} = 1$ ，解得 $a = 1$ ，所以 ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = 1$ ．

例 21★★★★☆证明题柯西收敛准则展开题目与讲解

例 21　用柯西准则证明 $a_{n} = \sum \frac{sin k^{2}}{k^{2}}$ 收敛

设 $a_{n} = \frac{sin 1^{2}}{1^{2}} + \frac{sin 2^{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{sin n^{2}}{n^{2}}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），证明 ${a_{n}}$ 收敛．

证　由于

| a_{n + p} - a_{n} | = | \frac{sin (n + 1)^{2}}{(n + 1)^{2}} + \frac{sin (n + 2)^{2}}{(n + 2)^{2}} + \dots + \frac{sin (n + p)^{2}}{(n + p)^{2}} |

\leq \frac{1}{(n + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + 2)^{2}} + \dots + \frac{1}{(n + p)^{2}}

< \frac{1}{n (n + 1)} + \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} + \dots + \frac{1}{(n + p - 1) (n + p)}

= (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) + \dots + (\frac{1}{n + p - 1} - \frac{1}{n + p})

= \frac{1}{n} - \frac{1}{n + p} < \frac{1}{n},

所以，任给 $ε > 0$ ，要使 $| a_{n + p} - a_{n} | < ε$ ，只要 $\frac{1}{n} < ε$ 即 $n > \frac{1}{ε}$ ，取 $N = max {1, [\frac{1}{ε}]}$ ，当 $n > N$ 时，对一切正整数 $p$ ，都有 $| a_{n + p} - a_{n} | < ε$ ．即 ${a_{n}}$ 收敛．

注　为了保证当 $n > N$ 时，对一切正整数 $p$ ，都有 $| a_{n + p} - a_{n} | < ε$ 成立， $N$ 应与 $p$ 无关．

例 22★★★★☆证明题柯西准则证发散展开题目与讲解

例 22　证明 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ 发散

试证 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ 发散．

证　由于

| a_{n + p} - a_{n} | = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + p} > \frac{p}{n + p},

所以，当 $p = n$ 时，就有 $| a_{2 n} - a_{n} | > \frac{n}{n + n} = \frac{1}{2}$ ．从而取 $ε_{0} = \frac{1}{2}$ ，对无论多么大的正整数 $N$ ，总存在 $n_{0} = N + 1$ ， $p_{0} = N + 1$ ，有

| a_{n_{0} + p_{0}} - a_{n_{0}} | > \frac{1}{2} .

因此数列 ${a_{n}}$ 发散．

三函数极限选自 §3.1–§3.4、§3.64 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.15（

x \to + \infty

时的极限）

设函数 $f (x)$ 在 $[b, + \infty)$ 上有定义，若存在常数 $A$ ，对任给 $ε > 0$ ，存在 $X > 0$ ，当 $x > X$ 时，都有 $| f (x) - A | < ε$ ，则称数 $A$ 为函数 $f (x)$ 当 $x \to + \infty$ 时的极限，记作

lim_{x \to + \infty} f (x) = A 或 f (x) \to A (x \to + \infty) .

类似地，把定义 1.15 中的“ $[b, + \infty)$ ”换成“ $(- \infty, b]$ ”、“ $x > X$ ”换成“ $x < - X$ ”，即得 ${lim}_{x \to - \infty} f (x) = A$ 的定义；把“ $[b, + \infty)$ ”换成“ $(- \infty, a] \cup [b, + \infty)$ ， $a \leq b$ ”、“ $x > X$ ”换成“ $| x | > X$ ”，即得 ${lim}_{x \to \infty} f (x) = A$ 的定义。

定义 1.16（

x \to x_{0}

时的极限）

设函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 的某一空心邻域 $U^{\circ} (x_{0}, δ_{0})$ 内有定义， $A$ 为一常数，若任给 $ε > 0$ ，总存在 $δ > 0 (δ \leq δ_{0})$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ （即 $x \in U^{\circ} (x_{0}, δ)$ ）时，都有 $| f (x) - A | < ε$ （即 $f (x) \in U (A, ε)$ ）成立，则称 $A$ 为函数 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A 或 f (x) \to A (x \to x_{0}) .

这个定义称为 $ε$ - $δ$ 定义。

说明已掌握+

几何意义与一个充要条件

几何意义　对于任给的 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上的点 $(x, f (x))$ 全部落在直线 $y = A - ε$ 与 $y = A + ε$ 之间的带形区域内。

同理， ${lim}_{x \to \infty} f (x) = A$ 的几何意义是：对于任给的 $ε > 0$ ，存在正数 $X$ ，当 $| x | > X$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上的点 $(x, f (x))$ 全部落在直线 $y = A - ε$ 与 $y = A + ε$ 之间的带形区域内。

定理 1.9　 ${lim}_{x \to \infty} f (x) = A$ 的充要条件是 ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = {lim}_{x \to - \infty} f (x) = A$ 。

注意：

x \to x_{0}

时可以不看

f (x_{0})

我们经常要研究 $x \to x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 的变化趋势，其中自变量 $x \to x_{0}$ 是指 $x$ 无限接近于 $x_{0}$ ，但 $x \neq x_{0}$ 。在 $x \to x_{0}$ 的过程中，函数 $f (x)$ 能否与某一常数无限接近，与函数在 $x = x_{0}$ 处是否有定义、或与函数值是多少都没有关系。在考虑当 $x \to x_{0}$ ，函数 $f (x)$ 的变化趋势时，只要在 $x_{0}$ 的某一空心邻域（ $x = x_{0}$ 可以除外）内考虑就行了。

两个重要极限已掌握+

第一个重要极限

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 .

在证明它的过程中，还证明了 $sin x < x (0 < x < \frac{π}{2})$ 。事实上可以证明更强的

| sin x | \leq | x | (x \in ℝ),

等号当且仅当 $x = 0$ 时成立。

不等式

| sin x | \leq | x |

的证明

当 $x = 0$ 时， $| sin x | = 0 = | x |$ ；

当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $| sin x | = sin x < x = | x |$ ；

当 $x \geq \frac{π}{2}$ 时， $| sin x | \leq 1 < \frac{π}{2} \leq x$ ；

当 $x < 0$ 时， $| sin x | = | sin (- x) | < | - x | = | x |$ 。

因此 $| sin x | \leq | x |$ 。这是一个重要的不等式。

第二个重要极限

lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e .

证明思路：设 $1 < x < + \infty$ ，令 $[x] = n$ ，则 $n \leq x < n + 1$ ，由

(1 + \frac{1}{n + 1})^{n} \leq (1 + \frac{1}{n + 1})^{x} < (1 + \frac{1}{x})^{x} \leq (1 + \frac{1}{n})^{x} < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1},

两端都趋于 $e$ ，由夹逼定理得 ${lim}_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ ；同理得 $x \to - \infty$ 的情形。

若令 $\frac{1}{x} = t$ ，则 ${lim}_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$ ；若 $x \to x_{0}$ 时 $f (x) \to 0$ ，则 ${lim}_{x \to x_{0}} (1 + f (x))^{\frac{1}{f (x)}} = e$ 。

常用等价无穷小（例 19 的结论）

由于

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1, lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = 1, lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2},

所以

当 x \to 0 时, sin x \sim x, tan x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2} .

定理 1.19　等价量替换定理

若（1） $f (x) \sim f_{1} (x)$ ， $g (x) \sim g_{1} (x)$ ， $h (x) \sim h_{1} (x) (x \to x_{0})$ ；（2） ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f_{1} (x) g_{1} (x)}{h_{1} (x)} = A$ （或 $\infty$ ），则

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) g (x)}{h (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f_{1} (x) g_{1} (x)}{h_{1} (x)} = A (或 \infty) .

证　 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x) g (x)}{h (x)} = {lim}_{x \to x_{0}} \frac{f_{1} (x) g_{1} (x)}{h_{1} (x)} \cdot \frac{f (x)}{f_{1} (x)} \cdot \frac{g (x)}{g_{1} (x)} \cdot \frac{h_{1} (x)}{h (x)}$ ，后三个因子都以 $1$ 为极限，故结论成立。证毕。

例题已掌握

例 1★★☆☆☆证明题极限的 ε-X 定义展开题目与讲解

例 1　证明 ${lim}_{x \to + \infty} a^{x} = 0$ （ $0 < a < 1$ ）

解　任给 $ε > 0$ ，要使 $| a^{x} - 0 | < ε$ ，即 $a^{x} < ε$ ，只要 $x > {log}_{a} ε$ ，取 $X = {log}_{a} ε$ ，当 $x > X$ 时，都有 $| a^{x} - 0 | < ε$ 。按定义知 ${lim}_{x \to + \infty} a^{x} = 0$ 。

例 2★★☆☆☆证明题无穷远处的极限定义展开题目与讲解

例 2　证明 ${lim}_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0$ （ $k > 0$ ）

解　任给 $ε > 0$ ，要使 $| \frac{1}{x^{k}} - 0 | < ε \Leftrightarrow \frac{1}{x^{k}} < ε \Leftrightarrow x^{k} > \frac{1}{ε}$ ，只要 $x > \frac{1}{ε^{\frac{1}{k}}}$ 。取 $X = \frac{1}{ε^{\frac{1}{k}}}$ ，当 $x > X$ 时，都有 $| \frac{1}{x^{k}} - 0 | < ε$ ，按定义知 ${lim}_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0$ 。

例 3★★★☆☆证明题ε-δ 定义的证明展开题目与讲解

例 3　证明 ${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} = 2$

解　 $| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} - 2 | = | \frac{x - 1}{x} | = \frac{| x - 1 |}{| x |} .$

由于 $x \to 1$ ，不妨设

0 < | x - 1 | < \frac{1}{2},

于是 $x > \frac{1}{2}$ ，即 $| x | > \frac{1}{2}$ ，从而

\frac{| x - 1 |}{| x |} < 2 | x - 1 | (0 < | x - 1 | < \frac{1}{2}) .

所以，任给 $ε > 0$ ，要使 $| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} - 2 | < ε$ ，只要 $2 | x - 1 | < ε$ ，即 $| x - 1 | < \frac{ε}{2}$ 。

取 $δ = min {\frac{1}{2}, \frac{ε}{2}}$ ，当 $0 < | x - 1 | < δ$ 时，都有 $| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} - 2 | < ε$ 。

由定义知 ${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} = 2$ 。

例 4★★★★☆证明题根式极限的证明展开题目与讲解

例 4　证明 ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = m] A$

解　设在 $x_{0}$ 的某邻域内 $f (x) \geq 0$ ，且 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A \geq 0$ （常数），证明 ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = m] A$ ，其中 $m \in N_{+}$ ， $m > 1$ ， $x_{0}$ 为某一定值。

由 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，根据 $ε$ - $δ$ 定义，任给 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，都有

| f (x) - A | < ε .

（1）当 $A = 0$ 时，由 $| f (x) - A | < ε$ ，得

| m] f (x) | < m] ε .

于是任给 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，都有

| m] f (x) - 0 | < m] ε .

由定义知 ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = 0$ 。

（2）当 $A > 0$ 时，

| m] f (x) - m] A | = \frac{| f (x) - A |}{| (m] f (x))^{m - 1} + (m] f (x))^{m - 2} m] A + \dots + (m] A)^{m - 1} | < \frac{| f (x) - A |}{(m] A)^{m - 1} < \frac{ε}{(m] A)^{m - 1} .}}}

于是任给 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，都有

| m] f (x) - m] A | < \frac{ε}{(m] A)^{m - 1} .}

由定义知， ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = m] A$ 。故 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 时，有 ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = m] A$ 。

例 5★☆☆☆☆计算题左右极限展开题目与讲解

例 5　研究 $f (x) = sgn x$ 在 $x = 0$ 处的极限

解　由于 ${lim}_{x \to 0^{-}} f (x) = {lim}_{x \to 0^{-}} (- 1) = - 1$ ， ${lim}_{x \to 0^{+}} f (x) = {lim}_{x \to 0^{+}} 1 = 1$ ，所以 ${lim}_{x \to 0} f (x)$ 不存在。

例 6★☆☆☆☆计算题分段函数的极限展开题目与讲解

例 6　分段函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的极限

解　设

f (x) = {\begin{cases} 1, & x \leq 0, \\ \sqrt[3] 1 + x,]{x} > 0, \end{cases}

研究 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处的极限。由于 ${lim}_{x \to 0^{-}} f (x) = {lim}_{x \to 0^{-}} 1 = 1$ ， ${lim}_{x \to 0^{+}} f (x) = {lim}_{x \to 0^{+}} 3] 1 + x = 1$ （由本节例 4 中 $m = 3$ 可得），所以由定理 1.10 知 ${lim}_{x \to 0} f (x) = 1$ 。

例 7★★★★☆证明题单侧极限与 ε-δ展开题目与讲解

例 7　证明 ${lim}_{x \to 0} a^{x} = 1$ （ $a > 1$ ）

解　分析：任给 $ε > 0$ ，要使 $| a^{x} - 1 | < ε$ ，从中解出 $| x | < δ$ 比较困难。因此，我们通过左、右极限来证明。

先证 ${lim}_{x \to 0^{+}} a^{x} = 1$ 。由于 $a > 1$ ， $x > 0$ ，所以 $a^{x} > 1$ 。

任给 $ε > 0$ ，要使 $| a^{x} - 1 | < ε$ ，只要 $a^{x} - 1 < ε \Leftrightarrow a^{x} < 1 + ε$ ，即 $x < {log}_{a} (1 + ε)$ 。

取 $δ = {log}_{a} (1 + ε)$ ，当 $0 < x < {log}_{a} (1 + ε)$ 时，都有 $| a^{x} - 1 | < ε$ 。由定义知 ${lim}_{x \to 0^{+}} a^{x} = 1$ 。

再证 ${lim}_{x \to 0^{-}} a^{x} = 1$ 。由于 $a > 1$ ， $x < 0$ ，所以 $a^{x} < 1$ 。

任给 $ε > 0$ ，要使 $| a^{x} - 1 | < ε$ ，只要 $1 - a^{x} < ε \Leftrightarrow a^{x} > 1 - ε$ （不妨设 $ε < 1$ ，读者想一想为什么），只要 $x > {log}_{a} (1 - ε)$ ，即 $x > [- {log}_{a} (1 - ε)]$ ，即存在 $δ = - {log}_{a} (1 - ε) > 0$ ，当 $- δ < x < 0$ 时，都有 $| a^{x} - 1 | < ε$ ，由定义知 ${lim}_{x \to 0^{-}} a^{x} = 1$ 。

综上所述， ${lim}_{x \to 0} a^{x} = 1$ 。

例 8★★☆☆☆计算题通分化简求极限展开题目与讲解

例 8　求 ${lim}_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1})$

解　 $lim_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1}) = lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x + 1 - 3}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

= lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = lim_{x \to 1} \frac{(x + 2) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)},

由于 $x \to 1$ ， $x \neq 1$ ，所以 $x - 1 \neq 0$ ，从而

原式 = lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} = \frac{1 + 2}{1 + 1 + 1} = 1 .

例 9★☆☆☆☆计算题变量代换求极限展开题目与讲解

例 9　求 ${lim}_{x \to 0} 3] 1 + x^{2} - x^{3}$

解　令 $1 + x^{2} - x^{3} = u$ ，当 $x \to 0$ 时， $u \to 1$ ，于是

lim_{x \to 0} 3] 1 + x^{2} - x^{3} = lim_{u \to 1} 3] u = 1 .

注　以后这个变量代换过程可省去。

例 10★★★★☆计算题根式有理化展开题目与讲解

例 10　求 ${lim}_{x \to 1} m] x - 1 n] x - 1$ （ $m, n \in N_{+}$ ）

解　 $lim_{x \to 1} m] x - 1 n] x - 1$

= lim_{x \to 1} (m] x - 1) [(n] x)^{n - 1} + (n] x)^{n - 2} + \dots + 1] (n] x - 1) [(m] x)^{m - 1} + (m] x)^{m - 2} + \dots + 1]

= lim_{x \to 1} (x - 1) [(n] x)^{n - 1} + (n] x)^{n - 2} + \dots + 1] (x - 1) [(m] x)^{m - 1} + (m] x)^{m - 2} + \dots + 1]

= lim_{x \to 1} (n] x)^{n - 1} + (n] x)^{n - 2} + \dots + 1 (m] x)^{m - 1} + (m] x)^{m - 2} + \dots + 1 = \frac{n}{m} .

例 11★★★☆☆计算题夹逼准则与取整函数展开题目与讲解

例 11　求 ${lim}_{x \to 0^{+}} x [\frac{1}{x}]$

解　 $\frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] \leq \frac{1}{x},$

且 $x > 0$ 。两边同乘以 $x$ ，得

1 - x < x [\frac{1}{x}] \leq 1,

又

lim_{x \to 0^{+}} (1 - x) = 1, lim_{x \to 0^{+}} 1 = 1,

根据夹逼定理知 ${lim}_{x \to 0^{+}} x [\frac{1}{x}] = 1$ 。

例 12★★☆☆☆证明题极限不存在的证明展开题目与讲解

例 12　证明 ${lim}_{x \to + \infty} sin x$ 不存在

解　取 $x_{n}' = 2 n π$ ， $n$ 是正整数， ${lim}_{n \to \infty} x_{n}' = + \infty$ ， ${lim}_{n \to \infty} sin 2 n π = 0$ ；取 $x_{n}'' = 2 n π + \frac{π}{2}$ ， ${lim}_{n \to \infty} x_{n}'' = + \infty$ ， ${lim}_{n \to \infty} sin (2 n π + \frac{π}{2}) = 1$ 。由于 $0 \neq 1$ ，所以 ${lim}_{x \to + \infty} sin x$ 不存在。

例 13★☆☆☆☆判断题无穷小量的概念展开题目与讲解

例 13　指明 $x$ 、 $x^{3}$ 、 $\frac{1}{x}$ 中的无穷小量

解　 $x$ ， $x^{3}$ 当 $x \to 0$ 时是无穷小量， $\frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时是无穷小量。

例 14★★☆☆☆计算题无穷小量乘有界量展开题目与讲解

例 14　求 ${lim}_{x \to 0} x sin \frac{1}{x}$

解　由于当 $x \to 0$ 时， $x$ 是无穷小量， $sin \frac{1}{x}$ 是有界量，所以

lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0 .

例 15★★☆☆☆计算题无穷大量的判定展开题目与讲解

例 15　求 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}}$

解　由于 ${lim}_{x \to 1} (1 - x^{2}) = 0$ ，所以

lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \infty .

注　或者直接写 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ ，但不能写成 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{0} = \infty$ 。

例 16★★☆☆☆计算题多项式之比的极限展开题目与讲解

例 16　求 ${lim}_{x \to \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ （ $n > m$ ）

解　其中 $P_{n} (x)$ ， $Q_{m} (x)$ 分别是 $n$ 次和 $m$ 次多项式。由于 ${lim}_{x \to \infty} \frac{Q_{m} (x)}{P_{n} (x)} = 0$ （ $n > m$ ），所以

lim_{x \to \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} = \infty .

例 17★★☆☆☆计算题重要极限与半角公式展开题目与讲解

例 17　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$

解　 $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{2 (sin \frac{x}{2})^{2}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot (\frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2} = \frac{1}{2} .$

例 17★★☆☆☆计算题重要极限的应用展开题目与讲解

例 17　 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$

解　 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = {lim}_{x \to 0} \frac{2 (sin \frac{x}{2})^{2}}{x^{2}} = {lim}_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot (\frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2} = \frac{1}{2}$ 。

例 18★☆☆☆☆计算题重要极限 sinx/x展开题目与讲解

例 18　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$

解　 $lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x} = 1 \cdot 1 = 1 .$

例 18★☆☆☆☆计算题重要极限的应用展开题目与讲解

例 18　 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$

解　 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = {lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x} = 1 \cdot 1 = 1$ 。

例 19★☆☆☆☆计算题等价无穷小展开题目与讲解

例 19　导出 $x \to 0$ 时的三个等价无穷小

解　由于

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1, lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = 1, lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2},

所以当 $x \to 0$ 时， $sin x \sim x$ ， $tan x \sim x$ ， $1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 。

例 19★★☆☆☆计算题等价无穷小展开题目与讲解

例 19　三个常用等价无穷小

由于 ${lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ ， ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x} = 1$ ， ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ ，所以当 $x \to 0$ 时， $sin x \sim x$ ， $tan x \sim x$ ， $1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 。

例 20★★☆☆☆计算题重要极限 e展开题目与讲解

例 20　求 ${lim}_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}}$

解　 $lim_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0} {[1 + (- 5 x)]^{- \frac{1}{5 x}}}^{- 5} = e^{- 5} .$

例 20★★☆☆☆计算题1 的无穷次幂展开题目与讲解

例 20　 ${lim}_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}}$

解　 ${lim}_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}} = {lim}_{x \to 0} [(1 + (- 5 x))^{\frac{1}{- 5 x}}]^{- 5} = e^{- 5}$ 。

例 21★★★☆☆计算题重要极限 e 的应用展开题目与讲解

例 21　求 ${lim}_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x}$

解　 $lim_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x} = lim_{x \to 0} [(1 + 2 sin x)^{\frac{1}{2 sin x}}]^{2} = e^{2} .$

例 21★★☆☆☆计算题1 的无穷次幂展开题目与讲解

例 21　 ${lim}_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x}$

解　 ${lim}_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x} = {lim}_{x \to 0} [(1 + 2 sin x)^{\frac{1}{2 sin x}}]^{2} = e^{2}$ 。

例 22★★★☆☆计算题等价无穷小替换展开题目与讲解

例 22　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x^{2}}{x sin x^{2} \cdot tan 3 x}$

解　 $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x^{2}}{x sin x^{2} \cdot tan 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^{4}}{x \cdot x^{2} \cdot 3 x} = \frac{1}{6} .$

例 23★★★☆☆计算题加减项不能替换展开题目与讲解

例 23　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$

解　 $lim_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin x}{cos x} - sin x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{sin x (1 - cos x)}{x^{3} cos x}$

= lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3} \cdot 1} = \frac{1}{2} .

注　这里 $sin x$ ， $1 - cos x$ ， $cos x$ 都是因式，而且，如前所述，当 $x \to 0$ 时，有

sin x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}, cos x \sim 1 .

但是以下做法是错误的：由于 $tan x \sim x$ ， $sin x \sim x$ （ $x \to 0$ ），因此

lim_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{0}{x^{3}} = 0 .

例 24★★☆☆☆计算题复利计算展开题目与讲解

例 24　年利率 8%：每年付一次与每年付四次的差异

解　两种情况下 8% 都是年利率，一年支付一次，复利 8% 表示在每年末都要加上当前余额的 8%，这相当于当前余额乘以 1.08。如果存入 100 元，则余额 $A$ 为

一年后： $A = 100 \times 1.08$ ，两年后： $A = 100 \times {1.08}^{2}$ ， $\dots$ ， $t$ 年后： $A = 100 \times {1.08}^{t}$ 。

而一年支付四次，复利 8% 表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的 $8 % / 4 = 2 %$ 。因此，如果同样存入 100 元，则在年末，已计入四次复利，该账户将拥有 $100 \times {1.02}^{4}$ 元，所以余额 $B$ 为

一年后： $B = 100 \times {1.02}^{4}$ ，二年后： $B = 100 \times {1.02}^{4 \times 2}$ ， $\dots$ ， $t$ 年后： $B = 100 \times {1.02}^{4 t}$ 。

注意这里的 8% 不是每三个月的利率，年利率被分为四个 2% 的支付额。在上面两种复利方式下，计算一年后的总余额显示

一年一次复利： $A = 100 \times 1.08 = 108.00$ ，一年四次复利： $B = 100 \times {1.02}^{4} \approx 108.24$ 。

因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱。所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）。

例 25★★★☆☆计算题年有效收益展开题目与讲解

例 25　月复利 7% 与日复利 6.9% 哪种收益好

解　由题意知，设在银行 X 的一年后的余额为 $A_{1}$ ， $t$ 年后的余额为 $A_{t}$ ；设在银行 Y 的一年后的余额为 $B_{1}$ ， $t$ 年后的余额为 $B_{t}$ 。

A_{1} = 100 \times (1 + \frac{0.07}{12})^{12} \approx 100 \times 1.005 833^{12} \approx 100 \times 1.072 286 \approx 100 \times 1.072 3,

B_{1} = 100 \times (1 + \frac{0.069}{365})^{365} \approx 100 \times 1.000 189^{365} \approx 100 \times 1.071 413 \approx 100 \times 1.071 4,

所以银行 X 账户年有效收益 $\approx 7.23 %$ ，银行 Y 账户年有效收益 $\approx 7.14 %$ 。因此，银行 X 提供的投资行为效益好。 $t$ 年后每个银行中所存余额为

A_{t} \approx 100 \times 1.072 286^{t} \approx 100 \times 1.072 3^{t}, B_{t} \approx 100 \times 1.071 413^{t} \approx 100 \times 1.071 4^{t} .

例 26★★★☆☆计算题现值与将来值展开题目与讲解

例 26　中奖 100 万：分期 25 万×4 还是一次付清 92 万

解　我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付 25 万元的支付方式的现总值为 $P$ ，则

P = 250 000 + 250 000 e^{- 0.06} + 250 000 e^{- 0.06 \times 2} + 250 000 e^{- 0.06 \times 3}

\approx 250 000 + 235 441 + 221 730 + 208 818

= 915 989 < 920 000 .

因此，最好选择现在一次付清 92 万元这种兑奖方式。

四无穷小量与无穷大量选自 §3.55 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.19　无穷小量

若 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ ，则称 $f (x)$ 是当 $x \to x_{0}$ 时的无穷小量，这里 $x_{0}$ 可以是常数，也可以是 $+ \infty$ ， $- \infty$ 或 $\infty$ 。

例 13　 $x$ ， $x^{3}$ 当 $x \to 0$ 时是无穷小量， $\frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时是无穷小量。

注　无穷小量不是很小的量，而是一类特殊的以 $0$ 为极限的变量，它依赖于某个无限变化过程。用 $ε$ - $δ$ 定义叙述则为：任给 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，都有 $| f (x) | < ε$ 。

定义 1.20　有界量与定义 1.21　无界量

定义 1.20　若存在 $x_{0}$ 的某空心邻域 $U^{\circ} (x_{0})$ ， $f (x)$ 在 $U^{\circ} (x_{0})$ 内有界，则称 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时是有界量。这个定义的否定陈述就是无界量定义。

定义 1.21　对 $x_{0}$ 无论多么小的空心邻域 $U^{\circ} (x_{0}, δ)$ ，任给 $M > 0$ ，存在 $x' \in U^{\circ} (x_{0}, δ)$ ， $| f (x') | > M$ ，称 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时是无界量。

定理 1.17　极限与无穷小量的关系

若 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，则 $f (x) - A$ 当 $x \to x_{0}$ 时是无穷小量，或者

f (x) = A + α (x),

其中 $α (x) \to 0 (x \to x_{0})$ 。

性质已掌握+

无穷小量的性质

（1）有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；

（2）有限多个无穷小量之积仍是无穷小量；

（3）无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。

性质（3）的证明

设 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ ， $g (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时是有界量。由定义知，存在 $x_{0}$ 的一个空心邻域 $U^{\circ} (x_{0}, δ_{1})$ ，存在常数 $M > 0$ ，当 $x \in U^{\circ} (x_{0}, δ_{1})$ 时， $| g (x) | \leq M$ 。

任给 $ε > 0$ ，存在 $δ_{2} > 0$ ，当 $x \in U^{\circ} (x_{0}, δ_{2})$ 时，都有 $| f (x) | < \frac{ε}{M}$ 。

取 $δ = min {δ_{1}, δ_{2}}$ ，当 $x \in U^{\circ} (x_{0}, δ)$ 时，都有 $| f (x) g (x) | < \frac{ε}{M} \cdot M = ε$ ，即 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) g (x) = 0$ 。证毕。

注　无限个无穷小量之和不一定是无穷小量

例如， ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ，而 ${lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}) = 1$ 。

从这个例子我们可以看出有限与无限的本质区别。

阶的比较已掌握+

定义 1.22　高阶、同阶、等价无穷小

设 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ ， ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = 0$ 。

若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ ，则称当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 是比 $g (x)$ 高阶的无穷小量，记作

f (x) = o (g (x)) (x \to x_{0}) .

若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = c \neq 0$ ，则称当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同阶的无穷小量。

若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$ ，则称当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价无穷小量，记作

f (x) \sim g (x) (x \to x_{0}) .

k

阶无穷小量与记号的说明

${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = c \neq 0$ 也可记作 $f (x) \sim c g (x) (x \to x_{0})$ 。

特别地，若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{(x - x_{0})^{k}} = c \neq 0$ 时（ $k > 0$ 为常数），则称 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时是 $(x - x_{0})$ 的 $k$ 阶无穷小量。

注　 $f (x) = o (g (x)) (x \to x_{0})$ 是一个记号，仅表示 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ ，不要理解为等式。

无穷大量已掌握+

定义 1.23　无穷大量

设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，任给 $M > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，当 $x \in U^{\circ} (x_{0}, δ)$ 时，都有 $| f (x) | > M$ ，则称 $f (x)$ 是当 $x \to x_{0}$ 时的无穷大量，记作

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty 或 f (x) \to \infty (x \to x_{0}) .

若定义中 $| f (x) | > M$ 换成 $f (x) > M$ ，则称 $f (x)$ 是当 $x \to x_{0}$ 时的正无穷大量，记作 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ ；换成 $f (x) < - M$ ，则称负无穷大量，记作 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty$ 。

注　

\infty

不是数

无穷大量仍属于极限不存在之列，之所以还用极限的记号，是因为无穷大量当 $x \to x_{0}$ 时具有按绝对值无限增大的趋势，故以符号「 $\infty$ 」作为它的极限，但 $\infty$ 不是一个数。我们把这种极限叫做无穷极限，与趋于实数的极限（叫做有穷极限）有着本质的区别。我们说极限存在，指的是趋于某一个实数的极限。

无穷大量的性质

（1）有限个无穷大量之积仍是无穷大量；

（2）无穷大量与有界量之和仍是无穷大量。

注　有限个无穷大量之和不一定是无穷大量。

对于无穷大量，趋于无穷大的速度也有快慢之分。设 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$ ， ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = \infty$ 。若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ ，则称当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 是比 $g (x)$ 低阶的无穷大量，或 $g (x)$ 是比 $f (x)$ 高阶的无穷大量；若比值为非零常数，则称同阶；若比值为 $1$ ，则称等价无穷大量。

定理 1.18　无穷大量的倒数是无穷小量

若 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$ ，则 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = 0$ 。

若 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = 0$ ，且存在 $x_{0}$ 的某空心邻域 $U^{\circ} (x_{0})$ ，当 $x \in U^{\circ} (x_{0})$ 时， $f (x) \neq 0$ ，则 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = \infty$ 。

简述为：无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（当 $x$ 充分接近 $x_{0}$ 时不等于 $0$ ）的倒数为无穷大量。

等价量的推广

尤其是等价这个概念，非常重要，我们可推广到一般的等价量。若 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$ ，称当 $x \to x_{0}$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 是等价量，记作 $f (x) \sim g (x) (x \to x_{0})$ 。

例如 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，若 $A \neq 0$ ，则 $f (x) \sim A (x \to x_{0})$ 。

例题已掌握

例 13★☆☆☆☆计算题无穷小量的判断展开题目与讲解

例 13　哪些是无穷小量

$x$ ， $x^{3}$ 当 $x \to 0$ 时是无穷小量； $\frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时是无穷小量。

例 14★★☆☆☆计算题无穷小量的性质展开题目与讲解

例 14　有界量乘无穷小量

由于当 $x \to 0$ 时， $x$ 是无穷小量， $sin \frac{1}{x}$ 是有界量，所以 ${lim}_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0$ 。

例 15★★☆☆☆计算题无穷大量与无穷小量的关系展开题目与讲解

例 15　用倒数求无穷大量

求 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}}$ 。

解　由于 ${lim}_{x \to 1} (1 - x^{2}) = 0$ ，所以 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ 。

注　或者直接写 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ ，但不能写成 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{0} = \infty$ 。

例 16★★☆☆☆计算题无穷大量的比较展开题目与讲解

例 16　多项式之比的无穷大量

求 ${lim}_{x \to \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} (n > m)$ ，其中 $P_{n} (x)$ ， $Q_{m} (x)$ 分别是 $n$ 次和 $m$ 次多项式。

解　由于 ${lim}_{x \to \infty} \frac{Q_{m} (x)}{P_{n} (x)} = 0 (n > m)$ ，所以 ${lim}_{x \to \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} = \infty$ 。

五函数的连续性选自 §4.1–§4.47 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.24（在一点连续）

若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域 $U (x_{0})$ 内有定义，且

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}),

则称函数 $y = f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续。

用 $ε$ - $δ$ 语言叙述为：设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，任给 $ε > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，当 $| x - x_{0} | < δ$ 时，都有 $| f (x) - f (x_{0}) | < ε$ ，则称 $y = f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续。

定义 1.27（最大值、最小值）

设 $f (x)$ 为定义在 $D$ 上的函数，若存在 $x_{0} \in D$ ，对一切 $x \in D$ ，都有

f (x_{0}) \geq f (x) (f (x_{0}) \leq f (x)),

则称 $f (x)$ 在 $D$ 上有最大（小）值，并称 $f (x_{0})$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的最大（小）值。

连续、左连续与右连续已掌握+

定义 1.25（用增量表述）

若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义且 ${lim}_{Δ x \to 0} Δ y = 0$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续。

由 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) = f ({lim}_{x \to x_{0}} x)$ 知，在连续意义下，极限运算 $lim$ 与对应法则 $f$ 可交换。

定义 1.26（左连续、右连续）与定理 1.20

有时需要研究只在 $x_{0}$ 一侧有定义的函数的连续性或分段函数 $f (x)$ 在分界点处的连续性。因此，引入左、右连续的概念。

定义 1.26　设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的左（右）邻域 $U_{-} (x_{0}) (U_{+} (x_{0}))$ 内有定义且

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}) (lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})),

则称函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处左（右）连续。

定理 1.20　 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续的充要条件是 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处既左连续又右连续。

区间上连续

若 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内的每一点都连续，则称 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续。若 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，且 $f (x)$ 在点 $x = a$ 处右连续，在点 $x = b$ 处左连续，则称 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。

间断点及其分类已掌握+

间断点的定义与三种情形

若 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处不连续，则称 $x = x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 的间断点。若 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的间断点，则必为下列情形之一：

（1）极限 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ 不存在；

（2） $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处无定义；

（3） ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有定义，但 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})$ 。

可去间断点

若 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ，而 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处没有定义或有定义但 $f (x_{0}) \neq A$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的可去间断点。

若 $x = x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的可去间断点，只需补充定义或改变 $f$ 在 $x = x_{0}$ 处的函数值，就可使函数在点 $x_{0}$ 处连续。但必须注意这时的函数与 $f (x)$ 已经不是同一个函数，但仅在 $x = x_{0}$ 处不同，在其他点则完全相同。

例 4　设 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ，由于 ${lim}_{x \to 0} f (x) = 1$ ， $f (x)$ 在点 $x = 0$ 无定义，所以 $x = 0$ 是可去间断点。设 $F (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{cases}$ 则 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处连续。当 $x \neq 0$ 时， $F (x) = f (x)$ 。

跳跃间断点与第二类间断点

若 ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}^{-})$ ， ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0}^{+})$ ，但 $f (x_{0}^{-}) \neq f (x_{0}^{+})$ ，则称 $x = x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的跳跃间断点， $| f (x_{0}^{+}) - f (x_{0}^{-}) |$ 称为跳跃度。

可去间断点、跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左、右极限均存在。

若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 的左、右极限至少有一个不存在，则称 $x = x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的第二类间断点。

例 5　设 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的第二类间断点。狄利克雷函数定义域上的每一点都是第二类间断点。

如果 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上仅有有限个第一类间断点，则称函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上按段连续。例如 $y = [x]$ 在 $[- n, n]$ （ $n$ 是正整数）上按段连续。

连续函数的局部性质已掌握+

性质 1（四则运算）

若 $f (x)$ ， $g (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续，则 $f (x) \pm g (x)$ ， $f (x) g (x)$ ， $c f (x)$ （ $c$ 为常数）， $\frac{f (x)}{g (x)}$ （这里 $g (x_{0}) \neq 0$ ）在点 $x = x_{0}$ 处也连续。

性质 2（复合函数的连续性）

若 $u = φ (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续， $y = f (u)$ 在 $u_{0} = φ (x_{0})$ 处连续，则 $y = f (φ (x))$ 在 $x = x_{0}$ 处也连续，且

lim_{x \to x_{0}} f (φ (x)) = f (φ (x_{0})) = f (lim_{x \to x_{0}} φ (x)) .

推论　若 ${lim}_{x \to x_{0}} φ (x) = u_{0}$ ， $y = f (u)$ 在 $u = u_{0}$ 处连续，则 ${lim}_{x \to x_{0}} f (φ (x)) = f ({lim}_{x \to x_{0}} φ (x))$ 。

注　上面定理不仅对 $x \to x_{0}$ 时成立，对于 $x \to x_{0}^{+}$ ， $x \to x_{0}^{-}$ ， $x \to \infty$ ， $x \to - \infty$ ， $x \to + \infty$ 的情形，也可按上述证明方法证明成立。利用这一性质，我们可以简化求极限。

例 6、例 7　极限符号与连续函数可交换

例 6　求 ${lim}_{x \to 0} sin (1 + \frac{sin x}{x})$ 。

解　 $sin (1 + \frac{sin x}{x})$ 可看成 $f (u) = sin u$ 与 $u = φ (x) = 1 + \frac{sin x}{x}$ 的复合。由于 ${lim}_{x \to 0} φ (x) = {lim}_{x \to 0} (1 + \frac{sin x}{x}) = 2$ ，而 $f (u) = sin u$ 在 $u = 2$ 处连续，所以

lim_{x \to 0} sin (1 + \frac{sin x}{x}) = sin [lim_{x \to 0} (1 + \frac{sin x}{x})] = sin 2 .

熟悉了以后，这些过程都可以不写。

例 7　 ${lim}_{x \to \infty} cos (x sin \frac{1}{x} - 1) = cos (1 - 1) = cos 0 = 1$ 。

说明已掌握+

连续与极限存在的区别

函数在点 $x = x_{0}$ 极限存在与函数在点 $x = x_{0}$ 处连续的区别是：函数极限存在与 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处是否有定义无关；函数连续不仅要求 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有定义，且函数极限等于 $f (x_{0})$ 。

用增量表述的等价定义

记 $Δ x = x - x_{0}$ ，并把它称为自变量 $x$ 在 $x_{0}$ 处的增量或改变量，相应的函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的增量为

f (x) - f (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}),

记为 $Δ y$ ，即 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ 。

注　 $Δ x$ 可以是正数，也可以是负数，也可以是 $0$ 。

由 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ ，得

lim_{Δ x \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] = 0,

即 ${lim}_{Δ x \to 0} Δ y = 0$ 。从而连续的定义也可叙述为： ${lim}_{Δ x \to 0} Δ y = 0$ （自变量增量趋于 $0$ 时，函数增量也趋于 $0$ ）。

定理已掌握+

定理 1.21（最大值最小值定理）

若 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上一定能取到最大值与最小值，即存在 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ， $f (x_{1}) = M$ ， $f (x_{2}) = m$ ，使得对一切 $x \in [a, b]$ ，都有

m \leq f (x) \leq M .

其几何意义：闭区间上的连续曲线一定有最高点与最低点。

推论　若 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

定理 1.22（零点定理）

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) f (b) < 0$ ，则至少存在一点 $ξ \in (a, b)$ ，使 $f (ξ) = 0$ 。

几何意义：若点 $A (a, f (a))$ ， $B (b, f (b))$ 分别在 $x$ 轴的上、下两侧，则连接 $A B$ 的连续曲线 $y = f (x)$ 至少穿过 $x$ 轴一次。

定理 1.22 为判断 $f (x) = 0$ 在区间 $(a, b)$ 是否有根提供了依据。

推论 1（介值定理）

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) \neq f (b)$ ，若 $c$ 为介于 $f (a)$ ， $f (b)$ 之间的任何实数，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使 $f (ξ) = c$ 。

证　设 $F (x) = f (x) - c$ ，则 $F (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。由 $F (a) = f (a) - c$ ， $F (b) = f (b) - c$ 异号（ $c$ 介于 $f (a)$ 与 $f (b)$ 之间），对 $F (x)$ 用零点定理即得。

例题已掌握

例 1★★☆☆☆计算题分段函数连续性展开题目与讲解

例 1　讨论分段函数在 $x = 0$ 处的连续性

设

f (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x}, & x < 0, \\ \sqrt{1 + x^{2}}, & x \geq 0, \end{cases}

讨论 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处的连续性。

解　由于

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{sin x}{x} = 1 = f (0),

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{1 + x^{2}} = \sqrt{1 + 0} = 1 = f (0),

所以 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处既左连续又右连续，从而 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处连续。

例 2★★☆☆☆计算题连续性的定义展开题目与讲解

例 2　讨论 $x = 0$ 处的连续性

设

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - cos x}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{cases}

讨论 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处的连续性。

解　因为

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2} \neq f (0) = 1,

所以 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处不连续。

例 3★★★☆☆证明题三角函数连续性展开题目与讲解

例 3　证明三角函数在 R 上连续

证明 $y = sin x$ 和 $y = cos x$ 在 $R$ 上连续。

证　由于

| sin x - sin x_{0} | = | 2 cos \frac{x + x_{0}}{2} sin \frac{x - x_{0}}{2} | \leq 2 | \frac{x - x_{0}}{2} | = | x - x_{0} |,

所以对任一点 $x_{0} \in R$ ， $\forall ε > 0$ ，要使 $| sin x - sin x_{0} | < ε$ ，只要 $| x - x_{0} | < ε$ 。取 $δ = ε$ ，当 $| x - x_{0} | < δ$ 时，都有

| sin x - sin x_{0} | < ε .

即 ${lim}_{x \to x_{0}} sin x = sin x_{0}$ ，所以 $y = sin x$ 在 $x_{0}$ 处连续。又由 $x_{0}$ 的任意性知 $y = sin x$ 在 $R$ 上连续。同理可证 $y = cos x$ 在 $R$ 上连续。

例 4★☆☆☆☆计算题可去间断点判定展开题目与讲解

例 4　 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ 的可去间断点

设 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ，由于 ${lim}_{x \to 0} f (x) = 1$ ， $f (x)$ 在点 $x = 0$ 无定义，所以 $x = 0$ 是可去间断点。设

F (x) = {\begin{cases} \frac{sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0, \end{cases}

则 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处连续。当 $x \neq 0$ 时， $F (x) = f (x)$ 。

例 5★☆☆☆☆判断题第二类间断点展开题目与讲解

例 5　 $\frac{1}{x}$ 的第二类间断点

设 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的第二类间断点。狄利克雷函数定义域上的每一点都是第二类间断点。

例 6★★☆☆☆计算题复合函数连续性展开题目与讲解

例 6　复合函数求极限

求 ${lim}_{x \to 0} sin (1 + \frac{sin x}{x})$ 。

解　 $sin (1 + \frac{sin x}{x})$ 可看成 $f (u) = sin u$ 与 $u = φ (x) = 1 + \frac{sin x}{x}$ 的复合。由于

lim_{x \to 0} φ (x) = lim_{x \to 0} (1 + \frac{sin x}{x}) = 2,

而 $f (u) = sin u$ 在 $u = 2$ 处连续，所以

lim_{x \to 0} sin (1 + \frac{sin x}{x}) = sin [lim_{x \to 0} (1 + \frac{sin x}{x})] = sin 2 .

例 7★★☆☆☆计算题复合函数求极限展开题目与讲解

例 7　利用连续性求极限

求 ${lim}_{x \to \infty} cos (x sin \frac{1}{x} - 1)$ 。

解

lim_{x \to \infty} cos (x sin \frac{1}{x} - 1) = cos (1 - 1) = cos 0 = 1 .

例 9★★★☆☆证明题指数函数连续性展开题目与讲解

例 9　证明指数函数连续

证明：指数函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）在 $R$ 上是连续函数。

证　我们已经证明了

lim_{x \to 0} a^{x} = 1

（ $a > 1$ 为常数）。

当 $0 < a < 1$ 时，

lim_{x \to 0} a^{x} = lim_{x \to 0} \frac{1}{(\frac{1}{a})^{x}} = \frac{1}{1} = 1 .

因此当 $a > 0$ ， $a \neq 1$ 时， ${lim}_{x \to 0} a^{x} = 1$ 。对每一个 $x_{0} \in R$ ，有

lim_{Δ x \to 0} Δ y = lim_{Δ x \to 0} (a^{x_{0} + Δ x} - a^{x_{0}}) = lim_{Δ x \to 0} a^{x_{0}} (a^{Δ x} - 1)

= a^{x_{0}} lim_{Δ x \to 0} (a^{Δ x} - 1) = a^{x_{0}} (1 - 1) = 0,

即 $y = a^{x}$ 在 $x_{0}$ 处连续，所以 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上连续。

例 10★★★☆☆计算题初等函数连续性展开题目与讲解

例 10　求初等函数分式的极限

求

lim_{x \to 0} \frac{arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{ln (1 + \sqrt{1 + e^{x}})} .

解　由于所求极限函数是初等函数，且 $x = 0$ 在它的定义域内，所以

lim_{x \to 0} \frac{arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{ln (1 + \sqrt{1 + e^{x}})} = \frac{arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}}{ln (1 + \sqrt{1 + e^{0}})} = \frac{\frac{π}{2}}{ln (1 + \sqrt{2})} = \frac{π}{2 ln (1 + \sqrt{2})} .

例 11★★★★☆计算题等价无穷小替换展开题目与讲解

例 11　求含反三角函数的极限

求

lim_{x \to 0} \frac{arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot tan x}{5] 1 + x^{2} - 1 .}

解

lim_{x \to 0} \frac{arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot tan x}{5] 1 + x^{2} - 1 = lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot x}{\frac{1}{5} x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{5}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 5 .}

例 12★★★★☆计算题幂指函数极限展开题目与讲解

例 12　求幂指函数极限

求 ${lim}_{n \to \infty} (n] a + n] b 2)^{n}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 均为常数）。

解　由于

lim_{n \to \infty} (n] a + n] b 2)^{n} = lim_{n \to \infty} {[1 + (n] a + n] b 2 - 1)]^{\frac{1}{n] a + n] b 2 - 1}^{(n] a + n] b 2 - 1) n,}}}

而

lim_{n \to \infty} (n] a + n] b 2 - 1) n = lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (\frac{a^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} + \frac{b^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{2} (ln a + ln b) = \frac{1}{2} ln a b = ln \sqrt{a b},

所以，原式 $= e^{ln \sqrt{a b}} = \sqrt{a b}$ 。

例 13★★★☆☆证明题一致连续性证明展开题目与讲解

例 13　证明正弦函数一致连续

证明 $f (x) = sin x$ 在 $R$ 上一致连续。

证　由于

| sin x' - sin x'' | = | 2 cos \frac{x' + x''}{2} sin \frac{x' - x''}{2} | \leq 2 | \frac{x' - x''}{2} | = | x' - x'' | .

于是，任给 $ε > 0$ ， $x', x'' \in R$ ，要使 $| sin x' - sin x'' | < ε$ ，只要 $| x' - x'' | < ε$ 。取 $δ = ε$ ，当 $| x' - x'' | < δ$ 时，都有

| sin x' - sin x'' | < ε .

因此 $f (x) = sin x$ 在 $R$ 上一致连续。

例 14★★★☆☆证明题一致连续的证明展开题目与讲解

例 14　证明根号函数一致连续

证明 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上一致连续。

证　由

| \sqrt{x'} - \sqrt{x''} | = \frac{| x' - x'' |}{\sqrt{x'} + \sqrt{x''}} \leq \frac{| x' - x'' |}{\sqrt{| x' - x'' |}} (x' \neq x''),

得

| \sqrt{x'} - \sqrt{x''} |^{2} \leq | x' - x'' |,

即

| \sqrt{x'} - \sqrt{x''} | \leq | x' - x'' |^{\frac{1}{2}} .

于是，任给 $ε > 0$ ， $x', x'' \in [0, + \infty)$ ，要使 $| \sqrt{x'} - \sqrt{x''} | < ε$ ，只要 $| x' - x'' |^{\frac{1}{2}} < ε$ ，即 $| x' - x'' | < ε^{2}$ 。取 $δ = ε^{2}$ ，当 $| x' - x'' | < δ$ 时，都有

| \sqrt{x'} - \sqrt{x''} | < ε .

因此， $y = \sqrt{x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上一致连续。 $□$

例 15★★★★☆证明题不一致连续证明展开题目与讲解

例 15　证明不一致连续

证明 $y = sin \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上不一致连续。

分析　对 $x'$ ， $x''$ ，如何使 $| x' - x'' | \to 0$ ，且 $| sin \frac{1}{x'} - sin \frac{1}{x''} | \geq ε_{0}$ 呢？我们取

x_{n}' = \frac{1}{2 n π + \frac{π}{2}}, x_{n}'' = \frac{1}{2 n π},

有 $| x_{n}' - x_{n}'' | \to 0 (n \to \infty)$ ，但

| sin \frac{1}{x_{n}'} - sin \frac{1}{x_{n}''} | = 1 \geq ε_{0},

因此只要取 $ε_{0} \leq 1$ 即可。

证　存在 $ε_{0} = \frac{1}{2} > 0$ ，取

x_{n}' = \frac{1}{2 n π + \frac{π}{2}}, x_{n}'' = \frac{1}{2 n π} \in (0, 1],

有 ${lim}_{n \to \infty} | x_{n}' - x_{n}'' | = 0$ ，对无论多么小的 $δ > 0$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，有 $| x_{n}' - x_{n}'' | < δ$ ，但

| sin \frac{1}{x_{n}'} - sin \frac{1}{x_{n}''} | = 1 > \frac{1}{2} = ε_{0} .

因此， $y = sin \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上不一致连续。

例 8★★★★☆证明题零点定理应用展开题目与讲解

例 8　证明奇次多项式至少有一个根

设

P_{n} (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} (a_{0} \neq 0),

证明：当 $n$ 为奇数时， $P_{n} (x) = 0$ 在 $R$ 内至少有一个根。

证　不妨设 $a_{0} > 0$ 。由于

lim_{x \to + \infty} P_{n} (x) = lim_{x \to + \infty} x^{n} (a_{0} + a_{1} \frac{1}{x} + \dots + a_{n - 1} \frac{1}{x^{n - 1}} + a_{n} \frac{1}{x^{n}}) = + \infty,

由正无穷定义知，存在 $b > 0$ ，使 $P_{n} (b) > 0$ 。又

lim_{x \to - \infty} P_{n} (x) = lim_{x \to - \infty} x^{n} (a_{0} + a_{1} \frac{1}{x} + \dots + a_{n - 1} \frac{1}{x^{n - 1}} + a_{n} \frac{1}{x^{n}}) = - \infty,

由负无穷定义知，存在 $a < b$ ，使 $P_{n} (a) < 0$ 。由于 $P_{n} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $P_{n} (a) P_{n} (b) < 0$ ，所以，由根的存在定理知，至少存在一点 $ξ \in (a, b) \subset R$ ，使 $P_{n} (ξ) = 0$ 。即 $P_{n} (x) = 0$ 在 $R$ 内至少有一个根。 $□$

本章结构（对应教材）#

本章在考什么#

知识框架#

核心定义与定理#

函数极限的 ε-δ 定义

极限存在的充要条件

连续的定义

两个存在准则

闭区间上连续函数的四条性质

公式与结论速查#

等价无穷小（x→0）

两个重要极限与 1∞ 型公式

重难点#

易错点#

典型例题#

自测清单#

原书导读#

例题已掌握

例 1 求三个函数 y=x2 的定义域

例 2 判断每组两个函数是否相同

例 3 保险丝熔断电流与直径的关系表

例 4 自动记录气压计的曲线

例 5 心电图（EKG）显示的心率模式

例 6 取整函数 y=[x]

例 7 符号函数 y=sgnx

例 8 狄利克雷（Dirichlet）函数

例 9 判断 y=loga(x+1+x2) 的奇偶性

例 10 f(x)=x−[x] 的周期为 1

例 11 D(x) 是周期函数但无最小正周期

例 12 证明 f(x)=1x 在 (0,1] 上无界

例题已掌握

例 1 观察数列 {12n} 的变化趋势

例 2 观察数列 {1n} 的变化趋势

例 3 观察数列 {3+(−1)nn} 的变化趋势

例 4 数列 {n2} 不与任何常数无限接近

例 5 数列 {(−1)n} 不与任何常数无限接近

例 6 证明 limn→∞1nk=0

例 7 证明 limn→∞qn=0（|q|<1）

例 8 证明 limn→∞n]a=1（a>1）

例 9 证明 limn→∞ann!=0

例 10 证明 limn→∞n]n=1

例 11 极限四则运算不能用于无限项

例 12 证明 limn→∞n]a=1（a>0）

例 13 求有理分式的极限（m≤k）

例 14 求 limn→∞n]a1n+a2n+⋯+amn

例 15 求 limn→∞12⋅34⋯2n−12n

例 16 求 limn→∞(1+1n)β

例 17 判断数列 {sinnπ4} 的敛散性

例 18 证明 xn=c+c+⋯+c 收敛并求极限

例 19 判断数列 {(−1)n} 的敛散性

例 20 xn=2xn−13+13xn−12 的收敛性

例 21 用柯西准则证明 an=∑sink2k2 收敛

例 22 证明 an=1+12+⋯+1n 发散

例题已掌握

例 1 证明 limx→+∞ax=0（0<a<1）

例 2 证明 limx→−∞1xk=0（k>0）

例 3 证明 limx→1x2−1x2−x=2

例 4 证明 limx→x0m]f(x)=m]A

例 5 研究 f(x)=sgnx 在 x=0 处的极限

例 6 分段函数 f(x) 在 x=0 处的极限

例 7 证明 limx→0ax=1（a>1）

例 8 求 limx→1(1x−1−3x3−1)

例 9 求 limx→03]1+x2−x3

例 10 求 limx→1m]x−1n]x−1（m,n∈N+）

例 11 求 limx→0+x[1x]

例 12 证明 limx→+∞sinx 不存在

例 13 指明 x、x3、1x 中的无穷小量

例 14 求 limx→0xsin1x

例 15 求 limx→111−x2

例 16 求 limx→∞Pn(x)Qm(x)（n>m）

例 17 求 limx→01−cosxx2

例 17 limx→01−cosxx2

例 18 求 limx→0tanxx

例 18 limx→0tanxx

例 19 导出 x→0 时的三个等价无穷小

例 19 三个常用等价无穷小

例 20 求 limx→0(1−5x)1x

例 20 limx→0(1−5x)1x

例 21 求 limx→0(1+2sinx)cscx

例 21 limx→0(1+2sinx)cscx

等价无穷小（ $x \to 0$ ）

例 1　求三个函数 $y = x^{2}$ 的定义域

例 2　判断每组两个函数是否相同

例 3　保险丝熔断电流与直径的关系表

例 4　自动记录气压计的曲线

例 5　心电图（EKG）显示的心率模式

例 6　取整函数 $y = [x]$

例 7　符号函数 $y = sgn x$

例 8　狄利克雷（Dirichlet）函数

例 9　判断 $y = {log}_{a} (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 的奇偶性

例 10　 $f (x) = x - [x]$ 的周期为 1

例 11　 $D (x)$ 是周期函数但无最小正周期

例 12　证明 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0, 1]$ 上无界

例 1　观察数列 ${\frac{1}{2^{n}}}$ 的变化趋势

例 2　观察数列 ${\frac{1}{n}}$ 的变化趋势

例 3　观察数列 ${3 + \frac{(- 1)^{n}}{n}}$ 的变化趋势

例 4　数列 ${n^{2}}$ 不与任何常数无限接近

例 5　数列 ${(- 1)^{n}}$ 不与任何常数无限接近

例 6　证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$

例 7　证明 ${lim}_{n \to \infty} q^{n} = 0$ （ $| q | < 1$ ）

例 8　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ （ $a > 1$ ）

例 9　证明 ${lim}_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0$

例 10　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] n = 1$

例 11　极限四则运算不能用于无限项

例 12　证明 ${lim}_{n \to \infty} n] a = 1$ （ $a > 0$ ）

例 13　求有理分式的极限（ $m \leq k$ ）

例 14　求 ${lim}_{n \to \infty} n] a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{m}^{n}$

例 15　求 ${lim}_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2 n - 1}{2 n}$

例 16　求 ${lim}_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{β}$

例 17　判断数列 ${sin \frac{n π}{4}}$ 的敛散性

例 18　证明 $x_{n} = \sqrt{c + \sqrt{c + \dots + \sqrt{c}}}$ 收敛并求极限

例 19　判断数列 ${(- 1)^{n}}$ 的敛散性

例 20　 $x_{n} = \frac{2 x_{n - 1}^{3} + 1}{3 x_{n - 1}^{2}}$ 的收敛性

例 21　用柯西准则证明 $a_{n} = \sum \frac{sin k^{2}}{k^{2}}$ 收敛

例 22　证明 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ 发散

例 1　证明 ${lim}_{x \to + \infty} a^{x} = 0$ （ $0 < a < 1$ ）

例 2　证明 ${lim}_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0$ （ $k > 0$ ）

例 3　证明 ${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} = 2$

例 4　证明 ${lim}_{x \to x_{0}} m] f (x) = m] A$

例 5　研究 $f (x) = sgn x$ 在 $x = 0$ 处的极限

例 6　分段函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的极限

例 7　证明 ${lim}_{x \to 0} a^{x} = 1$ （ $a > 1$ ）

例 8　求 ${lim}_{x \to 1} (\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x^{3} - 1})$

例 9　求 ${lim}_{x \to 0} 3] 1 + x^{2} - x^{3}$

例 10　求 ${lim}_{x \to 1} m] x - 1 n] x - 1$ （ $m, n \in N_{+}$ ）

例 11　求 ${lim}_{x \to 0^{+}} x [\frac{1}{x}]$

例 12　证明 ${lim}_{x \to + \infty} sin x$ 不存在

例 13　指明 $x$ 、 $x^{3}$ 、 $\frac{1}{x}$ 中的无穷小量

例 14　求 ${lim}_{x \to 0} x sin \frac{1}{x}$

例 15　求 ${lim}_{x \to 1} \frac{1}{1 - x^{2}}$

例 16　求 ${lim}_{x \to \infty} \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ （ $n > m$ ）

例 17　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$

例 17　 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$

例 18　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$

例 18　 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$

例 19　导出 $x \to 0$ 时的三个等价无穷小

例 19　三个常用等价无穷小

例 20　求 ${lim}_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}}$

例 20　 ${lim}_{x \to 0} (1 - 5 x)^{\frac{1}{x}}$

例 21　求 ${lim}_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x}$

例 21　 ${lim}_{x \to 0} (1 + 2 sin x)^{csc x}$

例 22　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x^{2}}{x sin x^{2} \cdot tan 3 x}$

例 23　求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$

例 24　年利率 8%：每年付一次与每年付四次的差异

例 25　月复利 7% 与日复利 6.9% 哪种收益好

例 26　中奖 100 万：分期 25 万×4 还是一次付清 92 万

例 13　哪些是无穷小量

例 14　有界量乘无穷小量

例 15　用倒数求无穷大量

例 16　多项式之比的无穷大量

例 1　讨论分段函数在 $x = 0$ 处的连续性

例 2　讨论 $x = 0$ 处的连续性

例 3　证明三角函数在 R 上连续

例 4　 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ 的可去间断点

例 5　 $\frac{1}{x}$ 的第二类间断点

例 6　复合函数求极限

例 7　利用连续性求极限

例 9　证明指数函数连续

例 10　求初等函数分式的极限

例 11　求含反三角函数的极限