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共 449 道

• 自编P-001
  求曲线 $y=arccosx$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处的切线方程。
  $arccos$ 的导数是负的，函数值又落在第二象限——两个容易出错的地方叠在同一题里。若把 $arccos(-\frac{1}{2})$ 误算成 $\frac{\pi }{3}$，整条切线就整体平移了。
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• 自编P-002
  用反函数的求导法则推导 $\left(\text{arccot}x\right)\prime =-\frac{1}{1+x^2}$，并写清 $y$ 的取值范围。
  关键在主值区间选 $(0,\pi )$ 而不是 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$——$cot$ 的周期是 $\pi$，取错区间会导致反函数不单调。
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• 自编P-003
  判断 $y=arcsinx$ 在 $x=1$ 处是否可导，并说明理由。
  「定理失效」不等于「一定不可导」，必须再补一步。本题恰好两者都指向不可导，但答题时要把逻辑说全。
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• 自编P-004
  设 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ ax+b,& x>1\end{array}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。
  顺序不能反：先连续、后可导。只写「两侧导数相等」会漏掉一个条件，$b$ 就定不出来。
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• 自编P-005
  求 $y=(1+x^2)arctanx$ 的导数。
  第二项恰好约掉，是命题人故意设计的。如果算完还留着一坨分式，说明 $(arctanx)\prime$ 记错了。
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• 自编P-006
  求 $y=\frac{arctanx}{x}(x\ne 0)$ 的导数。
  分子通分这一步别省，直接写成两个分式相减容易在化简时丢项。
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• 自编P-007
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$。
  分子是「两项相减」，等价替换会归零，必须展开到二阶。这与 $\frac{tanx-sinx}{x^3}$ 是同一类陷阱。
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• 自编P-008
  求 ${\text{lim}}_{x\to \infty }(1+\frac{2}{x}{)}^{3x}$。
  指数上的因子要整体凑，$(1+\frac{2}{x}{)}^x\to e^2$，再乘 $3$ 才是 $e^6$。写成 $e^2$ 是最常见的失分。
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• 自编P-009
  讨论 $f\left(x\right)=\frac{sinx}{\left|x\right|}$ 在 $x=0$ 处的连续性，若是间断点，指出类型。
  第一类的判据是「左右极限都存在」，再分「相等→可去」「不等→跳跃」。只看到 $\left|x\right|$ 就答「不可导」属于答错问题——本题问的是连续性。
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• 作业Week 1 第7题
  设 $f(x+\frac{1}{x})=x^2+\frac{1}{x^2}$，求 $f\left(x\right)$。
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• 作业Week 1 第8题
  设 $f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}(x>0)$，求 $f\left(x\right)$。
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• 作业Week 1 第19(2)题
  求 $y=\sqrt{1-x^2}(-1\le x\le 0)$ 的反函数。
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• 作业Week 1 第19(3)题
  求 $y=\{\begin{array}{ll}x,& x<1\\ x^2,& 1\le x\le 4\\ 2^x,& x>4\end{array}$ 的反函数。
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• 作业Week 1 第19(4)题
  求 $y=\text{exception 25:}$ 的反函数。
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• 作业Week 1 第20题
  $\phi \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ x,& x>0\end{array}$，$\psi \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ -x^2,& x>0\end{array}$，求四个复合。
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• 作业Week 1 第21题
  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|x\right|\le 1\\ 0,& \left|x\right|>1\end{array}$，求 $f\left(f\right(x\left)\right)$。
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• 作业Week 1 第23(2)题
  判断奇偶性：$f\left(x\right)=\text{exception 25:}$。
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• 作业Week 1 第23(4)题
  判断奇偶性：$f\left(x\right)=ln\frac{1-x}{1+x}$。
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• 作业Week 1 第25(2)题
  判断是否周期函数，并求最小正周期：$f\left(x\right)=sinx+\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{3}sin3x$。
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• 作业Week 1 第25(5)题
  判断是否周期函数：$f\left(x\right)=sin{x}^2$。
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• 作业Week 1 第25(6)题
  判断是否周期函数，并求最小正周期：$y={sin}^{4}x+{cos}^{4}x$。
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• 作业Week 1 第27(1)题
  判断有界性：$y=|sinx|e^{cosx}$。
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• 作业Week 1 第27(2)题
  判断有界性：$y=\frac{x}{1+x^2}$。
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• 作业Week 1 第27(3)题
  判断有界性：$y=sin\frac{1}{x}$。
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• 作业Week 1 第27(4)题
  判断有界性：$y=e^{\frac{1}{x}}$。
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• 作业Week 2 第2(2)题
  用定义证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{\sqrt{n}sinn!}{(n+1{)}^2}=0$。
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• 作业Week 2 第2(4)题
  用定义证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{n}{a^n}=0(a>1)$。
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• 作业Week 2 第3题
  若 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$，证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_{n+m}=a$（$m$ 为固定正整数）。
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• 作业Week 2 第4题
  证明 $\text{lim}{a}_n=a\Rightarrow \text{lim}\left|a_n\right|=\left|a\right|$；反之是否成立？若 $a=0$ 呢？
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• 作业Week 2 第7(3)题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{1+a+a^2+\cdots +a^n}{1+b+b^2+\cdots +b^n}\left(\right|a|<1,|b|<1)$。
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• 作业Week 2 第7(5)题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{1^2+2^2+\cdots +(n-1{)}^2}{n^3}$。
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• 作业Week 2 第7(6)题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)})$。
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• 作业Week 2 第8(1)题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{\sqrt{1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots +\frac{\sqrt{n(n+1)}}{n^2+n})$。
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• 作业Week 2 第8(4)题
  证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\left[\right(n+1{)}^a-n^a]=0(0<a<1)$。
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• 作业Week 2 第8(5)题
  证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n!}}=0$。
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• 作业Week 2 第9(2)题
  设 $x_{n+1}=\frac{k{x}_n+a/x_n^k}{k+1}(a>0,k\in \mathbb{N})$，证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛并求极限。
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• 作业Week 2 第9(3)题
  设 $x_1=\sqrt{5}$，$x_n=\sqrt{5+x_{n-1}}$，证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛并求极限。
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• 作业Week 2 第p72 3(4)题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n+n})$。
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• 作业Week 3 第10题
  设 $\left\{x_n\right\}$ 递增、$\left\{y_n\right\}$ 递减，且 $\text{lim}(x_n-y_n)=0$，证明二者极限存在且相等。
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• 作业Week 3 第11题
  设 $x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2}$，$y_n=\sqrt{x_{n-1}{y}_{n-1}}$，$0<y_1<x_1$，证明二者极限存在且相等。
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• 作业Week 3 第12题
  设 $x_{n+1}=\sqrt{b+x_n}(b>0)$，$x_1=a>0$，讨论收敛性并求极限。
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• 作业Week 3 第13(1)(2)(3)题
  证明下列数列收敛：(1) $\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{n+9}{2n+1}$；(2) $\frac{x_n}{x_{n-1}}=1-\frac{1}{2n}$；(3) $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}$。
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• 作业Week 3 第14题
  若存在 $q\in (0,1)$ 与 $N$，使 $n>N$ 时 $\left|a_{n+1}\right|\le q\left|a_n\right|$，证明 $\text{lim}{a}_n=0$。
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• 作业Week 3 第1(2)(4)(5)题
  用定义证明：(2) ${\text{lim}}_{x\to 1}{x}^2=1$；(4) ${\text{lim}}_{x\to +\infty }\frac{1}{2^x}=0$；(5) ${\text{lim}}_{x\to \infty }\frac{sinx}{x}=0$。
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• 作业Week 3 第2、3、4题
  2. 证明 Dirichlet 函数 $D\left(x\right)$ 在每点极限不存在。3. 由左右极限判断 $f$ 在 $x=1$ 的极限。4. 由左右极限相等求 $a$。
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• 作业Week 3 第5(1)(2)(3)(4)题
  用海涅定理证明下列极限不存在：(1) ${\text{lim}}_{x\to +\infty }sin\sqrt{x}$；(2) ${\text{lim}}_{x\to 0}sin\frac{1}{x}$；(3) ${\text{lim}}_{x\to +\infty }xsinx$；(4) ${\text{lim}}_{x\to 0}{e}^{1/x}$。
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• 作业Week 3 第8(2)(3)(4)(5)(8)题
  求极限：(2) ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^5-(1+5x)}{x^2+x^5}$；(3) ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(1+mx{)}^n-(1+nx{)}^m}{x^2}$；(4) ${\text{lim}}_{x\to \infty }\frac{(2x-3{)}^{20}(3x+2{)}^{30}}{(2x+1{)}^{50}}$；(5) 含 $x^{n(n+1)/2}$ 的分式；(8) ${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1{)}^2}$。
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• 作业Week 3 第8(7)题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^4-4x+3}$。
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• 作业Week 3 第8(9)题
  求极限：${\text{lim}}_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x-\sqrt{x}}}$
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• 作业Week 3 第8(10)题
  求极限：${\text{lim}}_{x\to 4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x}-2}$
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• 作业Week 3 第8(11)题
  求极限：${\text{lim}}_{x\to a^{+}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}(a>0)$
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• 作业Week 3 第8(14)题
  求极限：${\text{lim}}_{x\to +\infty }(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})$
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• 作业Week 3 第13题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\text{exception 25:}}$。
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• 作业Week 4 第9(2)—9(6)题
  求极限：(2) $\frac{sin5x-sin3x}{sinx}$；(3) $(1-x)tan\frac{\pi x}{2}$；(4) $\frac{tanx-tana}{x-a}$；(5) $\frac{\sqrt{1-cos{x}^2}}{1-cosx}$；(6) $\frac{1-\sqrt{cosx}}{1-cos\sqrt{x}}$。
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• 作业Week 4 第9(8)(9)题
  (8) ${\text{lim}}_{x\to \infty }(\frac{x+a}{x-a}{)}^x$；(9) ${\text{lim}}_{x\to 0}({cos}^{2}x{)}^{\frac{1}{2{sin}^{2}x}}$。
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• 作业Week 4 第12(1)(3)题
  证明等价无穷小：(1) $cosx\sim 1-\frac{x^2}{2}$；(3) $1-cost\sim \frac{t^2}{2}$。
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• 作业Week 4 第13题
  证明 $\alpha \sim \beta \iff \alpha =\beta +o\left(\beta \right)$。
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• 作业Week 4 第14题
  若 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(1+a{x}^2{)}^{1/3}-1}{cosx-1}=1$，求 $a$。
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• 作业Week 4 第15(1)(2)(3)题
  用定义证明：(1) ${\text{lim}}_{x\to +\infty }{x}^k=+\infty$；(2) ${\text{lim}}_{x\to +\infty }lnx=+\infty$；(3) ${\text{lim}}_{x\to 0^{+}}lnx=-\infty$。
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• 作业Week 4 第16(1)(2)(3)题
  求极限：(1) $\frac{\sqrt{1+{tan}^{2}x}-1}{xsinx}$；(2) $\frac{sin\left({tan}^{2}x\right)}{\text{exception 25:}}$；(3) $\frac{(1-\sqrt{cosx})tanx}{(1-cosx{)}^{3/2}}$。
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• 作业Week 4 第3(5)(7)(10)(11)题
  指出下列函数的间断点类型：(5) $\frac{sinx}{\left|x\right|}$，$x=0$；(7) $arctan\frac{1}{x}$，$x=0$；(10) ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{x^n}{1+x^n}$，$x=1$；(11) ${\text{lim}}_{t\to +\infty }\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}$，$x=0$。
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• 作业Week 4 第4、5题
  4. 由连续性求 $a$。5. 设 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}a,& x\le 0\\ \frac{sinbx}{x},& x>0\end{array}$ 在 $x=0$ 连续，求 $a,b$ 的关系。
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• 作业Week 4 第6题
  设 $f\left(x\right)=\frac{sin2x+e^{2ax}-1}{x}(x\ne 0)$，$f\left(0\right)=a$，求 $a$ 使其在 $0$ 处连续。
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• 作业Week 4 第8、9(2)(3)、10(2)、11题
  8. 证明 $f$ 连续则 $\left|f\right|$ 连续。9(2)(3). 证明方程有无穷多零点。10(2). 开区间端点极限异号时存在零点。11. $f:[0,1]\to [0,1]$ 连续，证明存在不动点。
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• 作业Week 4 第12(1)—(9)题
  求极限：(1) $\frac{(1+\alpha x{)}^a-(1+\beta x{)}^b}{x}$；(2) $\frac{x^{\alpha }-a^{\alpha }}{x^{\beta }-a^{\beta }}$；(3) $(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}{)}^{1/x}$；(4) $\frac{ln(1+3^x)}{ln(1+2^x)}$；(6) $\frac{\sqrt{1+xsinx}-1}{e^{x^2}-1}$；(7) $(2e^{\frac{x}{x+1}}-1{)}^{\frac{x^2+1}{x}}$；(8) $sinln(x+1)-sinlnx$；(9) $(1+\frac{x+x^2+\cdots +x^n}{n}{)}^n$。
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• 作业Week 5 第7(2)题
  按定义求 $f\left(x\right)=e^{-\left|x\right|}$ 在 $x=0$ 处的导数。
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• 作业Week 5 第7(3)题
  按定义求 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& x\le 1,\\ 2x^3+1,& x>1\end{array}$ 在 $x=1$ 处的导数。
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• 作业Week 5 第8(2)题
  用导数定义求 $f\left(x\right)=tanx$ 的导函数。
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• 作业Week 5 第8(3)题
  用导数定义求 $f\left(x\right)=arcsinx$ 的导函数。
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• 作业Week 5 第9题
  设 $f\left(x\right)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3$，求 $f\prime \left(1\right)$，$f\prime \left(2\right)$，$f\prime \left(3\right)$。
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• 作业Week 5 第10题
  设 $f\left(x\right)=x+(x-1)arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，求 $f\prime \left(1\right)$。
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• 作业Week 5 第18题
  $y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第21题
  $y=\frac{1}{1+\sqrt{x}}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第31题
  $y=sec\frac{x+1}{2}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第34题
  $y=cos\sqrt{x}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第35题
  $y=\frac{1}{2}sin{x}^2$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第36题
  $y={sin}^2\frac{x}{2}+{cos}^2\frac{x}{2}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第37题
  $y={sin}^{4}x{cos}^{4}x$，求 $y\prime$。
  看解答
• 作业Week 5 第38题
  $y=\frac{sin2x}{1+cos2x}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第43题
  $y=\text{exception 25:}$，求 $y\prime$。
  看解答
• 作业Week 5 第51题
  $y=cos\sqrt{x}+\sqrt{cosx}+\sqrt{cos\sqrt{x}}$，求 $y\prime$。
  看解答
• 作业Week 5 第52题
  $y=tan\frac{x}{2}+lntan\frac{x}{2}+\sqrt{lntan\frac{x}{2}}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第54题
  $y=ln(secx+tanx)$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第64题
  $y=(\frac{a}{b}{)}^x+(\frac{b}{x}{)}^b+(\frac{x}{a}{)}^a$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第69题
  $y=x^x+x^{\frac{1}{x}}$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第74题
  设 $y=f\left[f\right(sin\frac{x}{2}\left)\right]$，求 $\frac{dy}{dx}$。
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• 作业Week 5 第77题
  设 $y=1+x{e}^y$，求 $\frac{dy}{dx}$。
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• 作业Week 5 第79题
  设 $e^{x}cosy-e^{-y}cosx=0$，求 $\frac{dy}{dx}$。
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• 作业Week 5 第81(3)题
  求曲线 $e^{xy}-x^2+y^3=0$ 在 $x=0$ 所对应点处的切线方程与法线方程。
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• 作业Week 5 第82(2)题
  $y=x\left|x\right(x-1\left)\right|$，求 $y\prime$。
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• 作业Week 5 第综合2题
  若 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{n^a}{n^b-(n-1{)}^b}=1995$，求常数 $a,b$。
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• 作业Week 5 第综合9题
  若 $f\left(x\right)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且极限 ${\text{lim}}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)$、${\text{lim}}_{x\to b^{-}}f\left(x\right)$ 都存在，证明 $f\left(x\right)$ 在 $(a,b)$ 内有界。
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• 作业Week 5 第综合13题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $a\le f\left(x\right)\le b$，证明：存在 $\xi \in [a,b]$，使 $f\left(\xi \right)=\xi$。
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• 小测第一次小测 第1题
  当 $x\to 1$ 时，$\alpha \left(x\right)=1-sin\frac{\pi x}{2}$ 与 $\beta \left(x\right)=A(x-1{)}^n$ 为等价无穷小量，则　A. $A=\frac{{\pi }^2}{2},n=1$　B. $A=\frac{{\pi }^2}{8},n=2$　C. $A=\frac{\pi }{2},n=1$　D. $A=\frac{{\pi }^2}{4},n=2$
  我的答案 B
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• 小测第一次小测 第2题
  设 $f\left(x\right)=(e^x-1)(e^x-2)\cdots (e^x-2026)$，则 $f\prime \left(0\right)=$　A. $2025!$　B. $-2026!$　C. $-2025!$　D. $2026!$
  我的答案 C
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• 小测第一次小测 第3题
  下列陈述正确的是　A. 实数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛 $\iff$ 对 $\forall m\in {\mathbb{N}}_{+}$，有 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }(a_{n+m}-a_n)=0$　B. 对数列 $\left\{a_n\right\}$，若 $\{a_n^2-a_n\}$ 有界，则 $\left\{a_n\right\}$ 必有界　C. 对实数列 $\left\{a_n\right\}$，若 $\left\{a_n^3\right\}$ 收敛，则 $\left\{a_n\right\}$ 必收敛　D. 设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n-\frac{6}{a_n+2}$，则 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{a}_n=1$
  我的答案 ABC
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• 小测第一次小测 第4题
  函数 $f\left(x\right)=|x-1{|}^{\frac{1}{x(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数为　A. $0$　B. $2$　C. $3$　D. $1$
  我的答案 C
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• 小测第一次小测 第5题
  下述关于极限计算错误的是　A. ${\text{lim}}_{x\to +\infty }(\frac{x+5}{x+3}{)}^x=e^2$　B. ${\text{lim}}_{x\to -\infty }(1-2x{)}^{1/x}=e^2$　C. ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{2x+1}{x+1}{)}^{1/x}=e^3$　D. ${\text{lim}}_{x\to +\infty }(1+x{)}^{1/x}=e$
  我的答案 BCD
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• 小测第一次小测 第6题
  当 $x<0$ 时，$tan(arccosx)=$　A. $-\sqrt{1-x^2}$　B. $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$　C. $\sqrt{1-x^2}$　D. $-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
  我的答案 D
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• 小测第一次小测 第7题
  下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是　A. $f\left(x\right)=(1-x)sin\left|x\right|$　B. $f\left(x\right)=xcos\left|x\right|$　C. $f\left(x\right)=cos\left|x\right|$　D. $f\left(x\right)=\left|x\right|sinx$
  我的答案 AD
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• 小测第一次小测 第8题
  已知数列 $\left\{a_n\right\}$（$a_n\in ℝ$，$a_n\ne 0$），若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则　A. 数列 $\{e^{a_n}-e^{-a_n}\}$ 发散　B. 数列 $\{a_n-\frac{1}{a_n}\}$ 发散　C. 数列 $\{e^{a_n}+e^{-a_n}\}$ 发散　D. 数列 $\{a_n+\frac{2}{a_n}\}$ 发散
  我的答案 ABCD
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• 小测第一次小测 第9题
  ${\text{lim}}_{x\to \infty }x(\text{exception 25:}$　A. $1$　B. $6$　C. $3$　D. $2$
  我的答案 C
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• 小测第一次小测 第10题
  下列陈述错误的是　A. 若 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的某邻域内连续　B. 对实数列 $\left\{a_n\right\}$，若 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{a}_n=+\infty$，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 一定存在最小项　C. 若 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上存在反函数，则 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调　D. 不存在定义在 $ℝ$ 上只有一点连续的函数
  我的答案 AD
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• 试卷期中 2015-2016 第1题
  已知摆线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=a(\theta -sin\theta )\\ y=a(1-cos\theta )\end{array}(a>0)$，求参数为 ${\theta }_0$ 的一点处曲率 $k$。
  也可以先算 $\frac{dy}{dx}=\frac{sin\theta }{1-cos\theta }$ 再套 $k=\frac{|y\prime \prime |}{(1+y{\prime }^2{)}^{3/2}}$，结果相同。验证：${\theta }_0=\pi$ 时 $k=\frac{1}{4a}$，与摆线顶点曲率半径 $4a$ 一致。
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• 试卷期中 2015-2016 第2题
  计算 ${\text{lim}}_{n\to \infty }nln\left[\right(1+\frac{1}{n^2+1}\left)\right(1+\frac{1}{n^2+2})\cdots (1+\frac{1}{n^2+n}\left)\right]$。
  这类「$n$ 项连乘再开 $n$ 次方 / 乘 $n$」的题，标准动作是取对数化成和，再用 $ln(1+t)$ 的双侧估计。
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• 试卷期中 2015-2016 第3题
  计算函数极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{x-arctanx}{sinx-tanx}$。
  分母两项同为 $x$ 阶、相减后主项抵消，必须展开到三阶——这正是「加减不能随意等价替换」的典型场面。
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• 试卷期中 2015-2016 第4题
  已知 $y=(x+\sqrt{x^2+2}{)}^{\frac{1}{x}}+(arcsin2x{)}^{\frac{1}{4}}$，求 $\frac{dy}{dx}$。
  幂指函数一律写成 $e$ 的指数再求导，别套 $x^a$ 或 $a^x$ 的公式。
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• 试卷期中 2015-2016 第5题
  计算极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{1}{{sin}^2\left(\pi \sqrt{n^2+3n}\right)}$。
  关键是把根号里的 $n$ 提出来，让 $\pi n$ 的整数部分与「小数部分」分离，再用 $sin(\pi n+\alpha )=(-1{)}^{n}sin\alpha$ 消去 $(-1{)}^n$（平方后消失）。
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• 试卷期中 2015-2016 第6题
  设 $y=y\left(x\right)$ 的反函数 $x=x\left(y\right)$ 满足 $\frac{dx}{dy}\ne 0$、$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\ne 0$，将方程 $\frac{d^{2}x}{d{y}^2}+y(\frac{dx}{dy}{)}^3+\frac{d^{3}x}{d{y}^3}=0$ 变换为关于 $y=y\left(x\right)$ 的方程。
  三个转换公式要背：$x\prime =1/y\prime$，$x\prime \prime =-y\prime \prime /(y\prime {)}^3$，$x\prime \prime \prime =\left[3\right(y\prime \prime {)}^2-y\prime y\prime \prime \prime ]/(y\prime {)}^5$。推导方法都是「对 $x$ 求导再乘 $dx/dy$」。
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• 试卷期中 2015-2016 第7题
  设 $f\left(x\right)=xln(x+\sqrt{1+x^2})$，求 $f^{\left(2014\right)}\left(0\right)$。
  求 $f^{\left(n\right)}\left(0\right)$ 的通法：把 $f$ 展成幂级数，$f^{\left(n\right)}\left(0\right)=n!\cdot \left[x^n\right]$ 的系数。这里先求两阶导把 $ln$ 消掉，剩下的两个二项式展开都是标准形式。
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• 试卷期中 2015-2016 第8题
  奇函数 $f\left(x\right)$ 在 $[-1,1]$ 上有二阶导数，且 $f\left(1\right)=k(k>0)$。证明：(1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使 $f\prime \left(\xi \right)=k$；(2) 存在 $\eta \in (-1,1)$，使 $f\prime \prime \left(\eta \right)+f\prime \left(\eta \right)=k$。
  看到 $f\prime \prime +f\prime$ 就要想到 $(e^{x}f\prime )\prime =e^x(f\prime \prime +f\prime )$——把 $k$ 也塞进去就是 $G=e^x(f\prime -k)$。第二步的另一个零点来自对称性（奇函数在 $[-1,0]$ 上也取到斜率 $k$）。
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• 试卷期中 2015-2016 第9题
  设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$，${\text{min}}_{x\in [0,1]}f\left(x\right)=-1$，证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f\prime \prime \left(\xi \right)\ge 8$。
  「证存在某点使 $f\prime \prime \ge 8$」的套路：在极值点展开，把 $f\prime \prime$ 用端点条件解出来，再对 $c$ 取最坏情形。$8$ 这个数就是 $2/(1/2{)}^2$。
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• 试卷期中 2015-2016 第10题
  （1）若 (a) $y_{n+1}>y_n$，(b) ${\text{lim}}_{n\to \infty }{y}_n=+\infty$，(c) ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$ 存在，证明 $\text{lim}\frac{x_n}{y_n}=\text{lim}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$。（2）求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{n\cdot 1^p+(n-1)\cdot 3^p+\cdots +1\cdot (2n-1{)}^p}{1^{p+1}+2^{p+1}+\cdots +n^{p+1}}(p>0)$。
  第（2）问的难点是看出该用 Stolz：分母是 $\sum k^{p+1}$，分子是带权求和，一差分就变成 $\sum (2k-1{)}^p$，正好可用积分/幂和估计。
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• 试卷期中 2016-2017 第1题
  求 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }\frac{e^x+cosx}{e^x+sinx}$。
  见到 $e^x$ 就把分子分母同除它，剩下「有界量乘无穷小」直接归零；这里用洛必达反而会陷入循环。
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• 试卷期中 2016-2017 第2题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0^{+}}\frac{1-\sqrt{cosx}}{x(1-cos\sqrt{x})}$。
  两层「$1-cos$」的 $u$ 一个是 $x$、一个是 $\sqrt{x}$，量级差一个 $\sqrt{x}$，这是全题唯一的坑。
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• 试卷期中 2016-2017 第3题
  求 ${\text{lim}}_{x\to -\infty }x(\sqrt{x^2+100}+x)$。
  $x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=-x$ 而不是 $x$，符号一错答案就变成 $+50$；写成 $\frac{100}{\sqrt{x^2+100}-x}$ 再上下同除 $\left|x\right|$ 最稳。
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• 试卷期中 2016-2017 第4题
  试确定常数 $k,c$，使得当 $x\to +\infty$ 时，$arcsin(\sqrt{x^2+\sqrt{x}}-x)\sim \frac{c}{x^k}$。
  先把 $\infty -\infty$ 有理化看清新阶数，再套 $arcsinu\sim u$；$k$ 不一定是整数，别硬凑成 $k=1$。
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• 试卷期中 2016-2017 第5题
  求极限 ${\text{lim}}_{t\to x}(\frac{sint}{sinx}{)}^{\frac{x}{sint-sinx}}$，记此极限为 $f\left(x\right)$，求 $f\left(x\right)$ 的间断点并指出其类型。
  幂指函数一律先取对数化成 $e^{x/sinx}$；$x=0$ 处因为 $\frac{x}{sinx}\to 1$ 属于可去间断，最容易被误判成无穷间断。
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• 试卷期中 2016-2017 第6题
  求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\text{exception 25:}$，其中 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 均为正常数。
  下界取最大项、上界把每一项都放大成 $M^n$ 再开方，两头夹到 $M$，是这类「$n$ 次根号下 $n$ 次幂之和」的固定套路。
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• 试卷期中 2016-2017 第7题
  设 $y=\frac{1}{4}ln\frac{x^2-1}{x^2+1}$，求 $y\prime$。
  对数里是商就先拆成差再求导，能省掉一大串链式法则；写答案时记得化简成 $\frac{x}{x^4-1}$，别停在四个分式相加。
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• 试卷期中 2016-2017 第8题
  设 $f\left(x\right)=xarctan\frac{1}{x^2}$（$x\ne 0$），$f\left(0\right)=0$，讨论 $f\prime \left(x\right)$ 的连续性。
  分段点的导数只能用定义算，不能把 $x\ne 0$ 的表达式直接代 $x=0$；算完务必回头比 ${\text{lim}}_{x\to 0}f\prime \left(x\right)$ 与 $f\prime \left(0\right)$，两者相等才连续。
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• 试卷期中 2016-2017 第9题
  设 $f\left(x\right)=a_{1}sinx+a_{2}sin2x+\cdots +a_{n}sinnx$，其中 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 均为实数，又 $\left|f\right(x\left)\right|\le |sinx|$，证明 $|a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n|\le 1$。
  关键是「除以 $sinx$ 再令 $x\to 0$」把系数和变成 $f\prime \left(0\right)$；不要试图对 $f$ 求高阶导或逐项估计，那是绕远路。
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• 试卷期中 2016-2017 第10题
  设 $y=f(x+y)$，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 $1$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  隐函数求二阶导的通用套路：先解出 $y\prime$，再对 $x$ 求导时把 $y\prime$ 用回代消掉；漏掉 $(x+y)\prime$ 里的 $y\prime$ 是本题最常见失分点。
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• 试卷期中 2016-2017 第11题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由 $x=arctant$ 与 $2y-t{y}^2+e^t=5$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$。
  参数方程求导是 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$，两个导数分别算再相除；$t{y}^2$ 求导出两项，$e^t$ 别丢。
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• 试卷期中 2016-2017 第12题
  设 $f\left(x\right)=3x^3+x^2\left|x\right|$，则使 $f^{\left(n\right)}\left(0\right)$ 存在的最高阶数 $n$ 为何值。
  $x^2\left|x\right|$ 是 $O\left(x^3\right)$，所以在 $0$ 处前三阶里只有三阶会「断」；必须逐阶用定义算到左右极限不等，凭感觉猜 $n=1$ 或 $n=3$ 都会错。
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• 试卷期中 2016-2017 第13题
  设 $y=x^{x^x}$（$x>0$），求 $y\prime$。
  三层幂指要「剥洋葱」：最外层取对数，中间层 $x^x$ 单独求导（它是 $lnu=xlnx$ 型），漏掉 $\frac{x^x}{x}$ 这一项是典型错误。
  看解答
• 试卷期中 2016-2017 第14题
  设 $x=g\left(y\right)$ 为 $y=f\left(x\right)$ 的反函数，试由 $f\prime \left(x\right),f\prime \prime \left(x\right),f\prime \prime \prime \left(x\right)$ 计算 $g\prime \prime \left(y\right),g\prime \prime \prime \left(y\right)$。
  每一步「对 $y$ 求导」都要换成「先对 $x$ 求导、再乘 $1/f\prime \left(x\right)$」，这个因子漏一次，阶数越高错得越离谱。
  看解答
• 试卷期中 2016-2017 第15题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $[0,1]$ 上可微，$\forall x\in [0,1]$ 有 $0<f\left(x\right)<1$ 且 $f\prime \left(x\right)\ne 1$，证明在 $(0,1)$ 内有且仅有一个 $x$，使 $f\left(x\right)=x$。
  「有且仅有一个」必须写成两段：零点定理管存在，罗尔定理反证管唯一；只证存在通常只能拿一半分。
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• 试卷期中 2016-2017 第16题
  叙述拉格朗日中值定理，并证明拉格朗日中值定理。
  辅助函数就是「曲线减弦」，写 $F\left(a\right)=F\left(b\right)=0$ 即可套罗尔；叙述定理时三个条件（闭区间连续、开区间可导、$\xi$ 取在开区间内）缺一不可，背漏一个就扣分。
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• 试卷期中 2017-2018 第1题
  函数 $y=arcsinx$ 的定义域是 ______，值域是 ______。
  值域误写成 $[-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,\pi ]$ 是本题最大陷阱，反三角函数的值域必须与主值区间一起背。
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• 试卷期中 2017-2018 第2题
  三角函数差化积：$sinx-siny=$ ______。
  系数 $2$ 与两个半角哪个配 $cos$、哪个配 $sin$ 最易记混，考场上代一组特殊角即可立刻自查。
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• 试卷期中 2017-2018 第3题
  ${\text{lim}}_{n\to \infty }\text{exception 25:}$ ______。
  提出最大底数 $5$ 一步到位；答成 $3+4+5=12$ 或 $4$ 都是没抓住“最大项支配”这一本质。
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• 试卷期中 2017-2018 第4题
  设 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }(ax+b+\sqrt{x^2+2x+3})=2017$，则 $a=$ ______，$b=$ ______。
  先令 $x$ 的一次项系数为零，再读常数项；$\sqrt{x^2+2x+3}$ 展开中的那个 $1$ 若漏掉，$b$ 就会错成 $2017$。
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• 试卷期中 2017-2018 第5题
  设 $f\left(x\right)=x^3$（当 $x\le 1$），$f\left(x\right)=ax+b$（当 $x>1$）。若 $f\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处可导，则 $a=$ ______，$b=$ ______。
  两条件缺一不可：先连续给一个方程，再导数相等给第二个方程；只写 $a=3$ 不验连续是最常见的失分。
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• 试卷期中 2017-2018 第6题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{lnn}{n}$。
  数列不能直接对 $n$ 用洛必达，必须先转成函数极限再回到数列；这一步写出来才严谨。
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• 试卷期中 2017-2018 第7题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{(1+2n)(3+4n)}{(n+1)(n+2)}$。
  最高次系数之比 $\frac{2\cdot 4}{1\cdot 1}=8$ 可秒答，但卷面要写清“同除 $n^2$”的过程。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第8题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n})$。
  把分母统一放缩到 $n^2+1$ 与 $n^2+n$，再用等差数列求和，是“$n$ 项和”类极限的定式；逐项求极限必错。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第9题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{2sinx-sin2x}{x^3}$。
  先把 $sin2x$ 拆成 $2sinxcosx$ 提出公因子，再配 $(1-cosx)/x^2$；对两项分别做泰勒展开极易把 $x^3$ 项算错。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第10题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\text{exception 25:}}{}$。
  两个根式指数不同（$\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{3}$），必须都展开到一次项；说成“都等价于 $1$”就只剩 $0$ 了。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第11题
  求 ${\text{lim}}_{x\to \infty }(\frac{1+x}{2+x}{)}^x$。
  底数要化成 $1+u$ 的标准形再套重要极限；取对数后乘的系数是 $\frac{x}{x+2}\to 1$，而 $ln$ 带来负号，符号别丢。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第12题
  设 $y=tanx+arctanx$，求 $\frac{dy}{dx}$。
  $arctanx$ 的导数恒正，别记成带负号的版本；${sec}^{2}x$ 也不必再化成 $\frac{1}{{cos}^{2}x}$，写着反而易错。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第13题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x=ln(1+2t)$，$y=t+t^2$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$ 与 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  二阶导要“再对 $t$ 求导、再除以 $\frac{dx}{dt}$”，漏掉除以 $\frac{dx}{dt}$ 是参数方程题的头号错误。
  看解答
• 试卷期中 2017-2018 第14题
  设 $y=x^2{2}^x$，求 $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$（$n\ge 2$）。
  莱布尼茨只保留 $k=0,1,2$ 三项；结果里出现 $(ln2{)}^{n-2}$，须声明 $n\ge 2$，否则 $n=1$ 时无意义。
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• 试卷期中 2017-2018 第15题
  设 $y\left(x\right)=(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$，求 $dy$。
  幂指函数一律“先取对数再求导”；商法则中 $\frac{x}{1+x}$ 与 $ln(1+x)$ 的先后顺序写反是高频错误。
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• 试卷期中 2017-2018 第16题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^2+xy+y^2=7$ 所确定，求 $dy$ 在点 $(1,2)$ 处的值。
  不必先解出 $y$ 的显式再求导；直接把点代入微分式最省事，但末尾的 $dx$ 不能丢。
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• 试卷期中 2017-2018 第17题
  用函数极限的定义证明 ${\text{lim}}_{x\to \frac{1}{2}}\frac{1}{x}=2$。
  $\epsilon$-$\delta$ 证明的固定套路是“先放大成 $M|x-x_0|$，再用 $\delta$ 不超过某个常数保证 $M$ 有界”；只写 $\delta =\frac{\epsilon }{8}$ 而不说明 $x$ 有正下界，逻辑不完整。
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• 试卷期中 2017-2018 第18题
  设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$，证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 无界。
  “无界”只需找出一列下标使部分和超过任意 $M$，不必证明它趋于 $+\infty$；分组时要说清每组有 $2^{k-1}$ 项、且每项不小于组内末项。
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• 试卷期中 2018-2019 第1题
  设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的定义域为 $I=\left\{x\right|x\ne 0\}$，且 $af\left(x\right)+bf\left(\frac{1}{x}\right)=g\left(x\right)$，其中实常数 $a,b$ 满足 $\left|a\right|\ne \left|b\right|$。证明：(1) 若 $g\left(x\right)$ 是奇函数，则 $f\left(x\right)$ 也是奇函数；(2) 若 $g\left(x\right)$ 是偶函数，则 $f\left(x\right)$ 也是偶函数。
  关键是先把 $f$ 显式解出来（解这个函数方程），再整体作代换 $x\to -x$；奇偶性比较的是 $x$ 与 $-x$，不是 $x$ 与 $\frac{1}{x}$。
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• 试卷期中 2018-2019 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\text{exception 25:}$。
  易错点是把根指数看成 $n,n^2,\cdots ,n^n$——本题全是 $\text{exception 25:}$，指数和为 $\frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2}$；若看错就会错答成 $1$。
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• 试卷期中 2018-2019 第3题
  写出函数 $f\left(x\right)=\frac{x(x^2-1)}{|x-1|sinx}$ 的间断点，并讨论是第一类型还是第二类型的间断点（讨论要用数学表达式说明理由）。
  最容易漏的是 $x=0$——它既是 $sinx$ 的零点又是分子的零点，必须单独算极限，结果是可去型；只有 $|x-1|$ 才会让 $x=1$ 两侧符号相反形成跳跃。
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• 试卷期中 2018-2019 第4题
  用函数极限的定义证明 ${\text{lim}}_{x\to \infty }\frac{3x+cosx}{x+2}=3$。
  标准套路「先算差、再放缩、最后取 $X=\text{max}\{X_0,{\epsilon }^{-1}\}$」；这里必须同时保证 $|x+2|$ 有下界（故 $X\ge 4$），只写 $X=\frac{14}{\epsilon }$ 会漏掉 $\epsilon$ 很大时的不等式方向。
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• 试卷期中 2018-2019 第5题
  设 $x_1=1$，$x_{n+1}=\sqrt{x_n(5-x_n)}$（$n=1,2,3,\cdots$），证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{x}_n$。
  证 $x_{n+1}\ge x_n$ 用平方差比直接作差省事得多；最后取极限必须先说明 $A\ne 0$（由 $x_n\ge 1$），否则会多出伪解 $A=0$。
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• 试卷期中 2018-2019 第6题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{e^{x^2}+cos\frac{x}{1+x}}{2}{)}^{\frac{1}{sin\left(x^2\right)}}$。
  只留 $e^{x^2}-1\sim x^2$ 会得到 $e^{1/2}$，必须把 $cos\frac{x}{1+x}-1\sim -\frac{x^2}{2}$ 一并算入，两个 $x^2$ 项合并后才只剩 $\frac{x^2}{4}$。
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• 试卷期中 2018-2019 第7题
  设函数 $y=arcsin\frac{x}{3}+\sqrt{9-x^2}+(secx+tanx{)}^{arctanx}$，求 $y\prime$。
  第三项既不是 $a^{g\left(x\right)}$ 也不是 $g(x{)}^a$，必须用 $u^v=e^{vlnu}$；先认出 $(ln(secx+tanx\left)\right)\prime =secx$ 这个恒等式，否则会陷在一堆三角式里化简不出。
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• 试卷期中 2018-2019 第8题
  设曲线的极坐标方程为 $r=2-cos\theta$，求曲线上相应于 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 的点处的切线方程和法线方程。
  极坐标求切线必须用 $\frac{dy}{dx}=\frac{r\prime sin\theta +rcos\theta }{r\prime cos\theta -rsin\theta }$（等价于隐函数求导）；直接化成 $rcos\theta$ 再对 $x$ 求导最容易把 $r\prime$ 丢掉，切点坐标也要用 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 时的 $r=\frac{3}{2}$，不是 $r=2$。
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• 试卷期中 2018-2019 第9题
  设函数 $f\left(u\right)$ 具有二阶导数，且 $f\prime \left(0\right)=-1$，$f\prime \prime \left(0\right)=4$，又二阶可导函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $y-2x{e}^{y-1}=1$ 所确定，$z=f(lny)$。求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}$，$\frac{dz}{dx}{|}_{x=0}$，$\frac{d^{2}z}{d{x}^2}{|}_{x=0}$。
  $y\prime \prime$ 必须对整式 $y\prime -2e^{y-1}-2x{e}^{y-1}y\prime =0$ 再求导，$2x{e}^{y-1}y\prime$ 是三项乘积，漏掉 $x$ 的导数项就会把 $y\prime \prime \left(0\right)$ 算成 $4$；另外 $z\prime \prime$ 里 $\left(\frac{y\prime }{y}\right)\prime$ 要用商的导数，不能只写 $f\prime \prime$。
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• 试卷期中 2018-2019 第10题
  设函数 $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}(x>0)$，$f\left(0\right)=a$，$f\left(x\right)=b\sqrt{4-x}+cxarctan\frac{1}{x}(x<0)$。求常数 $a,b,c$ 使 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处可微。
  左支有两个坑：一是 $\left(\sqrt{4-x}\right)\prime =-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$，在 $x=0$ 处等于 $-\frac{1}{4}$ 而不是 $-\frac{1}{2}$；二是 $x\to 0^{-}$ 时 $arctan\frac{1}{x}\to -\frac{\pi }{2}$ 带负号。任一处出错都会把 $c$ 算错。
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• 试卷期中 2018-2019 第11题
  设函数 $f\left(x\right)=x^{2}ln\frac{1+x}{1-x}$，求 $f^{\left(n\right)}\left(0\right)$（$n\ge 3$）。
  别用莱布尼茨公式硬算 $x^{2}ln\frac{1+x}{1-x}$，先展开再读系数最快；注意 $ln\frac{1+x}{1-x}$ 前面的因子 $2$ 容易漏，且 $f$ 是奇函数，故偶数阶导数在 $0$ 处全为 $0$。
  看解答
• 试卷期中 2018-2019 第12题
  设函数 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，在开区间 $(0,2)$ 上可导，且 $f\left(1\right)=2$，$f\left(0\right)=f\left(2\right)=0$。证明：(1) 存在 $\eta \in (1,2)$，使 $f\left(\eta \right)=\eta$；(2) 对任意实常数 $\lambda$，存在 $\xi \in (0,2)$，使 $f\prime \left(\xi \right)-\lambda \left[f\right(\xi )-\xi ]=1$。
  两问必须连起来用：(1) 给出的不动点 $\eta$ 正是 (2) 中辅助函数的第二个零点，只靠 $f\left(0\right)=f\left(2\right)=0$ 会得 $G\left(2\right)=-2e^{-2\lambda }\ne 0$，凑不出罗尔定理；辅助函数按待证式反推，乘 $e^{-\lambda x}$ 正是为了消掉 $\lambda$ 项。
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• 试卷期中 2019-2020 第1题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to \infty }xtan\frac{5x+3}{2x^2+x+1}$。
  见到 $xtanu$ 且 $u\to 0$ 应立刻用 $tanu\sim u$，不必洛必达，否则越求越繁。
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• 试卷期中 2019-2020 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to -\infty }x(\sqrt{x^2+10}+x)$。
  负无穷时 $\sqrt{x^2}=-x$，有理化后约分要盯住 $x<0$ 的符号，这是最常见的失分点。
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• 试卷期中 2019-2020 第3题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to \infty }(cos\frac{1}{x}+sin\frac{1}{x^2}{)}^{x^2}$。
  先取对数化 $1^{\infty }$ 型，展开时 $cost-1$ 与 $sin{t}^2$ 都要展到 $t^2$ 项，漏项会误得 $e^0=1$。
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• 试卷期中 2019-2020 第4题
  求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{\sqrt{n^2+1+sin1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2+sin2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n+sinn}})$。
  和式极限先找统一分母的上下界；$sink$ 只用于 $-1\le sink\le 1$ 的放缩，不必精确求和。
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• 试卷期中 2019-2020 第5题
  $f\left(x\right)$ 是一个函数，$f\left(1\right)>0$，$f\prime \left(1\right)$ 存在，求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{f(1+\frac{1}{n})}{f\left(1\right)}{)}^n$。
  本质是 $lnf$ 在 $x=1$ 的导数定义；$f\left(1\right)>0$ 保证对数有意义，答案中比值 $f\prime \left(1\right)/f\left(1\right)$ 不能写成 $f\prime \left(1\right)$。
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• 试卷期中 2019-2020 第6题
  设 $f\left(x\right)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$，求 $f\prime \left(x\right)$。
  幂指函数必须取对数再求导，化简 $x\cdot \frac{1}{1+1/x}\cdot (-1/x^2)$ 时把 $-\frac{1}{x+1}$ 写成 $-\frac{1}{x}$ 是常见错误。
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• 试卷期中 2019-2020 第7题
  设 $f\left(x\right)=(x^2+2x)e^{-x}$，求 $f^{\left(100\right)}\left(x\right)$。
  高阶导用莱布尼茨公式只剩三项，$(-1{)}^{n-k}$ 的符号与 $\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2=9900$ 的系数最易写错。
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• 试卷期中 2019-2020 第8题
  设函数 $f\left(u\right)$ 具有二阶导数，令 $y=f(sin{x}^2)$，求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  对 $f\prime (sin{x}^2)$ 再求导时它仍是复合函数，漏乘内层导数 $2xcos{x}^2$ 是典型错误。
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• 试卷期中 2019-2020 第9题
  设参数方程 $x=t-sint$，$y=cost$，求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  参数方程二阶导是 $\frac{d}{dt}(y\prime )$ 除以 $x\prime \left(t\right)$，不是 $y\prime \prime /x\prime \prime$；结果化成 $\frac{1}{(1-cost{)}^2}$ 最简洁。
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• 试卷期中 2019-2020 第10题
  方程 $e^{xy}+sin(y-x)=1+2y$ 确定隐函数 $y=y\left(x\right)$，求 $y=y\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的切线方程。
  先用 $siny=2y$ 定出 $y\left(0\right)=0$，再隐函数求导代点；$e^{xy}$ 求导时别漏掉 $y+xy\prime$。
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• 试卷期中 2019-2020 第11题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义且是偶函数，$f\prime \left(0\right)$ 存在，证明 $f\prime \left(0\right)=0$。
  偶函数在 $0$ 处只能用导数定义（或 $f\prime (-x)=-f\prime \left(x\right)$）推出，不能直接对 $f(-x)=f\left(x\right)$ 求导而不说明可导性。
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• 试卷期中 2019-2020 第12题
  设 $f\left(x\right)=x^{\alpha }sin\frac{1}{x^2}(x>0)$，$f\left(x\right)=0(x\le 0)$，问：(1) $\alpha$ 满足什么条件时 $f\left(x\right)$ 连续；(2) $\alpha$ 满足什么条件时 $f\left(x\right)$ 可导；(3) $\alpha$ 满足什么条件时导函数 $f\prime \left(x\right)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续。
  三问层层加码：连续看 $\alpha >0$，可导看 $\alpha >1$，导函数连续还要压住 $x^{\alpha -3}cos\frac{1}{x^2}$，故 $\alpha >3$。
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• 试卷期中 2019-2020 第13题
  已知 $\sqrt{2}$ 是无理数。(1) 作一个数列 $\{x_n\prime \}$，每个 $x_n\prime$ 都是无理数且 $x_n\prime \ne \sqrt{2}$，并满足 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{x}_n\prime =\sqrt{2}$（写出 $x_n\prime$ 的表达式）；(2) 作一个数列 $\{x_n\prime \prime \}$，每个 $x_n\prime \prime$ 都是有理数，并满足 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{x}_n\prime \prime =\sqrt{2}$（写出 $x_n\prime \prime$ 的表达式）。
  无理数列可在 $\sqrt{2}$ 上加 $\frac{\sqrt{2}}{n}$；有理数列用十进制截断，两者都要验证不取到 $\sqrt{2}$ 本身。
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• 试卷期中 2019-2020 第14题
  设 $\left\{a_n\right\}$ 为一个数列，且满足 $0\le a_{n+1}-a_n<q^n(n=1,2,\cdots )$，这里 $q$ 是常数，且 $0<q<1$，证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n$ 存在。
  证收敛只需单调加有界；用 $q^k$ 的等比级数控制全部增量，$q<1$ 正是上界有限的关键。
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• 试卷期中 2019-2020 第15题
  设 $x_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{n}}}(n=1,2,\cdots )$，证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{x}_n$ 存在。
  嵌套根式先证单调（逐层替换保序），再用反向归纳证 $y_k\le k+1$ 得 $x_n\le 2$，切忌直接对根式取极限。
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• 试卷期中 2020-2021 第1题
  写出函数极限 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)=a$ 的 $\epsilon -\delta$ 定义，并用定义证明 ${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x}{x-2}=-1$。
  定义证明的固定套路是「先作差、再放大、最后取 $\delta =\text{min}\{{\delta }_0,\epsilon /M\}$」；漏掉 $\delta \le \frac{1}{2}$ 这一步、放任分母趋零，是本题最常见的失分。
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• 试卷期中 2020-2021 第2题
  计算极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-sin\left(x^2\right)}-1}{xln(1+2tanx)}$。
  根式差一律先有理化，别硬用 $\sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$ 后忘记分母里 $ln(1+2tanx)$ 还要再换一次；只换 $tanx$ 不换 $ln$ 会差一个因子 $2$。
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• 试卷期中 2020-2021 第3题
  计算极限 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }(sin\frac{3}{x}+cos\frac{2}{\sqrt{x}}{)}^x$。
  关键在 $cos\frac{2}{\sqrt{x}}$ 的展开是 $1-\frac{2}{x}$，一次项系数 $-2$ 恰好把 $sin$ 的 $+3$ 削成 $+1$；错记成 $1-\frac{1}{x}$ 就会得出 $e^2$。
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• 试卷期中 2020-2021 第4题
  设 $x_1\ge 0$，$x_{n+1}=\frac{4+x_n}{1+x_n}(n=1,2,\cdots )$。证明：数列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{+\infty }$ 存在极限，并求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{x}_n$。
  $f\prime \left(x\right)=-\frac{3}{(1+x{)}^2}<0$，数列并不单调，「单调有界」这条路走不通；正解是盯住 $x_{n+1}-2$ 与 $x_n-2$ 的比值做压缩。
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• 试卷期中 2020-2021 第5题
  设 $f\left(x\right)=arctan\frac{1}{x}(x>0)$，$f\left(0\right)=a$，$f\left(x\right)=(1+sinbx{)}^{cotx}(x<0)$。若 $f$ 在 $x=0$ 处连续，求常数 $a$，$b$。
  左极限要把幂指式化成 $e$ 的指数再取极限，$cotx\sim \frac{1}{x}$ 与 $sinbx\sim bx$ 相乘才出 $b$；别忘了 $f\left(0\right)=a$ 也要与 $\frac{\pi }{2}$ 对齐。
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• 试卷期中 2020-2021 第6题
  求函数 $f\left(x\right)=(e^{\frac{x}{x-1}}-1{)}^{-1}$ 的间断点及间断点类型（需说明理由）。
  $x=0$ 是最容易漏掉的间断点——它并非分母的零点，而是让 $e^{\frac{x}{x-1}}-1$ 恰好为零的点；找间断点必须解完整定义域。
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• 试卷期中 2020-2021 第7题
  设 $f\left(x\right)=e^x\sqrt{1-e^{2x}}-arccos{e}^x$，求导数 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  这题的「设计感」在于 $arccos{e}^x$ 求导的负号恰好与减号相消，使 $y\prime$ 塌缩成 $2e^x\sqrt{1-e^{2x}}$；不先化简就硬算二阶导，计算量会翻几倍。
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• 试卷期中 2020-2021 第8题
  设 $f\left(x\right)=xarctan\frac{1}{x}(x<0)$，$f\left(0\right)=a$，$f\left(x\right)=x^2+bx+c(x>0)$。若 $f$ 在 $x=0$ 处可导，求常数 $a$，$b$，$c$。
  三个未知数正好对应「连续给两个、可导给一个」；$arctan\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处左右极限是 $\pm \frac{\pi }{2}$，若误当成 $0$ 就会漏掉 $b$ 的取值。
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• 试卷期中 2020-2021 第9题
  由方程 $e^{xy}+x+y=2$ 确定隐函数 $y=f\left(x\right)$，求 $f\prime \left(0\right)$、$f\prime \prime \left(0\right)$，并求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }n\left(f\right(\frac{1}{n})-1)$。
  隐函数不必解出 $y\left(x\right)$，直接对 $x$ 求导再代点最快；第三问别去做差商硬算，认清它就是 $f\prime \left(0\right)$——$n$ 只是 $h=\frac{1}{n}$ 的马甲。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第10题
  由参数方程 $x=arctan\sqrt{1+t^2}$，$y=ln(t+\sqrt{1+t^2})$ 确定函数 $y=y\left(x\right)$，求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  $\frac{dx}{dt}$ 中的链式因子 $\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ 极易漏写；二阶导必须再除以一次 $\frac{dx}{dt}$，直接对 $t$ 求两次导是本题第一大坑。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第11题
  已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=4$ 处有二阶导数，$f\left(4\right)=1$，$f\prime \left(4\right)=2$，$f\prime \prime \left(4\right)=3$，$y=f\left(x^x\right)$，求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=2}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=2}$。
  先看 $x=2$ 时 $x^x=4$ 正好撞上已知点，这是命题人给的提示；二阶导里 $f\prime \left(u\right)u\prime \prime$ 这一项最常被吞掉，只写 $f\prime \prime \left(u\right)(u\prime {)}^2$ 必错。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第12题
  函数 $f\left(x\right)=ln\sqrt{1+x^2}$，求 $f^{\left(n\right)}\left(0\right)$。
  别硬套 $(lnu{)}^{\left(n\right)}$ 的高阶导公式；先展成幂级数、再读系数，一步到位，还顺带解释了奇阶导为何全为 $0$（$f$ 是偶函数）。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第13题
  函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导，且 ${\text{lim}}_{x\to 0}[\frac{1}{xcosx}+\frac{f\left(x\right)}{x}]=2$，求 $f\left(0\right)$ 及 $f\prime \left(0\right)$。
  两步都要靠「分母趋零而极限有限 $\Rightarrow$ 分子必趋零」这条反推；第二问用 $f\left(x\right)=f\left(0\right)+f\prime \left(0\right)x+o\left(x\right)$ 一步到位，比洛必达更干净。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第14题
  函数 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[0,3]$ 上连续、在开区间 $(0,3)$ 内可导，且 $f\left(0\right)f\left(3\right)>0$、$f\left(0\right)f\left(2\right)<0$。求证：对任意给定实数 $\mu$，至少存在 $\xi \in (0,3)$ 满足 $f\prime \left(\xi \right)=\mu f\left(\xi \right)$。
  只找到一个零点就用不了罗尔，必须由 $f\left(0\right)f\left(3\right)>0$ 与 $f\left(0\right)f\left(2\right)<0$ 的符号链推出第二个零点；辅助函数取 $e^{-\mu x}f\left(x\right)$（或等价地 $\frac{f\left(x\right)}{e^{\mu x}}$），乘的因子恒正，零点与原函数完全一致。
  看解答
• 试卷期中 2020-2021 第15题
  函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处有二阶导数，$f\left(2^{-n}\right)=0(n=1,2,\cdots )$，求证：$f\prime \prime \left(0\right)=0$。
  先用连续性把 $f\left(0\right)$ 拿下、再用导数定义把 $f\prime \left(0\right)$ 拿下，最后必须动用「$f\prime \prime \left(0\right)$ 存在」这个条件（泰勒展开或对 $\frac{f\left(h\right)}{h^2}$ 用洛必达）；只靠 $f$ 在数列点上取零是推不出二阶导信息的。
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• 试卷期中 2021-2022 第1题
  已知 ${\text{lim}}_{x\to -\infty }(\sqrt{x^2-x+1}-ax-b)=0$，求常数 $a$，$b$。
  坑在 $x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2}=\left|x\right|=-x$，直接写成 $x$ 会整体错号；用 $t=-x$ 换元最稳。
  看解答
• 试卷期中 2021-2022 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{xarcsinxarctanx}{(\sqrt{cosx}-1)ln(1+x)}$。
  $\sqrt{cosx}-1$ 要先有理化再用 $cosx-1\sim -x^2/2$，直接写 $\sqrt{cosx}-1\sim -x^2/2$ 会差因子 $2$。
  看解答
• 试卷期中 2021-2022 第3题
  设 $a$，$b$，$c$ 为正数，求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}{)}^{\frac{1}{x}}$。
  $1^{\infty }$ 型先取对数再凑导数定义，比硬套 $e^{\text{lim}(u-1)/x}$ 更省事；注意指数是 $\frac{1}{x}$ 而非 $\frac{1}{x+1}$。
  看解答
• 试卷期中 2021-2022 第4题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }(\text{exception 25:}$。
  $\infty -\infty$ 型不能直接代换，必须把每项展到 $O\left(1\right)$；三次根的主部系数是 $\frac{1}{3}$、平方根是 $\frac{1}{2}$，别记反。
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• 试卷期中 2021-2022 第5题
  定义函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的值，使其在 $x=0$ 处连续，并讨论在 $x=0$ 处是否可导，其中 $f\left(x\right)=(1+{sin}^2\frac{1}{x}{)}^x$。
  连续性靠 $|xln(1+{sin}^2\frac{1}{x}\left)\right|\le \left|x\right|ln2$ 夹逼；可导性要用两个子列说明 ${sin}^2\frac{1}{x}$ 振荡，只说"振荡"不给子列要扣分。
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• 试卷期中 2021-2022 第6题
  设 $y=\frac{x^3}{2(x-1{)}^2}$，求 $y\prime$，$y\prime \prime$。
  先提 $\frac{1}{2}$ 再求导可少犯错；$y\prime \prime$ 分子三次项会全部消掉，若算出含 $x^3$ 的结果说明展开时漏项。
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• 试卷期中 2021-2022 第7题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $sin\left(xy\right)+ln(y-x)=x$ 确定，求 $y\prime \left(0\right)$，$y\prime \prime \left(0\right)$。
  求 $y\prime \prime$ 时最易漏 $cos\left(xy\right)$ 里 $xy$ 的链式因子，以及 $\frac{y\prime -1}{y-x}$ 的商法则分子 $(y\prime -1{)}^2$；代值前不要化简过头。
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• 试卷期中 2021-2022 第8题
  设参数方程 $x=ln(1+t^2)$，$y=t-arctant$，求 $\frac{dy}{dx}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  二阶导必须再除一次 $\frac{dx}{dt}$，只对 $\frac{t}{2}$ 求 $t$ 导数得 $\frac{1}{2}$ 是最常见的错。
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• 试卷期中 2021-2022 第9题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}f\left(x\right)$，其中 $f\left(x\right)=\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{cosx+e^{\frac{2}{x}}}+\frac{sinx}{\left|x\right|}$。
  $\left|x\right|$ 使第二项左右异号（$+1$ 与 $-1$），而第一项左右分别是 $0$ 与 $2$，恰好抵消成同一个值——必须两侧都算，只算一侧会得出错误结论。
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• 试卷期中 2021-2022 第10题
  设 $f\left(x\right)=xln(1+x)$，求 $f^{\left(100\right)}\left(x\right)$。
  因 $x$ 只求导一次即消失，莱布尼茨公式只留两项，比展开 100 项快得多；公式里是 $(n-2)!$ 与 $(x+n)$，把 $n=2$ 代回验证 $f\prime \prime =\frac{x+2}{(1+x{)}^2}$ 可立刻抓出符号错。
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• 试卷期中 2021-2022 第11题
  设函数 $f\left(x\right)=e^{\frac{x}{x-1}}-1$，求函数 $\frac{1}{f\left(x\right)}$ 的间断点，并判断它们的类型。
  先解 $f\left(x\right)=0$ 找"可去"候选点 $x=0$，别漏；$x=1$ 处 $e^{1/x}$ 型左右一个趋于 $\infty$ 一个趋于 $0$，必须分侧。
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• 试卷期中 2021-2022 第12题
  设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0<x_1<3$，$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}$，$n=1,2,\cdots$，试证：此数列极限存在，并求极限。
  $x_1$ 未必小于 $\frac{3}{2}$，所以单调性只能从 $x_2$ 起说；先由 $x(3-x)\le \frac{9}{4}$ 统一把界压到 $\frac{3}{2}$，这一步是能说"单调"的前提。
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• 试卷期中 2021-2022 第13题
  设函数 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 定义在 $\mathbf{\text{R}}$ 上，且有 (1) $f(x+y)=f\left(x\right)g\left(y\right)+f\left(y\right)g\left(x\right)$；(2) $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导；(3) $f\left(0\right)=0$，$g\left(0\right)=1$，$f\prime \left(0\right)=1$，$g\prime \left(0\right)=0$。证明：$f\left(x\right)$ 在 $\mathbf{\text{R}}$ 上可导，且 $f\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$。
  只用 $x=0$ 处的可导性推出处处可导，靠的是把差商拆成 $f\left(x\right)\cdot \frac{g\left(h\right)-g\left(0\right)}{h}+g\left(x\right)\cdot \frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}$；别去证 $g$ 可导或猜 $g=cosh$ 之类，题目没要求。
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• 试卷期中 2022-2023 第1题
  叙述数列极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=A\in ℝ$ 的「$\epsilon -N$」定义，并用它证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{2n^2-n+1}{n^2+2}=2$。
  放缩的关键是「分子放大、分母缩小」：$n+3<2n$（需 $n>3$），$n^2+2>n^2$。这类题不要求 $N$ 取得最小，只要求存在。
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• 试卷期中 2022-2023 第2题
  计算 ${\text{lim}}_{x\to 0}(e^{2x}-arctanx{)}^{cscx}$。
  $1^{\infty }$ 型的标准三步：取对数 → 把 $ln\left(\text{底}\right)$ 换成 $ln(1+u)\sim u$ → 再用等价无穷小。不要把底数直接代成 1，那会丢掉 $x$ 的一次项。
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• 试卷期中 2022-2023 第3题
  计算 ${\text{lim}}_{x\to \frac{2\pi }{3}}\frac{1+2cosx}{3x-2\pi }$。
  先代值确认是 $\frac{0}{0}$ 型再洛必达；这题也可直接令 $t=x-\frac{2\pi }{3}$ 用等价无穷小，两种做法结果一致。
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• 试卷期中 2022-2023 第4题
  计算 ${\text{lim}}_{x\to -\infty }x(\sqrt{x^2+6x-1}+x+3)$。
  容易出错的地方：$x<0$ 时 $\sqrt{x^2}=\left|x\right|=-x$，换元 $t=-x$ 就是为了避开这个符号问题。直接提 $\left|x\right|$ 也能做，但要记得提出来的系数是 $-1$。
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• 试卷期中 2022-2023 第5题
  计算 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1^2}{\sqrt{n^6+1+1}}+\frac{2^2}{\sqrt{n^6+2+\frac{1}{2}}}+\cdots +\frac{n^2}{\sqrt{n^6+n+\frac{1}{n}}})$。
  和式极限的两条主线：项数与 $n$ 有关时不能逐项取极限（要夹逼或定积分定义）。这里分母里那点 $\pm 1$ 是干扰项，$n^6$ 才是主项。
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• 试卷期中 2022-2023 第6题
  已知 $f\left(x\right)={\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{2x{e}^{n(x-1)}+a{x}^2+b}{e^{n(x-1)}+1}$ 在 $ℝ$ 上可导，求常数 $a,b$ 的值。
  含 $e^{n(x-1)}$ 的极限本质是分段函数：以 $x=1$ 为界，$n\to \infty$ 时 $e^{n(x-1)}$ 分别趋于 $0$ 与 $+\infty$。先写分段式、再谈连续与可导，顺序不能反。
  看解答
• 试卷期中 2022-2023 第7题
  已知 $y=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}$（$a>0$），求 $\frac{dy}{dx}$。
  结果漂亮得可疑，但正确：这个函数就是圆 $x^2+y^2=a^2$ 上那段弧的「面积函数」，导数恰好是 $y$ 本身（微积分基本定理的影子）。
  看解答
• 试卷期中 2022-2023 第8题
  设 $y=f\left(x\right)$ 是由方程 $e^{x+y}-2xy=e$ 所确定的隐函数。(1) 求 $f\prime \left(0\right)$；(2) 计算 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(y-1)sin\left(ex\right)}{\sqrt{1+2x^2}-1}$。
  第 (2) 问是「先用隐函数求导拿到一阶近似，再算极限」的组合拳。不要试图从方程里解出 $y$——解不出来。
  看解答
• 试卷期中 2022-2023 第9题
  已知 $\{\begin{array}{l}x=ln(t+\sqrt{1+t^2}),\\ y=\sqrt{1+t^2},\end{array}$ 求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  二阶导数的分母只除一次 $x\prime \left(t\right)$，这是参数方程最容易错的一步（把 $dy/dx$ 再对 $t$ 求导后忘了除 $x\prime \left(t\right)$）。
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• 试卷期中 2022-2023 第10题
  曲线 $C$ 的极坐标方程为 $r=e^{\theta }$，求曲线 $C$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 处的切线方程。
  极坐标求切线一律先化成 $\theta$ 的参数方程。切点的 $x=0$ 容易漏算——$e^{\pi /2}cos\frac{\pi }{2}=0$。
  看解答
• 试卷期中 2022-2023 第11题
  已知 $f\left(x\right)=arctanx$，求 $f^{\left(7\right)}\left(0\right)$。
  求 $f^{\left(n\right)}\left(0\right)$ 一律走「展开式的系数 × $n!$」。硬求 $n$ 阶导数公式是下策，$arctan$、$arcsin$、$sin{x}^2$ 这类都靠展开。
  看解答
• 试卷期中 2022-2023 第12题
  已知 $f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{sin\pi x}{e^{x-1}-1}}$（$-1<x<2$），试判断 $f\left(x\right)$ 的间断点并据理说明间断点的类型。
  先化简再找间断点，否则那个复合分式会看晕。找零点是两条线：$sin\pi x=0$ 给 $x=0,1$；$e^{x-1}-1=0$ 给 $x=1$。分类只看左右极限是否存在、是否相等、是否等于函数值。
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• 试卷期中 2022-2023 第13题
  叙述并证明 Rolle（罗尔）定理。
  三条条件缺一不可，考试常考「去掉可导会怎样」（举 $y=\left|x\right|$）、「去掉连续会怎样」。证明的骨架是「最值 + 费马引理」，不是「画个图显然」。
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• 试卷期中 2022-2023 第14题
  设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=3$，$2a_{n+1}=a_n+\frac{6}{a_n+1}(n\ge 1)$。(1) 证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛；(2) 计算 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n$。
  顺序是「先猜界、再证界、最后证单调」。界取 $2$ 不是随手写的：不动点方程 $2L=L+6/(L+1)$ 的根就是它。
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• 试卷期中 2022-2023 第15题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=3$，$f\left(2\right)=-1$。证明：(1) 存在 $\xi \in (0,2)$，使 $f\prime \left(\xi \right)=0$；(2) 存在 $\eta \in (0,2)$，使 $f\left(\eta \right)+f\prime \left(\eta \right)=0$。
  看到 $f+f\prime$ 就要想到乘 $e^x$：$\left(e^{x}f\right)\prime =e^x(f+f\prime )$。同类还有 $f\prime +kf$ 配 $e^{kx}$、$xf\prime +f$ 配 $xf$、$f\prime -f$ 配 $e^{-x}$。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第1题
  叙述函数极限 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)=A$（$A\in R$）的“$\epsilon -\delta$”定义，并利用“$\epsilon -\delta$”语言证明：${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x+2}{2x+1}=1$。
  先限定 δ 范围去掉分母下界，再与 ε 挂钩，两步缺一不可。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第2题
  计算极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}[\sqrt{cosln(1-2x)}{]}^{\frac{1}{x^2}}$。
  根号在 cos 外层，别把 ln 当成乘子漏掉平方项。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第3题
  计算极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\text{exception 25:}}{}$。
  x⁴cos(1/x) 是 x³ 的高阶项，先估阶再合并。
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• 试卷期中 2023-2024 第4题
  当 $x\to 1$ 时，$1-\frac{m}{1+x+x^2+\cdots +x^{m-1}}$ 是 $(x-1)$ 的等价无穷小量（$m\in N$），求常数 $m$ 的值。
  必须展开到二阶，只写到一阶会得 0=0 的假象。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第5题
  计算极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+1+sin1}+\frac{2}{n^2+1+sin2}+\cdots +\frac{n}{n^2+1+sinn})$。
  分母带 sin 不能用定积分定义，先夹逼再求和。
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• 试卷期中 2023-2024 第6题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^2+y=tan(x-y)$ 所确定，且 $y\left(0\right)=0$。求 $y\prime \left(0\right)$ 和 $y\prime \prime \left(0\right)$。
  二阶求导时 tan 项在 x=0 处消失，只剩 -y''。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第7题
  已知 $y=xln(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}$，求 $\frac{dy}{dx}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  两处 x/√(x²+1) 恰好抵消，硬算前先合并省一半功夫。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第8题
  设 $y=arctan\frac{x+1}{x-1}+ln\sqrt{1+x^2}$，求 $dy$ 与 $dy{|}_{x=3}$。
  arctan 项化简后是负的，符号错就全盘错。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第9题
  设 $f\left(x\right)=x^{2}sin\frac{1}{x}+e^{2x}$（$x<0$），$f\left(x\right)=ax+b$（$x\ge 0$）。(1) 求常数 $a,b$ 的值使 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导；(2) 计算 $f\prime \left(x\right)$（$x\in R$）；(3) 问 $f\prime \prime \left(0\right)$ 是否存在？为什么？
  可导只保证一阶连续；二阶须单侧算，振荡项要指出无界。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第10题
  已知 $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}$，求 $f^{\left(6\right)}\left(0\right)$。
  别逐阶硬求六次；用二项展开取 x⁶ 系数最快。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第11题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x=t-sint$，$y=1-cost$ 所确定。(1) 求曲线 $y=y\left(x\right)$ 在 $t=\frac{\pi }{2}$ 处的切线方程；(2) 计算 $y\prime \prime \left(x\right)$。
  二阶导要再除一次 dx/dt，只对 t 求导是最常见错误。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第12题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=1$。证明：(1) 存在 $c\in (0,1)$ 使得 $f\left(c\right)=\frac{3}{2023}$；(2) 存在两个不同点 $\xi ,\eta \in (0,1)$ 使得 $\frac{3}{f\prime \left(\xi \right)}+\frac{2020}{f\prime \left(\eta \right)}=2023$。
  两段区间分别用中值定理，凑倒数结构是关键。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第13题
  设函数 $f_n\left(x\right)=x^n+x^{n-1}+\cdots +x-1$（$n\in N^{+}$）。(1) 证明方程 $f_n\left(x\right)=0$ 有唯一正根 $x_n$；(2) 证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛并计算 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{x}_n$。
  唯一性靠导数恒正；夹逼 x_n^{n+1}→0 即得极限。
  看解答
• 试卷期中 2023-2024 第14题
  (1) 结合自己的情况谈谈如何学好《微积分》课程。(2) 你对《微积分》任课教师上课与助教的习题课有什么要求？（要求：上面两个问题的回答均不少于 100 字。）
  开放题照实写满 100 字，别当附加题空着。
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第1题
  计算 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{e-e^{cosx}-x^{3}sin\frac{1}{x}}{(\text{exception 25:}}$。
  分母等价 $x^2/3$，余项 $o\left(x^2\right)$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第2题
  用数列极限定义证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0$，其中 $a$ 是常数。
  先取 $N_0>\left|a\right|$ 固定前段，再用 $q<1$ 压尾项
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第3题
  计算 ${\text{lim}}_{x\to 0}(2e^{\frac{x}{1+x}}-1{)}^{\frac{x^2+1}{x}}$。
  先取对数；$ln$ 一阶项乘 $1/x$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第4题
  计算 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+2n+1}+\frac{2}{n^2+2n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+2n+n})$。
  两端同阶，夹逼得 $\frac{1}{2}$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第5题
  指出函数 $f\left(x\right)$ 的间断点并判断其类型：当 $x>0$ 时 $f\left(x\right)=e^{\frac{1}{x-1}}$；当 $-1<x\le 0$ 时 $f\left(x\right)=ln(1+x)$。
  端点 $x=-1$ 不属于定义域，不必讨论；只抓 $x=1$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第6题
  设函数 $y=x^2{e}^{{sin}^2\frac{1}{x}}$，求 $\frac{dy}{dx}$。
  内层 $-1/x^2$ 与 $x^2$ 约去
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第7题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $ln(x^2+y)=x^{3}y+sinx$ 确定，求 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}$。
  先由原方程定出 $y\left(0\right)=1$，再代点，别只代 $x=0$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第8题
  求极坐标系下曲线 $r=e^{\theta }$ 在点 $(r,\theta )=(e^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2})$ 处直角坐标系下的切线方程。
  斜率取参数式 $\frac{dy}{dx}$，非 $r\prime$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第9题
  设函数 $y=e^{x}sinx$，证明 $y^{\left(n\right)}=2^{\frac{n}{2}}{e}^{x}sin(x+\frac{n\pi }{4})$。
  先合成 $\sqrt{2}sin(u+\pi /4)$ 再递推
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第10题
  试确定常数 $a,b$ 的值，使函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导：当 $x\le 0$ 时 $f\left(x\right)=1+ln(1-2x)$；当 $x>0$ 时 $f\left(x\right)=a+b{e}^x$。并求此时导函数 $f\prime \left(x\right)$。
  两条件：连续定 $a+b$，左右导数相等定 $b$，缺一不可
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第11题
  设函数 $f\left(x\right)=x^{2}D\left(x\right)$，其中 $D\left(x\right)=1$（$x$ 为有理数），$D\left(x\right)=0$（$x$ 为无理数）。试讨论 $f\left(x\right)$，$x\in (-\infty ,+\infty )$ 的连续性和可导性；若可导，求其导数。
  有界乘无穷小证连续；可导性靠 $hD\left(h\right)\to 0$
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第12题
  写出无穷大量 ${\text{lim}}_{x\to 0^{+}}f\left(x\right)=+\infty$ 的定义，并举例说明无界量不一定是无穷大量。
  举例要同时给「趋于无穷」与「等于 0」两个子列
  看解答
• 试卷期中 2024-2025 第13题
  已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=1$。证明：(1) 存在 $c\in (0,1)$，使得 $f\left(c\right)=1-c$；(2) 存在两个不同的数 $\xi ,\eta \in (0,1)$，使得 $f\prime \left(\xi \right)f\prime \left(\eta \right)=1$。
  以 (1) 的 $c$ 为桥，两段各用中值定理
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第1题
  利用 $\epsilon -N$ 定义证明：若数列 $\left\{a_n^3\right\}$ 收敛，则 $\left\{a_n\right\}$ 必收敛。
  分母恒等式是关键，$b=0$ 单独讨论
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第2题
  利用夹逼定理求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}$。注：奇数双阶乘 $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdots (2n-1)$，偶数双阶乘 $\left(2n\right)!!=2\cdot 4\cdots \left(2n\right)$。
  与 $(2n+1)a_n$ 配对，别硬算
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第3题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f\left(1\right)=0$，$f\prime \left(1\right)=-2$，求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{xf(cosx)}{e^{tanx}-e^{sinx}}$。
  先凑 $f(cosx)$ 的导数定义
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第4题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^{2}y+sin\left(xy\right)=ln(1+y)$ 确定，求 $dy$。
  别把 $dln(1+y)$ 写成 $dy/y$
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第5题
  设 $x=ln(t+\sqrt{1+t^2})$，$y=arctant$，求 $\frac{dx}{dy}$，$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}$。
  二阶导要再除一次 $dy/dt$
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第6题
  求螺旋线 $C:r=e^{\theta }$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 处的切线方程。
  极坐标先化参数方程再求斜率
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第7题
  设 $y=arcsinx$，求 $y^{\left(n\right)}\left(0\right)$。
  用展开式系数反推高阶导更快
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第8题
  求下列函数极限。(1) ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(2^x-1)sinxln(1+x)}{tanx-sinx}$；(2) ${\text{lim}}_{x\to 0}(cosx{)}^{{csc}^{2}x}$。
  幂指函数先取对数
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第9题
  设 $a_n=1+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{(2n-1{)}^2}$，分别用单调有界定理、柯西收敛准则两种方法证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛。
  裂项同时管住上界与尾项
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第10题
  设函数 $f\left(x\right)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=f\left(2\right)=e$。证明：(1) 存在 $\eta \in (0,2)$ 使 $f\left(\eta \right)=2$；(2) 存在 $\xi \in (0,2)$ 使 $f\prime \left(\xi \right)+f\left(\xi \right)=e$。
  第二问凑 $e^x\left(f\right(x)-e)$
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第11题
  设 $y=f\left(x\right)$ 是由方程 $x^3+e^{xy}-sin3x+y=2$ 确定的隐函数，求 $f\prime \left(0\right)$，$f\prime \prime \left(0\right)$，以及 ${\text{lim}}_{n\to \infty }n\left[f\right(\frac{1}{n})-1]$。
  第二问直接认导数定义
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第12题
  设 $f_n\left(x\right)=x^n+2nx-2$，$n\in N_{+}$。证明 $f_n\left(x\right)=0$ 在 $(0,+\infty )$ 上有唯一正根 $a_n$，并计算 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(1+a_n{)}^n$。
  先夹出 $n{a}_n\to 1$ 再取对数
  看解答
• 试卷期中 2025-2026 第13题
  设 $x\ne 0$ 时 $f\left(x\right)=|x{|}^{\alpha }sin(x^2)$，$f\left(0\right)=0$。问 $\alpha$ 取何值时，$f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处 (1) 连续；(2) 可导；(3) 一阶导数连续。
  连续与可导恰好差一阶
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第1题
  设 $y=(sin2x{)}^x+(arcsin2x{)}^4$，求 $\frac{dy}{dx}$。
  底与指数都含 $x$，幂指函数必须取对数。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第2题
  设函数 $f\left(u\right)$ 可导，$y=y\left(x\right)$ 是由方程 $y=3f\left(xy\right)+ln(1+sinx)$ 所确定的可导函数，求 $\frac{dy}{dx}$。
  $f$ 的自变量里也含 $y$，别漏 $xy$ 的链式项。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第3题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x=3t^2+2t+3$，$y={\int }_0^t(3u+1)sin{u}^{2}du$ 所确定，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 在 $t=\sqrt{\pi }$ 处的值。
  二阶导要再除一次 $dx/dt$。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第4题
  计算定积分 ${\int }_{-1}^1\frac{1+\text{exception 25:}}{}$。
  先看奇偶性拆项，硬算会陷进根式里。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第5题
  计算反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$。
  作 $sec$ 换元后根号与 $x^2$ 一起消掉。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第6题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{1}{ln(1+sinx)}+\frac{1}{ln(1-sinx)})$。
  先通分合并成一个对数，再用等价无穷小。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第7题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{tanx-x}{1-\sqrt{1-x^3}}$。
  分母先有理化，两边都化到 $x^3$ 阶再比。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第8题
  求 ${\text{lim}}_{x\to \pi /2}(sinx{)}^{\frac{1}{{cos}^{2}x}}$。
  先取对数化 $0/0$，再令 $t=sinx$。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第9题
  求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n{3}^n}$ 的收敛半径、收敛区间及收敛域。
  端点必须分别判，$x=5$ 处正是调和级数。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第10题
  将函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-2x-3}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并写出成立的开区间。
  先裂项成两个几何级数，收敛区间取公共的 $\left|x\right|<1$。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第11题
  求不定积分 $\int \frac{1+x^2+x^4}{x^3(1+x^2)}ln(1+x^2)dx$。
  先拆项，再令 $t=1+x^2$。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第12题
  设 $f\left(x\right)\in C[0,1]$ 且恒正。试证明：(1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使得以曲线 $y=f\left(x\right)$ 为顶、区间 $[0,\xi ]$ 上的曲边梯形面积等于以 $f\left(\xi \right)$ 为高、以 $[\xi ,1]$ 为底的矩形面积；(2) 若增设 $f\left(x\right)$ 可导且 $f\prime \left(x\right)<0$，则 (1) 中的 $\xi$ 是唯一的。
  只用到连续性；单调性由 $k\prime$ 的符号给出。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第13题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $(0,+\infty )$ 内可导且 $f\prime \left(x\right)<0$，$F\left(x\right)={\int }_{1/x}^{1}xf\left(u\right)du+{\int }_1^{1/x}\frac{f\left(u\right)}{u^2}du$。(1) 求 $F\prime \prime \left(x\right)$（$x>0$）；(2) 讨论曲线 $y=F\left(x\right)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的凹凸性并求其拐点坐标。
  上下限都含 $x$，求导时两处都要带出符号。
  看解答
• 试卷期末 2012-2013 第14题
  设 $a_n={\int }_0^{\pi /4}{tan}^{n}xdx$，$n\ge 2$。(1) 计算 $a_n+a_{n+2}$，并证明 $\frac{1}{2(n+1)}<a_n<\frac{1}{2(n-1)}$；(2) 证明级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ 条件收敛。
  用 $tanx<1$ 夹出上下界。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第1题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^2+y=tan(x-y)$ 确定，且 $y\left(0\right)=0$，求 $y\prime \left(0\right)$ 与 $y\prime \prime \left(0\right)$。
  先代点再求二阶导，可省大量代数。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第2题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x={\int }_0^{t}2e^{-s^2}ds,y={\int }_0^{t}cos{s}^{2}ds$ 确定，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=\sqrt{\pi }}$。
  被积函数是 $cos{s}^2$ 不是 ${cos}^{2}s$
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第3题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-cos2x}{x^2}$。
  两个展开都要到 $x^2$ 项，缺一项即错。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第4题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{e^x-1}{x}{)}^{\frac{1}{x}}$。
  底数趋于 1 的 $1^{\infty }$ 型，必须取对数。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第5题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{1}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{x^2})$。
  通分后用 $x-sinx\sim x^3/6$
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第6题
  求积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{ln(1+x)}{x^2}dx$。
  瑕点在无穷远处，边界项要写极限；拆项后两项都收敛。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第7题
  求积分 ${\int }_{-1}^1(2+x{)}^2(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}dx$。
  先扔掉奇函数项，否则三角代换后计算量翻倍。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第8题
  证明：当 $0\le x<+\infty$ 时，$arctan3x\le ln(1+4x)$，且当且仅当 $x=0$ 时等号成立。
  导数恰为完全平方，是本卷最漂亮的一题。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第9题
  求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n{4}^n}{(2n+1)(2n+2)}{x}^{2n+2}$ 的收敛半径、收敛域，并求其和函数。
  系数含 $(2n+1)(2n+2)$，正是二次求导的产物。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第10题
  设常数 $a>0$，$f\left(x\right)=\frac{1}{3}a{x}^3-x$，求 $f\left(x\right)$ 在 $[0,\frac{1}{a}]$ 上的最大值与最小值。
  忘讨论 $a$ 与端点大小，是本题主要失分点。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第11题
  求曲线 $y^2=x+2$ 与直线 $y=x$ 所围区域绕直线 $x=2$ 旋转一周的体积。
  沿 $y$ 积分用垫片法；两曲线左右位置要代点验证。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第12题
  证明“$\frac{0}{0}$”型洛必达法则：设 (1) ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)={\text{lim}}_{x\to x_0}g\left(x\right)=0$；(2) $f,g$ 在去心邻域 $U\left(x_0\right)$ 内可导且 $g\prime \left(x\right)\ne 0$；(3) ${\text{lim}}_{x\to x_0}\frac{f\prime \left(x\right)}{g\prime \left(x\right)}=A$（或 $\infty$），则 ${\text{lim}}_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={\text{lim}}_{x\to x_0}\frac{f\prime \left(x\right)}{g\prime \left(x\right)}=A$。并举例说明条件 (3) 不成立而 $\text{lim}\frac{f}{g}$ 存在时不能用该法则。
  证完必写反例，很多人漏掉后半问。
  看解答
• 试卷期末 2013-2014 第13题
  设 $f\left(x\right)=-cos\pi x+(2x-3{)}^3+\frac{1}{2}(x-1)$。试讨论并证明方程 $f\left(x\right)=0$ 根的个数。
  难点：极小值刚好为负，取 $x=8/5$ 精确验证。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第1题
  设 $f\left(x\right)=(x-1)(x^2-2)(x^3-3)\cdots (x^{100}-100)$，求 $f\prime \left(1\right)$。
  别用乘积法则硬展，提出因子 $x-1$ 即可。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第2题
  设曲线由参数方程 $x=t^3+3t+1$，$y=t^3-3t+2$ 确定，求曲线的凹凸区间（用 $t$ 的区间表示，并说明对应的 $x$ 区间），并求拐点坐标。
  二阶导要再除以 $x\prime \left(t\right)$，符号看 $t$。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第3题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^2={\int }_0^{y-x}{e}^{-t^2}dt$ 确定，求曲线 $y=y\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的曲率半径。
  先由积分方程定 $y\left(0\right)$，再逐次求导。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第4题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{{cos}^{2}x}{{sin}^{2}x})$。
  先把常数 1 拆出来，剩下用泰勒。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第5题
  设 $f\left(x\right)={\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{x^{2n+1}+(a-1)x^n+1}{x^{2n}-a{x}^n+1}$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内连续，求常数 $a$ 的值。
  只需在分段点 $x=1$ 处对接左右极限。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第6题
  求曲线 $y=\frac{1}{x}+\frac{x}{1-e^x}$ 的所有渐近线的方程。
  两个方向分开算，$y=0$ 仅一侧成立。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第7题
  求定积分 ${\int }_{-2}^2(x-1{)}^2\sqrt{4-x^2}dx$。
  先用奇偶性去掉一次项，再三角代换。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第8题
  计算反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{arctanx}{x^3}dx$。
  拆成两项差再分部积分。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第9题
  设常数 $a>0$，$a_n={\int }_0^{1/n}\sqrt{a+x^n}dx$，讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n{a}_n$ 是条件收敛、绝对收敛还是发散，并给出论证过程。
  先估 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶，再拆两段。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第10题
  设 $f\left(x\right)=(1+sin2x{)}^{1/x}$（$x\ne 0$），且 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续。求 $f\left(0\right)$ 及曲线 $y=f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的切线方程。
  幂指函数先取对数，斜率用 $f\cdot (lnf)\prime$。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第11题
  摆线 $L$ 的参数方程为 $x=a(t-sint)$，$y=a(1-cost)$（$0\le t\le 2\pi$，$a>0$），曲线 $L$ 与 $x$ 轴所围成的区域为 $D$，求 $D$ 绕直线 $y=2a$ 旋转一周所得立体的体积。
  Pappus 定理最快，$d$ 到 $y=2a$。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第12题
  求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{+\infty }\frac{4n^2+4n+3}{2n+1}{x}^{2n}$ 的收敛半径、收敛域及和函数。
  系数拆成两项凑熟级数，$x=0$ 处单独算。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第13题
  (1) 设 $0<x<+\infty$，证明：存在 $\eta \in (0,1)$，使 $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x+\eta }}$；(2) 对上述 $\eta$，求 $\eta$ 关于 $x$ 的表达式 $\eta =\eta \left(x\right)$，并确定 $0<x<+\infty$ 时函数 $\eta =\eta \left(x\right)$ 的值域。
  值域要先用单调性，端点取极限。
  看解答
• 试卷期末 2014-2015 第14题
  证明：(1) ${\int }_0^{2\pi }\frac{sinx}{x}dx>0$；(2) 对 $\forall \alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，有 ${\int }_0^{2\pi }\frac{sinx}{x}dx>sin\alpha ln\frac{{\pi }^2-{\alpha }^2}{\alpha (2\pi -\alpha )}$。
  对数写成积分后放缩被积函数。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第1题
  设 $y=\frac{x^3}{3}arccosx-\frac{1}{9}(x^2+2)\sqrt{1-x^2}+ln5$，求 $dy$。
  第二项须先通分，抵消后答案极简。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第2题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x\left(t\right)=\sqrt{1+t^2}$，$y\left(t\right)={\int }_1^{t^2}\frac{3^u}{\sqrt{1+u}}du$ 所确定，求 $\frac{dy}{dx}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  上限是 $t^2$，求导别漏乘 $2t$。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第3题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $y^3+x{y}^2+x^{2}y-3=0$ 所确定，求曲线 $y=y\left(x\right)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率。
  算出 $y\prime \prime =0$ 别怀疑，曲率就是 $0$。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第4题
  求积分 ${\int }_0^2{x}^2\sqrt{2x-x^2}dx$。
  先配方平移，奇次项可直接扔掉。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第5题
  求广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{arctanx}{(\sqrt{1+x^2}{)}^3}dx$。
  三次方与 $dx$ 恰好配成 $cos$ 换元。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第6题
  已知 $f\left(x\right)={\int }_1^x\frac{ln(1+t)}{t}dt$，计算 ${\int }_0^1\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}dx$。
  注意 $x<1$ 时 $f<0$，结果为负。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第7题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{2sinx+x^{2}cos\frac{1}{x}}{(e^x+1)ln(1+x)}$。
  振荡因子被 $x^2$ 压住，视为 $o\left(x\right)$。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第8题
  求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{e^{sinx}-e^x}{\sqrt{1-x^3}-1}$。
  两边都展到三阶，低阶项全消。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第9题
  设 $a_n=\frac{sin\frac{\pi }{n}}{n+1}+\frac{sin\frac{2\pi }{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots +\frac{sin\pi }{n+\frac{1}{n}}$，$n=1,2,\cdots$，求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n$。
  分母是 $n+\frac{1}{k}$，先提 $\frac{1}{n}$。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第10题
  已知 $f\left(x\right)={\int }_x^1\sqrt{1+t^2}dt+{\int }_1^{x^2}\sqrt{1+t}dt$，求 $f\left(x\right)$ 零点的个数。
  先算 $f\left(1\right)=0$，再靠单调性定位。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第11题
  将 $f\left(x\right)=xarctanx-ln\sqrt{1+x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并写出成立的区间。
  先求导消项，端点须单独说明。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第12题
  设数列 $\left\{a_n\right\}$，$\left\{b_n\right\}$ 满足 $0<a_n<\frac{\pi }{2}$，$0<b_n<\frac{\pi }{2}$，$cos{a}_n-a_n=cos{b}_n$，且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 收敛。(1) 证明 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=0$；(2) 证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{b_n}$ 收敛。
  $a_n>0$ 逼出 $b_n>a_n$，再中值放缩。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第13题
  设 $l_1$ 为曲线 $y=x^2$ 在点 $A(a,a^2)$（$a>0$）处的切线，$l_2$ 为曲线 $y=x^2$ 的另一条切线，且与切线 $l_1$ 垂直。(1) 求 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点坐标；(2) 求曲线 $y=x^2$ 与切线 $l_1$、$l_2$ 所围成的平面图形的面积，并问 $a$ 为何值时该面积最小。
  两切线交点恒在准线 $y=-\frac{1}{4}$ 上。
  看解答
• 试卷期末 2015-2016 第14题
  设奇函数 $f\left(x\right)$ 在 $[-1,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f\left(1\right)=1$，证明：(1) 存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f\prime \left(\xi \right)=1$；(2) 存在 $\eta \in (-1,1)$，使得 $\eta f\prime \prime \left(\eta \right)+f\prime \left(\eta \right)=1$。
  奇函数给 $f\left(0\right)=0$，且 $f\prime$ 为偶。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第1题
  设 $f\left(x\right)=x^2{e}^x$，求 $f^{\left(10\right)}\left(0\right)$。
  三项里只有常数项 $n(n-1)$ 在 $x=0$ 处存活，但另两项必须写出来才能确认这一点；用幂级数系数验算只需一行。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第2题
  求 ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}dx$。
  看到 $1+cosx$ 立刻用半角，并且把 $\frac{sinx}{1+cosx}$ 认成 $tan\frac{x}{2}$——两项都是对称区间上的现成结论，上万能代换只会把计算拖长。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第3题
  设 $x=cos2t$，$y=(1-cost{)}^2$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  参数方程求二阶导时，对 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 求导后必须再除一次 $\frac{dx}{dt}$，漏掉这一步是本题的唯一大坑。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第4题
  设 $f\left(x\right)={\int }_0^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$，$x\in (-\infty ,+\infty )$，求曲线 $y=f\left(x\right)$ 的拐点。
  答案是一个点，只写 $x=0$ 要扣分；由于被积函数恒正，$f\prime \prime$ 的符号问题退化成一维的 $-x$，几乎不用计算。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第5题
  求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n})$。
  不提出 $\frac{1}{n}$ 就看不出积分；提出后分母是 $1+\frac{k}{n}$，对应 ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}$，答案是正的 $ln2$ 而不是 $-ln2$。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第6题
  设 $f\left(x\right)$ 为连续函数，且 $f(x+2)-f\left(x\right)=x$，${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=1$，求 ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx$。
  关键是第二段换元后区间变成 $[0,1]$，正好与 ${\int }_0^2$ 拆出的那一段拼成已知常数；不必真去解函数方程。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第7题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(cosx{)}^{\frac{1}{x}}-1}{x}$。
  指数是 $\frac{1}{x}$ 而非 $\frac{1}{x^2}$，看清再算；$lncosx$ 只需展开到 $x^2$，分子恰好出一个 $x$ 与分母约去。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第8题
  求不定积分 $\int \frac{x^5}{\text{exception 25:}}$。
  $x^5$ 要拆成 $x^3\cdot x^2$，让 $x^{2}dx$ 与换元配套，剩下的 $x^3=u^4-1$ 代进去就是多项式；最后别忘了回代成 $x$。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第9题
  求广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^4}$。
  不要一上来就部分分式硬拆；用倒数代换 $x=\frac{1}{t}$ 把 $I$ 变成 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x^2}{1+x^4}$，相加后凑出 $d(x-\frac{1}{x})$，三步就结束。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第10题
  已知函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x{e}^x-y+\frac{1}{2}siny=0$ 确定，求 $y\prime {|}_{x=0}$ 与 $y\prime \prime {|}_{x=0}$。
  隐函数求二阶导时 $\frac{1}{2}cosy$ 求导会生出 $-\frac{1}{2}siny\cdot (y\prime {)}^2$，这一项在 $y=0$ 处为零但仍须写出；$y\left(0\right)$ 要由方程唯一确定，不能默认。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第11题
  求曲线 $y=e^x$，$0\le x\le ln\sqrt{3}$ 的弧长。
  根号内是 $1+e^{2x}$（不是 $1+e^x$），令 $e^x=tan\theta$ 最稳；拆项用 $\frac{1}{sin\theta {cos}^2\theta }=\frac{sin\theta }{{cos}^2\theta }+\frac{1}{sin\theta }$，硬凑万能代换会算不完。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第12题
  已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx$ 满足 $f\left(x\right)\ge 0$，$x\in [0,1]$。设平面有界区域 $D$ 由 $y=f\left(x\right)$ 与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴围成。(1) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积 $V_0$；(2) 当 $D$ 的面积等于 $\frac{1}{3}$ 时，求 $a,b$ 的值使得体积 $V_0$ 取到最小值。
  $f\ge 0$ 必须翻译成 $b\ge 0$、$a+b\ge 0$ 并在最后回代检查，否则容易给出不可行的「最优解」；交叉项是 $2ab{x}^3$，积出 $\frac{ab}{2}$，写成 $\frac{ab}{3}$ 会连带把 $a,b$ 都算错。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第13题
  求函数 $F\left(t\right)={\int }_0^{\pi }|sinx-t|dx$ 的最小值。
  先说明 $t$ 落在 $[0,1]$ 之外时 $F$ 更大，再在 $[0,1]$ 上求导；分点 $arcsint$ 处被积函数为零，所以求导不必加边界项，但这一点要写出来。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第14题
  按定义证明 ${\text{lim}}_{x\to 1}{x}^2=1$。
  证明的关键不是算 $\delta$，而是那句「先限制 $|x-1|<1$」——不写它，$|x+1|<3$ 就是无源之水，逻辑上直接崩。
  看解答
• 试卷期末 2016-2017 第15题
  证明：对 $\forall x\in (0,\frac{\pi }{2})$，$tanx>x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{x^7}{63}$。
  别对 $g$ 反复求导——${sec}^2$ 的导数会越算越乱；用 $g\prime ={tan}^{2}x-\cdots$ 把问题归约到已知的 $tanx>x+\frac{x^3}{3}$，平方后系数恰好配平，这才是本题要考的「不等式链」。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第1题
  设 $a,b$ 为实常数，已知函数在 $x\ge 0$ 时 $f\left(x\right)=(2017+x{)}^x+b$，在 $x<0$ 时 $f\left(x\right)=a(1-x{)}^{\frac{1}{x}}$，且 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处可导，试求 $a,b$ 的值。
  可导要先用连续定一个方程、再用左右导数相等定第二个；左支 $(1-x{)}^{1/x}$ 求导容易把符号算反，$a$ 是负值不要以为算错了。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第2题
  计算极限值：${\text{lim}}_{x\to +\infty }(\text{exception 25:}$。
  两个根式次数不同，不能各自代等价无穷小；必须先提出 $x$ 再展开到 $\frac{1}{x}$ 这一阶，否则首项抵消后就没信息了。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第3题
  设 $f\left(x\right)=arctanx$，试求 $f^{\left(2018\right)}\left(0\right)$ 的值。
  看到 $2018$ 这种大偶数就该想到奇偶性：$arctanx$ 的展开只有奇次项，答案是 0；硬套莱布尼茨公式会陷进去。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第4题
  用 $\epsilon -N$ 语言证明：${\text{lim}}_{n\to +\infty }\frac{2n^2+1}{3n^2+4}=\frac{2}{3}$。
  放大的目标是「能解出 $n$」，分母丢掉常数项写成 $3(3n^2+4)>9n^2$ 是最省事的一步，$N$ 取整后加 1 别忘。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第5题
  设 $t\ne 0$ 时 $f\left(t\right)=sin\frac{1}{t}$，$f\left(0\right)=1$，又设 $F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$，试求 $F\prime \left(0\right)$ 的值。
  本题唯一陷阱是被积函数在 0 处不连续：$F\prime \left(0\right)=0\ne f\left(0\right)=1$，直接写 $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ 就全错。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第6题
  设可导函数 $y=y\left(x\right)$ 满足方程 $x^y+y^x=2$，试求 $dy{|}_{x=1}$。
  底与指数都含变量，必须写成 $e^{ylnx}$ 再求导；先定 $y\left(1\right)=1$ 再代点，顺序反了会多出未知量。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第7题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $x=t-sint,y=1-cost(t\in (0,1\left)\right)$ 决定，试求 $y\prime \left(x\right)$、$y\prime \prime \left(x\right)$。
  参数方程二阶导不是 $\frac{y\prime {\prime }_{tt}}{x\prime {\prime }_{tt}}$，必须对 $t$ 求导后再除一次 $x\prime \left(t\right)$，这是最常见的丢分点。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第8题
  求不定积分 $\int arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$，$x\in (-1,1)$。
  硬做分部积分会被 $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 的导数拖死；先看出它等于 $\frac{1}{2}arccosx$，整题就只剩一个基本积分。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第9题
  求函数 $y=x^3-3\left|x\right|+1$ 的极值。
  $\left|x\right|$ 让 $x=0$ 变成不可导点，而极值恰恰可能出现在不可导点，必须单独用左右导数定号，别只解 $y\prime =0$。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第10题
  计算反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{arctanx}{x^2}dx$ 的值。
  分部积分后剩下的 $\frac{1}{x(1+x^2)}$ 要裂项成 $\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}$ 才积得出，直接凑 $arctan$ 的导数会卡住。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第11题
  从半径为 $r>0$ 的圆形铁皮中剪去一个顶点在圆心的扇形，把剩下的扇形卷成漏斗，问剪去的扇形的中心角为多少时漏斗容积最大？
  要算的是剪去角 $\alpha =2\pi -\theta$，最后一步别把 $\theta$ 当答案；另外 $\rho =\frac{r\theta }{2\pi }$ 里的 $\theta$ 是剩下角，设错字母整题方向就反了。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第12题
  设 $c<d$ 是两个实数，$f$ 是开区间 $(c,d)$ 上的二阶可导函数，且 $\forall x\in (c,d)$ 有 $f\prime \prime \left(x\right)>0$。试证明：$\forall x_1,x_2\in (c,d)$，且 $x_1<x_2$，有 $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f\left(t\right)dt\le \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}.$$
  两个不等式方向相反，必须分别用切线与弦两条支撑线证，光写「$f$ 是凸函数」不给分；积分 $\int (t-m)dt=0$ 是左半边的关键一步。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第13题
  （1）证明：$\forall n\in N$，${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sinx{)}^{n}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(cosx{)}^{n}dx$； （2）$\forall n\in N$，记 $I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(sinx{)}^{n}dx$，证明：$\forall n\in N,n\ge 2$，有 $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$； （3）证明：$\forall n\in N^{+}$，$I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\cdot \frac{\pi }{2}$；$\forall n\in N$，$I_{2n+1}=\frac{\left(2n\right)!!}{(2n+1)!!}$； （4）证明 Wallis 公式：${\text{lim}}_{n\to +\infty }\frac{(n!{)}^2{2}^{2n}}{\left(2n\right)!\sqrt{n}}=\sqrt{\pi }$。
  (4) 的关口是把 $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}$ 与 $\frac{(n!{)}^2{2}^{2n}}{\left(2n\right)!\sqrt{n}}$ 挂钩，牢记 $\left(2n\right)!!=2^{n}n!$、$(2n-1)!!=\frac{\left(2n\right)!}{2^{n}n!}$，符号一乱就推不出 $\pi$。
  看解答
• 试卷期末 2017-2018 第14题
  （1）$\forall n\in Z^{+}$，令 $a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}$，试证明正数数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，从而由单调有界数列必有极限得 $\left\{a_n\right\}$ 收敛，记其极限为 $\alpha$； （2）$\forall n\in Z^{+}$，令 $b_n=a_n{e}^{-\frac{1}{4n}}$，试证明数列 $\left\{b_n\right\}$ 单调递增；又 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{b}_n=\alpha$，由此可得 $\alpha >0$； （3）利用 Wallis 公式证明 $\alpha =\sqrt{2\pi }$； （4）证明最简形式的 Stirling 公式：$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}{)}^n\right(n\to +\infty )$。
  三问是一条链：(1) 用 $ln(1+\frac{1}{n})>\frac{2}{2n+1}$ 证递减，(2) 用 $e^{-\frac{1}{4n}}$ 的修正项把余项压成正的，(3) 靠 $\frac{a_n^2}{a_{2n}}=\sqrt{2}{W}_n$ 接上 Wallis，缺一环后面全断。
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• 试卷期末 2018-2019 第1题
  对 $\forall n\in Z^{+}$，设 $a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$，$b_n=(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$，且已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 严格单调递增、数列 $\left\{b_n\right\}$ 严格单调递减。试用 $e$ 的定义证明不等式：$\forall n\in Z^{+}$，有 $\frac{1}{n+1}<ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$。
  全靠「严格单调 + 极限为 $e$」才能写出严格不等号；若只用 $a_n\to e$ 不强调单调性，两端就只剩小于等于。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{(3+2x{)}^x-3^x}{arcsin\left(x^2\right)}$。
  先提出 $3^x$ 再用 $e^u-1\sim u$ 最省事；若把两个幂指函数各自展到二阶，系数很容易算混。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第3题
  设 $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}{x}^2}$，求 $f^{\left(2019\right)}\left(0\right)$。
  求一点处的高阶导首选幂级数展开；也可先看出 $f$ 是偶函数，奇数阶导数在 $0$ 处直接为 $0$。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第4题
  设有函数 $f\left(x\right)=\frac{x}{e^x-1}$（$x\ne 0$），$f\left(0\right)=1$。令 $f\left(x\right)=B_0+\frac{B_1}{1!}x+\frac{B_2}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{B_n}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$（$x\to 0$，其中 $n$ 为某个大于等于三的正整数），试计算 $B_0,B_1,B_2$ 的值。
  这三个数就是前三个伯努利数；$B_1=-\frac{1}{2}$ 的负号是唯一的坑，另外比较系数时别忘了除掉 $k!$。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第5题
  设 $f\left(x\right)=x^{\frac{1}{x}}$，$x>0$，求 $f\left(x\right)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的最大值。
  先取对数把幂指函数化为乘除再求导；答「最大值」必须补一句端点趋势，否则逻辑上没排除更大值。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第6题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内一阶可导，且满足 ${\text{lim}}_{x\to 0}(1+x+\frac{y\left(x\right)}{x}{)}^{\frac{1}{x}}=e^{2019}$，求 $y\left(0\right),y\prime \left(0\right),y\prime \prime \left(0\right)$。
  三个值是一条链：$u\to 0$ 给 $y\left(0\right)=0$，$u/x\to 2019$ 给 $y/x^2\to 2018$，再读一次二阶导定义；取 $y=2018x^2$ 回代即可验算。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第7题
  设可微函数 $y=y\left(x\right)$ 满足方程 $x^3+y^3+3xy=1$，求 $dy{|}_{x=1}$。
  一定先解出 $x=1$ 对应的 $y$（唯一实根 $y=0$）；问的是微分，答案要带 $dx$，只写 $-1$ 会被扣分。
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• 试卷期末 2018-2019 第8题
  求不定积分 $\int \frac{xlnx}{(1+x^2{)}^2}dx$。
  把 $\frac{x}{(1+x^2{)}^2}$ 凑进微分是分部的最优选择；剩下那个积分务必拆成 $\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}$，硬换元会绕远。
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• 试卷期末 2018-2019 第9题
  已知反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi }{2}$，试求反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{(sinx{)}^2}{x^2}dx$。
  分部后出现 $\frac{sin2x}{x}$，再用换元化回已知积分；两端边界项必须写清，反常积分丢边界项是常见失分点。
  看解答
• 试卷期末 2018-2019 第10题
  求参数曲线 $\gamma$：$x=t-sint$，$y=1-cost$（$t\in [0,1]$）的弧长。
  用 $1-cost=2{sin}^2\frac{t}{2}$ 后开方要带绝对值；本题区间恰好使 $sin\frac{t}{2}>0$，这句说明不能省。
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• 试卷期末 2018-2019 第11题
  设 $\left\{a_n\right\}$ 是一个实数列，$a$ 是一个实数。(1) 试用 $\epsilon -N$ 语言描述 $\left\{a_n\right\}$ 收敛于 $a$；(2) 试用 $\epsilon -N$ 语言描述 $\left\{a_n\right\}$ 不收敛于 $a$。
  $n>N$ 也要跟着否定成「存在某个 $n>N$」；只翻 $\epsilon$ 而不动 $N$，写出来的就成了「有限项例外」，与原意相反。
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• 试卷期末 2018-2019 第12题
  设 $f$ 在开区间 $(0,1)$ 上有定义，且满足：对 $(0,1)$ 中的任意三点 $x_1<x_2<x_3$，成立 $$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\le \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_1\right)}{x_3-x_1}\le \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$$ 现任取 $(0,1)$ 中一点 $x_0$，试证明 $f$ 在点 $x_0$ 处右连续。
  核心是「差商随 $h$ 单调」；难点在给 $g$ 找与 $h$ 无关的下界，必须借左侧一点 $x_0-t_0$ 并用满两个不等号，只用一个证不出极限有限。
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• 试卷期末 2018-2019 第13题
  设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上具有连续的导函数，且严格单调增加，$f\left(0\right)=0$；又设 $a>0$，$b>0$ 为两个实常数，试证明下述不等式成立： $${\int }_0^{a}f\left(x\right)dx+{\int }_0^b{f}^{-1}\left(y\right)dy\ge ab$$
  几何上就是两段积分正好拼满 $a\times b$ 的矩形；严格证明把 $a$ 当变量求导找最小值，再用分部积分算出 $G\left(c\right)=0$，比画图说理稳。
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• 试卷期末 2018-2019 第14题
  对 $\forall n\in Z^{+}$，设 $a_n={\sum }_{i=1}^n\frac{\sqrt{i}}{n\sqrt{n+\frac{1}{i}}}$，试证明：${\text{lim}}_{n\to +\infty }{a}_n=\frac{2}{3}$。
  把分母的 $n\sqrt{n}$ 提出来就是标准黎曼和；放缩时统一用 $\frac{1}{in}\le \frac{1}{n}$ 才能让两端的因子一起趋于 $1$，否则夹逼夹不住。
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• 试卷期末 2019-2020 第1题
  设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，且对任意正整数 $n$ 有 $a_{n+1}=sin{a}_n$。(1) 证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛并求其极限；(2) 计算极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{a_{n+1}}{a_n}{)}^{\frac{6}{a_n^2}}$。
  先证单调有界再取极限，别一上来就写 $a=sina$；第 (2) 问的指数里已有 $a_n^2$，只需 $\frac{sinx}{x}$ 的展开到 $x^2$ 项，多展开反而添乱。
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• 试卷期末 2019-2020 第2题
  求曲线 $y=\frac{lnx}{x}$ 的拐点坐标。
  $y\prime \prime =0$ 只是必要条件，必须验证两侧异号；$x=e^{3/2}$ 代入时 $y=\frac{lnx}{x}=\frac{3}{2}{e}^{-3/2}$，指数为负，别写成 $\frac{3}{2}{e}^{3/2}$。
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• 试卷期末 2019-2020 第3题
  设函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{arctanx-sinx}{x^2},& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$ 试求 $f\prime \left(0\right)$。
  $f\left(0\right)=0$ 而 $\frac{arctanx-sinx}{x^2}\to 0$，说明 $f$ 在 $0$ 处连续，但这并不给出 $f\prime \left(0\right)$；分子两个函数的一次项恰好抵消，必须展开到 $x^3$ 才有非零主部。
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• 试卷期末 2019-2020 第4题
  设函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}(1+x{)}^{\frac{1}{x}},& x\ne 0;\\ e,& x=0,\end{array}$（其中 $x>-1$），令 $f\left(x\right)=M_0+\frac{M_1}{1!}x+\frac{M_2}{2!}{x}^2+\frac{M_3}{3!}{x}^3+o\left(x^3\right)$（$x\to 0$）。试计算 $M_1,M_2,M_3$ 的值。
  $M_k$ 就是 $f^{\left(k\right)}\left(0\right)$，但直接求导极繁，应走「先取对数再展开」；比较系数时注意分母的 $k!$，把 $-\frac{7e}{16}$ 直接当作 $M_3$ 是最常见的丢分点。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第5题
  设函数 $f\left(x\right)={\int }_1^{x^2}(x^2-t)e^{-t^2}dt$，试求 $f\left(x\right)$ 的所有极值点及极值。
  被积函数里含 $x^2$，既要对上限求导又要对参数求导，两部分恰好抵消是本题的关键；求 $f\left(0\right)$ 时别忘积分下限是 $1$、上限是 $0$，符号最容易反。
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• 试卷期末 2019-2020 第6题
  试求曲线 $y=2e^{\frac{x}{2}}$，$x\in [ln3,3ln2]$ 的弧长。
  $y\prime =e^{x/2}$ 所以 $1+(y\prime {)}^2=1+e^x$（不是 $1+e^{2x}$），这是本题最大的坑；换元后 $\frac{2u^2}{u^2-1}=2+\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}$ 拆项即可，别硬凑三角换元。
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• 试卷期末 2019-2020 第7题
  设可微函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $3^{xy}=x+y$ 确定，试计算 $dy{|}_{x=0}$。
  先代 $x=0$ 求出 $y=1$ 再求导，可以免去带着 $y$ 解方程的麻烦；$3^{xy}$ 求导要出 $ln3$ 且要乘 $\left(xy\right)\prime =y+xy\prime$，漏乘 $y$ 或漏 $ln3$ 都常见。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第8题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t+e^t,\\ y={\int }_0^{t}ln(1+e^u)du\end{array}$ 确定，试求 $\frac{dy}{dx}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。
  二阶导数不是把 $\frac{dy}{dx}$ 直接对 $t$ 求导，必须再除以 $\frac{dx}{dt}$；分子里 $e^t$ 与 $1+e^t$ 约掉后剩下 $1-ln(1+e^t)$，这个化简不做完阅卷常判不完整。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第9题
  试计算反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x\sqrt{1+x^4}}$ 的值。
  $\int \frac{d\theta }{sin\theta }=ln|tan\frac{\theta }{2}|$ 要记牢；上限 $\theta \to \frac{\pi }{2}$ 时 $tan\frac{\theta }{2}\to 1$、对数为 $0$，结果只由下限决定，符号极易写反。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第10题
  试求不定积分 $\int (\frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}+\frac{lnx}{x})dx$。
  $\frac{1}{x^2(1+x^2)}$ 必须拆成 $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$ 才能分部积分，否则会陷在 $arctanx$ 里；对结果求导回验一次是本题最稳的检查手段。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第11题
  设 $x_0$，$a$ 是两个实数，$f$ 在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U^{\circ }\left(x_0\right)$ 上有定义，试用 $\epsilon -\delta$ 语言描述 $f\left(x\right)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时收敛于 $a$。
  四个量词的顺序不能动：$\epsilon$ 在前、$\delta$ 随 $\epsilon$ 而定，写成「存在 $\delta$ 对任意 $\epsilon$」就错了；另外必须写 $0<|x-x_0|<\delta$（去心），漏掉 $0<$ 会误把 $x=x_0$ 处的情形算进去。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第12题
  试计算定积分 ${\int }_0^1\frac{ln(1+2x+x^2)}{1+x^2}dx$。
  先把 $ln(1+2x+x^2)$ 化成 $2ln(1+x)$ 是破题点；换元后要会拆 $1+tan\theta =\frac{\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{4}-\theta )}{cos\theta }$，并注意 $lncos(\frac{\pi }{4}-\theta )$ 与 $lncos\theta$ 在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上积分相等而抵消。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第13题
  设 $f$ 在 $(-1,2)$ 上有连续的导函数，且满足 $f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=1$。试证明 $${\int }_0^1\left|f\right(x)-f\prime (x\left)\right|dx\ge \frac{1}{e}.$$
  看到 $f-f\prime$ 就想 $e^{-x}f$，这是固定套路；证明中两处不等式（$e^x\ge 1$ 与 $|\int g\prime |\le \int |g\prime |$）要各写一句理由，缺了「$f\prime$ 连续」就无法用牛顿-莱布尼茨公式。
  看解答
• 试卷期末 2019-2020 第14题
  设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，且满足 $f{\prime }_{+}\left(0\right)<f{\prime }_{-}\left(1\right)$；又设 $\lambda \in \left(f{\prime }_{+}\right(0),f{\prime }_{-}(1\left)\right)$，试证明：存在 $x_0\in (0,1)$，使得 $f\prime \left(x_0\right)=\lambda$。
  这是达布（导数介值）定理的构造性证明：把 $\lambda$ 减掉后，两端单侧导数异号，保证最小值落在内部，再用费马引理；只说「由达布定理」而不验证极值点位置会被扣分。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第1题
  求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(n^2-\frac{1}{{sin}^2\frac{1}{n}})$。
  通分后分子是四阶小量，只展开到 $x^3$ 会得到 $0/0$ 的死循环，必须展到 $x^4$ 项；也可先令 $t=\frac{1}{n}$ 再用洛必达，但四次求导极繁。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{e^{(x+1{)}^2}sinx+x^{2}cos\frac{1}{x}}{ln(1+x)}$。
  $cos\frac{1}{x}$ 没有极限但有界，与 $x^2$ 相乘即为 $o\left(x\right)$，这是本题唯一考点；把它误当 $\sim 0$ 或去求 $cos\frac{1}{x}$ 的极限都会失分。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第3题
  求不定积分 $\int \frac{arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$。
  看到 $\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 就该立刻想到 $t=\sqrt{x}$；换元后 $arctant$ 的积分必须分部，直接凑微分 $d(arctant)=\frac{dt}{1+t^2}$ 是走不通的方向。
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• 试卷期末 2020-2021 第4题
  (1) 设 $a_1,\cdots ,a_m$ 是 $m$ 个正实数，求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\text{exception 25:}$；(2) 求极限 ${\text{lim}}_{n\to \infty }({\int }_1^2{e}^{-n{t}^2}dt{)}^{\frac{1}{n}}$。
  第 (1) 问的答案是最大值而不是和，别写成 $\sum a_i$；第 (2) 问 $e^{-n}$ 是主导因子必须提出来，剩下那段要在 $s=0$ 附近夹出「$n$ 的负幂」量级，开 $n$ 次方后才为 1。
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• 试卷期末 2020-2021 第5题
  设曲线 $\gamma$ 由极坐标方程 $r=1+cos\theta$，$\theta \in [0,2\pi ]$ 确定，试求曲线 $\gamma$ 的弧长。
  开方后必须带绝对值，$\theta \in [0,2\pi ]$ 时 $cos\frac{\theta }{2}$ 在 $\theta =\pi$ 变号，直接丢掉绝对值会算出 $0$——这是本题最大的坑。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第6题
  求反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x{e}^x}{(1+e^x{)}^2}dx$。
  不要忘了 $\int \frac{du}{u(1+u)}$ 要拆成 $\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}$；另外 $ln\frac{u}{1+u}$ 在 $u\to +\infty$ 时趋于 $0$ 而非发散，这一步是收敛的关键。
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• 试卷期末 2020-2021 第7题
  求椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上一点 $(x_0,y_0)$，使得它到直线 $3x+5y=15$ 的距离最短。
  先要说明 $3x+5y\le \sqrt{181}<15$，才能去掉绝对值把「距离最小」化为「$3x+5y$ 最大」，否则符号一错答案就变成补点；椭圆参数化是最快的路。
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• 试卷期末 2020-2021 第8题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 满足 $\{\begin{array}{l}x=t-sint,\\ y=1-cost,\end{array}t\in (0,2\pi )$，试求 $\frac{dy}{dx}$，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$，并求函数 $y=y\left(x\right)$ 的极值。
  二阶导公式是 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x\prime \left(t\right)}\frac{d}{dt}\left(\frac{y\prime \left(t\right)}{x\prime \left(t\right)}\right)$，漏掉前面的 $\frac{1}{1-cost}$ 是最高频错误；另外别把 $t=\pi$ 的极值写成 $x$ 的极值点再回代错 $y$。
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• 试卷期末 2020-2021 第9题
  设 $f$ 在 $ℝ$ 上连续，且以 $T(T>0)$ 为周期。(1) 试证明函数 $F\left(x\right)={\int }_0^{x}f\left(t\right)dt-\frac{x}{T}{\int }_0^{T}f\left(u\right)du$ 以 $T$ 为周期；(2) 试证明 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f\left(u\right)du$；(3) 试求极限 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }\frac{{\int }_0^x|sint|dt}{x}$。
  (2) 的关键是把 ${\int }_0^{x}f$ 拆成「主项 $\frac{x}{T}{\int }_0^{T}f$ + 有界的周期余项 $F\left(x\right)$」，余项除以 $x$ 即消失；(3) 只是 (2) 取 $f=|sint|$、$T=\pi$，别把周期误写成 $2\pi$。
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• 试卷期末 2020-2021 第10题
  设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续且取值恒正，试证明存在唯一的 $c\in (0,1)$，使得 ${\int }_0^{c}f\left(x\right)dx={\int }_c^1\frac{dt}{f\left(t\right)}$。
  $\frac{d}{dc}{\int }_c^1\frac{dt}{f\left(t\right)}=-\frac{1}{f\left(c\right)}$ 的负号是唯一易错点，两负号相加才得到 $f+\frac{1}{f}>0$；另外「恒正」既保证 $\frac{1}{f}$ 连续，也是 $G\left(0\right)<0,G\left(1\right)>0$ 的来源。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第11题
  设函数 $f$ 在 $(0,1)$ 上连续，且满足：$\forall x_1\in (0,1)$，$x_2\in (0,1)$，$x_3\in (0,1)$，且 $x_1<x_2<x_3$，都有 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\le \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$ 成立。若设 $a<b$ 且 $[a,b]\subset (0,1)$，试证明：$\exists L>0$ 使得 $\forall t_1,t_2\in [a,b]$，有 $\left|f\right(t_2)-f(t_1\left)\right|\le L|t_2-t_1|$ 成立。
  本题实质是「闭子区间上凸函数必利普希茨」：必须往区间外各借一点 $p,q$ 把差商夹住，只用 $[a,b]$ 内部的点无法得到与 $t_1,t_2$ 无关的常数 $L$。
  看解答
• 试卷期末 2020-2021 第12题
  设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且满足 $f\left(0\right)=0=f\left(1\right)$，${\text{min}}_{x\in [0,1]}f\left(x\right)=-1$，试证明：$\exists x_0\in (0,1)$，使得 $f\prime \prime \left(x_0\right)\ge 8$。
  三步不可少：由端点值为 $0$、最小值为 $-1$ 断定最小值点在内部（否则 $f\prime \left(c\right)=0$ 不成立）；再用 $f\prime \left(c\right)=0$ 使泰勒式只剩二阶项；最后用 $\text{min}\{c,1-c\}\le \frac{1}{2}$ 把两个估计合并。
  看解答
• 试卷期末 2021-2022 第1题
  求反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-\sqrt{x}}dx$。
  换元后是 $\Gamma \left(2\right)$ 型积分，$dx=2tdt$ 中的因子 $2$ 极易漏掉；另外要交代 $t{e}^{-t}\to 0$，否则分部积分的上限代入没有依据。
  看解答
• 试卷期末 2021-2022 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }\left[\right(x^7+x^6{)}^{\frac{1}{7}}-(x^7-x^6{)}^{\frac{1}{7}}]$。
  两个根式必须先提出 $x$，否则是 $\infty -\infty$ 型；展开只需到二阶，注意 $u^2$ 项相消、只剩一次项，这正是答案有限的根源。
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• 试卷期末 2021-2022 第3题
  求不定积分 $\int \frac{1+sinx}{(1+cosx)sinx}dx$，$x\in (0,\frac{\pi }{2})$。
  先拆成两项、只对复杂的那项作半角代换，比整体万能代换省一半计算；计算 $\int \frac{1+t^2}{2t}dt$ 时 $\frac{t^2}{4}$ 常被误写成 $\frac{t^2}{2}$（可用求导回验）。
  看解答
• 试卷期末 2021-2022 第4题
  (1) 当 $x>0$ 时，证明 $x-\frac{x^2}{2}<ln(1+x)<x$。(2) 求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n^2})(1+\frac{2}{n^2})\cdots (1+\frac{n}{n^2})$。
  乘积先取对数再逐项用 (1) 夹逼是固定套路：只用 $ln(1+u)<u$ 只能得到上界，必须靠左边那一半给出下界，才能把 $ln{P}_n$ 夹到 $\frac{1}{2}$。
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• 试卷期末 2021-2022 第5题
  求曲线 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的长度。
  关键恒等式 $1+{sinh}^{2}x={cosh}^{2}x$ 使被开方式恰为完全平方，省去硬算 $\sqrt{1+y{\prime }^2}$ 的代数整理；答案保留 $sinh1$ 即可，约等于 $1.1752$。
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• 试卷期末 2021-2022 第6题
  设函数 $f\left(x\right)=lncosx$，令 $f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+o\left(x^4\right)$，$x\to 0$。试计算 $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$ 的值。
  $a_k$ 就是 $\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}$，用 $tanx$ 的已知展开逐项积分最快；奇次项系数必须显式写出 $a_1=a_3=0$，漏写等于少答。
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• 试卷期末 2021-2022 第7题
  求 $f\left(x\right)=-3x^5+5x^3+2$ 的极值。
  $x=0$ 是 $f\prime$ 的二重零点、两侧同号，不是极值点；解出三个驻点就报三个极值，是本题最常见的失分点。
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• 试卷期末 2021-2022 第8题
  由参数方程 $x=e^{t}cost$，$y=e^{t}sint$ 确定函数 $y=y\left(x\right)$，试求 $\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$，其中 $t\in (0,\frac{\pi }{4})$。
  二阶导必须再除一次 $\frac{dx}{dt}$，即 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(dy/dx){\prime }_t}{x{\prime }_t}$；只对 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 求导就漏掉一个因子，这是参数方程题最经典的坑。
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• 试卷期末 2021-2022 第9题
  已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续，且有唯一极值点 $x_0$。若 $x_0$ 为极大值点，证明 $f\left(x_0\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 的最大值。
  正确入口是取 $[x_0,x_1]$ 上的「最小值」：$m<f\left(x_0\right)$ 直接给出内点极小值，$m=f\left(x_0\right)$ 则 $f$ 在 $x_0$ 右侧局部为常数、处处是极值点；若改取最大值，会卡在端点 $x_1$ 上无法收尾。
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• 试卷期末 2021-2022 第10题
  已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，在 $(0,+\infty )$ 上可导，$f\left(0\right)<0$，且对 $\forall x>0$，$f\prime \left(x\right)>1$。求证：$f\left(x\right)$ 在 $[0,+\infty )$ 上有唯一零点。
  存在性不能只说「$f$ 连续且 $f\left(0\right)<0$」，必须先由 $f\prime >1$ 造出一个使 $f>0$ 的点；唯一性用罗尔定理一句话，也可说 $f\prime >1>0$ 保证 $f$ 严格递增。
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• 试卷期末 2021-2022 第11题
  函数 $f\left(x\right)$ 在 $(0,1)$ 上有定义，且对任意 $0<x_1<x_2<x_3<1$，有 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\ge \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_1\right)}{x_3-x_1}\ge \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$ 成立。对 $\forall n\in {\mathbb{N}}_{+}$，令 $a_n=(n+2)\left[f\right(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\left)\right]$，求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛。
  把 $a_n$ 认成区间 $[\frac{1}{2}-h_n,\frac{1}{2}]$ 上的差商是破题点：单调性靠条件中间那个不等式，下界只需固定 $x_3=\frac{3}{4}$（$h_n\le \frac{1}{3}$ 保证三点都落在 $(0,1)$ 内）。
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• 试卷期末 2021-2022 第12题
  设 $f\left(x\right)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\forall x\in [0,1]$，有 ${\int }_x^{1}f\left(t\right)dt\ge \frac{1-x^3}{2}$ 成立。求证：${\int }_0^1\left[f\right(t){]}^{2}dt\ge \frac{5}{12}$。
  关键是把尾积分约束配权 $x^2$：一次分部积分（交换次序）就把 ${\int }_x^{1}f$ 的下界变成 $\int t^{2}f$ 的下界，再用柯西一步收口；注意上述论证实际给出更强的 $\frac{9}{20}$，取 $f\left(t\right)=\frac{3}{2}{t}^2$ 时取等。
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• 试卷期末 2022-2023 第1题
  求极限 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }[\frac{e}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}{]}^n$。
  $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 只是 $e$ 的近似，差距约 $\frac{e}{2n}$，取 $n$ 次方后极限不是 1 —— 必须把 $ln$ 展开到 $n^{-2}$ 项。这是「$1^{\infty }$ 型的数列版」。
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• 试卷期末 2022-2023 第2题
  求极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{{sin}^{2}x})$。
  $\infty -\infty$ 型先通分成 $\frac{0}{0}$ 型。分母用 ${sin}^{2}x\sim x^2$ 换掉即可，不必展开到 $x^4$。
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• 试卷期末 2022-2023 第3题
  设 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\pi }+x^{2}sin\frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$ (1) 求 $f\prime \left(0\right)$；(2) 是否 $\exists \delta >0$ 使得 $f\left(x\right)$ 在 $(-\delta ,\delta )$ 内严格单调递增？请说明理由。
  这题考的是「$f\prime \left(x_0\right)>0$ 推不出邻域内单调」——$x^{2}sin\frac{1}{x}$ 这类振荡项就是反例制造机。判断单调性要看导数是否定号，不能只看一点。
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• 试卷期末 2022-2023 第4题
  已知二阶可导函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 ${\int }_0^{x+y}{e}^{-t^2}dt={\int }_0^{x}ysin\left[\right(t+1{)}^2]dt$ 确定，计算 $y\left(0\right)$、$y\prime \left(0\right)$、$y\prime \prime \left(0\right)$。
  关键是两边都是变限积分且上限含 $y$，要用链式法则。求二阶导时利用「$1+y\prime =0$」把含 $y\prime \prime$ 的项单独留下，能省一大半计算。
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• 试卷期末 2022-2023 第5题
  设函数 $f\left(x\right)=e^{(1+\frac{x}{2}{)}^2}$，且当 $x\to 0$ 时有 $f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+o\left(x^4\right)$。求 $a_2,a_3,a_4$。
  复合函数展开的稳妥做法：先代换 $u$，算出 $u,u^2,u^3,u^4$，再按次数合并。直接对 $e^{(1+x/2{)}^2}$ 反复求导会算错。
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• 试卷期末 2022-2023 第6题
  求反常积分 $J={\int }_0^{+\infty }\frac{arctan{e}^x}{e^x}dx$。
  反常积分照样可以分部积分，但要先确认两端的极限存在。$\int \frac{dx}{1+e^{2x}}$ 也可写成 $\int (1-\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}})dx$，一样快。
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• 试卷期末 2022-2023 第7题
  已知曲线 $l$ 满足 $r=2^{\theta }$，$\theta \in [e,\pi ]$，求曲线 $l$ 的弧长。
  对数螺线 $r=a^{\theta }$ 的弧长是标准模型，记住 $r\prime =a^{\theta }lna$。区间端点是 $e$ 和 $\pi$（不是 $0$ 到 $\pi$），抄题时容易看错。
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• 试卷期末 2022-2023 第8题
  求定积分 $I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{\frac{t}{2}}\frac{cost-sint}{\sqrt{cost}}dt$。
  这类题的信号是「$e^{t/2}$ 乘上一坨含 $cost$ 的分式」——先猜原函数是 $e^{t/2}\sqrt{cost}$，求导验证，系数差多少补多少。
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• 试卷期末 2022-2023 第9题
  若 $f\left(x\right)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，求证 ${\text{lim}}_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f\left(x_0\right)}{h^2}=f\prime \prime \left(x_0\right)$。
  只要求「二阶可导」而不要求「二阶连续」，所以不能用两次洛必达（洛必达需要 $f\prime \prime$ 在去心邻域内存在且连续）。Peano 余项的泰勒公式是这题的合法工具。
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• 试卷期末 2022-2023 第10题
  设 $\alpha$ 为一给定正实数，$n=2^{2023}$，证明：$\forall 0<x<1$，$n^{\alpha }{x}^n\le e^{-\alpha }{\alpha }^{\alpha }(-lnx{)}^{-\alpha }$。
  $n=2^{2023}$ 是干扰项——结论对一切 $n>0$ 都成立。看到「$x^n$ 与 $-lnx$ 的乘积」就该换元 $t=-lnx$，把问题变成一元函数求最值。
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• 试卷期末 2022-2023 第11题
  已知 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且对任意 $x\in [0,1]$ 都有 $g\left(x\right)\ge 0$。证明：$\exists x_0\in [0,1]$ 使得 ${\int }_0^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(x_0\right){\int }_0^{1}g\left(x\right)dx$。
  这就是第一积分中值定理的完整证明。注意 $g\ge 0$ 只是为了让不等式方向一致；若 $g$ 变号，结论不成立。
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• 试卷期末 2022-2023 第12题
  已知 $f\left(x\right)$ 在 $(-1,2)$ 上连续，$g\left(x\right)$ 在 $(-1,2)$ 上单调递增且导函数连续。证明：$\exists \xi \in [0,1]$ 使得 ${\int }_0^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=g\left(0\right){\int }_0^{\xi }f\left(x\right)dx+g\left(1\right){\int }_{\xi }^{1}f\left(x\right)dx$。
  这就是 Bonnet 形式的第二积分中值定理。思路只有两步：先对 $Ag$ 分部积分，再用第一中值定理把 $\int Ag\prime$ 中的 $g\prime$ 提出去。
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• 试卷期末 2023-2024 第1题
  ${\text{lim}}_{x\to 0}(cosx{)}^{{csc}^{2}x}=$ ______。
  先取对数再等价替换，$1^{\infty }$ 不是 1。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第2题
  已知 $f\left(x\right)$ 可导，$f\left(2\right)=2$，$f\prime \left(2\right)=3$，设 $y=f\left(f\right(f\left(x\right)\left)\right)$，则 $\frac{dy}{dx}{|}_{x=2}=$ ______。
  由里向外逐层乘，$f\left(2\right)=2$ 使三层同点。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第3题
  曲线 $y=xarctanx$ 在 $x\to -\infty$ 时的渐近线方程为 ______。
  截距靠 $arctanx+\frac{\pi }{2}\sim \frac{1}{\left|x\right|}$。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第4题
  设 $y=y\left(x\right)$ 由 $x=3t-sint$，$y=e^t-cost$ 确定，则 $\frac{dy}{dx}{|}_{t=0}=$ ______，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=0}=$ ______。
  二阶导要再除一次 $x\prime$，最易漏。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第5题
  已知连续函数 $f\left(x\right)$ 满足 ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx=3$，则 ${\int }_0^{1}x\left({\int }_1^{x}f\right(t\left)dt\right)dx=$ ______。
  内层上限含变量，整体分部积分最快。
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• 试卷期末 2023-2024 第6题
  设反常积分 ${\int }_1^{+\infty }(1-cos\frac{1}{x^p})dx$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 ______。
  指数是 $2p$ 不是 $p$。
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• 试卷期末 2023-2024 第7题
  已知函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $x^3+y^3-sin3x+6y=0$ 确定，则 $dy{|}_{x=0}=$ ______，$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}=$ ______。
  先定 $y\left(0\right)=0$；二次求导勿漏 $6yy{\prime }^2$。
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• 试卷期末 2023-2024 第8题
  曲线 $x=t+sint$，$y=2+cost$（$0\le t\le 2\pi$）的弧长是 ______。
  $t>\pi$ 时 $cos\frac{t}{2}<0$，须取绝对值。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第9题
  计算函数极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}ln(1+x^2)-sinx}{x-sinx}$。
  分母到 $x^3$ 够，分子须展到同阶。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第10题
  计算极限 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k(k-1)}$。
  $k(k-1)$ 与 $k^2$ 差 $O\left(n\right)$，不改黎曼和。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第11题
  求不定积分 $\int \frac{3x^2+x+1}{(x-1)(x^2+2x+2)}dx$。
  拆出 $2x+2$，余项正好凑 $arctan(x+1)$。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第12题
  设 $n$ 为正整数，$n\ne 7$，试比较 $(\sqrt{n}{)}^{\sqrt{n+1}}$ 与 $(\sqrt{n+1}{)}^{\sqrt{n}}$ 的大小。
  $e^2\approx 7.39$ 夹住 7 与 8，$n=7$ 单独验。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第13题
  设平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=arctanx$ 与直线 $x=1$ 和 $x$ 轴围成。(1) 求 $D$ 的面积；(2) 求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积。
  绕 $y$ 轴用柱壳，$\int xarctanx$ 分部。
  看解答
• 试卷期末 2023-2024 第14题
  设 $0<a_1<1$，$a_{n+1}=a_n(1-a_n)$，$n=1,2,3,\cdots$。(1) 证明 $a_n<\frac{1}{n+1}$，$n=2,3,4,\cdots$；(2) 证明数列 $\left\{n{a}_n\right\}$ 收敛；(3) 计算 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }n{a}_n$。
  先证 $a_n<\frac{1}{n+1}$，才能估 $\frac{1}{a_n}$ 的阶。
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• 试卷期末 2024-2025 第1题
  曲线 $y=x+xln(1+\frac{1}{x})$ 的斜渐近线方程为 ____.
  先求 k 再求 b，ln 那项极限是 1 不是 0。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第2题
  曲线 $x=1+t^2,y=t^3$ 在 $t=2$ 对应点处的切线方程为 ____.
  参数方程斜率是 dy/dt 除以 dx/dt。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第3题
  设 $x\to 0$ 时，$ax+b{x}^2+ln(1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ____，$b=$ ____.
  一次项系数必须为 0，二次项系数为 1。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第4题
  曲线 $y=1-x^2$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ____.
  绕 y 轴用柱壳，套圆盘公式会错。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第5题
  已知曲线 $l$ 的极坐标方程为 $r=sin3\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$，则 $l$ 围成的有界区域的面积为 ____.
  面积公式要乘 1/2，一个花瓣就是所给区间。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第6题
  ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x(x+1)}dx=$ ____.
  裂项后取极限，下限处要补 ln2。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第7题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由 $x^2+xy+y^3=1$ 确定，则 $y\prime \prime \left(1\right)=$ ____.
  先用原方程定出 y(1)=0，再逐次代值。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第8题
  设 $f\left(x\right)=x^2(e^x+1)$，则 $f^{\left(5\right)}\left(1\right)=$ ____.
  常数 1 的五阶导为 0，只剩 e^x 项。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第9题
  计算极限 ${\text{lim}}_{x\to \infty }x[e^{1/x}-xln(1+\frac{1}{x}\left)\right]$。
  两项都展到 t² 以上，否则漏阶。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第10题
  求曲线 $x={cos}^{3}t,y={sin}^{3}t(0\le t\le 2\pi )$ 的弧长。
  开方要加绝对值，四段对称，全长 6。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第11题
  求不定积分 $\int xln\frac{x-1}{x+1}dx$。
  导数化成的 2/(x²-1) 要真除，别漏 -x 项。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第12题
  已知函数 $f\left(x\right)=x{\int }_1^x\frac{sin{t}^2}{t}dt$，求 ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$。
  换序时注意 x<1 使 1 到 x 的积分反号。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第13题
  设 $t>0$，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x{e}^{-2x}$ 与直线 $x=t$，$x=2t$ 及 $x$ 轴所围成。已知 $D$ 的面积为 $S\left(t\right)$，求 $S\left(t\right)$ 的最大值。
  S(t) 是变限积分，求导不必先积出原函数。
  看解答
• 试卷期末 2024-2025 第14题
  已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$，其中 $0<a_n<\frac{1}{n^2}$。证明：(1) $0<b_n<\frac{3a_n^2}{4}$；(2) ${\text{lim}}_{n\to \infty }(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots +\frac{b_n}{a_n})$ 存在。
  关键是用 e^b-1≥b 把 b 换成 a 的式子再估界。
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• 试卷期末 2024-2025 第15题
  已知函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f\prime \prime \left(x\right)>0$，$f\left(0\right)={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=0$。证明：(1) $f\left(x\right)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$；(2) 在 (1) 的条件下，当 $x\in (0,x_0)$ 时 $f\left(x\right)<0$；(3) ${\int }_0^{1}xf\left(x\right)dx>0$。
  减去 x₀ 倍 ∫f=0 造出 (x-x₀)f 是关键。
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• 试卷期末 2025-2026 第1题
  曲线 $y=\frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+4)(x+5)}$ 的斜渐近线方程为 ______。
  先做除法分离整式部分，只看最高次比会漏常数项。
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• 试卷期末 2025-2026 第2题
  曲线 $x=\frac{3t}{1+t^3}$，$y=\frac{3t^2}{1+t^3}$ 在 $t=1$ 对应点处的切线方程为 ______。
  参数式斜率是 $y\prime /x\prime$，别把 $y\prime \left(1\right)$ 当斜率。
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• 试卷期末 2025-2026 第3题
  当 $x\to 0$ 时，$tan(tanx)-x$ 与 $a{x}^b$ 是等价无穷小，则 $a=$ ______，$b=$ ______。
  复合函数要展开到 $x^3$，只代一层会丢掉 $1/3$ 项。
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• 试卷期末 2025-2026 第4题
  曲线 $C$ 的极坐标方程为 $r=2cos5\theta (\frac{3\pi }{10}\le \theta \le \frac{\pi }{2})$，则 $C$ 围成的有界区域的面积为 ______。
  两端 $r=0$ 才是封闭花瓣，直接用 $\pi /5$ 区间长会错。
  看解答
• 试卷期末 2025-2026 第5题
  ${\int }_0^{\pi }\frac{cos5x}{cosx}\text{d}x=$ ______。
  先把倍角化成 $cosx$ 的多项式，硬凑微分会卡住。
  看解答
• 试卷期末 2025-2026 第6题
  设函数 $y=y\left(x\right)$ 由 $x=y{e}^y(y>-1)$ 确定，则 $y\prime \prime \left(0\right)=$ ______。
  先定 $y\left(0\right)=0$；二阶导要整式再求导，别硬解 $y\prime$。
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• 试卷期末 2025-2026 第7题
  已知 $f\left(x\right)=\frac{1}{1+x+x^2}$，则 $f^{\left(4\right)}\left(0\right)=$ ______。
  注意分母是 $1+x+x^2$，误当 $1+x^2$ 会得 $+24$。
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• 试卷期末 2025-2026 第8题
  曲线 $y=4-x^2$ 与 $x$ 轴围成的有界区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积为 ______。
  偶函数可乘 2，但别把 $\pi$ 漏在括号外。
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• 试卷期末 2025-2026 第9题
  计算函数极限 ${\text{lim}}_{x\to 0}(\frac{1}{{sin}^{2}x}-\frac{1}{x^2})$。
  通分后用洛必达要做四次，泰勒一步到位。
  看解答
• 试卷期末 2025-2026 第10题
  求曲线 $x=t-cost$，$y=1+sint(0\le t\le \pi )$ 的弧长。
  开方后要判号：区间上 $sin\frac{t}{2}+cos\frac{t}{2}>0$。
  看解答
• 试卷期末 2025-2026 第11题
  计算 $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 的导数，并求不定积分 $\int \frac{lnx}{(1+x^2{)}^{3/2}}\text{d}x$。
  第一问就是给第二问的 $v$，注意 $\int \frac{\text{d}x}{\sqrt{1+x^2}}$ 是反双曲正弦。
  看解答
• 试卷期末 2025-2026 第12题
  已知 ${\int }_0^{+\infty }\frac{sinx}{x}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$，计算 $I_1={\int }_0^{+\infty }\frac{{sin}^{2}x}{x^2}\text{d}x$，$I_2={\int }_0^{+\infty }\frac{{sin}^{3}x}{x^3}\text{d}x$。
  两次分部后化成 $sinax/x$ 型，边界项靠 ${sin}^{3}x/x^2\to 0$ 消失。
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• 试卷期末 2025-2026 第13题
  设 $t>1$，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{lnx}{x^2}$ 与直线 $x=t$，$x=2t$ 及 $x$ 轴围成，记 $D$ 的面积为 $S\left(t\right)$，求 $S\left(t\right)$ 的最大值。
  $\int \frac{lnx}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac{lnx+1}{x}$，符号易错。
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• 试卷期末 2025-2026 第14题
  (1) 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，证明 $x>(1+\frac{x^2}{6})sinx$； (2) 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，且 $a_{n+1}=sin\left(a_n\right)$，证明 $a_{2026}<\frac{1}{26}$。
  第(2)问关键是把 $sin$ 换成 $1/a_n^2$ 的递推，逐项加 $\frac{1}{3}$。
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• 试卷期末 2025-2026 第15题
  设 $a_n={\sum }_{k=1}^{2n}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$，计算 ${\text{lim}}_{n\to +\infty }{n}^2(e^{a_{n+1}}-e^{a_n})$。
  先作差算 $a_{n+1}-a_n$ 只剩两项，再用 $e^t-1\sim t$。
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