作业批改

批改换元干净，定义域也跟着换了——这一点很多同学会漏。$t=x+\frac{1}{x}$ 的值域是 $\left|t\right|\ge 2$，不是全体实数，写上去才完整。

批改正确。注意开方那一步 $\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{t^2+1}}{\left|t\right|}$，因为已限定 $t>0$ 才能直接写 $t$——这个前提要交代清楚。

批改答案正确。中间有一处笔误：由 $y=\sqrt{1-x^2}$ 反解应是 $x=\pm \sqrt{1-y^2}$，因 $x\le 0$ 取负号；你写成了正号，但最后又落到了 $-\sqrt{1-x^2}$。结论对、过程不自洽，考试时这种跳步容易被扣步骤分。

批改正确，而且端点衔接检查得很到位（$1=1$、$16=16$）。分段函数求反函数的关键：既要每段单调，又要段与段的界面对得上。

批改这道题做得最好。关键有两点：认出两根式之积 $\text{exception 25:}$，把 $3ab(a+b)$ 化成 $-3y$；而且没有停在「解得 $x=\cdots$」，补证了单调性，说明这确实是反函数。这个「解出 + 验证」的套路可以直接搬到同类题。

批改四个全对。陷阱在 $\psi \left(x\right)$ 取负值：$x>0$ 时 $\psi \left(x\right)=-x^2<0$，落在 $\phi$ 的「$\le 0$」分支里，所以 $\phi \left(\psi \right(x\left)\right)\equiv 0$。你把「内层输出的符号」当作判断依据，方法是对的。

批改正确。分类依据是内层 $f\left(x\right)$ 的取值（只有 0 和 1 两种），两步都落在 $\left|x\right|\le 1$ 的分支上，所以恒为 1。

批改正确，定义域是 $ℝ$（立方根对全体实数有定义），关于原点对称这个前提也隐含满足了。

批改正确。定义域 $(-1,1)$ 关于原点对称，这一步建议补上——判断奇偶性必须先说定义域对称。

批改正确。三项周期 $2\pi ,\pi ,\frac{2\pi }{3}$ 的最小公倍是 $2\pi$（都除以 $\pi$ 得 $2,1,\frac{2}{3}$，最小公倍 $2$）。

批改结论正确，思路也巧（用导函数反证）。但论证缺一环：要说明「连续的周期函数必有界」，才能由 $f\prime$ 无界推出 $f\prime$ 非周期。补上这一句，逻辑才闭合。

批改正确。上界 $e$ 不是最优的（真实最大值约 $1.458$），但题只问「是否有界」，给出一个上界就够。若想更严谨，可说明 $sinx=1$ 与 $cosx=1$ 不能同时成立，故两个不等号不能同时取等。

批改正确，而且用了「除以 $x$ 化成 $x+\frac{1}{x}$」的技巧，比求导找极值快。注意 $x=0$ 要单独看：此时 $y=0$，落在区间内。

批改结论对，但写法要改：定义域是 $x\ne 0$，不能写「$\forall x\in ℝ$」。正确表述是「在其定义域 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上有界」。

批改正确，而且用的是定义法（对任意 $M$ 找到点），比「$x\to 0^{+}$ 时趋于无穷」更规范。这类题阅卷时最认这种写法。

批改正确。放缩的关键是 $\frac{\sqrt{n}}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n}$，可以补一句「因为 $n\sqrt{n}<(n+1{)}^2$」，让不等式有出处。

批改正确。二项式放缩是处理 $n/a^n$ 的标准手段，比用洛必达更符合「用定义证明」的要求。

批改正确。$N_0$ 取得比需要的更强（取 $N_1$ 即可），不影响正确性。

批改正确，三个部分都答到了。「反之不成立」的反例用 $(-1{)}^n$ 最标准。

批改正确。等比求和公式的分子分母都写成 $\frac{\cdots -1}{\cdots -1}$ 形式，约分时不易出错。

批改正确。裂项相消是这类题的固定手法。

批改正确。分母是 $n^2+i$ 而不是 $n+i$——这一步读对了题，双侧放缩也做得到位。

批改正确。用了 Bernoulli 型不等式 $(1+x{)}^a\le 1+ax(0<a<1)$，这是本题的关键——建议在卷面上注明这条不等式的来源。

批改正确。$n!\ge n$ 这一步要在卷面上点明，否则「$\sqrt{n!}\ge \sqrt{n}$」是跳步。

批改这题做得漂亮。先证有界、再证单调，顺序正确；而且下界恰好是极限值，等于把答案提前拿到了。

批改结论正确，但单调性写「显然」是不行的。正确做法是用归纳：若 $x_n<\phi =\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，则 $x_{n+1}=\sqrt{5+x_n}<\sqrt{5+\phi }=\phi$，于是 $x_{n+1}>x_n$。注意上界要用 $\phi$，用 3 推不出单调（$3>\phi$）。

批改正确。下界恰好是常数 $\frac{1}{2}$，这是命题人设计的；上界趋近于它，夹逼才成立。

批改正确。关键一步是「递减且极限为 0 ⟹ 每项非负」，这一步最好写出来。

批改正确，而且是本题最标准的写法——只用 $x_n$ 的递推式取极限就得到 $A=B$，不必再对 $y_n$ 处理。

批改正确。$x_0$ 先算出来、再用它当上界，这是本题的关键设计；$a>x_0$ 时「同理」建议补一句「此时递减有下界 $x_0$」。

批改三小题的方法选择都对：给比值就用「比值 < 1 ⟹ 单调」，给差就用「差 > 0 ⟹ 单调」，再各补一个有界性。(1) 里比值的写法建议核对一下方向（$\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$ 才是递减）。

批改正确。这里用到了第 2 次作业第 4 题「$\text{lim}\left|a_n\right|=0\Rightarrow \text{lim}{a}_n=0$」，前后知识串起来了。

批改三个都规范。(2) 里「先限制 $|x-1|<1$ 再估 $|x+1|$」是 $\epsilon$-$\delta$ 题的标准套路；(5) 分 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 讨论，严谨。

批改思路都对。第 2 题要留意记号：写 $\text{lim}{a}_n=1$ 容易被读成「数列 $a_n$ 趋于 1」，应写 $D\left(a_n\right)\to 1$——极限是 $D$ 的极限，不是 $a_n$ 的。

批改四个都对，取点也很典型。(4) 用左右极限比用海涅定理更直接，两种都行。

批改四题全对，而且都用了「比较最高次 / 展开到所需阶」的思路。第 (5) 题你的结论是 $n^{-n(n+1)/2}$，方法与 (4) 一致，记得把分子分母的最高次各写一行，别只在脑子里算。

批改分母是 $x-\sqrt{x}$，同除 $\sqrt{x}$ 后根号内趋于 1。

批改双重有理化一次做完，$x-4$ 约掉后直接代值。

批改第 (11) 题拆项的思路很干净：$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x^2-a^2}}$ 是 $\frac{0}{0}$ 但阶更低，先分离出去。

批改根号套根号先有理化，再同除 $\sqrt{x}$，不要逐层展开。

批改五题全对。(4) 用正切差角公式而不是洛必达，是本章的正确做法；(5) 注意 $\sqrt{1-cos{x}^2}=\sqrt{2}|sin\frac{x^2}{2}|$，你默认了 $x>0$ 附近取正，可以补一句说明。

批改两题都对，都是 $1^{\infty }$ 型的标准处理：先凑 $(1+\alpha {)}^{1/\alpha }$，再算指数上的极限。

批改两题都对，而且都回到了「重要极限 $\frac{sinu}{u}\to 1$」这个源头，没有循环论证。

批改正确，两个方向都写清了。这条等价关系是后面「等价无穷小替换」的理论依据，记住它就不会再纠结「什么时候能换」。

批改正确。分子用 $(1+u{)}^{1/3}-1\sim \frac{u}{3}$，分母用 $cosx-1\sim -\frac{x^2}{2}$，符号没丢。

批改三个都规范。无穷大的定义是「$\forall M>0,\exists \delta$（或 $N$）」，你把 $M$ 和 $\delta$ 的依赖关系写对了。

批改三题全对。(3) 先拆出「非零因子」再处理 $\frac{0}{0}$ 部分，是最省事的做法。

批改四个都对。(10)(11) 是「先求极限得到分段函数，再判间断点」的两步题，你两步都清楚。

批改都对。这类题的动作就是「分别算左右极限，令其等于函数值」——注意第 5 题结论是关系不是具体数，因为 $b$ 没给。

批改正确。两个基本极限分别给出 2 与 $2a$，再用连续性令其等于 $f\left(0\right)$。

批改都对。第 8 题用的是反向三角不等式，是这类题的唯一入口；第 10(2) 题「补充定义使 $F$ 在闭区间连续」这一步写得很到位，很多同学会漏。

批改九题全对，这一页是四次作业里完成度最高的一页。(8) 用和差化积把「$\infty -\infty$ 型」转成「有界 × 无穷小」，是本章的经典技巧；(9) 先求和再凑 $e$ 的极限，也没有掉进「先算底数极限」的坑。

批改结论正确（$x=0$ 处不可导），并且正确指出左右导数不相等。建议先写出 $f\left(0\right)=1$，并在右极限处明确 $x>0$ 时 $\left|x\right|=x$、$f\left(x\right)=e^{-x}$，避免指数符号混淆（分子若写成 $e^x-1$ 与结果 $-1$ 自相矛盾）。

批改结论正确。但写成 $3x+3$、$2(x^2+x+1)$ 时丢了极限号，严格应写 ${\text{lim}}_{x\to 1^{-}}3(x+1)=6$，即先在极限号下约分、再令 $x\to 1$；$2x^3-2=2(x-1)(x^2+x+1)$ 的因式分解也宜写出。

批改结论正确，$\frac{1}{{cos}^{2}x}$ 即 ${sec}^{2}x$。由 $tan(x+\Delta x)-tanx$ 到 $\frac{sin\Delta x}{cosxcos(x+\Delta x)}$ 的通分（分子用正弦差角公式）这一步被跳过，这正是“用定义求导”的关键步骤，建议补出。

批改结论正确，换元 $\alpha ,\beta$ 化为 $\frac{\alpha -\beta }{sin\alpha -sin\beta }$ 的处理很干净。但 $\frac{\alpha -\beta }{2sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\to 1$ 这一步（即 $sint\sim t$）被跳过未说明；还应交代 $\Delta x\to 0$ 时 $\alpha \to \beta$、$cos\frac{\alpha +\beta }{2}\to cos\beta$，以及结果成立的范围 $x\in (-1,1)$。