错题本

复盘求最小正周期的标准流程只有一条：先化到 $Asin(\omega x+\phi )+B$ 的形式，再由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 读出。代值验证只能当检查，不能当结论。

复盘含乘积的分子，先把最高次项写成显式形式再取极限，不要在心里估算。可以记一句检查口诀：${\sum }_{k=1}^n{k}^2\sim \frac{n^3}{3}$，直接对答案量级做校验。

复盘约分前先把分子分母各自的 $(x-a)$ 重数标出来：这里分子 1 重、分母 2 重，约掉 1 重后还剩 1 重在分母，立刻能判断是无穷大。判断重数最快的办法是求导看是否仍为 0。

复盘两边都要有理化时，先通分式地写出「同乘的因子」，再约，不要只盯着分母。快速验算：分子 $\sim x$、分母 $\sim \frac{2}{3}x$，比值 $\frac{3}{2}$，与结果一致。

复盘错了。你验证了 $\pi$ 是周期，但没有验证它「最小」——$f(x+\pi /2)={cos}^{4}x+{sin}^{4}x=f\left(x\right)$ 也成立，所以 $\pi$ 不是最小。

复盘错了。求和公式没用错，错在最后一步：分子最高次是 $2n^3$，不是 $n^3$。

复盘错了。分母是 $(x-1{)}^2$，分子只有一个 $(x-1)$，只能约掉一个，剩下的 $(x-1)$ 还在分母上——极限是无穷大，不是有限数。

复盘错了。只处理了分母，分子没同步有理化，等于把分子当成了常数。正确答案 $\frac{3}{2}$，用等价无穷小验算也对：分子 $\sim x$，分母 $\sim \frac{2}{3}x$。

复盘化简 $y=\frac{1}{16}{sin}^{4}2x$ 这一步很好，但 $\left({sin}^{4}2x\right)\prime =4{sin}^{3}2x\cdot cos2x\cdot 2$，$cos2x$ 不能丢。结果应为 $\frac{1}{2}{sin}^{3}2xcos2x$。

复盘前两项正确：$(\frac{b}{x}{)}^b=b^b{x}^{-b}$ 求导得 $-b^{b+1}{x}^{-b-1}$，你化简出的 $-\frac{b^{b+1}}{x^{b+1}}$ 是对的。第三项应为 $(\frac{x}{a}{)}^{a-1}$，不是 $a(\frac{x}{a}{)}^{a-1}$。另外第一行中间项涂改过多、写法不清，建议分级写。

复盘分段表达式和两支导数公式都正确。问题在端点：$x=1$ 是尖点，${\text{lim}}_{x\to 1^{-}}y\prime =-1$，${\text{lim}}_{x\to 1^{+}}y\prime =1$，故 $y\prime \left(1\right)$ 不存在，第二支应写成 $0<x<1$；$x=0$ 处左右导数都为 $0$，$y\prime \left(0\right)=0$，这一端可以并入第二支。

复盘A 错：$a_n=\sqrt{n}$ 满足对任意固定 $m$ 有 $a_{n+m}-a_n\to 0$，但数列发散——「差趋于 0」只排除跳跃，排除不了缓慢发散。B 对：$a_n^2-a_n$ 落在 $[-M,M]$ 内意味着 $a_n$ 落在方程 $x^2-x=M$ 与 $x^2-x=-M$ 的根之间，必然有界。C 对：$x\mapsto x^3$ 是 $ℝ$ 上的同胚，$a_n=\text{exception 25:}$，收敛性保持。D 错：$a_1=2$ 时 $a_2=6-\frac{6}{4}=4.5$，$a_3\approx 12.6$，数列发散到 $+\infty$，根本到不了 1（1 只是不稳定的不动点）。

复盘定义域是 $x\ne 0,2$，可疑点有三个：$x=0,1,2$。$x\to 1$ 时底数 $|x-1|\to 0$、指数 $\to -1$，函数趋于 $+\infty$，是无穷间断（第二类）；$x\to 0$ 与 $x\to 2$ 时底数趋于 1、指数趋于无穷，但 $ln|x-1|\sim -x$ 与分母同阶，极限是 $e^{1/2}$，是可去间断（第一类）。所以第一类共 2 个。

复盘设 $\theta =arccosx\in (\pi /2,\pi )$（因为 $x<0$），则 $cos\theta =x$，$sin\theta =\sqrt{1-x^2}>0$，于是 $tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$。注意 $x<0$，这个值自动是负的，正好对应该象限里的负数正切——不需要再加负号。

复盘A：$x<0$ 时 $f=(1-x)(-x)=-x+x^2$，左导数 $-1$；$x>0$ 时 $f=(1-x)x=x-x^2$，右导数 $1$，左右不等，不可导。B：$cos\left|x\right|=cosx$，$f=xcosx$ 可导。C：$cosx$ 可导。D：$f\left(0\right)=0$，$\frac{\left|x\right|sinx}{x}=\frac{\left|x\right|}{x}sinx\to 0$（两侧都趋于 0），且代入 $x<0$ 得 $-xsinx$、$x>0$ 得 $xsinx$，都光滑，可导。

复盘只有 A 成立：$g\left(t\right)=e^t-e^{-t}$ 在 $ℝ$ 上严格增且是满射，反函数连续，所以 $g\left(a_n\right)$ 收敛 $\iff a_n$ 收敛；$a_n$ 发散则 $g\left(a_n\right)$ 必发散。B 的反例：$a_n=(-1{)}^n$，则 $a_n-\frac{1}{a_n}=0$ 恒成立，收敛。C 的反例同上，$2cosh$ 为偶函数，正负交替时仍是常数。D 的反例：$a_n$ 取 $1,2,1,2,\dots$，则 $a_n+\frac{2}{a_n}$ 恒为 3。

复盘用 $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$：分子 $(x^3+7x)-(x^3+x)=6x$，分母三项都 $\sim x^2$、和为 $3x^2$，所以括号内 $\sim \frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$，乘以 $x$ 得 2。

复盘A 错：$f\left(x\right)=x(x\in \mathbb{Q})$，$f\left(x\right)=0(x\notin \mathbb{Q})$ 只在 $x=0$ 连续。「一点连续」推不出「邻域连续」。B 对：$a_n\to +\infty$ 时存在 $N$，使 $n>N$ 的项都大于 $a_1$，于是最小值只需在前 $N$ 项里取，有限集必有最小。C 错：少了连续性条件。反例：$f\left(0\right)=2$，$f\left(x\right)=x(0<x\le 1)$，在 $[0,1]$ 上单射因而有反函数，但不单调。D 错：$f\left(x\right)=x\cdot D\left(x\right)$（$D$ 为 Dirichlet 函数）只在 $x=0$ 连续。