第二章导数与微分 · 数苑

01本章结构（对应教材）—

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码	状态
§1.1	导数的概念	74	已学
§1.2 一	基本初等函数的导数公式	79	已学
§1.2 二	导数的四则运算法则	82	已学
§1.2 三	反函数的求导法则	83	当前 → 单独整理
§1.2 四	复合函数的求导法则（定理 2.6）	84	下一节
§1.3	隐函数的导数	88	未学
§1.4	高阶导数	91	未学
§1.5	导数在实际中的应用	96	未学
§2.1	微分的概念	102	未学
§2.2	微分的基本性质	106	未学
§2.3	近似计算与误差估计	110	未学
§2.4	高阶微分（带 * ）	112	未学

02§1.1 导数的概念4 个知识分组

§1.1 导数的概念#

定义

设 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，给 $x_{0}$ 一个增量 $Δ x$ ，相应函数增量为

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) .

若极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

存在，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 处可导，该极限值记作 $f' (x_{0})$ ，或 $y' |_{x = x_{0}}$ 、 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$ 。

几何意义与物理意义

几何： $f' (x_{0})$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处切线的斜率。
物理：位移对时间的导数是瞬时速度。

可导与连续

可导必连续，连续不一定可导。

教材同款反例： $y = | x |$ 在 $x = 0$ 处连续，但左导数为 $- 1$ 、右导数为 $1$ ，故不可导。

单侧导数

f'_{-} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{Δ y}{Δ x}, f'_{+} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ y}{Δ x} .

$f$ 在 $x_{0}$ 可导 $\Leftrightarrow$ 左右导数都存在且相等。

★重难点分段函数在分界点：只能用定义

分界点两侧表达式不同，不能分别对两侧求导再取极限。标准流程：先验连续（不连续直接不可导），再用定义分别算左右导数，最后比较。

03§1.2 求导公式与运算法则3 个知识分组

§1.2 求导公式与运算法则#

基本公式表（必须背熟）

原函数	导数	原函数	导数
$C$	$0$	$sin x$	$cos x$
$x^{α}$	$α x^{α - 1}$	$cos x$	$- sin x$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$tan x$	${sec}^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$cot x$	$- {csc}^{2} x$
${log}_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$sec x$	$sec x tan x$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$csc x$	$- csc x cot x$

反三角函数的四条由反函数法则推出，见反函数的求导法则：

(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, (arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},

(arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}, (arccot x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}} .

四则运算法则

(u \pm v)' = u' \pm v', (u v)' = u' v + u v', (\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} (v \neq 0) .

特别地 $(C u)' = C u'$ ， $(\frac{1}{v})' = - \frac{v'}{v^{2}}$ 。

教材 p.82 用增量法给出了这三条的证明。证明过程本身考得少，但增量法的思路（ $Δ y$ 拆成 $u, v$ 的增量）在后面的隐函数、参数方程题里会反复用到。

★重难点商的求导：分子顺序不能反

$(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ ，分子是「上导下不导减上不导下导」。写成 $u v' - u' v$ 会整体差一个负号。

自检办法：取 $u = 1$ ，应得 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 。

复合函数（下一节预告）

定理 2.6（p.84）：

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}, {f [φ (x)]}' = f' [φ (x)] \cdot φ' (x) .

教材特意指出：不能直接用「 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}$ 再取极限」来证，因为 $Δ u$ 可能恒为 0（书中给了 $u = x^{2} sin \frac{1}{x}$ 的反例），分母为零就没有意义。这个细节说明链式法则的证明需要更精细的处理，但结论可以直接用。

04重难点12 条要点

重难点#

★重难点用定义求导的三类信号

分段函数在分界点；
题目出现 $f' (x_{0})$ 但没给 $f$ 的表达式，只给极限式；
判断「可导性」而不是「求导数」。

识别方法：看分子是不是「函数值之差」，分母是不是「自变量之差」，两者是否对应同一个增量。

★重难点抽象函数的极限式：凑成导数定义

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 h) - f (x_{0})}{h} = 2 f' (x_{0}),

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h} = f' (x_{0}) .

第二个式子存在不能反推 $f$ 在 $x_{0}$ 可导（它只保证对称差商有极限，例如 $f (x) = | x |$ 在 $0$ 处该极限为 $0$ ，但不可导）。这是概念题的经典陷阱。

★重难点幂指函数

u (x)^{v (x)}

：取对数或写成

e

的指数

y = u^{v} \Rightarrow y' = u^{v} (v' ln u + v \frac{u'}{u}) .

推导只需 $y = e^{v ln u}$ 再链式。不能套 $x^{n}$ 或 $a^{x}$ 的公式——底和指数同时在变。

05易错点16 条要点

易错点#

⚠易错点

f' (x_{0})

与

[f (x_{0})]'

不是一回事

前者是导函数在 $x_{0}$ 的值，后者是常数的导数，等于 0。求 $f' (2)$ 时正确做法是先求 $f' (x)$ 再代入。

⚠易错点绝对值、根式在零点处不可导

$| x |$ 在 $0$ 不可导； $3] x$ 在 $0$ 处导数不存在（切线垂直）； $x^{2 / 3}$ 同理。判断看左右导数，不要看图像「顺不顺」。

⚠易错点求导与代值的顺序

含参数的题常要求「先求导再代点」。若先代点得到常数，再求导就是 0——这类错误在填空题里极常见。

⚠易错点商的法则漏掉分母平方

$(\frac{u}{v})'$ 的分母是 $v^{2}$ 而不是 $v$ 。漏平方是最常见的计算失误。

06典型例题12 条要点

典型例题#

✎例题例 1｜用定义求分段点导数

设 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ ，讨论 $f' (0)$ 。

解：分界点只能用定义：

f' (0) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0 .

（用了「无穷小 × 有界量 = 无穷小」。）

点评：这个例子还说明 $f' (0)$ 存在，但 $f' (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}$ 在 $0$ 附近无极限——导函数可以不连续。

✎例题例 2｜四则运算 + 基本公式

设 $y = \frac{x sin x}{1 + cos x}$ ，求 $y'$ 。

解：商的法则，分子再用乘积法则：

y' = \frac{(x sin x)' (1 + cos x) - x sin x \cdot (1 + cos x)'}{(1 + cos x)^{2}} = \frac{(sin x + x cos x) (1 + cos x) + x {sin}^{2} x}{(1 + cos x)^{2}} .

化简时把 ${sin}^{2} x$ 与 $1 + cos x$ 合并：

y' = \frac{sin x (1 + cos x) + x cos x (1 + cos x) + x {sin}^{2} x}{(1 + cos x)^{2}} = \frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{x (cos x + {cos}^{2} x + {sin}^{2} x)}{(1 + cos x)^{2}} .

用 ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1$ 得

y' = \frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{x}{1 + cos x} .

点评：商的法则算完一定要化简，否则答案又长又容易错。这里最后的合并用了「分子提出公因子」的技巧。

✎例题例 3｜幂指函数

设 $y = x^{x} (x > 0)$ ，求 $y'$ 。

解：取对数 $ln y = x ln x$ ，两边求导：

\frac{y'}{y} = ln x + 1 \Rightarrow y' = x^{x} (ln x + 1) .

点评：也可以写成 $y = e^{x ln x}$ 直接求导，结果相同。 $y = (sin x)^{x}$ 、 $y = x^{sin x}$ 都是同一套路。

07本章自测—

本章自测#

☐ 能写出导数定义的两种等价形式，并解释对称差商为什么不能反推可导。
☐ 能默写 16 条基本导数公式，包括四个反三角函数。
☐ 商的求导法则能一次写对，不丢分母的平方。
☐ 分段函数在分界点能完整走「连续 → 左导 → 右导 → 结论」。
☐ 能说清 $(arcsin x)'$ 的推导中「开方取正号」的依据。

原书导读#

教材原文按节折叠，展开可读原文与例题；已掌握 0/0。

一导数的概念选自 §1.14 个知识分组 · 含例题

引例已掌握+

四个引例

教材用四个问题引出导数：切线斜率（几何）、瞬时速度（力学）、电流强度（电学）、人口增长率（社会学）。

以切线为例：曲线上 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 与另一点 $Q (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y)$ 连成割线，其斜率为

k_{P_{0} Q} = tan θ = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x},

让 $Q$ 沿曲线趋于 $P_{0}$ ，得切线斜率 $k_{P_{0} T} = {lim}_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ 。瞬时时速 $v (t_{0}) = {lim}_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t}$ 、电流强度 $I (t_{0}) = {lim}_{Δ t \to 0} \frac{Δ Q}{Δ t}$ 、人口增长率 $k (t_{0}) = {lim}_{Δ t \to 0} \frac{Δ N}{Δ t}$ 形式完全一样。

教材原话：以上考虑的四个问题，虽然分属于人类知识的四个不同领域：几何学、力学、电学与社会学，但都有共同的数学特征，即就某一函数施行同一种数学运算，要求出函数值增量与相应的自变量增量之比（这个比值称为差商）当自变量增量趋于 $0$ 时的极限——因变量对自变量的变化率。

定义已掌握+

定义 2.1（切线）

设一平面曲线方程为 $y = f (x)$ ， $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 是曲线上一点，过 $P_{0}$ 作割线 $P_{0} Q$ 与曲线相交于 $Q$ 点，点 $Q$ 沿曲线无限趋于点 $P_{0}$ 时，若割线 $P_{0} Q$ 的极限位置的直线 $P_{0} T$ 存在且唯一，则称 $P_{0} T$ 为该曲线在点 $P_{0}$ 处的切线。（注： $Q$ 可在 $P_{0}$ 左边也可在 $P_{0}$ 右边。）

定义 2.2（导数）

设函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域 $U (x_{0})$ 内有定义。若极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

存在，则称 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 可导，并称此极限值为 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处的导数（或微商），记作 $f' (x_{0})$ 或 $y' |_{x = x_{0}}$ 或 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$ 或 $\frac{d}{d x} f (x) |_{x = x_{0}}$ ，即

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = f' (x_{0}) = y' |_{x = x_{0}} = \frac{d}{d x} f (x) |_{x = x_{0}} .

另外导数的定义还可写成另一种常用的形式（令 $x - x_{0} = Δ x$ ）：

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = f' (x_{0}) .

若式 (2.1) 的极限不存在，则称函数 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导。

说明已掌握+

记号怎么看

应当注意，记号 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$ 作为一个符号，表示 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的导数，看起来却像分数的样子。在后面的几节中，这个“分数”的分子和分母将获得独立的意义，而且它们的比值恰好与导数相等，但现在仍要把 $\frac{d y}{d x}$ 看成一个整体，作为导数的符号。

四个问题的统一表述

前面所提出几个问题的结果现在可用导数表达出来：

切线斜率 $k_{P_{0} T} = f' (x_{0})$
瞬时速度 $v (t_{0}) = s' (t_{0})$
电流强度 $I (t_{0}) = Q' (t_{0})$
人口增长率 $k (t_{0}) = N' (t_{0})$

几何意义：若 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 可导，则 $f' (x_{0})$ 表示曲线 $y = f (x)$ 在点 $P_{0} (x_{0}, f (x_{0}))$ 处切线的斜率。

例题已掌握

例 1★☆☆☆☆计算题导数定义展开题目与讲解

例 1　求 $y = x^{3}$ 在 $x = 1$ 处的导数

解　由

lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1^{3}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x^{2} + x + 1) = 3

知 $f' (1) = 3$ 。

例 2★★★☆☆计算题用定义判断可导展开题目与讲解

例 2　设 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 研究 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的可导性

解　按定义，

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} sin \frac{1}{x}}{x} = lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0,

因此 $f' (0) = 0$ 。

注　研究函数 $f (x)$ 在一点 $x_{0}$ 处是否可导，常用极限形式 ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ ；当 $x_{0} = 0$ 时， ${lim}_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x}$ （若存在） $= f' (0)$ 。特别当 $f (0) = 0$ 时，有 ${lim}_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}$ （若存在） $= f' (0)$ 。

例 3★★☆☆☆计算题绝对值函数可导性展开题目与讲解

例 3　讨论 $f (x) = | x |$ 在 $x = 0$ 处是否可导

解　由于 $f (x) = {\begin{cases} - x, & x \leq 0, \\ x, & x > 0, \end{cases}$ 且

lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x}{x} = - 1 = f'_{-} (0),

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 = f'_{+} (0),

显然， $f'_{-} (0) \neq f'_{+} (0)$ ，所以， $f (x) = | x |$ 在点 $x = 0$ 处不可导．

例 4★★★☆☆计算题分段函数可导性展开题目与讲解

例 4　 $a, b$ 为何值时分段函数在 $x = 0$ 处可导

讨论当 $a$ ， $b$ 为何值时，可使函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2 x + b, & x \leq 0, \\ arctan (a x), & x > 0 \end{cases}

在点 $x = 0$ 处可导．

解　因为 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处可导，所以 $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处连续．而

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + 2 x + b) = b = f (0),

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} arctan (a x) = 0 = f (0),

于是推出 $b = 0$ ．又因为

lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + 2 x}{x} = 2 = f'_{-} (0),

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{arctan (a x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{a x}{x} = a = f'_{+} (0),

从而由 $f'_{-} (0) = f'_{+} (0)$ 推出 $a = 2$ ．所以当 $a = 2$ ， $b = 0$ 时， $f (x)$ 在点 $x = 0$ 处可导．

二求导公式与运算法则选自 §1.27 个知识分组 · 含例题

公式已掌握+

基本导数公式（教材序号 1–5）

1. 常值函数 $f (x) = c, x \in ℝ$ ： $(c)' = 0$ 。

2. $f (x) = sin x$ 与 $f (x) = cos x$ ， $x \in ℝ$ ： $(sin x)' = cos x$ ， $(cos x)' = - sin x$ 。

3. $f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ， $x \in ℝ$ ： $(a^{x})' = a^{x} ln a$ ；特别地 $(e^{x})' = e^{x}$ 。

4. $f (x) = {log}_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ ， $x \in (0, + \infty)$ ： $({log}_{a} x)' = \frac{1}{x ln a}$ ；特别地 $(ln x)' = \frac{1}{x}$ 。

5. $f (x) = x^{α}$ （ $α$ 为常数， $α \neq 0$ ）： $(x^{α})' = α x^{α - 1}$ ；当 $n$ 是正整数时 $(x^{n})' = n x^{n - 1}$ ， $x \in ℝ$ 。

例如 $(1 / x)' = (x^{- 1})' = (- 1) \cdot x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}}$ ， $(1 / \sqrt{x})' = (x^{- \frac{1}{2}})' = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

x^{α}

在

x = 0

处的特殊情况

若 $0 \in D$ ，必有 $α > 0$ ，此时 $f (0) = 0$ ，由于

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x^{α}}{x} = {\begin{cases} 0, & α > 1, \\ 1, & α = 1, \\ \infty, & 0 < α < 1, \end{cases}

所以，当 $α \geq 1$ 时， $f (x) = x^{α}$ 在点 $x = 0$ 可导且

f' (0) = {\begin{cases} 0, & α > 1, \\ 1, & α = 1, \end{cases}

且仍然适合公式 $y' = α x^{α - 1}$ ；当 $0 < α < 1$ 时， $f (x) = x^{α}$ 在点 $x = 0$ 处不可导。

定理已掌握+

定理 2.3（不连续必不可导）

若 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 不连续，则 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导。

此定理为判断函数在一点不可导提供了一个简单有效的方法。教材同时指出：可导与连续的关系中，此定理的逆命题不真。例如 $f (x) = | x |$ 在点 $x = 0$ 连续，但不可导。

注：在利用抽象函数在一点可导作为条件，或证明抽象函数可导时，常用极限形式 ${lim}_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ 。

定理 2.4（四则运算）

设函数 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 在点 $x$ 处可导，则 $u \pm v$ ， $u \cdot v$ ， $\frac{u}{v} (v \neq 0)$ 都在点 $x$ 处可导，且

(u \pm v)' = u' \pm v';

(u v)' = u' v + u v', 特别地， v = c (常数) 时， (c u)' = c u';

(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} (v \neq 0), 特别地， (\frac{1}{v})' = - \frac{v'}{v^{2}} (v \neq 0) .

推广到有限多项

应用归纳法，可把 (1)、(2) 推广到任意有限多个可导函数的情形，即若 $u_{i} = u_{i} (x) (i = 1, 2, \dots, n)$ 均可导，则

(u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n})' = u_{1}' + u_{2}' + \dots + u_{n}';

(u_{1} u_{2} \dots u_{n})' = u_{1}' u_{2} \dots u_{n} + u_{1} u_{2}' \dots u_{n} + \dots + u_{1} u_{2} \dots u_{n}' .

由四则运算推出

tan x

等的导数

由导数的四则运算知

(tan x)' = (\frac{sin x}{cos x})' = \frac{(sin x)' cos x - (cos x)' sin x}{{cos}^{2} x} = \frac{{cos}^{2} x + {sin}^{2} x}{{cos}^{2} x} = {sec}^{2} x (x \neq k π + \frac{π}{2});

同理

(cot x)' = - {csc}^{2} x (x \neq k π), (sec x)' = sec x tan x (x \neq k π + \frac{π}{2}), (csc x)' = - csc x cot x (x \neq k π) .

定理 2.5

设 $y = f (x)$ 为函数 $x = φ (y)$ 的反函数，若 $φ (y)$ 在点 $y_{0}$ 的某邻域内连续、严格单调且 $φ' (y_{0}) \neq 0$ ，则 $f (x)$ 在点 $x_{0} (x_{0} = φ (y_{0}))$ 可导，且

f' (x_{0}) = \frac{1}{φ' (y_{0})} 或 \frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}} = \frac{1}{\frac{d x}{d y} |_{y = y_{0}}} .

定理 2.6（复合函数求导法则）

设函数 $y = f (u)$ 对 $u$ 可导， $u = φ (x)$ 对 $x$ 可导，则复合函数 $y = f (φ (x))$ 对 $x$ 可导，且

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} 或 (f (φ (x)))' = f' (u) φ' (x) = f' (φ (x)) \cdot φ' (x) .

证明已掌握+

证明

给 $x_{0}$ 以改变量 $Δ x \neq 0$ 。由于 $φ (y)$ 严格单调，所以 $y = f (x)$ 也严格单调，从而可知 $Δ y \neq 0$ 。由 $φ (y)$ 在 $y_{0}$ 处连续，知 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处也连续，因此 $Δ x \to 0$ 等价于 $Δ y \to 0$ 。又 $φ' (y_{0}) \neq 0$ ，故

f' (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ y \to 0} \frac{1}{\frac{Δ x}{Δ y}} = \frac{1}{φ' (y_{0})} .

推论已掌握+

四个反三角函数的导数

由于 $y = arcsin x$ ， $x \in [- 1, 1]$ 的反函数是 $x = sin y$ ， $y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，符合反函数求导法则的条件，于是

(arcsin x)' = \frac{1}{(sin y)'} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x \in (- 1, 1) .

同理可证 $(arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ， $x \in (- 1, 1)$ 。

由于 $y = arctan x$ ， $x \in ℝ$ 的反函数是 $x = tan y$ ， $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，于是

(arctan x)' = \frac{1}{(tan y)'} = \frac{1}{{sec}^{2} y} = \frac{1}{1 + {tan}^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}}, x \in ℝ .

同理可证 $(arccot x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ， $x \in ℝ$ 。

原书说明已掌握+

教材原话

反三角函数的导数，虽然可以根据导数定义来求，但由于要用到烦琐的反三角函数公式，因此，我们可利用反函数求导法则来求反三角函数的导数。

从而，我们求出了所有基本初等函数的导数。除了 $y = arcsin x$ ， $y = arccos x$ 在 $x = \pm 1$ 处不可导， $y = x^{α}$ 在 $x = 0$ 处有时可能不可导，其余的基本初等函数在它们的定义域内的每一点都可导。

关于三角函数、反三角函数的导数的“ $\pm$ ”号，有一个简单的记忆方法：带有“正”字的三角函数、反三角函数的导数前面取“ $+$ ”号；带有“余”字的三角函数、反三角函数的导数前面取“ $-$ ”号。

说明已掌握+

教材对“证明”的提醒

有的读者看到结论 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ ，可能会采取下面的求法：

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} = lim_{Δ u \to 0} \frac{Δ y}{Δ u} \cdot lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ u}{Δ x} = f' (u) φ' (x) .

事实上，这种证法不合理。当 $Δ x \neq 0$ 而趋于 $0$ 时，对应的 $Δ u$ 虽然也趋于 $0$ ，但在此过程中不能保证恒有 $Δ u \neq 0$ ，因此以 $Δ u$ 去除 $Δ y$ 就不能保证有意义。教材给出的反例是

u = φ (x) = {\begin{cases} x^{2} sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

令 $x_{0} = 0$ ，取 $x_{n} = \frac{1}{n π}$ ， $Δ x = x_{n} - x_{0} = \frac{1}{n π}$ ，这时 $u (x_{n}) = φ (x_{n}) = 0$ ， $Δ u_{n} = u (x_{n}) - u (0) = 0$ ，即在 $Δ x \to 0$ 时，虽然有 $Δ u \to 0$ ，但它存在一个恒为 $0$ 的子列 ${Δ u_{n}}$ 。因此，在证明时应避免上述问题。

例题已掌握

例 2.1（本站补充）★★☆☆☆计算题极限存在≠函数值展开题目与讲解

例 2.1（本站补充）

求 $y = arccos x$ 在 $x = - \frac{1}{2}$ 处的切线方程。

解记 $y_{0} = arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ ，由 $(arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 得

y' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = - \frac{2}{\sqrt{3}} .

切线方程： $y - \frac{2 π}{3} = - \frac{2}{\sqrt{3}} (x + \frac{1}{2})$ ，即 $y = - \frac{2}{\sqrt{3}} x + \frac{2 π}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

例 5★★★☆☆计算题复合函数求导展开题目与讲解

例 5　求 $y = e^{{sin}^{2} \frac{1}{x}}$ 的导数

解　由于 $y = e^{u}$ ， $u = v^{2}$ ， $v = sin w$ ， $w = \frac{1}{x}$ ，于是

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d w} \cdot \frac{d w}{d x} = e^{u} \cdot 2 v \cdot cos w \cdot (- \frac{1}{x^{2}})

= e^{{sin}^{2} \frac{1}{x}} 2 sin \frac{1}{x} cos \frac{1}{x} (- \frac{1}{x^{2}}) = - e^{{sin}^{2} \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} sin \frac{2}{x} .

例 6★★☆☆☆计算题复合函数求导展开题目与讲解

例 6　求 $y = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 的导数

解　 $y' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} (x + \sqrt{1 + x^{2}})' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} [1 + (\sqrt{1 + x^{2}})']$

= \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} [1 + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} (1 + x^{2})'] = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 \sqrt{1 + x^{2}}})

= \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

例 7★★★☆☆计算题多层复合求导展开题目与讲解

例 7　三重根式复合函数求导

设 $y = 3] 1 + 3] 1 + 3] x$ ，求 $y'$ ．

解　 $y' = \frac{1}{3} (1 + 3] 1 + 3] x)^{- \frac{2}{3}} (3] 1 + 3] x)'$

= \frac{1}{9} (1 + 3] 1 + 3] x)^{- \frac{2}{3}} (1 + 3] x)^{- \frac{2}{3}} (3] x)'

= \frac{1}{27} (1 + 3] 1 + 3] x)^{- \frac{2}{3}} (1 + 3] x)^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}} .

例 8★★★☆☆计算题幂指函数求导展开题目与讲解

例 8　幂指函数 $y = u (x)^{v (x)}$ 求导

解　由于 $y = e^{v (x) ln u (x)}$ ，则

y' = e^{v (x) ln u (x)} [v' (x) ln u (x) + \frac{v (x) u' (x)}{u (x)}] = u (x)^{v (x)} [v' (x) ln u (x) + \frac{v (x) u' (x)}{u (x)}] .

例 9★★☆☆☆计算题含绝对值求导展开题目与讲解

例 9　求 $y = ln | x |$ 的导数

解　当 $x > 0$ 时， $y = ln x$ ， $y' = \frac{1}{x}$ ；当 $x < 0$ 时， $y = ln (- x)$ ， $y' = \frac{1}{- x} (- 1) = \frac{1}{x}$ ．于是

(ln | x |)' = \frac{1}{x} .

例 10★★★★☆计算题分段函数求导展开题目与讲解

例 10　 $f (x) = x arctan \frac{1}{x^{2}}$ 求导

设

f (x) = {\begin{cases} x arctan \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

求 $f' (x)$ ．

解　由于

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x arctan \frac{1}{x^{2}}}{x} = \frac{π}{2} = f' (0),

所以

f' (x) = {\begin{cases} arctan \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{2}}{1 + x^{4}}, & x \neq 0, \\ \frac{π}{2}, & x = 0 . \end{cases}

例 11★★★☆☆计算题分段函数求导展开题目与讲解

例 11　求 $f (x) = | x^{3} |$ 的导数

解　由于 $f (x) = {\begin{cases} - x^{3}, & x \leq 0, \\ x^{3}, & x > 0, \end{cases}$ 且

lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{- x^{3}}{x} = 0 = f'_{-} (0),

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{x} = 0 = f'_{+} (0),

所以 $f' (0) = 0$ ．从而

f' (x) = {\begin{cases} - 3 x^{2}, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ 3 x^{2}, & x > 0 . \end{cases}

三隐函数与高阶导数选自 §1.3、§1.45 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 2.5（隐函数）

设 $F (x, y) = 0$ 为二元方程，若存在非空集合 $D \subset ℝ$ ， $C \subset ℝ$ ，任给 $x \in D$ ，都有唯一的 $y \in C$ ，使得 $F (x, y) = 0$ ，则称由二元方程 $F (x, y) = 0$ 确定了一个隐函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ 。即 $x \in D$ 时，

F (x, f (x)) \equiv 0 .

举例：圆方程确定两个隐函数

例如 $x^{2} + y^{2} = R^{2} (R > 0)$ 确定

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}, x \in [- R, R], y \in [0, R],

满足 $x^{2} + (\sqrt{R^{2} - x^{2}})^{2} = R^{2}$ ；也确定

y = - \sqrt{R^{2} - x^{2}}, x \in [- R, R], y \in [- R, 0],

满足 $x^{2} + (- \sqrt{R^{2} - x^{2}})^{2} = R^{2}$ 。

定义　二阶导数

若函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上可导，则导函数 $f' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数. 若 $x_{0} \in I$ ， $f' (x)$ 在点 $x_{0}$ 可导，即极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x_{0} + Δ x) - f' (x_{0})}{Δ x}

存在，则称此极限值为 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的二阶导数，记作 $f'' (x_{0})$ 或 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{x = x_{0}}$ 或 $y'' |_{x = x_{0}}$ .

定义　二阶导函数与 n 阶导数

若 $f' (x)$ 在区间 $I$ 上每一点都可导，即任给 $x \in I$ ，有

y'' = f'' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x + Δ x) - f' (x)}{Δ x},

按函数定义， $f'' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数，称为 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的二阶导函数或二阶导数. 于是

y'' = (y')' = \frac{d y'}{d x} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f'' (x) = [f' (x)]' .

同理， $f (x)$ 的二阶导数的导数称为 $f (x)$ 的三阶导数，记成

f''' (x) = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = y''' .

一般地， $f (x)$ 的 $n - 1$ 阶导数的导数，称为 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，记作

y^{(n)} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}}) = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x) = [f^{(n - 1)} (x)]' .

$f' (x)$ 称为 $f (x)$ 的一阶导数， $f^{(n)} (x) (n > 1)$ 统称为 $f (x)$ 的高阶导数.

定义　二阶导数

若函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上可导，则导函数 $f' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数. 若 $x_{0} \in I$ ， $f' (x)$ 在点 $x_{0}$ 可导，即极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x_{0} + Δ x) - f' (x_{0})}{Δ x}

存在，则称此极限值为 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的二阶导数，记作 $f'' (x_{0})$ 或 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{x = x_{0}}$ 或 $y'' |_{x = x_{0}}$ .

定义　二阶导函数与 n 阶导数

若 $f' (x)$ 在区间 $I$ 上每一点都可导，即任给 $x \in I$ ，有

y'' = f'' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x + Δ x) - f' (x)}{Δ x},

按函数定义， $f'' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数，称为 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的二阶导函数或二阶导数. 于是

y'' = (y')' = \frac{d y'}{d x} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f'' (x) = [f' (x)]' .

同理， $f (x)$ 的二阶导数的导数称为 $f (x)$ 的三阶导数，记成

f''' (x) = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = y''' .

一般地， $f (x)$ 的 $n - 1$ 阶导数的导数，称为 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，记作

y^{(n)} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}}) = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x) = [f^{(n - 1)} (x)]' .

$f' (x)$ 称为 $f (x)$ 的一阶导数， $f^{(n)} (x) (n > 1)$ 统称为 $f (x)$ 的高阶导数.

定义　二阶导数

若函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上可导，则导函数 $f' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数. 若 $x_{0} \in I$ ， $f' (x)$ 在点 $x_{0}$ 可导，即极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x_{0} + Δ x) - f' (x_{0})}{Δ x}

存在，则称此极限值为 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的二阶导数，记作 $f'' (x_{0})$ 或 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |_{x = x_{0}}$ 或 $y'' |_{x = x_{0}}$ .

定义　二阶导函数与 n 阶导数

若 $f' (x)$ 在区间 $I$ 上每一点都可导，即任给 $x \in I$ ，有

y'' = f'' (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x + Δ x) - f' (x)}{Δ x},

按函数定义， $f'' (x)$ 是区间 $I$ 上的函数，称为 $f (x)$ 在区间 $I$ 上的二阶导函数或二阶导数. 于是

y'' = (y')' = \frac{d y'}{d x} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f'' (x) = [f' (x)]' .

同理， $f (x)$ 的二阶导数的导数称为 $f (x)$ 的三阶导数，记成

f''' (x) = \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = y''' .

一般地， $f (x)$ 的 $n - 1$ 阶导数的导数，称为 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，记作

y^{(n)} = \frac{d}{d x} (\frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}}) = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x) = [f^{(n - 1)} (x)]' .

$f' (x)$ 称为 $f (x)$ 的一阶导数， $f^{(n)} (x) (n > 1)$ 统称为 $f (x)$ 的高阶导数.

说明已掌握+

为什么要学这一节（教材开头）

我们知道函数 $y = f (x)$ 可化为 $y - f (x) = 0$ 。设 $F (x, y) = y - f (x)$ ，有 $F (x, y) = 0$ ，即函数可化成一个二元方程。反之一个二元方程 $F (x, y) = 0$ 能否确定一个函数呢？本节就是回答这个问题，并给出不用解出 $y$ 也能求导的方法。

说明　求高阶导数前先化简

求函数的高阶导数时，由于没有商的高阶导数公式，乘积的高阶导数公式也比较复杂，因此在求某些函数的高阶导数之前，首先应把函数化简，尽量化成有高阶导数公式的函数的加减形式. 求 $(u v)^{(n)}$ 时，若其中一项有高阶导数公式，另一项经过几次求导变为 $0$ ，则可用乘积的高阶导数公式.

说明　先求一、二阶导数发现规律

注　求有些函数的高阶导数，须经求一、二阶导数，发现规律，再用归纳法证明.

说明　求一点处 n 阶导数的两条思路

有时，我们需要求 $f^{(n)} (x_{0})$ ，如果能求出 $f^{(n)} (x)$ ，则

f^{(n)} (x_{0}) = f^{(n)} (x) |_{x = x_{0}},

但有时求不出 $f^{(n)} (x)$ ，我们可求出 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的高阶导数与低阶导数的递推关系式，从而求出 $f^{(n)} (x_{0})$ .

说明　求高阶导数前先化简

说明　先求一、二阶导数发现规律

注　求有些函数的高阶导数，须经求一、二阶导数，发现规律，再用归纳法证明.

说明　求一点处 n 阶导数的两条思路

有时，我们需要求 $f^{(n)} (x_{0})$ ，如果能求出 $f^{(n)} (x)$ ，则

f^{(n)} (x_{0}) = f^{(n)} (x) |_{x = x_{0}},

但有时求不出 $f^{(n)} (x)$ ，我们可求出 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的高阶导数与低阶导数的递推关系式，从而求出 $f^{(n)} (x_{0})$ .

说明　求高阶导数前先化简

说明　先求一、二阶导数发现规律

注　求有些函数的高阶导数，须经求一、二阶导数，发现规律，再用归纳法证明.

说明　求一点处 n 阶导数的两条思路

有时，我们需要求 $f^{(n)} (x_{0})$ ，如果能求出 $f^{(n)} (x)$ ，则

f^{(n)} (x_{0}) = f^{(n)} (x) |_{x = x_{0}},

但有时求不出 $f^{(n)} (x)$ ，我们可求出 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的高阶导数与低阶导数的递推关系式，从而求出 $f^{(n)} (x_{0})$ .

公式已掌握+

公式　幂函数的高阶导数

设 $y = x^{α}$ ，则

y' = α x^{α - 1}, y'' = α (α - 1) x^{α - 2}, \dots, y^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n},

即

(x^{α})^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n} .

特别当 $α = n$ 是正整数时， $(x^{n})^{(n)} = n!$ ，若 $k > n$ ，则 $(x^{n})^{(k)} = 0$ .

同理， $[(1 + x)^{α}]^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) (1 + x)^{α - n}$ .

公式　对数函数的高阶导数

设 $y = ln x$ ，则

y^{(n)} = [(ln x)']^{(n - 1)} = (x^{- 1})^{(n - 1)} = - 1 (- 1 - 1) \dots [- 1 - (n - 1) + 1] x^{- 1 - (n - 1)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

即

(ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

同理，

[ln (1 + x)]^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! (1 + x)^{- n} .

公式　正弦与余弦的高阶导数

设 $y = sin x$ ，则

y' = cos x = sin (x + \frac{π}{2}),

y'' = [sin (x + \frac{π}{2})]' = cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}),

假设 $n = k$ 时， $y^{(k)} = sin (x + k \cdot \frac{π}{2})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = [sin (x + k \cdot \frac{π}{2})]' = cos (x + k \cdot \frac{π}{2})

= sin (x + k \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin [x + (k + 1) \frac{π}{2}] .

由数学归纳法知，对任意正整数 $n$ ，都有

(sin x)^{(n)} = sin (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

同理可证，

(cos x)^{(n)} = cos (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

公式　指数函数的高阶导数

设 $y = a^{x}$ ，则 $y' = a^{x} ln a$ ， $y'' = a^{x} (ln a)^{2}$ ， $\dots$ ， $y^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n}$ . 即

(a^{x})^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n} .

特别地，

(e^{x})^{(n)} = e^{x} .

公式　幂函数的高阶导数

设 $y = x^{α}$ ，则

y' = α x^{α - 1}, y'' = α (α - 1) x^{α - 2}, \dots, y^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n},

即

(x^{α})^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n} .

特别当 $α = n$ 是正整数时， $(x^{n})^{(n)} = n!$ ，若 $k > n$ ，则 $(x^{n})^{(k)} = 0$ .

同理， $[(1 + x)^{α}]^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) (1 + x)^{α - n}$ .

公式　对数函数的高阶导数

设 $y = ln x$ ，则

y^{(n)} = [(ln x)']^{(n - 1)} = (x^{- 1})^{(n - 1)} = - 1 (- 1 - 1) \dots [- 1 - (n - 1) + 1] x^{- 1 - (n - 1)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

即

(ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

同理，

[ln (1 + x)]^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! (1 + x)^{- n} .

公式　正弦与余弦的高阶导数

设 $y = sin x$ ，则

y' = cos x = sin (x + \frac{π}{2}),

y'' = [sin (x + \frac{π}{2})]' = cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}),

假设 $n = k$ 时， $y^{(k)} = sin (x + k \cdot \frac{π}{2})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = [sin (x + k \cdot \frac{π}{2})]' = cos (x + k \cdot \frac{π}{2})

= sin (x + k \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin [x + (k + 1) \frac{π}{2}] .

由数学归纳法知，对任意正整数 $n$ ，都有

(sin x)^{(n)} = sin (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

同理可证，

(cos x)^{(n)} = cos (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

公式　指数函数的高阶导数

设 $y = a^{x}$ ，则 $y' = a^{x} ln a$ ， $y'' = a^{x} (ln a)^{2}$ ， $\dots$ ， $y^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n}$ . 即

(a^{x})^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n} .

特别地，

(e^{x})^{(n)} = e^{x} .

公式　幂函数的高阶导数

设 $y = x^{α}$ ，则

y' = α x^{α - 1}, y'' = α (α - 1) x^{α - 2}, \dots, y^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n},

即

(x^{α})^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) x^{α - n} .

特别当 $α = n$ 是正整数时， $(x^{n})^{(n)} = n!$ ，若 $k > n$ ，则 $(x^{n})^{(k)} = 0$ .

同理， $[(1 + x)^{α}]^{(n)} = α (α - 1) \dots (α - n + 1) (1 + x)^{α - n}$ .

公式　对数函数的高阶导数

设 $y = ln x$ ，则

y^{(n)} = [(ln x)']^{(n - 1)} = (x^{- 1})^{(n - 1)} = - 1 (- 1 - 1) \dots [- 1 - (n - 1) + 1] x^{- 1 - (n - 1)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

即

(ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! x^{- n} .

同理，

[ln (1 + x)]^{(n)} = (- 1)^{n - 1} (n - 1)! (1 + x)^{- n} .

公式　正弦与余弦的高阶导数

设 $y = sin x$ ，则

y' = cos x = sin (x + \frac{π}{2}),

y'' = [sin (x + \frac{π}{2})]' = cos (x + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}),

假设 $n = k$ 时， $y^{(k)} = sin (x + k \cdot \frac{π}{2})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = [sin (x + k \cdot \frac{π}{2})]' = cos (x + k \cdot \frac{π}{2})

= sin (x + k \cdot \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin [x + (k + 1) \frac{π}{2}] .

由数学归纳法知，对任意正整数 $n$ ，都有

(sin x)^{(n)} = sin (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

同理可证，

(cos x)^{(n)} = cos (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

公式　指数函数的高阶导数

设 $y = a^{x}$ ，则 $y' = a^{x} ln a$ ， $y'' = a^{x} (ln a)^{2}$ ， $\dots$ ， $y^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n}$ . 即

(a^{x})^{(n)} = a^{x} (ln a)^{n} .

特别地，

(e^{x})^{(n)} = e^{x} .

定理已掌握+

定理 2.7　高阶导数的运算法则

若 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 均存在 $n$ 阶导数，则

(1) $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$ ；

(2) $(c u)^{(n)} = c u^{(n)}$ ，其中 $c$ 为常数；

(3) $(u v)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v^{(0)} + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v' + \dots + C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} + \dots + C_{n}^{n} u^{(0)} v^{(n)}$

= \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)},

其中 $v^{(0)} = v$ ， $u^{(0)} = u$ .

定理 2.7 的公式 (3) 称为莱布尼茨（Leibniz）公式，它的系数与二项式 $(u + v)^{n}$ 展开式的系数相同.

定理 2.7　高阶导数的运算法则

若 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 均存在 $n$ 阶导数，则

(1) $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$ ；

(2) $(c u)^{(n)} = c u^{(n)}$ ，其中 $c$ 为常数；

(3) $(u v)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v^{(0)} + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v' + \dots + C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} + \dots + C_{n}^{n} u^{(0)} v^{(n)}$

= \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)},

其中 $v^{(0)} = v$ ， $u^{(0)} = u$ .

定理 2.7 的公式 (3) 称为莱布尼茨（Leibniz）公式，它的系数与二项式 $(u + v)^{n}$ 展开式的系数相同.

定理 2.7　高阶导数的运算法则

若 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 均存在 $n$ 阶导数，则

(1) $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$ ；

(2) $(c u)^{(n)} = c u^{(n)}$ ，其中 $c$ 为常数；

(3) $(u v)^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v^{(0)} + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v' + \dots + C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} + \dots + C_{n}^{n} u^{(0)} v^{(n)}$

= \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)},

其中 $v^{(0)} = v$ ， $u^{(0)} = u$ .

定理 2.7 的公式 (3) 称为莱布尼茨（Leibniz）公式，它的系数与二项式 $(u + v)^{n}$ 展开式的系数相同.

例题已掌握

例 12★★★☆☆计算题隐函数求导展开题目与讲解

例 12　隐函数 $y = g (x + y)$ 求 $\frac{d y}{d x}$

设 $y = g (x + y)$ 确定隐函数 $y = y (x)$ ，其中 $g$ 具有一阶导数，且其一阶导数不等于 $1$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ．

解　由于方程确定 $y = y (x)$ ，所以有

y (x) = g (x + y (x)),

两边同时对 $x$ 求导，有

y' = g' (x + y) (1 + y'),

解得

\frac{d y}{d x} = y' = \frac{g' (x + y)}{1 - g' (x + y)} = \frac{g'}{1 - g'} .

例 13★★★☆☆计算题隐函数求切线展开题目与讲解

例 13　方程 $y - x e^{y} = 1$ 求 $y' (0)$ 及切线法线

设函数 $y = y (x)$ 由方程 $y - x e^{y} = 1$ 确定，求 $\frac{d y}{d x} |_{x = 0}$ ，并求曲线上其横坐标 $x = 0$ 处点的切线和法线方程．

解　方程两边同时对 $x$ 求导，有

y' - e^{y} - x e^{y} \cdot y' = 0 . (2.2)

当 $x = 0$ 时，由 $y - 0 = 1$ 得 $y = 1$ ．将 $x = 0$ ， $y = 1$ 代入上式，得

y' (0) - e = 0,

即 $y' (0) = \frac{d y}{d x} |_{x = 0} = e$ ．因此，切线方程为

y - 1 = e x,

即 $y = e x + 1$ ；法线方程为

y - 1 = - \frac{1}{e} x,

即 $y = - \frac{1}{e} x + 1$ ．

例 14★★★☆☆计算题对数求导法展开题目与讲解

例 14　对数求导法求 $y = u (x)^{v (x)}$ 的导数

解　等式两边同时取对数，得

ln y = v (x) ln u (x),

把函数 $y$ 看成由方程确定的隐函数，利用隐函数求导法，有

\frac{1}{y} \cdot y' = v' (x) ln u (x) + v (x) \cdot \frac{u' (x)}{u (x)},

经整理得

y' = u (x)^{v (x)} [v' (x) ln u (x) + \frac{v (x) u' (x)}{u (x)}] .

例 15★★☆☆☆计算题幂指函数求导展开题目与讲解

例 15　求 $y = (sin x)^{x}$ 的导数

解　等式两边同时取对数，得 $ln y = x ln sin x$ ，两边同时对 $x$ 求导，得

\frac{1}{y} y' = ln sin x + x \frac{cos x}{sin x},

因此

y' = (sin x)^{x} (ln sin x + x cot x) .

例 16★★★☆☆计算题对数求导法展开题目与讲解

例 16　求 $y = \frac{x^{ln x}}{(ln x)^{x}}$ 的导数

解　等式两边同时取对数，得 $ln y = (ln x)^{2} - x ln ln x$ ，两边同时对 $x$ 求导，得

\frac{1}{y} y' = 2 (ln x) \frac{1}{x} - ln ln x - x \cdot \frac{1}{ln x} \cdot \frac{1}{x},

于是

y' = \frac{x^{ln x}}{(ln x)^{x}} (\frac{2 ln x}{x} - ln ln x - \frac{1}{ln x}) .

例 17★★★☆☆计算题对数求导法展开题目与讲解

例 17　根式商式用对数求导法

设 $y = 5] x - 3 3] 3 x - 2 \sqrt{x + 2}$ ，求 $y'$ ．

解　等式两边取对数，得

ln y = \frac{1}{5} ln | x - 3 | + \frac{1}{3} ln | 3 x - 2 | - \frac{1}{2} ln | x + 2 |,

两边同时对 $x$ 求导，得

\frac{1}{y} y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 x - 2} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2},

于是

y' = 5] x - 3 3] 3 x - 2 \sqrt{x + 2} [\frac{1}{5 (x - 3)} + \frac{1}{3 x - 2} - \frac{1}{2 (x + 2)}] .

例 18★★★☆☆计算题对数求导法展开题目与讲解

例 18　求 $y = (x / a)^{b} (a / b)^{x} (b / x)^{a}$ 的导数

设 $y = (\frac{x}{a})^{b} (\frac{a}{b})^{x} (\frac{b}{x})^{a}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ），求 $y'$ ．

解　等式两边同时取对数，得

ln y = b (ln x - ln a) + x ln \frac{a}{b} + a (ln b - ln x),

两边同时对 $x$ 求导，有

\frac{1}{y} y' = \frac{b}{x} + ln \frac{a}{b} - \frac{a}{x},

于是

y' = (\frac{x}{a})^{b} (\frac{a}{b})^{x} (\frac{b}{x})^{a} (ln \frac{a}{b} + \frac{b - a}{x}) .

例 19★★☆☆☆计算题三角恒等变形 + 正弦余弦高阶导数公式展开题目与讲解

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

设 $y = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y = ({sin}^{2} x + {cos}^{2} x)^{2} - 2 {sin}^{2} x {cos}^{2} x$

= 1 - \frac{1}{2} {sin}^{2} 2 x = 1 - \frac{1}{4} (1 - cos 4 x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x,

因此

y^{(n)} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x)^{(n)} = \frac{1}{4} (cos 4 x)^{(n)}

= \frac{1}{4} \cdot 4^{n} cos (4 x + \frac{n π}{2}) = 4^{n - 1} cos (4 x + \frac{n π}{2}) (n \geq 1) .

例 19★★☆☆☆计算题三角恒等变形 + 正弦余弦高阶导数公式展开题目与讲解

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

设 $y = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y = ({sin}^{2} x + {cos}^{2} x)^{2} - 2 {sin}^{2} x {cos}^{2} x$

= 1 - \frac{1}{2} {sin}^{2} 2 x = 1 - \frac{1}{4} (1 - cos 4 x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x,

因此

y^{(n)} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x)^{(n)} = \frac{1}{4} (cos 4 x)^{(n)}

= \frac{1}{4} \cdot 4^{n} cos (4 x + \frac{n π}{2}) = 4^{n - 1} cos (4 x + \frac{n π}{2}) (n \geq 1) .

例 19★★☆☆☆计算题三角恒等变形 + 正弦余弦高阶导数公式展开题目与讲解

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

设 $y = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y = ({sin}^{2} x + {cos}^{2} x)^{2} - 2 {sin}^{2} x {cos}^{2} x$

= 1 - \frac{1}{2} {sin}^{2} 2 x = 1 - \frac{1}{4} (1 - cos 4 x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x,

因此

y^{(n)} = (\frac{3}{4} + \frac{1}{4} cos 4 x)^{(n)} = \frac{1}{4} (cos 4 x)^{(n)}

= \frac{1}{4} \cdot 4^{n} cos (4 x + \frac{n π}{2}) = 4^{n - 1} cos (4 x + \frac{n π}{2}) (n \geq 1) .

例 20★★☆☆☆计算题部分分式分解 + 幂函数高阶导数公式展开题目与讲解

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

设 $y = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　因为 $y = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$ ，所以

y^{(n)} = [(x - 2)^{- 1} - (x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= [(x - 2)^{- 1}]^{(n)} - [(x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= (- 1)^{n} n! [(x - 2)^{- 1 - n} - (x - 1)^{- 1 - n}] .

例 20★★☆☆☆计算题部分分式分解 + 幂函数高阶导数公式展开题目与讲解

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

设 $y = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　因为 $y = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$ ，所以

y^{(n)} = [(x - 2)^{- 1} - (x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= [(x - 2)^{- 1}]^{(n)} - [(x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= (- 1)^{n} n! [(x - 2)^{- 1 - n} - (x - 1)^{- 1 - n}] .

例 20★★☆☆☆计算题部分分式分解 + 幂函数高阶导数公式展开题目与讲解

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

设 $y = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　因为 $y = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$ ，所以

y^{(n)} = [(x - 2)^{- 1} - (x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= [(x - 2)^{- 1}]^{(n)} - [(x - 1)^{- 1}]^{(n)}

= (- 1)^{n} n! [(x - 2)^{- 1 - n} - (x - 1)^{- 1 - n}] .

例 21★★☆☆☆计算题莱布尼茨公式（一项经两次求导为零）展开题目与讲解

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} x^{2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y^{(n)} = (e^{x} x^{2})^{(n)}$

= C_{n}^{0} (e^{x})^{(n)} x^{2} + C_{n}^{1} (e^{x})^{(n - 1)} (x^{2})' + C_{n}^{2} (e^{x})^{(n - 2)} (x^{2})''

= e^{x} x^{2} + n e^{x} 2 x + \frac{n (n - 1)}{2} e^{x}

= e^{x} [x^{2} + 2 n x + n (n - 1)] (n > 1) .

当 $n = 1$ 时， $y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ .

例 21★★☆☆☆计算题莱布尼茨公式（一项经两次求导为零）展开题目与讲解

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} x^{2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y^{(n)} = (e^{x} x^{2})^{(n)}$

= C_{n}^{0} (e^{x})^{(n)} x^{2} + C_{n}^{1} (e^{x})^{(n - 1)} (x^{2})' + C_{n}^{2} (e^{x})^{(n - 2)} (x^{2})''

= e^{x} x^{2} + n e^{x} 2 x + \frac{n (n - 1)}{2} e^{x}

= e^{x} [x^{2} + 2 n x + n (n - 1)] (n > 1) .

当 $n = 1$ 时， $y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ .

例 21★★☆☆☆计算题莱布尼茨公式（一项经两次求导为零）展开题目与讲解

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} x^{2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

解　 $y^{(n)} = (e^{x} x^{2})^{(n)}$

= C_{n}^{0} (e^{x})^{(n)} x^{2} + C_{n}^{1} (e^{x})^{(n - 1)} (x^{2})' + C_{n}^{2} (e^{x})^{(n - 2)} (x^{2})''

= e^{x} x^{2} + n e^{x} 2 x + \frac{n (n - 1)}{2} e^{x}

= e^{x} [x^{2} + 2 n x + n (n - 1)] (n > 1) .

当 $n = 1$ 时， $y' = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)$ .

例 22★★☆☆☆计算题辅助角公式 + 数学归纳法展开题目与讲解

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} cos x$ ，求 $y^{(n)}$ .

分析　如果用乘积的高阶导数公式，得不到化简，宜改用其他方法.

解　当 $n = 1$ 时，

y' = e^{x} cos x + e^{x} (- sin x) = e^{x} \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} sin x)

= e^{x} \sqrt{2} (cos \frac{π}{4} cos x - sin \frac{π}{4} sin x) = \sqrt{2} e^{x} cos (x + \frac{π}{4}) .

假设当 $n = k$ 时， $y^{(k)} = {\sqrt{2}}^{k} e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})]'

= {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4}) - e^{x} sin (x + \frac{k π}{4})]

= {\sqrt{2}}^{k + 1} e^{x} cos [x + (k + 1) \frac{π}{4}] .

由归纳法知，对一切正整数 $n$ ，有

y^{(n)} = {\sqrt{2}}^{n} e^{x} cos (x + \frac{n π}{4}) .

例 22★★☆☆☆计算题辅助角公式 + 数学归纳法展开题目与讲解

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} cos x$ ，求 $y^{(n)}$ .

分析　如果用乘积的高阶导数公式，得不到化简，宜改用其他方法.

解　当 $n = 1$ 时，

y' = e^{x} cos x + e^{x} (- sin x) = e^{x} \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} sin x)

= e^{x} \sqrt{2} (cos \frac{π}{4} cos x - sin \frac{π}{4} sin x) = \sqrt{2} e^{x} cos (x + \frac{π}{4}) .

假设当 $n = k$ 时， $y^{(k)} = {\sqrt{2}}^{k} e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})]'

= {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4}) - e^{x} sin (x + \frac{k π}{4})]

= {\sqrt{2}}^{k + 1} e^{x} cos [x + (k + 1) \frac{π}{4}] .

由归纳法知，对一切正整数 $n$ ，有

y^{(n)} = {\sqrt{2}}^{n} e^{x} cos (x + \frac{n π}{4}) .

例 22★★☆☆☆计算题辅助角公式 + 数学归纳法展开题目与讲解

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

设 $y = e^{x} cos x$ ，求 $y^{(n)}$ .

分析　如果用乘积的高阶导数公式，得不到化简，宜改用其他方法.

解　当 $n = 1$ 时，

y' = e^{x} cos x + e^{x} (- sin x) = e^{x} \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} sin x)

= e^{x} \sqrt{2} (cos \frac{π}{4} cos x - sin \frac{π}{4} sin x) = \sqrt{2} e^{x} cos (x + \frac{π}{4}) .

假设当 $n = k$ 时， $y^{(k)} = {\sqrt{2}}^{k} e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})$ 成立. 当 $n = k + 1$ 时，

y^{(k + 1)} = [y^{(k)}]' = {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4})]'

= {\sqrt{2}}^{k} [e^{x} cos (x + \frac{k π}{4}) - e^{x} sin (x + \frac{k π}{4})]

= {\sqrt{2}}^{k + 1} e^{x} cos [x + (k + 1) \frac{π}{4}] .

由归纳法知，对一切正整数 $n$ ，有

y^{(n)} = {\sqrt{2}}^{n} e^{x} cos (x + \frac{n π}{4}) .

例 23★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 二阶导数化简展开题目与讲解

例 23　隐函数求二阶导数

设 $y (x)$ 是由方程 $e^{y} - x y = 0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ .

解　方程两端同时对 $x$ 求导，得

\frac{d y}{d x} e^{y} - y - x \frac{d y}{d x} = 0,

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x},

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\frac{d y}{d x} (e^{y} - x) - y (e^{y} \cdot \frac{d y}{d x} - 1)}{(e^{y} - x)^{2}},

将 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 进行化简，有

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2 y e^{y} - 2 x y - y^{2} e^{y}}{(e^{y} - x)^{3}} .

例 23★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 二阶导数化简展开题目与讲解

例 23　隐函数求二阶导数

设 $y (x)$ 是由方程 $e^{y} - x y = 0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ .

解　方程两端同时对 $x$ 求导，得

\frac{d y}{d x} e^{y} - y - x \frac{d y}{d x} = 0,

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x},

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\frac{d y}{d x} (e^{y} - x) - y (e^{y} \cdot \frac{d y}{d x} - 1)}{(e^{y} - x)^{2}},

将 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 进行化简，有

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2 y e^{y} - 2 x y - y^{2} e^{y}}{(e^{y} - x)^{3}} .

例 23★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 二阶导数化简展开题目与讲解

例 23　隐函数求二阶导数

设 $y (x)$ 是由方程 $e^{y} - x y = 0$ 所确定的隐函数，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ .

解　方程两端同时对 $x$ 求导，得

\frac{d y}{d x} e^{y} - y - x \frac{d y}{d x} = 0,

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x},

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\frac{d y}{d x} (e^{y} - x) - y (e^{y} \cdot \frac{d y}{d x} - 1)}{(e^{y} - x)^{2}},

将 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 进行化简，有

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{2 y e^{y} - 2 x y - y^{2} e^{y}}{(e^{y} - x)^{3}} .

例 24★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 代入初值展开题目与讲解

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

设函数 $y = y (x)$ 由方程 $y - x e^{y} = 1$ 所确定，求 $y'' (0)$ .

解　由题设， $x = 0$ 时， $y = 1$ . 方程两边同时对 $x$ 求导，得

y' - e^{y} - x e^{y} y' = 0, (2.3)

两端对 $x$ 求导，得

y'' - e^{y} y' - e^{y} y' - x e^{y} y'^{2} - x e^{y} y'' = 0 . (2.4)

将 $x = 0$ ， $y = 1$ 代入式 (2.3)，有 $y' (0) - e = 0$ ，即 $y' (0) = e$ .

将 $x = 0$ ， $y = 1$ ， $y' (0) = e$ 代入式 (2.4)，得

y'' (0) - e \cdot e - e \cdot e = 0,

即 $y'' (0) = 2 e^{2}$ .

例 24★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 代入初值展开题目与讲解

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

设函数 $y = y (x)$ 由方程 $y - x e^{y} = 1$ 所确定，求 $y'' (0)$ .

解　由题设， $x = 0$ 时， $y = 1$ . 方程两边同时对 $x$ 求导，得

y' - e^{y} - x e^{y} y' = 0, (2.3)

两端对 $x$ 求导，得

y'' - e^{y} y' - e^{y} y' - x e^{y} y'^{2} - x e^{y} y'' = 0 . (2.4)

将 $x = 0$ ， $y = 1$ 代入式 (2.3)，有 $y' (0) - e = 0$ ，即 $y' (0) = e$ .

将 $x = 0$ ， $y = 1$ ， $y' (0) = e$ 代入式 (2.4)，得

y'' (0) - e \cdot e - e \cdot e = 0,

即 $y'' (0) = 2 e^{2}$ .

例 24★★☆☆☆计算题隐函数求导 + 代入初值展开题目与讲解

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

设函数 $y = y (x)$ 由方程 $y - x e^{y} = 1$ 所确定，求 $y'' (0)$ .

解　由题设， $x = 0$ 时， $y = 1$ . 方程两边同时对 $x$ 求导，得

y' - e^{y} - x e^{y} y' = 0, (2.3)

两端对 $x$ 求导，得

y'' - e^{y} y' - e^{y} y' - x e^{y} y'^{2} - x e^{y} y'' = 0 . (2.4)

将 $x = 0$ ， $y = 1$ 代入式 (2.3)，有 $y' (0) - e = 0$ ，即 $y' (0) = e$ .

将 $x = 0$ ， $y = 1$ ， $y' (0) = e$ 代入式 (2.4)，得

y'' (0) - e \cdot e - e \cdot e = 0,

即 $y'' (0) = 2 e^{2}$ .

例 25★★☆☆☆计算题递推关系式求 f^{(n)}(x_0)展开题目与讲解

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

设 $y = f (x) = arctan x$ ，求 $y^{(n)} |_{x = 0}$ .

解　由 $f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，得

(1 + x^{2}) f' (x) = 1,

方程两端同时取 $n$ 阶导数，有

f^{(n + 1)} (x) (1 + x^{2}) + n f^{(n)} (x) 2 x + n (n - 1) f^{(n - 1)} (x) = 0 (n \geq 2),

把 $x = 0$ 代入上式，有 $f^{(n + 1)} (0) + n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) = 0$ ，由此得

f^{(n + 1)} (0) = - n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) .

$n$ 用 $n - 1$ 代换，有

f^{(n)} (0) = - (n - 1) (n - 2) f^{(n - 2)} (0) (n \geq 3) .

由于 $f (0) = 0$ ， $f' (0) = 1$ ， $f'' (0) = 0$ ，于是推出

f^{(2 k)} (0) = 0, f^{(2 k + 1)} (0) = (- 1)^{k} (2 k)! (k = 0, 1, 2, \dots) .

例 25★★☆☆☆计算题递推关系式求 f^{(n)}(x_0)展开题目与讲解

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

设 $y = f (x) = arctan x$ ，求 $y^{(n)} |_{x = 0}$ .

解　由 $f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，得

(1 + x^{2}) f' (x) = 1,

方程两端同时取 $n$ 阶导数，有

f^{(n + 1)} (x) (1 + x^{2}) + n f^{(n)} (x) 2 x + n (n - 1) f^{(n - 1)} (x) = 0 (n \geq 2),

把 $x = 0$ 代入上式，有 $f^{(n + 1)} (0) + n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) = 0$ ，由此得

f^{(n + 1)} (0) = - n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) .

$n$ 用 $n - 1$ 代换，有

f^{(n)} (0) = - (n - 1) (n - 2) f^{(n - 2)} (0) (n \geq 3) .

由于 $f (0) = 0$ ， $f' (0) = 1$ ， $f'' (0) = 0$ ，于是推出

f^{(2 k)} (0) = 0, f^{(2 k + 1)} (0) = (- 1)^{k} (2 k)! (k = 0, 1, 2, \dots) .

例 25★★☆☆☆计算题递推关系式求 f^{(n)}(x_0)展开题目与讲解

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

设 $y = f (x) = arctan x$ ，求 $y^{(n)} |_{x = 0}$ .

解　由 $f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，得

(1 + x^{2}) f' (x) = 1,

方程两端同时取 $n$ 阶导数，有

f^{(n + 1)} (x) (1 + x^{2}) + n f^{(n)} (x) 2 x + n (n - 1) f^{(n - 1)} (x) = 0 (n \geq 2),

把 $x = 0$ 代入上式，有 $f^{(n + 1)} (0) + n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) = 0$ ，由此得

f^{(n + 1)} (0) = - n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) .

$n$ 用 $n - 1$ 代换，有

f^{(n)} (0) = - (n - 1) (n - 2) f^{(n - 2)} (0) (n \geq 3) .

由于 $f (0) = 0$ ， $f' (0) = 1$ ， $f'' (0) = 0$ ，于是推出

f^{(2 k)} (0) = 0, f^{(2 k + 1)} (0) = (- 1)^{k} (2 k)! (k = 0, 1, 2, \dots) .

四微分选自 §2.1、§2.2、§2.45 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 2.6　微分

设 $y = f (x)$ 在 $x$ 的某邻域 $U (x)$ 内有定义，若 $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ 可表示为

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中 $A$ 是与 $Δ x$ 无关的量，则称 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微． $A Δ x$ 是 $Δ y$ 的线性主部，并称其为 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处的微分，记为 $d y$ ，即 $d y = A Δ x$ ．

定义　高阶微分

若 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上可微（ $x$ 为自变量），则 $d y = f' (x) d x$ ．这里 $d y$ 不仅与 $x$ 有关，与 $d x = Δ x$ 也有关，而 $Δ x$ 是与 $x$ 无关的一个量．我们现在研究 $d y$ 与 $x$ 之间的关系，在这里， $Δ x$ 相对于 $x$ 来说是个常数，所以 $d y$ 是 $x$ 的函数．如果 $d y$ 又可微，即 $f'' (x)$ 存在，则 $d (d y) = d (f' (x) d x) = d (f' (x)) d x = f'' (x) d x d x = f'' (x) d x^{2}$ ，称为 $f (x)$ 的二阶微分，记作 $d^{2} y$ ，即 $d^{2} y = f'' (x) d x^{2}$ ．

一般地，若 $d^{n - 1} y = f^{(n - 1)} (x) d x^{n - 1}$ 可微，即 $f^{(n)} (x)$ 存在，则

d (d^{n - 1} y) = d (f^{(n - 1)} (x) d x^{n - 1}) = d (f^{(n - 1)} (x)) d x^{n - 1}

= f^{(n)} (x) d x \cdot d x^{n - 1} = f^{(n)} (x) d x^{n},

称为 $f (x)$ 的 $n$ 阶微分，记作 $d^{n} y$ ，即 $d^{n} y = f^{(n)} (x) d x^{n}$ ．于是（ $x$ 为自变量）

\frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x),

因此 $f^{(n)} (x)$ 可看成 $d^{n} y$ 与 $d x^{n}$ 的商，又称 $n$ 阶微商．

定义 2.6　微分

设 $y = f (x)$ 在 $x$ 的某邻域 $U (x)$ 内有定义，若 $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ 可表示为

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

定义　高阶微分

一般地，若 $d^{n - 1} y = f^{(n - 1)} (x) d x^{n - 1}$ 可微，即 $f^{(n)} (x)$ 存在，则

d (d^{n - 1} y) = d (f^{(n - 1)} (x) d x^{n - 1}) = d (f^{(n - 1)} (x)) d x^{n - 1}

= f^{(n)} (x) d x \cdot d x^{n - 1} = f^{(n)} (x) d x^{n},

称为 $f (x)$ 的 $n$ 阶微分，记作 $d^{n} y$ ，即 $d^{n} y = f^{(n)} (x) d x^{n}$ ．于是（ $x$ 为自变量）

\frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x),

因此 $f^{(n)} (x)$ 可看成 $d^{n} y$ 与 $d x^{n}$ 的商，又称 $n$ 阶微商．

定理已掌握+

定理 2.8　可微与可导

从微分概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的．因此有

函数 $y = f (x)$ 在点 $x$ 可微的充要条件是函数 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可导．

证　充分性．由 $f (x)$ 在点 $x$ 处可导的定义知

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f' (x) .

于是 $\frac{Δ y}{Δ x} = f' (x) + α$ ，其中 ${lim}_{Δ x \to 0} α = 0$ ．从而有

Δ y = f' (x) Δ x + α Δ x,

而 ${lim}_{Δ x \to 0} \frac{α Δ x}{Δ x} = 0$ ，即 $α Δ x = o (Δ x) (Δ x \to 0)$ ．所以

Δ y = f' (x) Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0) .

因此 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微且 $f' (x) = A$ ．

必要性．由于 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，由定义知

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中 $A$ 与 $Δ x$ 无关．由于

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} [A + \frac{o (Δ x)}{Δ x}] = A = f' (x),

所以 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可导．□

定理 2.9　微分的四则运算

设 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 在点 $x$ 处均可微，则 $u \pm v$ ， $u v$ ， $c u$ （ $c$ 为常数）， $\frac{u}{v}$ （ $v \neq 0$ ）在点 $x$ 处都可微，且

（1） $d (u \pm v) = d u \pm d v$ ；

（2） $d (u v) = v d u + u d v$ ，

特别地， $d (c u) = c d u$ （ $c$ 为常数）；

（3） $d (\frac{u}{v}) = \frac{v d u - u d v}{v^{2}} (v \neq 0)$ ，

特别地， $d (\frac{1}{v}) = - \frac{d v}{v^{2}} (v \neq 0)$ ．

证　（1），（2）略．

（3） $d (\frac{u}{v}) = (\frac{u}{v})' d x = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} d x$

= \frac{v u' d x - u v' d x}{v^{2}} = \frac{v d u - u d v}{v^{2}} (v \neq 0) . □

定理 2.10　一阶微分形式不变性

若 $u = φ (x)$ 在点 $x$ 处可微， $y = f (u)$ 在点 $u (u = φ (x))$ 处可微，则复合函数 $y = f (φ (x))$ 在点 $x$ 处可微，且

d y = f' (u) d u .

证　由复合函数的求导法则知， $y = f (φ (x))$ 在点 $x$ 处可导，所以在点 $x$ 处可微．且

d y = f' (φ (x)) φ' (x) d x = f' (φ (x)) d φ (x) = f' (u) d u,

即 $d y = f' (u) d u$ ．□

这里 $u$ 是中间变量，它与当 $x$ 是自变量时， $d y = f' (x) d x$ 的形式一样．我们把此性质称为一阶微分形式不变性．

定理 2.8　可微与可导

从微分概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的．因此有

函数 $y = f (x)$ 在点 $x$ 可微的充要条件是函数 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可导．

证　充分性．由 $f (x)$ 在点 $x$ 处可导的定义知

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f' (x) .

于是 $\frac{Δ y}{Δ x} = f' (x) + α$ ，其中 ${lim}_{Δ x \to 0} α = 0$ ．从而有

Δ y = f' (x) Δ x + α Δ x,

而 ${lim}_{Δ x \to 0} \frac{α Δ x}{Δ x} = 0$ ，即 $α Δ x = o (Δ x) (Δ x \to 0)$ ．所以

Δ y = f' (x) Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0) .

因此 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微且 $f' (x) = A$ ．

必要性．由于 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，由定义知

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中 $A$ 与 $Δ x$ 无关．由于

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} [A + \frac{o (Δ x)}{Δ x}] = A = f' (x),

所以 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可导．□

定理 2.9　微分的四则运算

设 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 在点 $x$ 处均可微，则 $u \pm v$ ， $u v$ ， $c u$ （ $c$ 为常数）， $\frac{u}{v}$ （ $v \neq 0$ ）在点 $x$ 处都可微，且

（1） $d (u \pm v) = d u \pm d v$ ；

（2） $d (u v) = v d u + u d v$ ，

特别地， $d (c u) = c d u$ （ $c$ 为常数）；

（3） $d (\frac{u}{v}) = \frac{v d u - u d v}{v^{2}} (v \neq 0)$ ，

特别地， $d (\frac{1}{v}) = - \frac{d v}{v^{2}} (v \neq 0)$ ．

证　（1），（2）略．

（3） $d (\frac{u}{v}) = (\frac{u}{v})' d x = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} d x$

= \frac{v u' d x - u v' d x}{v^{2}} = \frac{v d u - u d v}{v^{2}} (v \neq 0) . □

定理 2.10　一阶微分形式不变性

若 $u = φ (x)$ 在点 $x$ 处可微， $y = f (u)$ 在点 $u (u = φ (x))$ 处可微，则复合函数 $y = f (φ (x))$ 在点 $x$ 处可微，且

d y = f' (u) d u .

证　由复合函数的求导法则知， $y = f (φ (x))$ 在点 $x$ 处可导，所以在点 $x$ 处可微．且

d y = f' (φ (x)) φ' (x) d x = f' (φ (x)) d φ (x) = f' (u) d u,

即 $d y = f' (u) d u$ ．□

这里 $u$ 是中间变量，它与当 $x$ 是自变量时， $d y = f' (x) d x$ 的形式一样．我们把此性质称为一阶微分形式不变性．

公式已掌握+

公式　导数与微分

于是，若 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，则 $d y = A Δ x$ ，且 $A = f' (x)$ ，有

d y = f' (x) Δ x .

由于函数 $f (x) = x$ 在 $x$ 处可微，且 $d x = (x)' Δ x = Δ x$ ，即自变量的改变量等于自变量的微分，因此 $d y = f' (x) d x$ ，从而

d y = f' (x) d x

等价于

\frac{d y}{d x} = f' (x) .

由此可见，导数 $f' (x)$ 等于函数 $y = f (x)$ 的微分 $d y$ 与自变量 $x$ 的微分 $d x$ 之商．因此，导数又称为微商，这时 $\frac{d y}{d x}$ 不仅可以看成一个整体记号，也可以看成 $d y$ 与 $d x$ 的商．

由于当 $f' (x) \neq 0$ 时，

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{d y} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x) Δ x + o (Δ x)}{f' (x) Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (1 + \frac{1}{f' (x)} \frac{o (Δ x)}{Δ x}) = 1,

因此， $Δ y \sim d y (Δ x \to 0)$ ．这是一个很重要的结论，在后面定积分的微元法中要用到．

公式　参数式函数的导数

在直角坐标平面内，曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ ，分别表示为某一第三变量 $t$ 的函数

{\begin{cases} x = φ (t), \\ y = ψ (t) . \end{cases}

这种方程叫做曲线的参数方程，这第三个变量 $t$ 叫做参数．

在同一个直角坐标系下，参数方程与普通方程可以互化，消去参数方程中的参数，即可得普通方程．反之，对于曲线的普通方程，只要选择适当的参数，也可化为参数方程．

设函数 $y = y (x)$ 由参数方程 ${\begin{cases} x = φ (t), \\ y = ψ (t), \end{cases} α \leq t \leq β$ 所确定，如何求 $\frac{d y}{d x}$ ？

由微分知 $\frac{d y}{d x}$ 可以看成 $d y$ 除以 $d x$ ，若 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 均可导且 $φ' (t) \neq 0$ ，知

\frac{d y}{d x} = \frac{d ψ (t)}{d φ (t)} = \frac{ψ' (t) d t}{φ' (t) d t} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)},

或由于 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 均是 $t$ 的函数，则

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} .

若 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 二阶可导且 $φ' (t) \neq 0$ ，由前面的结果知

y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} .

于是

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{d \frac{ψ' (t)}{φ' (t)}}{d φ (t)} = \frac{\frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{2}} d t}{φ' (t) d t}

= \frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{3}},

或

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{\frac{d y'}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{(\frac{ψ' (t)}{φ' (t)})'}{φ' (t)} = \frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{3}} .

公式　极坐标曲线的切线斜率

3. 曲线的极坐标方程

在极坐标系中，平面内的一条曲线可以用含有 $r$ ， $θ$ 这两个变量的方程 $φ (r, θ) = 0$ 来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程．常见的极坐标方程的图形见附录 1．

设曲线 $Γ$ 的极坐标方程为 $r = r (θ)$ ，把极坐标方程化成参数方程

{\begin{cases} x = r (θ) cos θ, \\ y = r (θ) sin θ, \end{cases}

则曲线 $Γ$ 在点 $M (r, θ)$ 处的切线斜率为

tan α = \frac{d y}{d x} = \frac{r' (θ) sin θ + r (θ) cos θ}{r' (θ) cos θ - r (θ) sin θ},

且切线 $M T$ 与该点矢径 $O M$ 的夹角 $ψ$ 满足

cot ψ = \frac{r' (θ)}{r (θ)} = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} .

公式　导数与微分

于是，若 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，则 $d y = A Δ x$ ，且 $A = f' (x)$ ，有

d y = f' (x) Δ x .

由于函数 $f (x) = x$ 在 $x$ 处可微，且 $d x = (x)' Δ x = Δ x$ ，即自变量的改变量等于自变量的微分，因此 $d y = f' (x) d x$ ，从而

d y = f' (x) d x

等价于

\frac{d y}{d x} = f' (x) .

由于当 $f' (x) \neq 0$ 时，

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{d y} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f' (x) Δ x + o (Δ x)}{f' (x) Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (1 + \frac{1}{f' (x)} \frac{o (Δ x)}{Δ x}) = 1,

因此， $Δ y \sim d y (Δ x \to 0)$ ．这是一个很重要的结论，在后面定积分的微元法中要用到．

公式　参数式函数的导数

在直角坐标平面内，曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ ，分别表示为某一第三变量 $t$ 的函数

{\begin{cases} x = φ (t), \\ y = ψ (t) . \end{cases}

这种方程叫做曲线的参数方程，这第三个变量 $t$ 叫做参数．

设函数 $y = y (x)$ 由参数方程 ${\begin{cases} x = φ (t), \\ y = ψ (t), \end{cases} α \leq t \leq β$ 所确定，如何求 $\frac{d y}{d x}$ ？

由微分知 $\frac{d y}{d x}$ 可以看成 $d y$ 除以 $d x$ ，若 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 均可导且 $φ' (t) \neq 0$ ，知

\frac{d y}{d x} = \frac{d ψ (t)}{d φ (t)} = \frac{ψ' (t) d t}{φ' (t) d t} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)},

或由于 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 均是 $t$ 的函数，则

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} .

若 $x = φ (t)$ ， $y = ψ (t)$ 二阶可导且 $φ' (t) \neq 0$ ，由前面的结果知

y' = \frac{d y}{d x} = \frac{ψ' (t)}{φ' (t)} .

于是

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{d \frac{ψ' (t)}{φ' (t)}}{d φ (t)} = \frac{\frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{2}} d t}{φ' (t) d t}

= \frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{3}},

或

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{\frac{d y'}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{(\frac{ψ' (t)}{φ' (t)})'}{φ' (t)} = \frac{ψ'' (t) φ' (t) - ψ' (t) φ'' (t)}{[φ' (t)]^{3}} .

公式　极坐标曲线的切线斜率

3. 曲线的极坐标方程

设曲线 $Γ$ 的极坐标方程为 $r = r (θ)$ ，把极坐标方程化成参数方程

{\begin{cases} x = r (θ) cos θ, \\ y = r (θ) sin θ, \end{cases}

则曲线 $Γ$ 在点 $M (r, θ)$ 处的切线斜率为

tan α = \frac{d y}{d x} = \frac{r' (θ) sin θ + r (θ) cos θ}{r' (θ) cos θ - r (θ) sin θ},

且切线 $M T$ 与该点矢径 $O M$ 的夹角 $ψ$ 满足

cot ψ = \frac{r' (θ)}{r (θ)} = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} .

说明已掌握+

微分概念的引入

在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差．例如 $x_{0}$ 为准确数，实际测量值 $x^{*} = x_{0} + Δ x$ 为 $x_{0}$ 的近似数，由此产生的误差为 $Δ x$ ，相应产生的函数值的误差 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ ．如果 $f (x_{0} + Δ x)$ ， $f (x_{0})$ 计算很复杂，那么计算 $Δ y$ 也很麻烦；或者实际中只知道近似值 $x^{*}$ 或误差 $| Δ x | \leq δ$ ，又如何估计 $Δ y$ ？

假设 $f' (x_{0})$ 存在，则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f' (x_{0}),

有 $\frac{Δ y}{Δ x} = f' (x_{0}) + α$ ， ${lim}_{Δ x \to 0} α = 0$ ．于是

Δ y = f' (x_{0}) Δ x + α Δ x, (2.5)

其中 $α Δ x = o (Δ x) (Δ x \to 0)$ ．

因此，在实际中如果不知道 $x_{0}$ ，只知道 $x^{*}$ ，且 $x_{0}$ ， $x^{*}$ 相差很小，那么有 $Δ y \approx f' (x^{*}) Δ x$ ，从而可以估计出 $Δ y$ ．

从式（2.5）我们看到， $f' (x_{0})$ 相对 $Δ x$ 是一个常数， $α Δ x$ 是 $Δ x$ 的高阶无穷小．一般地，对函数 $y = f (x)$ ，如果

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中 $A$ 是与 $Δ x$ 无关的常量，则 $Δ y \approx A Δ x$ ，由此得到微分的概念．

微分的实际意义

下面举几个例子，来说明微分的实际意义．

（1）圆面积 $S = π r^{2}$ ，其中 $r$ 为圆半径．圆面积的增量

Δ S = π (r + Δ r)^{2} - π r^{2} = 2 π r Δ r + π (Δ r)^{2},

所以 $d S = 2 π r Δ r = 2 π r d r$ ．当半径有增量 $Δ r$ 时，圆面积的增量 $Δ S$ 如图 2-5 中圆环所示．若用微分 $d S$ 作近似，即用长为 $2 π r$ （圆环内周长），宽为圆环厚度 $Δ r$ 的矩形面积 $d S$ （图 2-6）来近似表示 $Δ S$ ．

（2）圆柱体体积 $V = π r^{2} h$ ，其中 $r$ 为圆柱体的底面半径， $h$ 为圆柱的高．圆柱体体积的增量

Δ V = π (r + Δ r)^{2} h - π r^{2} h = 2 π r h Δ r + π h (Δ r)^{2},

所以 $d V = 2 π r h Δ r = 2 π r h d r$ ．当底面半径有增量 $Δ r$ 时，圆柱体体积的增量 $Δ V$ 如图 2-7 中空心圆柱所示．用微分 $d V$ 近似，即用底边长为 $2 π r$ （内圆柱底面圆周长），宽为 $h$ （圆柱的高），高为空心圆柱厚度 $Δ r$ 的长方体体积（图 2-8）近似表示 $Δ V$ ．

（3）球的体积 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ （其中 $r$ 为球半径），当半径有增量 $Δ r$ 时，球体积的增量（即薄球壳的体积 $Δ V$ ）为

Δ V = \frac{4}{3} π (r + Δ r)^{3} - \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (r^{3} + 3 r^{2} Δ r + 3 r (Δ r)^{2} + (Δ r)^{3} - r^{3})

= 4 π r^{2} Δ r + (4 π r Δ r + \frac{4}{3} π (Δ r)^{2}) Δ r,

所以 $d V = 4 π r^{2} Δ r = 4 π r^{2} d r$ ．即薄球壳的体积 $Δ V$ 用微分 $d V$ ：球壳内球面面积 $4 π r^{2}$ 与厚度 $d r$ 的乘积来近似表示．

微分的几何意义

如图 2-9 所示，若 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，则

Δ y = f' (x) Δ x + o (Δ x) = d y + o (Δ x) .

曲线 $y = f (x)$ 在曲线上点 $P (x, y)$ 处的切线斜率 $tan α = f' (x)$ ，有

Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = N Q,

d y = f' (x) Δ x = Δ x tan α = N T,

o (Δ x) = Δ y - d y = N Q - N T = T Q,

由于 $d y \approx Δ y$ （即用 $d y$ 近似表示 $Δ y$ ），即 $N T \approx N Q$ ，所以

| P T | = \sqrt{(Δ x)^{2} + | N T |^{2}} \approx \sqrt{(Δ x)^{2} + | N Q |^{2}} = | P Q |,

即 $| P T | \approx | P Q | \approx$ 弧 $P Q$ ．因此，当 $| Δ x |$ 很小时，可用切线段 $P T$ 近似表示曲线弧 $P Q$ （图 2-9）．

极坐标系与极坐标互化

1. 极坐标系

在平面内取一个定点 $O$ ，引一条射线 $O x$ ，再选定一个长度单位和角度的正向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系，如图 2-10 所示． $O$ 点叫做极点，射线 $O x$ 叫做极轴．

在平面内任取一点 $P$ ，用 $r$ 表示线段 $O P$ 的长度， $θ$ 表示从 $O x$ 转到 $O P$ 的角度， $r$ 叫做点 $P$ 的极径， $θ$ 叫做点 $P$ 的极角，有序数对 $(r, θ)$ 就叫做点 $P$ 的极坐标，可表示为 $P (r, θ)$ ．

有时也允许 $θ \geq 2 π$ 或 $θ < 0$ ，这时 $P (r, θ)$ 点的坐标也可以用 $(r, θ + 2 n π)$ 来表示（ $n$ 是整数）．

经过这样的规定之后，对于给定的 $r$ 和 $θ$ ，就可以在平面内确定唯一点 $M$ ，反过来，给定平面内一点都有无数多对的实数与其对应．

但在规定了 $r \geq 0$ ， $0 \leq θ < 2 π$ 或 $- π < θ \leq π$ 之后，平面上的点（除极点外）与有序数对 $(r, θ)$ 就是一一对应关系．

2. 极坐标与直角坐标的互化

在以直角坐标系的原点作为极点， $x$ 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位的条件下，同一个点的直角坐标 $(x, y)$ 与极坐标 $(r, θ)$ 之间有如图 2-11 所示的如下关系：

x = r cos θ, y = r sin θ .

由上述关系可得出关系式

r^{2} = x^{2} + y^{2}, tan θ = \frac{y}{x} (x \neq 0) .

用前一关系式可以把点的极坐标化为直角坐标，用后一关系式可以把点的直角坐标化为极坐标．

微分基本公式

由于 $d y = f' (x) d x$ ，所以将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分 $d x$ ，便得相应的微分公式（请读者写出来）．

微分的四则运算与导数的四则运算

微分的四则运算与导数的四则运算类似，只需把导数四则运算中的导数改成微分，就可得到微分的四则运算．

高阶微分不具有形式不变性

我们知道，不论 $u$ 是中间变量，还是自变量， $f' (u)$ 都存在（若 $u$ 是中间变量， $u' (x)$ 存在），即有一阶微分形式不变性 $d y = f' (u) d u$ ．那么二阶微分有没有这样的形式不变性呢？若 $x$ 是自变量， $f'' (x)$ 存在，则

d^{2} y = f'' (x) d x^{2} .

若 $y = f (u)$ ， $u = φ (x)$ 且 $f'' (u)$ ， $φ'' (x)$ 都存在，由于 $d y = f' (u) d u$ ，于是

d^{2} y = d (d y) = d (f' (u) d u) = d u \cdot d f' (u) + f' (u) d (d u)

= f'' (u) d u \cdot d u + f' (u) d^{2} u = f'' (u) d u^{2} + f' (u) d^{2} u,

由于 $d u = d φ (x) = φ' (x) d x$ ， $d^{2} u = φ'' (x) d x^{2}$ ，且在一般情况下， $d^{2} u \neq 0$ ，所以 $f' (u) d^{2} u \neq 0$ ．因此，二阶微分不具有微分形式不变性．因此当 $n > 1$ 时， $n$ 阶微分不具有微分形式不变性．

于是，若 $u$ 是中间变量，则 $\frac{d^{n} y}{d u^{n}} = f^{(n)} (u)$ 仅表示对 $u$ 的 $n$ 阶导数，且 $\frac{d^{n} y}{d u^{n}}$ 只能看成一个整体符号，不能看成商．

微分记号的区别

$d (x^{2})$ ， $d x^{2}$ ， $d^{2} x$ 之间的区别： $d (x^{2}) = 2 x d x$ ， $d x^{2} = (d x)^{2}$ ， $d^{2} x = d (d x) = 0$ （若 $x$ 是自变量）．

微分概念的引入

假设 $f' (x_{0})$ 存在，则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f' (x_{0}),

有 $\frac{Δ y}{Δ x} = f' (x_{0}) + α$ ， ${lim}_{Δ x \to 0} α = 0$ ．于是

Δ y = f' (x_{0}) Δ x + α Δ x, (2.5)

其中 $α Δ x = o (Δ x) (Δ x \to 0)$ ．

因此，在实际中如果不知道 $x_{0}$ ，只知道 $x^{*}$ ，且 $x_{0}$ ， $x^{*}$ 相差很小，那么有 $Δ y \approx f' (x^{*}) Δ x$ ，从而可以估计出 $Δ y$ ．

从式（2.5）我们看到， $f' (x_{0})$ 相对 $Δ x$ 是一个常数， $α Δ x$ 是 $Δ x$ 的高阶无穷小．一般地，对函数 $y = f (x)$ ，如果

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中 $A$ 是与 $Δ x$ 无关的常量，则 $Δ y \approx A Δ x$ ，由此得到微分的概念．

微分的实际意义

下面举几个例子，来说明微分的实际意义．

（1）圆面积 $S = π r^{2}$ ，其中 $r$ 为圆半径．圆面积的增量

Δ S = π (r + Δ r)^{2} - π r^{2} = 2 π r Δ r + π (Δ r)^{2},

（2）圆柱体体积 $V = π r^{2} h$ ，其中 $r$ 为圆柱体的底面半径， $h$ 为圆柱的高．圆柱体体积的增量

Δ V = π (r + Δ r)^{2} h - π r^{2} h = 2 π r h Δ r + π h (Δ r)^{2},

（3）球的体积 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ （其中 $r$ 为球半径），当半径有增量 $Δ r$ 时，球体积的增量（即薄球壳的体积 $Δ V$ ）为

Δ V = \frac{4}{3} π (r + Δ r)^{3} - \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (r^{3} + 3 r^{2} Δ r + 3 r (Δ r)^{2} + (Δ r)^{3} - r^{3})

= 4 π r^{2} Δ r + (4 π r Δ r + \frac{4}{3} π (Δ r)^{2}) Δ r,

所以 $d V = 4 π r^{2} Δ r = 4 π r^{2} d r$ ．即薄球壳的体积 $Δ V$ 用微分 $d V$ ：球壳内球面面积 $4 π r^{2}$ 与厚度 $d r$ 的乘积来近似表示．

微分的几何意义

如图 2-9 所示，若 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处可微，则

Δ y = f' (x) Δ x + o (Δ x) = d y + o (Δ x) .

曲线 $y = f (x)$ 在曲线上点 $P (x, y)$ 处的切线斜率 $tan α = f' (x)$ ，有

Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = N Q,

d y = f' (x) Δ x = Δ x tan α = N T,

o (Δ x) = Δ y - d y = N Q - N T = T Q,

由于 $d y \approx Δ y$ （即用 $d y$ 近似表示 $Δ y$ ），即 $N T \approx N Q$ ，所以

| P T | = \sqrt{(Δ x)^{2} + | N T |^{2}} \approx \sqrt{(Δ x)^{2} + | N Q |^{2}} = | P Q |,

即 $| P T | \approx | P Q | \approx$ 弧 $P Q$ ．因此，当 $| Δ x |$ 很小时，可用切线段 $P T$ 近似表示曲线弧 $P Q$ （图 2-9）．

极坐标系与极坐标互化

1. 极坐标系

有时也允许 $θ \geq 2 π$ 或 $θ < 0$ ，这时 $P (r, θ)$ 点的坐标也可以用 $(r, θ + 2 n π)$ 来表示（ $n$ 是整数）．

经过这样的规定之后，对于给定的 $r$ 和 $θ$ ，就可以在平面内确定唯一点 $M$ ，反过来，给定平面内一点都有无数多对的实数与其对应．

但在规定了 $r \geq 0$ ， $0 \leq θ < 2 π$ 或 $- π < θ \leq π$ 之后，平面上的点（除极点外）与有序数对 $(r, θ)$ 就是一一对应关系．

2. 极坐标与直角坐标的互化

x = r cos θ, y = r sin θ .

由上述关系可得出关系式

r^{2} = x^{2} + y^{2}, tan θ = \frac{y}{x} (x \neq 0) .

用前一关系式可以把点的极坐标化为直角坐标，用后一关系式可以把点的直角坐标化为极坐标．

微分基本公式

由于 $d y = f' (x) d x$ ，所以将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分 $d x$ ，便得相应的微分公式（请读者写出来）．

微分的四则运算与导数的四则运算

微分的四则运算与导数的四则运算类似，只需把导数四则运算中的导数改成微分，就可得到微分的四则运算．

高阶微分不具有形式不变性

d^{2} y = f'' (x) d x^{2} .

若 $y = f (u)$ ， $u = φ (x)$ 且 $f'' (u)$ ， $φ'' (x)$ 都存在，由于 $d y = f' (u) d u$ ，于是

d^{2} y = d (d y) = d (f' (u) d u) = d u \cdot d f' (u) + f' (u) d (d u)

= f'' (u) d u \cdot d u + f' (u) d^{2} u = f'' (u) d u^{2} + f' (u) d^{2} u,

于是，若 $u$ 是中间变量，则 $\frac{d^{n} y}{d u^{n}} = f^{(n)} (u)$ 仅表示对 $u$ 的 $n$ 阶导数，且 $\frac{d^{n} y}{d u^{n}}$ 只能看成一个整体符号，不能看成商．

微分记号的区别

$d (x^{2})$ ， $d x^{2}$ ， $d^{2} x$ 之间的区别： $d (x^{2}) = 2 x d x$ ， $d x^{2} = (d x)^{2}$ ， $d^{2} x = d (d x) = 0$ （若 $x$ 是自变量）．

配习题

本节之后为「习题 2-2」（p.113），共 24 题：求 1—5 题中各函数的微分；求 6、7 题中函数在指定点的微分；利用一阶微分形式不变性求 8—11 题中函数的微分；求 12—14 题中由 $u$ ， $v$ ， $w$ 构成的函数的微分；利用微分求 15—20 题中参数式函数的二阶、三阶导数；用微分求 21—24 题中的近似值（ $sin 29^{\circ}$ 、 $arctan 1.05$ 、 $lg 11$ 、 $100] 1.001$ ）．

例题已掌握

例 1★★☆☆☆计算题一阶微分形式不变性展开题目与讲解

例 1　用一阶微分形式不变性求微分

设 $y = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})}$ ，求 $d y$ ．

解法一　由于

y' = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) \cdot (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}),

所以

d y = y' d x = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x .

解法二　利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性，得

d y = d e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} d sin (x^{2} + \sqrt{x})

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) d (x^{2} + \sqrt{x})

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) [d (x^{2}) + d \sqrt{x}]

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x d x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x)

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x .

也可得到导数

y' = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) .

例 1★★☆☆☆计算题一阶微分形式不变性展开题目与讲解

例 1　用一阶微分形式不变性求微分

设 $y = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})}$ ，求 $d y$ ．

解法一　由于

y' = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) \cdot (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}),

所以

d y = y' d x = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x .

解法二　利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性，得

d y = d e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} d sin (x^{2} + \sqrt{x})

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) d (x^{2} + \sqrt{x})

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) [d (x^{2}) + d \sqrt{x}]

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x d x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x)

= e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x .

也可得到导数

y' = e^{sin (x^{2} + \sqrt{x})} cos (x^{2} + \sqrt{x}) (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) .

例 2★★☆☆☆计算题隐函数方程两端求微分展开题目与讲解

例 2　隐函数的微分

求由方程 $2 y - x = (x - y) ln (x - y)$ 所确定的函数 $y = y (x)$ 的微分 $d y$ ．

解　对方程两端求微分，有

d (2 y - x) = ln (x - y) d (x - y) + (x - y) d ln (x - y),

即 $2 d y - d x = ln (x - y) (d x - d y) + (d x - d y)$ ，得

d y = \frac{2 + ln (x - y)}{3 + ln (x - y)} d x .

把 $ln (x - y) = \frac{2 y - x}{x - y}$ 代入上式整理得

d y = \frac{x}{2 x - y} d x .

例 2★★☆☆☆计算题隐函数方程两端求微分展开题目与讲解

例 2　隐函数的微分

求由方程 $2 y - x = (x - y) ln (x - y)$ 所确定的函数 $y = y (x)$ 的微分 $d y$ ．

解　对方程两端求微分，有

d (2 y - x) = ln (x - y) d (x - y) + (x - y) d ln (x - y),

即 $2 d y - d x = ln (x - y) (d x - d y) + (d x - d y)$ ，得

d y = \frac{2 + ln (x - y)}{3 + ln (x - y)} d x .

把 $ln (x - y) = \frac{2 y - x}{x - y}$ 代入上式整理得

d y = \frac{x}{2 x - y} d x .

例 3★★☆☆☆计算题参数式函数的一、二阶导数展开题目与讲解

例 3　参数方程求二阶导数

设

{\begin{cases} x = ln (1 + t^{2}), \\ y = arctan t, \end{cases}

求 $\frac{d y}{d x}$ ， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

解

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 t}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{\frac{d y'}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{- \frac{1}{2 t^{2}}}{\frac{2 t}{1 + t^{2}}} = \frac{1 + t^{2}}{- 4 t^{3}} .

例 3★★☆☆☆计算题参数式函数的一、二阶导数展开题目与讲解

例 3　参数方程求二阶导数

设

{\begin{cases} x = ln (1 + t^{2}), \\ y = arctan t, \end{cases}

求 $\frac{d y}{d x}$ ， $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

解

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 t}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y'}{d x} = \frac{\frac{d y'}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{- \frac{1}{2 t^{2}}}{\frac{2 t}{1 + t^{2}}} = \frac{1 + t^{2}}{- 4 t^{3}} .

例 4★★☆☆☆证明题极坐标方程化成参数方程求导展开题目与讲解

例 4　极坐标曲线的切线与矢径夹角

如图 2-12 所示，设曲线 $Γ$ 的极坐标方程为 $r = r (θ)$ ．试证：在曲线上点 $M (r, θ)$ 的切线 $M T$ 与该点的矢径 $O M$ 的夹角 $ψ$ ，满足

cot ψ = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} .

证　把极坐标方程化成参数方程

{\begin{cases} x = r (θ) cos θ, \\ y = r (θ) sin θ, \end{cases}

求得曲线 $Γ$ 在点 $M (r, θ)$ 处的切线斜率为

tan α = \frac{d y}{d x} = \frac{r' (θ) sin θ + r (θ) cos θ}{r' (θ) cos θ - r (θ) sin θ}, (2.6)

又

tan ψ = tan (α - θ) = \frac{tan α - tan θ}{1 + tan α tan θ} = \frac{\frac{d y}{d x} - tan θ}{1 + \frac{d y}{d x} tan θ},

将式（2.6）代入上式，经化简得

tan ψ = \frac{r (θ)}{r' (θ)}

或

cot ψ = \frac{r' (θ)}{r (θ)} = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} . □

例 4★★☆☆☆证明题极坐标方程化成参数方程求导展开题目与讲解

例 4　极坐标曲线的切线与矢径夹角

如图 2-12 所示，设曲线 $Γ$ 的极坐标方程为 $r = r (θ)$ ．试证：在曲线上点 $M (r, θ)$ 的切线 $M T$ 与该点的矢径 $O M$ 的夹角 $ψ$ ，满足

cot ψ = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} .

证　把极坐标方程化成参数方程

{\begin{cases} x = r (θ) cos θ, \\ y = r (θ) sin θ, \end{cases}

求得曲线 $Γ$ 在点 $M (r, θ)$ 处的切线斜率为

tan α = \frac{d y}{d x} = \frac{r' (θ) sin θ + r (θ) cos θ}{r' (θ) cos θ - r (θ) sin θ}, (2.6)

又

tan ψ = tan (α - θ) = \frac{tan α - tan θ}{1 + tan α tan θ} = \frac{\frac{d y}{d x} - tan θ}{1 + \frac{d y}{d x} tan θ},

将式（2.6）代入上式，经化简得

tan ψ = \frac{r (θ)}{r' (θ)}

或

cot ψ = \frac{r' (θ)}{r (θ)} = \frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} . □

五导数与微分的应用选自 §1.5、§2.33 个知识分组 · 含例题

说明已掌握+

§1.5 内容概览

本节用三个例题展示导数概念在实际问题中的应用：例 26 用切线斜率证明旋转抛物面对平行光的聚焦原理（探照灯、汽车前灯的光学原理）；例 27 由气体放出的速率求球形气球半径的变化率；例 28 由流入水库的水流量求水面上升的速度．后两例是典型的「相关变化率」问题，解法要点是先用几何或物理关系建立各量之间的函数式，再对时间 $t$ 求导，最后代入给定数值．

配习题

本节之后为「习题 2-1」（p.98–101），共 106 题：用导数解释温度、癌细胞数量、污染面积、人口、放射性剩余量等量的实际意义；按定义求导数；用求导法则求 12—70 题中各函数的导数；隐函数求导与对数求导法；切线、法线方程；高阶导数与二阶导数存在性的讨论等．

绝对误差与相对误差

从微分概念的引入可知，应用微分来估计误差，是非常方便迅速的．设 $x_{0}$ 为准确数， $x^{*}$ 为 $x_{0}$ 的近似数，则 $x^{*} - x_{0} = Δ x$ 称为准确数 $x_{0}$ 的绝对误差，若存在正数 $δ_{x}$ ，使 $| x^{*} - x_{0} | = | Δ x | \leq δ_{x}$ ，则称 $δ_{x}$ 为绝对误差限．称 $\frac{Δ x}{x_{0}}$ （或 $\frac{Δ x}{x^{*}}$ ）为准确数的相对误差，而 $\frac{δ_{x}}{| x_{0} |}$ （或 $\frac{δ_{x}}{| x^{*} |}$ ）为相对误差限．

函数值的误差估计

若 $y = f (x)$ ，则 $| Δ y | \approx | d y | = | f' (x_{0}) Δ x | \leq | f' (x_{0}) | δ_{x} = δ_{y} .$ 于是把 $δ_{y} = | f' (x_{0}) | δ_{x}$ 或 $| f' (x^{*}) | δ_{x}$ 称为 $y$ 的绝对误差限， $\frac{δ_{y}}{| y |} = \frac{| f' (x_{0}) |}{| f (x_{0}) |} δ_{x}$ 或 $\frac{| f' (x^{*}) |}{| f (x^{*}) |} δ_{x}$ 称为 $y$ 的相对误差限．

§1.5 内容概览

配习题

绝对误差与相对误差

函数值的误差估计

§1.5 内容概览

配习题

绝对误差与相对误差

函数值的误差估计

公式已掌握+

微分近似公式

若 $y = f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微，则有 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0) .$ 当 $| Δ x |$ 很小时，得 $Δ y \approx f' (x_{0}) Δ x,$ 即 $f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \approx f' (x_{0}) Δ x,$ 或 $f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f' (x_{0}) Δ x .$ 式（2.7）为我们提供了计算 $Δ y$ 近似值的公式，式（2.8）为我们提供了计算 $f (x_{0} + Δ x)$ 近似值的公式．

常用近似式

特别地，当 $x_{0} = 0$ 时，有 $f (Δ x) \approx f (0) + f' (0) Δ x$ ．设 $Δ x = x$ ，若 $| x |$ 很小时，有 $f (x) \approx f (0) + f' (0) x$ ．于是当 $| x |$ 很小时，有 $sin x \approx x, tan x \approx x, ln (1 + x) \approx x,$ $e^{x} \approx 1 + x, (1 + x)^{α} \approx 1 + α x (α \neq 0) .$ 与我们前面讲的等价无穷小完全一致．

微分近似公式

常用近似式

微分近似公式

常用近似式

例题已掌握

例 5★★★☆☆计算题微分作近似计算展开题目与讲解

例 5　开方的近似计算

计算 $100] 1.002$ 的近似值．

解　设 $f (x) = 100] x$ ， $f' (x) = \frac{1}{100} x^{- \frac{99}{100}}$ ， $f' (1) = \frac{1}{100}$ ．有 $100] 1.002 = f (1.002) = f (1 + 0.002) \approx f (1) + f' (1) \times 0.002$ $= 1 + \frac{1}{100} \times 0.002 = 1.000 02 .$

例 5★★★☆☆计算题微分作近似计算展开题目与讲解

例 5　开方的近似计算

计算 $100] 1.002$ 的近似值．

例 5★★★☆☆计算题微分作近似计算展开题目与讲解

例 5　开方的近似计算

计算 $100] 1.002$ 的近似值．

例 6★★★☆☆计算题相对误差限展开题目与讲解

例 6　球体积的误差估计

为了计算出球的体积（精确到 1%），问度量球的直径 $D$ 所允许的最大相对误差是多少？

解　球的体积 $V = \frac{4 π}{3} (\frac{D}{2})^{3} = \frac{π D^{3}}{6},$ 由于 $d V = \frac{π D^{2}}{2} d D$ ，于是 $| \frac{d V}{V} | = | \frac{\frac{π D^{2}}{2} d D}{\frac{π D^{3}}{6}} | = 3 | \frac{d D}{D} |,$ 题意要求 $| \frac{d V}{V} | \leq 1 %$ ，即 $3 | \frac{d D}{D} | \leq 1 %$ ，或 $| \frac{d D}{D} | \leq 0.33 %$ ．即最大相对误差是 $0.33 %$ ．

例 6★★★☆☆计算题相对误差限展开题目与讲解

例 6　球体积的误差估计

为了计算出球的体积（精确到 1%），问度量球的直径 $D$ 所允许的最大相对误差是多少？

例 6★★★☆☆计算题相对误差限展开题目与讲解

例 6　球体积的误差估计

为了计算出球的体积（精确到 1%），问度量球的直径 $D$ 所允许的最大相对误差是多少？

例 26★★★☆☆证明题导数的几何意义·切线斜率展开题目与讲解

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

应用导数的概念，我们来证明旋转抛物面对平行光的聚焦原理．所谓旋转抛物面是由抛物线绕对称轴旋转而形成的，放在焦点处的光源所发出的光，经过旋转抛物面各点反射之后就成平行光束．利用这一性质制造出需要发射平行光的灯具，例如探照灯、汽车的前灯等．我们只需讨论在平面上抛物线对于平行光的聚焦原理，只要证从抛物线焦点出发的光线，经抛物面反射后，其反射光线都平行于抛物线的对称轴．

证　设抛物线方程为 $y^{2} = 2 p x$ （图 2-3），在其上任取一点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，从焦点 $F (\frac{p}{2}, 0)$ 发出的光线经点 $M$ 的反射线为 $M R$ ，现证 $M R$ ∥ $x$ 轴（对称轴）．过点 $M$ 作切线 $M T$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点，现只要证 $θ_{1} = θ_{4}$ ．

根据光线的入射角 $α$ （入射光线与法线的夹角）应等于反射角 $β$ （反射光线与法线的夹角）的原理，有 $θ_{3} = \frac{π}{2} - α = \frac{π}{2} - β = θ_{4},$ 因此，只需证 $θ_{1} = θ_{3}$ ，即要证 △ $Q F M$ 为等腰三角形，或 $| Q F | = | F M |$ ． $y^{2} = 2 p x$ 两端同时对 $x$ 求导，有 $2 y y' = 2 p$ ，或 $y' = \frac{p}{y}$ ，从而 $k_{M T} = \frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}} = \frac{p}{y_{0}}$ ，于是切线方程为 $y - y_{0} = \frac{p}{y_{0}} (x - x_{0}) .$ 令 $y = 0$ ，有 $- y_{0}^{2} = p x - p x_{0}$ ，得 $x = \frac{p x_{0} - y_{0}^{2}}{p} = \frac{p x_{0} - 2 p x_{0}}{p} = - x_{0},$ 由于 $| Q F | = \frac{p}{2} + x_{0},$ $| M F | = \sqrt{(x_{0} - \frac{p}{2})^{2} + y_{0}^{2}} = \sqrt{x_{0}^{2} - p x_{0} + \frac{p^{2}}{4} + 2 p x_{0}}$ $= \sqrt{(x_{0} + \frac{p}{2})^{2}} = | \frac{p}{2} + x_{0} | = \frac{p}{2} + x_{0},$ 所以 $| Q F | = | M F |$ ，从而 $M R$ ∥ $x$ 轴．□

例 26★★★☆☆证明题导数的几何意义·切线斜率展开题目与讲解

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

例 26★★★☆☆证明题导数的几何意义·切线斜率展开题目与讲解

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

例 27★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

例 27　气球半径的变化率

把一个球形气球充气到体积为 $V m^{3}$ ，如果从 $t = 0$ 开始放气，且气体放出的速率为 $\frac{- 1}{1 + t^{4}} m^{3} / s$ ，求这个气球半径的变化率．

解　由题意知 $\frac{d V (t)}{d t} = \frac{- 1}{1 + t^{4}} .$ 由于 $V (t) = \frac{4}{3} π R^{3} (t)$ ，两边对 $t$ 求导，得 $\frac{d V}{d t} = 4 π R^{2} R' (t),$ 从而有 $R' (t) = \frac{1}{4 π R^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{4 π R^{2} (1 + t^{4})} (m/s) .$

例 27★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

例 27　气球半径的变化率

把一个球形气球充气到体积为 $V m^{3}$ ，如果从 $t = 0$ 开始放气，且气体放出的速率为 $\frac{- 1}{1 + t^{4}} m^{3} / s$ ，求这个气球半径的变化率．

例 27★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

例 27　气球半径的变化率

把一个球形气球充气到体积为 $V m^{3}$ ，如果从 $t = 0$ 开始放气，且气体放出的速率为 $\frac{- 1}{1 + t^{4}} m^{3} / s$ ，求这个气球半径的变化率．

例 28★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

例 28　水库水面上升的速度

某山区融化后的雪水流入一水库，水库形状相似于长为 $τ m$ 、截面为等腰三角形、顶角为 $2 α$ 的水槽（图 2-4），已知水流为常数 $b m^{3} / s$ ，求水库水深为 $2 h_{0}$ 时，水面上升的速度．

解　设在时刻 $t s$ 时，水深为 $h (t) m$ ，水的体积为 $V = τ h^{2} (t) tan α$ ，由于 $b = \frac{d V}{d t} = 2 τ h (t) h' (t) tan α,$ 所以 $h' (t) = \frac{b}{2 τ h (t) tan α}$ ，从而 $h' (t) |_{h = 2 h_{0}} = \frac{b}{4 τ h_{0} tan α} (m/s) .$

例 28★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

例 28　水库水面上升的速度

例 28★★★☆☆计算题相关变化率展开题目与讲解

本章结构（对应教材）#

§1.1 导数的概念#

定义

几何意义与物理意义

可导与连续

单侧导数

§1.2 求导公式与运算法则#

基本公式表（必须背熟）

四则运算法则

复合函数（下一节预告）

重难点#

易错点#

典型例题#

本章自测#

原书导读#

例题已掌握

例 1 求 y=x3 在 x=1 处的导数

例 2 设 f(x)={x2sin1x,x≠0,0,x=0, 研究 f(x) 在 x=0 处的可导性

例 3 讨论 f(x)=|x| 在 x=0 处是否可导

例 4 a,b 为何值时分段函数在 x=0 处可导

例题已掌握

例 2.1（本站补充）

例 5 求 y=esin21x 的导数

例 6 求 y=ln(x+1+x2) 的导数

例 7 三重根式复合函数求导

例 8 幂指函数 y=u(x)v(x) 求导

例 9 求 y=ln|x| 的导数

例 10 f(x)=xarctan1x2 求导

例 11 求 f(x)=|x3| 的导数

例题已掌握

例 12 隐函数 y=g(x+y) 求 dydx

例 13 方程 y−xey=1 求 y′(0) 及切线法线

例 14 对数求导法求 y=u(x)v(x) 的导数

例 15 求 y=(sinx)x 的导数

例 16 求 y=xlnx(lnx)x 的导数

例 17 根式商式用对数求导法

例 18 求 y=(x/a)b(a/b)x(b/x)a 的导数

例 19 三角函数化简后求 n 阶导数

例 19 三角函数化简后求 n 阶导数

例 19 三角函数化简后求 n 阶导数

例 20 有理分式拆项后求 n 阶导数

例 20 有理分式拆项后求 n 阶导数

例 20 有理分式拆项后求 n 阶导数

例 21 指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 21 指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 21 指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 22 指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 22 指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 22 指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 23 隐函数求二阶导数

例 23 隐函数求二阶导数

例 23 隐函数求二阶导数

例 24 隐函数在指定点求二阶导数

例 24 隐函数在指定点求二阶导数

例 24 隐函数在指定点求二阶导数

例 25 反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例 25 反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例 25 反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例题已掌握

例 1 用一阶微分形式不变性求微分

例 1 用一阶微分形式不变性求微分

例 2 隐函数的微分

例 2 隐函数的微分

例 3 参数方程求二阶导数

例 3 参数方程求二阶导数

例 4 极坐标曲线的切线与矢径夹角

例 4 极坐标曲线的切线与矢径夹角

例题已掌握

例 5 开方的近似计算

例 5 开方的近似计算

例 5 开方的近似计算

例 6 球体积的误差估计

例 6 球体积的误差估计

例 6 球体积的误差估计

例 26 旋转抛物面的聚焦原理

例 26 旋转抛物面的聚焦原理

例 26 旋转抛物面的聚焦原理

例 27 气球半径的变化率

例 27 气球半径的变化率

例 27 气球半径的变化率

例 1　求 $y = x^{3}$ 在 $x = 1$ 处的导数

例 2　设 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 研究 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的可导性

例 3　讨论 $f (x) = | x |$ 在 $x = 0$ 处是否可导

例 4　 $a, b$ 为何值时分段函数在 $x = 0$ 处可导

例 5　求 $y = e^{{sin}^{2} \frac{1}{x}}$ 的导数

例 6　求 $y = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 的导数

例 7　三重根式复合函数求导

例 8　幂指函数 $y = u (x)^{v (x)}$ 求导

例 9　求 $y = ln | x |$ 的导数

例 10　 $f (x) = x arctan \frac{1}{x^{2}}$ 求导

例 11　求 $f (x) = | x^{3} |$ 的导数

例 12　隐函数 $y = g (x + y)$ 求 $\frac{d y}{d x}$

例 13　方程 $y - x e^{y} = 1$ 求 $y' (0)$ 及切线法线

例 14　对数求导法求 $y = u (x)^{v (x)}$ 的导数

例 15　求 $y = (sin x)^{x}$ 的导数

例 16　求 $y = \frac{x^{ln x}}{(ln x)^{x}}$ 的导数

例 17　根式商式用对数求导法

例 18　求 $y = (x / a)^{b} (a / b)^{x} (b / x)^{a}$ 的导数

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

例 19　三角函数化简后求 n 阶导数

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

例 20　有理分式拆项后求 n 阶导数

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 21　指数函数与幂函数乘积求 n 阶导数

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 22　指数函数与余弦乘积求 n 阶导数

例 23　隐函数求二阶导数

例 23　隐函数求二阶导数

例 23　隐函数求二阶导数

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

例 24　隐函数在指定点求二阶导数

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例 25　反正切函数在 0 处的 n 阶导数

例 1　用一阶微分形式不变性求微分

例 1　用一阶微分形式不变性求微分

例 2　隐函数的微分

例 2　隐函数的微分

例 3　参数方程求二阶导数

例 3　参数方程求二阶导数

例 4　极坐标曲线的切线与矢径夹角

例 4　极坐标曲线的切线与矢径夹角

例 5　开方的近似计算

例 5　开方的近似计算

例 5　开方的近似计算

例 6　球体积的误差估计

例 6　球体积的误差估计

例 6　球体积的误差估计

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

例 26　旋转抛物面的聚焦原理

例 27　气球半径的变化率

例 27　气球半径的变化率

例 27　气球半径的变化率

例 28　水库水面上升的速度

例 28　水库水面上升的速度

例 28　水库水面上升的速度