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第一次小测

课堂小测 · 10 题 × 10 分。每题给出你的选择、正确答案与解析；错因是这次最容易再犯的地方。

10 题得分 40 / 100 2026-10-21

10 题每题 10 分。全对得 10 分，选错或漏选按错处理（多选题部分正确本次按半分计）。

第 1 题✓ 正确10 分

当

x \to 1

时，

α (x) = 1 - sin \frac{π x}{2}

与

β (x) = A (x - 1)^{n}

为等价无穷小量，则

A = \frac{π^{2}}{2}, n = 1

A = \frac{π^{2}}{8}, n = 2

A = \frac{π}{2}, n = 1

A = \frac{π^{2}}{4}, n = 2

我的答案 B 正确答案 B

解析令

t = x - 1

，

sin \frac{π x}{2} = cos \frac{π t}{2}

，故

α = 1 - cos \frac{π t}{2} \sim \frac{1}{2} (\frac{π t}{2})^{2} = \frac{π^{2}}{8} t^{2}

，所以

n = 2

、

A = \frac{π^{2}}{8}

。这类题一律先换元把

x \to 1

变成

t \to 0

，再用

1 - cos u \sim \frac{u^{2}}{2}

，不要直接对

sin \frac{π x}{2}

展开。

第 2 题✓ 正确10 分

设

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{x} - 2) \dots (e^{x} - 2026)

，则

f' (0) =

2025!

- 2026!

- 2025!

2026!

我的答案 C 正确答案 C

解析乘积求导的每一项都含一个因子

(e^{x} - k)

。代入

x = 0

时

e^{0} - 1 = 0

，所以只有

k = 1

那一项（求导作用在

e^{x} - 1

上）不为零：

f' (0) = e^{0} \prod_{k = 2}^{2026} (1 - k) = \prod_{k = 2}^{2026} (- (k - 1)) = (- 1)^{2025} \cdot 2025! = - 2025!

。数一下因子个数是 2025 个，这是本题唯一的坑。

第 3 题△ 部分正确10 分

下列陈述正确的是

A实数列

{a_{n}}

收敛

\Leftrightarrow

对

\forall m \in ℕ_{+}

，有

{lim}_{n \to + \infty} (a_{n + m} - a_{n}) = 0

B对数列

{a_{n}}

，若

{a_{n}^{2} - a_{n}}

有界，则

{a_{n}}

必有界

C对实数列

{a_{n}}

，若

{a_{n}^{3}}

收敛，则

{a_{n}}

必收敛

D设

{a_{n}}

满足

a_{1} = 2

，

a_{n + 1} = 3 a_{n} - \frac{6}{a_{n} + 2}

，则

{lim}_{n \to + \infty} a_{n} = 1

我的答案 ABC 正确答案 BC

错因A 是本题最容易掉的坑：极限的四则运算只对已收敛数列有效，把「

a_{n + m} - a_{n} \to 0

」当成柯西准则的替代是错的。

解析A 错：

a_{n} = \sqrt{n}

满足对任意固定

m

有

a_{n + m} - a_{n} \to 0

，但数列发散——「差趋于 0」只排除跳跃，排除不了缓慢发散。B 对：

a_{n}^{2} - a_{n}

落在

[- M, M]

内意味着

a_{n}

落在方程

x^{2} - x = M

与

x^{2} - x = - M

的根之间，必然有界。C 对：

x \mapsto x^{3}

是

ℝ

上的同胚，

a_{n} = 3] a_{n}^{3}

，收敛性保持。D 错：

a_{1} = 2

时

a_{2} = 6 - \frac{6}{4} = 4.5

，

a_{3} \approx 12.6

，数列发散到

+ \infty

，根本到不了 1（1 只是不稳定的不动点）。

第 4 题✗ 错误10 分

函数

f (x) = | x - 1 |^{\frac{1}{x (x - 2)}}

的第一类间断点的个数为

0

2

3

1

我的答案 C 正确答案 B

错因你数成了 3 个，多半把

x = 1

也算进了第一类。判据是「左右极限是否都存在且有限」：

x = 1

处是无穷大，属于第二类，不能计入。

解析定义域是

x \neq 0, 2

，可疑点有三个：

x = 0, 1, 2

。

x \to 1

时底数

| x - 1 | \to 0

、指数

\to - 1

，函数趋于

+ \infty

，是无穷间断（第二类）；

x \to 0

与

x \to 2

时底数趋于 1、指数趋于无穷，但

ln | x - 1 | \sim - x

与分母同阶，极限是

e^{1 / 2}

，是可去间断（第一类）。所以第一类共 2 个。

第 5 题✓ 正确10 分

下述关于极限计算错误的是

{lim}_{x \to + \infty} (\frac{x + 5}{x + 3})^{x} = e^{2}

{lim}_{x \to - \infty} (1 - 2 x)^{1 / x} = e^{2}

{lim}_{x \to 0} (\frac{2 x + 1}{x + 1})^{1 / x} = e^{3}

{lim}_{x \to + \infty} (1 + x)^{1 / x} = e

我的答案 BCD 正确答案 BCD

解析A 对：

(1 + \frac{2}{x + 3})^{x} \to e^{2}

。B 错：

x \to - \infty

时

(1 - 2 x)^{1 / x} = exp \frac{ln (1 - 2 x)}{x}

，分子对数增长远慢于

| x |

，指数趋于 0，极限是 1。C 错：

\frac{ln (1 + 2 x) - ln (1 + x)}{x} \to 2 - 1 = 1

，极限是

e

不是

e^{3}

。D 错：

\frac{ln (1 + x)}{x} \to 0

，极限是 1。

第 6 题✗ 错误10 分

当

x < 0

时，

tan (arccos x) =

- \sqrt{1 - x^{2}}

\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}

\sqrt{1 - x^{2}}

- \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}

我的答案 D 正确答案 B

错因你多补了一个负号。三角函数的符号由象限自动决定，用

\frac{sin}{cos}

直接算就不会错；先写「符号」再套公式反而容易重复取负。

解析设

θ = arccos x \in (π / 2, π)

（因为

x < 0

），则

cos θ = x

，

sin θ = \sqrt{1 - x^{2}} > 0

，于是

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}

。注意

x < 0

，这个值自动是负的，正好对应该象限里的负数正切——不需要再加负号。

第 7 题✗ 错误10 分

下列函数中，在

x = 0

处不可导的是

f (x) = (1 - x) sin | x |

f (x) = x cos | x |

f (x) = cos | x |

f (x) = | x | sin x

我的答案 AD 正确答案 A

错因D 是常见的误判：

| x |

本身在 0 不可导，但乘上

sin x

后被「抹平」了——

| x | sin x

在 0 附近可写成

\pm x sin x

，两侧导数都是 0。判断时要算左右导数，不能看有没有绝对值符号。

解析A：

x < 0

时

f = (1 - x) (- x) = - x + x^{2}

，左导数

- 1

；

x > 0

时

f = (1 - x) x = x - x^{2}

，右导数

1

，左右不等，不可导。B：

cos | x | = cos x

，

f = x cos x

可导。C：

cos x

可导。D：

f (0) = 0

，

\frac{| x | sin x}{x} = \frac{| x |}{x} sin x \to 0

（两侧都趋于 0），且代入

x < 0

得

- x sin x

、

x > 0

得

x sin x

，都光滑，可导。

第 8 题✗ 错误10 分

已知数列

{a_{n}}

（

a_{n} \in ℝ

，

a_{n} \neq 0

），若

{a_{n}}

发散，则

A数列

{e^{a_{n}} - e^{- a_{n}}}

发散

B数列

{a_{n} - \frac{1}{a_{n}}}

发散

C数列

{e^{a_{n}} + e^{- a_{n}}}

发散

D数列

{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}

发散

我的答案 ABCD 正确答案 A

错因这是一道「只有一项对」的多选题。B、C、D 的共同毛病是函数不单调（B 的

t - \frac{1}{t}

、C 的偶函数、D 的

t + \frac{2}{t}

都在正负或

1, 2

处取同值），不单调就压不住发散。抓住「单调性决定收敛性是否保持」这条主线。

解析只有 A 成立：

g (t) = e^{t} - e^{- t}

在

ℝ

上严格增且是满射，反函数连续，所以

g (a_{n})

收敛

\Leftrightarrow a_{n}

收敛；

a_{n}

发散则

g (a_{n})

必发散。B 的反例：

a_{n} = (- 1)^{n}

，则

a_{n} - \frac{1}{a_{n}} = 0

恒成立，收敛。C 的反例同上，

2 cosh

为偶函数，正负交替时仍是常数。D 的反例：

a_{n}

取

1, 2, 1, 2, \dots

，则

a_{n} + \frac{2}{a_{n}}

恒为 3。

第 9 题✗ 错误10 分

{lim}_{x \to \infty} x (3] x^{3} + 7 x - 3] x^{3} + x) =

1

6

3

2

我的答案 C 正确答案 D

错因你算成 3，应该是把分母当成了

3 x^{2}

却忘了分子是

6 x

而不是

6 x^{2}

——先写清楚「分子几次、分母几次」再约，这类题 90% 的错都是次数算错。

解析用

a - b = \frac{a^{3} - b^{3}}{a^{2} + a b + b^{2}}

：分子

(x^{3} + 7 x) - (x^{3} + x) = 6 x

，分母三项都

\sim x^{2}

、和为

3 x^{2}

，所以括号内

\sim \frac{6 x}{3 x^{2}} = \frac{2}{x}

，乘以

x

得 2。

第 10 题△ 部分正确10 分

下列陈述错误的是

A若

f (x)

在

x_{0}

处连续，则

f (x)

在

x_{0}

的某邻域内连续

B对实数列

{a_{n}}

，若

{lim}_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty

，则数列

{a_{n}}

一定存在最小项

C若

f (x)

在

[a, b]

上存在反函数，则

f (x)

在

[a, b]

上严格单调

D不存在定义在

ℝ

上只有一点连续的函数

我的答案 AD 正确答案 ACD

错因漏了 C。看到「有反函数 ⟹ 单调」要立刻反问：连续吗？教材里那条定理的前提是「连续且单射」，去掉连续性就不成立。

解析A 错：

f (x) = x (x \in ℚ)

，

f (x) = 0 (x \notin ℚ)

只在

x = 0

连续。「一点连续」推不出「邻域连续」。B 对：

a_{n} \to + \infty

时存在

N

，使

n > N

的项都大于

a_{1}

，于是最小值只需在前

N

项里取，有限集必有最小。C 错：少了连续性条件。反例：

f (0) = 2

，

f (x) = x (0 < x \leq 1)

，在

[0, 1]

上单射因而有反函数，但不单调。D 错：

f (x) = x \cdot D (x)

（

D

为 Dirichlet 函数）只在

x = 0

连续。