第一章 行列式

本章结构（对应教材）#

本页按教材节序组织。每一节的原文（定义、定理、证明、例题）在「原书对照」页可以逐页翻看，正文这里只放要点与考点。

本章在学什么#

行列式这一章的主线只有一条：把一个 $n\times n$ 的数表压缩成一个数，并让这个数满足「可算、可化简、可用来解方程组」。

• 定义层：$n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和，每项取自不同行不同列的 $n$ 个元素之积，符号由排列的逆序数决定；
• 性质层：转置不变、互换两行变号、某行乘 $k$ 则值乘 $k$、两行相同则为 $0$、某行加上另一行的倍数不变——这五条是「化三角」的全部依据；
• 展开层：按一行（列）展开，把 $n$ 阶降成 $n-1$ 阶；代数余子式与「异乘变零」是两条配套结论；
• 应用层：克拉默法则给出 $D\ne 0$ 时线性方程组解的唯一表达式。

学习建议#

1. 先把逆序数练熟。$n$ 阶行列式的符号全靠它，算错的题多半错在这里；
2. 化成上三角是主战场。考试里的四阶、五阶行列式，九成是先化三角再取对角线之积；
3. 展开要挑零多的行。按行展开的价值不在「展开」本身，而在「挑一行只有一两个非零元」；
4. 克拉默法则只处理 $n$ 个方程 $n$ 个未知数且 $D\ne 0$ 的情形，$D=0$ 时要回到第 2 章用秩判断。

与原书的对应#

逐页原文见侧栏「原书对照」。