线性代数 · READER

线性代数 · 教材导读

按教材原顺序阅读：展开一节，看到若干知识分组，每组里是原文与例题。公式离线渲染，页码对应陈维新《线性代数》第二版。

34 节 34 组例题已掌握 0/0

章节目录

第一章行列式

一数域与排列 · 行列式的定义二行列式的性质三按行列展开 · 克拉默法则 · 小结

第二章线性方程组

一§2.1 消元法二§2.2 矩阵的秩三§2.3 解线性方程组四§2.4 概要及小结

第三章矩阵

一§3.1 矩阵的运算二§3.2 可逆矩阵三§3.3 矩阵的分块四§3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵五§3.5 矩阵的等价和等价标准形六§3.6 概要及小结

第四章线性空间和线性变换

一§4.1 定义及其背景二§4.2 向量的线性相关性三§4.3 向量的极大线性无关组四§4.4 基和维数五§4.5 子空间六§4.6 矩阵的秩·线性方程组解的结构七§4.7 同构八§4.8 欧氏空间九§4.9 线性变换的定义和运算十§4.10 线性变换的矩阵·同构十一§4.11 概要及小结

第五章特征值和特征向量·矩阵对角化

一§5.1 特征值和特征向量二§5.2 矩阵对角化三§5.3 矩阵相似的理论和应用四§5.4 实对称矩阵的对角化五§5.5 概要及小结

第六章二次型

一§6.1 配方法化二次型为标准形二§6.2 矩阵理论化二次型为标准形和矩阵的合同三§6.3 二次型的规范形四§6.4 正定二次型五§6.5 概要及小结

01第一章行列式

一数域与排列 · 行列式的定义选自 §1.1–§1.25 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.1.1 数域

设 $P$ 是至少有两个不同复数组成的集合，若 $P$ 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍为 $P$ 中的数，则 $P$ 就称为一个数域。

如果数集 $P$ 中任意两个数作某一运算的结果都仍在 $P$ 中，就称数集 $P$ 对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成：对于加法、减法、乘法和除法（除数不为零）均封闭的至少含有两个不同数的数集。

定义 1.1.2 n 阶排列

由 $1, 2, \dots, n$ 共 $n$ 个数码组成的一个有序数组，称为一个 $n$ 阶排列。

例如 $14532$ 、 $65 (12) 798 (11) 4 (10) 312$ 、 $n (n - 1) \dots 21$ 分别为 5 阶排列、12 阶排列、 $n$ 阶排列。

$n$ 阶排列的一般形式可表为 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ ，其中 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}$ 为 $1, 2, \dots, n$ 中某一个数，且互不相同，下标分别表示这些数在 $n$ 阶排列中的次序。

定义逆序、逆序数与奇偶排列（书上未编号）

在 $n!$ 个 $n$ 阶排列中，唯有 $12 \dots (n - 1) n$ 是按数码从小到大的次序组成的一个排列（称为标准排列）。

在排列 $i_{1} i_{2} \dots i_{j} \dots i_{k} \dots i_{n}$ 中，如 $j < k$ 而 $i_{j} > i_{k}$ ，则称 $i_{j}, i_{k}$ 构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为排列的逆序数，记为 $τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n})$ 。

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。

定义 1.2.1 线性方程

设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是变量， $n$ 是一个正整数，形式表达式

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b,

其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, b$ 均为数，称为 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的线性方程，线性方程中的变量也称为未知量。

当 $n = 1$ 和 $n = 2$ 时就是我们熟悉的一元一次方程和二元一次方程。

定义 1.2.2 线性方程的解

线性方程 $a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b$ 的一个解是一组有序的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}$ ，当 $x_{1} = k_{1}, x_{2} = k_{2}, \dots, x_{n} = k_{n}$ 时，有

a_{1} k_{1} + a_{2} k_{2} + \dots + a_{n} k_{n} = b .

定义 1.2.3 n 阶行列式

由 $n^{2}$ 个元素 $a_{i j}$ （ $i, j = 1, 2, \dots, n$ ）排成 $n$ 行 $n$ 列，记为

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |, (1.2.4)

称为 $n$ 阶行列式。它是取自 (1.2.4) 中所有属于不同行不同列的 $n$ 个元素乘积 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ （称为通项）的代数和，其中 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是某个 $n$ 阶排列，故共有 $n!$ 项。每项前的符号按下列规则选取：当 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是偶排列时取正号，当 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是奇排列时取负号。即有

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}, (1.2.5)

这里 $\sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}}$ 表示对 $1, 2, \dots, n$ 这 $n$ 个数组成的所有排列 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 取和。

定理已掌握+

定理 1.1.1 任何数域都包含有理数域

设 $P$ 是任何一个数域，则 $Q \subseteq P$ 。

证据数域定义知， $P$ 中有相异复数 $a, b$ 。故 $a, b$ 中必有一个不为零，不妨设 $a \neq 0$ ，从而

a - a = 0 \in P, \frac{a}{a} = 1 \in P .

进而对任意正整数（ $n$ 个 1 相加）

n = 1 + 1 + \dots + 1 \in P,

又因 $P$ 对减法封闭，所以

- n = 0 - n \in P,

这样 $Z \subseteq P$ 。对任意的 $\frac{m}{n} \in Q$ ，此处 $m, n \in Z$ ， $n \neq 0$ ，有 $m, n \in P$ ，再利用 $P$ 对除法封闭，有 $\frac{m}{n} \in P$ ，这表明 $Q \subseteq P$ 。

定理 1.1.2 对换改变排列的奇偶性

任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性。

证首先证明对换排列中相邻两个数码的情况。设排列 $\dots i_{k} i_{k + 1} \dots$ 经过 $i_{k}, i_{k + 1}$ 对换后变成排列 $\dots i_{k + 1} i_{k} \dots$ ，其中省略号表示排列中那些不动的数码。故两个排列中 $τ_{1}, \dots, τ_{k - 1}, τ_{k + 2}, \dots, τ_{n}$ 是相同的，可能不同的只是 $τ_{k}$ 与 $τ_{k + 1}$ 。从而

若 $i_{k} < i_{k + 1}$ ，则排列 $\dots i_{k + 1} i_{k} \dots$ 比 $\dots i_{k} i_{k + 1} \dots$ 多 1 个逆序；

若 $i_{k} > i_{k + 1}$ ，则排列 $\dots i_{k + 1} i_{k} \dots$ 比 $\dots i_{k} i_{k + 1} \dots$ 少 1 个逆序。

故不论如何，排列的奇偶性改变了。

现在讨论一般情况。设对换的两个数码 $i_{k}$ 和 $i_{j}$ 中间有 $s$ 个数码，即设排列为

\dots i_{k} i_{k + 1} \dots i_{k + s} i_{j} \dots (1.1.1)

经过 $i_{k}, i_{j}$ 对换后，变成排列

\dots i_{j} i_{k + 1} \dots i_{k + s} i_{k} \dots (1.1.2)

从 (1.1.1) 开始，把 $i_{j}$ 依次与左边 $s + 1$ 个数码 $i_{k + s}, \dots, i_{k + 1}, i_{k}$ 进行相邻数码的对换，排列 (1.1.1) 变成排列

\dots i_{j} i_{k} i_{k + 1} \dots i_{k + s} \dots (1.1.3)

再对排列 (1.1.3) 把 $i_{k}$ 向右依次与 $s$ 个数码 $i_{k + 1}, \dots, i_{k + s}$ 进行相邻数码对换，排列 (1.1.3) 变成排列 (1.1.2)。这表明 $i_{k}$ 与 $i_{j}$ 的对换可通过 $2 s + 1$ 次相邻数码对换来实现，而每经一次相邻数码对换改变排列奇偶性。现经奇数次相邻数码对换，最终必改变排列的奇偶性。

公式已掌握+

公式二阶行列式（1.2.2）

设 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |$ ，并规定

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} . (1.2.2)

称 $D$ 为二阶行列式。当 $D \neq 0$ 时，二元线性方程组 (1.2.1) 的解为 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}$ ， $x_{2} = \frac{D_{2}}{D}$ ，其中

D_{1} = | \begin{array}{c} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{array} | = b_{1} a_{22} - a_{12} b_{2}, D_{2} = | \begin{array}{c} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{array} | = a_{11} b_{2} - b_{1} a_{21} .

公式三阶行列式与对角线法则

由三行、三列构成的三阶行列式

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |,

规定

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} .

这规则可按主对角线、副对角线的方式记忆，称为对角线法则：主对角线方向三条连线上的三元素之积取正号，副对角线方向三条连线上的三元素之积取负号。

公式二、三阶行列式的逆序数定义

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = \sum_{j_{1} j_{2}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}},

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = \sum_{j_{1} j_{2} j_{3}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} j_{3})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} a_{3 j_{3}} .

这里 $\sum_{j_{1} j_{2}}$ 表示对 $1, 2$ 这两个数组成的所有排列 $j_{1} j_{2}$ 取和， $\sum_{j_{1} j_{2} j_{3}}$ 表示对 $1, 2, 3$ 这三个数组成的所有排列 $j_{1} j_{2} j_{3}$ 取和。

公式 n 阶行列式的完全展开式（1.2.5）

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} .

即 $n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和，每一项都是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积；当行指标取成标准排列 $12 \dots n$ 时，该项的符号由列指标组成的排列 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 的奇偶性确定：偶排列取正号，奇排列取负号。

公式通项的一般形式与两个等价展开式

$n$ 阶行列式的通项一般可写成

a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}}, (1.2.6)

其中 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 和 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是两个 $n$ 阶排列。

1. 设 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 是取定的某个 $n$ 阶排列，则

D = | a_{i j} |_{n} = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n}) + τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}} .

特别地，取 $i_{1} i_{2} \dots i_{n}$ 为 $12 \dots n$ 标准排列时，此即为行列式定义中的 (1.2.5)。

2. 设 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 是取定的某个 $n$ 阶排列，则

D = | a_{i j} |_{n} = \sum_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n}) + τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}} .

特别地，取 $j_{1} j_{2} \dots j_{n}$ 为 $12 \dots n$ 标准排列时，有

D = | a_{i j} |_{n} = \sum_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} j_{1}} a_{i_{2} j_{2}} \dots a_{i_{n} j_{n}} . (1.2.7)

公式上（下）三角形行列式

主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角形行列式，其值等于主对角线上元素的乘积：

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n} .

类似地，主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形行列式，其值也等于主对角线上元素的乘积。

公式副对角线型行列式

主对角线方向为空的「反三角」 $n$ 阶行列式（左下—右上方向一条斜线上的元素非零，其余位置全为零），其值为

| \begin{array}{c} 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2, n - 1} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n - 1, 2} & \dots & a_{n - 1, n - 1} & a_{n - 1, n} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n, n - 1} & a_{n n} \end{array} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n - 1, 2} a_{n 1} .

符号中的 $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ 来自列指标排列 $n (n - 1) \dots 21$ 的逆序数 $τ (n (n - 1) \dots 21) = \frac{n (n - 1)}{2}$ 。

公式二元、三元线性方程组的公式解

当 $D \neq 0$ 时，二元线性方程组 (1.2.1) 的解为

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D},

其中 $D_{1}, D_{2}$ 分别是用常数列 $b_{1}, b_{2}$ 替换 $D$ 的第 1 列、第 2 列所得的行列式。

当 $D \neq 0$ 时，三元线性方程组 (1.2.3) 有公式解

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, x_{3} = \frac{D_{3}}{D},

其中

D_{1} = | \begin{array}{c} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array} |, D_{2} = | \begin{array}{c} a_{11} & b_{1} & a_{13} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \end{array} |, D_{3} = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \end{array} | .

说明已掌握+

说明为什么先讲数域与排列

线性代数是中学代数的继续和提高。第 1 章和第 2 章就是中学代数解一元一次（线性）方程 $a x + b = 0$ 的延伸和深化，研讨多个未知量多个线性方程组成的线性方程组的求解问题。为此要引入一些概念，作为预备知识。

§1.1 先讨论数域和排列。数域的作用是把有理数、实数、复数这些具有共同运算性质的数集统一处理；排列则是为 §1.2 定义 $n$ 阶行列式作准备—— $n$ 阶行列式的展开式共 $n!$ 项，每一项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性决定，所以必须先讲清排列、逆序数与对换。§1.2 开头即说：「有了上一节的准备我们来讨论线性方程组的求解问题。」

说明常见的数域、子域与扩域

从定义 1.1.1 可推知：全体有理数的集合、全体实数的集合、全体复数的集合都是数域。这三个数域分别用字母 $Q$ 、 $R$ 、 $C$ 来表示，且有 $Q \subset R \subset C$ 。

一般地设 $K$ 和 $F$ 均为数域，若 $K \subseteq F$ ，则称 $K$ 为 $F$ 的子域， $F$ 为 $K$ 的扩域。据此 $R$ 是 $Q$ 的扩域， $C$ 的子域。

说明最小数域

定理 1.1.1 说明任何数域 $P$ 必含 $Q$ 作为其子域，从这个意义上我们可称 $Q$ 为最小数域。这说明任何数域必含有无穷多个数（习题 1.1 第 1 题还表明数域有无穷多个）。

说明数域 P 的泛用性

今后我们常在数域 $P$ 上讨论问题，对所涉及的数进行四则运算，推导出的结果自然就在数域 $P$ 中。这样就使得该结果在数域 $P$ 上成立，而数域 $P$ 是泛指的，即可以是 $Q$ 、 $R$ 、 $C$ ，或其他某个数域，从而使结果有一般性。

为简单计，如把下文中的数域 $P$ 当作 $Q$ 、 $R$ 、 $C$ 来考虑也无妨。

说明 n 阶排列的个数

按 $n$ 阶排列的定义知 $i_{1}$ 可有 $n$ 种选取（ $n$ 个数码中任选一个）， $i_{2}$ 有 $n - 1$ 种选取（去掉 $i_{1}$ ，余下的 $n - 1$ 个数码中任选一个），……， $i_{n - 1}$ 可有 2 种选取，而 $i_{n}$ 只能取余下的那个数码，故 $n$ 阶排列共有

n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1 = n!

个。例如 3 阶排列共有 6 个，它们是

123, 132, 213, 231, 312, 321 .

说明逆序数的计算与判定

计算排列的逆序数方法之一是

τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n}) = τ (i_{1}) + τ (i_{2}) + \dots + τ (i_{n - 1}),

其中 $τ (i_{k})$ 表示 $i_{k}$ 后面比 $i_{k}$ 小的数的个数。据此

τ (14532) = 0 + 2 + 2 + 1 = 5,

故 $14532$ 为奇排列；

τ (n (n - 1) \dots 21) = (n - 1) + (n - 2) + \dots + 1 = \frac{n (n - 1)}{2},

所以当 $n = 4 k, 4 k + 1$ 时为偶排列，当 $n = 4 k + 2, 4 k + 3$ 时为奇排列。

注意到 $τ (12 \dots (n - 1) n) = 0$ ，故 $12 \dots (n - 1) n$ 为偶排列。

说明对换

将一个排列中某两个数码的位置互换，而其余数码不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。例如，经过 1、3 两数码对换，排列 $14532$ 就变成排列 $34512$ 。通过计算知 $τ (34512) = 6$ ，故 $34512$ 为偶排列。这表明奇排列 $14532$ 经过一次对换得到偶排列 $34512$ 。一般有定理 1.1.2。

说明二阶行列式的由来：消元法

当 $n = 2$ 时，用消元法解含有未知量 $x_{1}, x_{2}$ 的线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} . \end{cases} (1.2.1)

以 $a_{22}$ 乘第一个方程两边，以 $a_{12}$ 乘第二个方程两边，然后两式相减，消去 $x_{2}$ 得

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{1} = b_{1} a_{22} - a_{12} b_{2} .

类似消去 $x_{1}$ 得

(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x_{2} = a_{11} b_{2} - b_{1} a_{21} .

设 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$ ，则

x_{1} = \frac{b_{1} a_{22} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}, x_{2} = \frac{a_{11} b_{2} - b_{1} a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} .

这就是二元线性方程组 (1.2.1) 的解公式，但此公式不易记忆，为了便于记忆和使用上述结论，我们引进记号 $D$ ，即二阶行列式。

说明三元线性方程组与三阶行列式的引进

当 $n = 3$ 时，含有未知量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2}, \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b_{3} . \end{cases} (1.2.3)

可同样逐次消元，消去 $x_{3}, x_{2}$ 可得 $x_{1}$ 的表达式，把 $x_{1}$ 的系数记为 $d$ ：

d = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} .

当 $d \neq 0$ 时， $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 都有类似的公式。这些公式更难记忆，为此引进由三行、三列构成的三阶行列式。按规定计算 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 发现三者恰为用消元法解 (1.2.3) 所得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 表达式的分子，而分母 $d$ 均为 $D$ 。

说明行列式的行、列与元素记号

横写的称为行，从上到下分别称第 1 行，第 2 行（……）。竖写的称为列，从左到右分别称第 1 列，第 2 列（……）。行列式中的数，称为行列式的元素。每个元素有两个下标，第一个下标表示它所在的行，称为行指标；第二个下标表示它所在的列，称为列指标。如 $a_{12}$ 就是位于第 1 行、第 2 列上的元素。

说明主对角线与副对角线

从二阶行列式的定义可知：二阶行列式是两项的代数和。一项是从左上角到右下角连线（称为行列式的主对角线）上两元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角连线（称副对角线）上两元素的乘积，取负号。

说明一阶行列式与行列式的值

特别规定一阶行列式 $| a | = a$ ，并沿用二阶行列式所使用的术语，诸如行、列、行指标、列指标、主对角线、副对角线等。为方便计， $n$ 阶行列式 (1.2.4) 可简记为 $D = | a_{i j} |_{n}$ 。

由 (1.2.5) 知，当 $a_{i j}$ 均为数时，行列式 $D$ 为一个数。如 $a_{i j} \in P$ （ $i, j = 1, 2, \dots, n$ ），这里 $P$ 是某个数域，则 $D \in P$ 。当 $a_{i j}$ 中含有变量时，行列式 $D$ 为此变量的多项式。故计算或求行列式就是把这个数或多项式求出来。

说明利用例 1.2.2、例 1.2.3 的速算

利用例 1.2.2 和例 1.2.3 的结果可以容易地得出

| \begin{array}{c} 1 & x & y \\ 0 & 2 & z \\ 0 & 0 & 3 \end{array} | = 1 \times 2 \times 3 = 6,

| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 3 & b & c \end{array} | = (- 1)^{\frac{3 (3 - 1)}{2}} 1 \times 2 \times 3 = - 6 .

例 1.2.2 和例 1.2.3 的结果下文将经常使用，务请熟记。

说明行与列地位平等

通项的一般形式 (1.2.6) 及其两个展开式也表明了：行列式中，行与列地位是平等的。也就是说，展开时既可以固定行指标为 $12 \dots n$ 标准排列（得到 (1.2.5)），也可以固定列指标为 $12 \dots n$ 标准排列（得到 (1.2.7)），所得结果完全一致。

例题已掌握

例 1.1.1★☆☆☆☆判断题数域的判定与反例展开题目与讲解

例 1.1.1

记全体整数的集合为 $Z$ ，则 $Z$ 不是数域。

解这是因为 $2, 3 \in Z$ ，且 $3 \neq 0$ ，但 $\frac{2}{3} \notin Z$ ，这表明 $Z$ 对于除法不封闭。

例 1.1.2★★★☆☆证明题数域封闭性的验证展开题目与讲解

例 1.1.2

记 $Q (\sqrt{2}) = {a + b \sqrt{2} | a, b \in Q}$ ，则 $Q (\sqrt{2})$ 是数域。

证容易看出 $Q \subseteq Q (\sqrt{2})$ ，且对任意的

a + b \sqrt{2}, c + d \sqrt{2} \in Q (\sqrt{2}),

有

(a + b \sqrt{2}) \pm (c + d \sqrt{2}) = (a \pm c) + (b \pm d) \sqrt{2} \in Q (\sqrt{2}),

(a + b \sqrt{2}) (c + d \sqrt{2}) = (a c + 2 b d) + (a d + b c) \sqrt{2} \in Q (\sqrt{2}) .

此外，当 $a + b \sqrt{2} \neq 0$ 时， $a - b \sqrt{2}$ 必不为零。（反证）若 $a - b \sqrt{2} = 0$ ，可推出 $a = 0, b = 0$ ，这与 $a + b \sqrt{2} \neq 0$ 矛盾。故可有

\frac{c + d \sqrt{2}}{a + b \sqrt{2}} = \frac{(c + d \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2})}{(a + b \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2})} = \frac{a c - 2 b d}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{a d - b c}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2} \in Q (\sqrt{2}) .

综上可知： $Q (\sqrt{2})$ 是数域。而且从 $\sqrt{2} \notin Q$ ， $\sqrt{3} \notin Q (\sqrt{2})$ 知：

Q \subset Q (\sqrt{2}) \subset R .

例 1.2.1★★☆☆☆计算题用三阶行列式解方程组展开题目与讲解

例 1.2.1

解线性方程组

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = a, \\ x_{2} - x_{3} = b, \\ x_{1} + x_{3} = c . \end{cases}

解计算三阶行列式

D = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} | = 1 + 1 = 2 \neq 0 .

而

D_{1} = | \begin{array}{c} a & - 1 & 0 \\ b & 1 & - 1 \\ c & 0 & 1 \end{array} | = a + c + b,

D_{2} = | \begin{array}{c} 1 & a & 0 \\ 0 & b & - 1 \\ 1 & c & 1 \end{array} | = b - a + c,

D_{3} = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & a \\ 0 & 1 & b \\ 1 & 0 & c \end{array} | = c - b - a .

所以

x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = \frac{1}{2} (a + b + c), x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = \frac{1}{2} (- a + b + c), x_{3} = \frac{D_{3}}{D} = \frac{1}{2} (- a - b + c) .

例 1.2.2★★★☆☆计算题上三角形行列式展开题目与讲解

例 1.2.2

计算 $n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} | .

解据定义 1.2.3 知， $D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 。该展开式通项 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 中 $a_{n j_{n}}$ 取自 $D$ 的第 $n$ 行，而 $D$ 第 $n$ 行除 $a_{n n}$ 外，其余元素全为零。故若 $j_{n} \neq n$ ，则对应的行列式展开式中那一项一定为零，求和时该项可不计，为此只要考虑 $j_{n} = n$ 的项。同样由于 $D$ 的第 $n - 1$ 行中除 $a_{n - 1, n - 1}$ 及 $a_{n - 1, n}$ 外，其余元素全为零，且因 $j_{n}$ 已取 $n$ ，从而只能取 $j_{n - 1} = n - 1$ 。依次类推， $D$ 的 $n!$ 项中除了列指标 $j_{1} j_{2} \dots j_{n} = 12 \dots n$ 对应的项外，其余项全为零，又因 $τ (12 \dots n) = 0$ ，故

D = a_{11} a_{22} \dots a_{n n} .

这类行列式特点是主对角线下方元素全为零，称为上三角形，其值为其主对角线上元素的乘积；类似称主对角线上方元素全为零的行列式为下三角形。

例 1.2.3★★★★☆计算题副对角线型行列式展开题目与讲解

例 1.2.3

计算 $n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{2, n - 1} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & a_{n - 2, 3} & \dots & a_{n - 2, n - 1} & a_{n - 2, n} \\ 0 & a_{n - 1, 2} & a_{n - 1, 3} & \dots & a_{n - 1, n - 1} & a_{n - 1, n} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n, n - 1} & a_{n n} \end{array} | .

解从通项 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$ 中 $a_{1 j_{1}}$ 着手，仿照上例从 $j_{1}$ 开始逐一分析 $j_{2}, \dots, j_{n}$ 的取值，可得 $D$ 展开式的 $n!$ 项中，除去为零的项外，仅剩下一项为

a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n - 1, 2} a_{n 1} .

这项列指标排列的逆序数为

τ (n (n - 1) \dots 21) = \frac{n (n - 1)}{2},

故

D = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} \dots a_{n - 1, 2} a_{n 1} .

二行列式的性质选自 §1.34 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义　转置行列式

设 $n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |, D^{T} = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

即 $D^{T}$ 是由 $D$ 的行列位置互换后得到的，称 $D^{T}$ 为 $D$ 的转置行列式.

性质已掌握+

性质 1　转置行列式与原行列式相等

D = D^{T} .

证将 $D^{T}$ 记为

D^{T} = | \begin{array}{c} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{array} |,

即 $b_{i j} = a_{j i} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ . 将 $D^{T}$ 按 (1.2.7) 展开，有

D^{T} = \sum_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} b_{1 i_{1}} b_{2 i_{2}} \dots b_{n i_{n}} = \sum_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1} i_{2} \dots i_{n})} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \dots a_{i_{n} n},

由 (1.2.5) 知上式右端就是 $D$ ，故 $D^{T} = D$ . $□$

性质 2　互换两行（列）行列式变号

如果行列式中两行（列）互换，行列式只改变符号，即

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = - | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

证引入记号

b_{s t} = {\begin{cases} a_{s t}, & s \neq i, k, \\ a_{k t}, & s = i, \\ a_{i t}, & s = k . \end{cases}

则右端为

- | \begin{array}{c} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{k 1} & b_{k 2} & \dots & b_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{array} |,

按 (1.2.5) 展开，得

= - \sum_{j_{1} \dots j_{i} \dots j_{k} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} \dots j_{i} \dots j_{k} \dots j_{n})} b_{1 j_{1}} \dots b_{i j_{i}} \dots b_{k j_{k}} \dots b_{n j_{n}}

= - \sum_{j_{1} \dots j_{i} \dots j_{k} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} \dots j_{i} \dots j_{k} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots a_{k j_{i}} \dots a_{i j_{k}} \dots a_{n j_{n}}

= \sum_{j_{1} \dots j_{k} \dots j_{i} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} \dots j_{k} \dots j_{i} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots a_{i j_{k}} \dots a_{k j_{i}} \dots a_{n j_{n}},

最后一步是因为置换 $(j_{1} \dots j_{i} \dots j_{k} \dots j_{n})$ 与 $(j_{1} \dots j_{k} \dots j_{i} \dots j_{n})$ 相差一个对换，二者奇偶性相反. 上式右端即左端按 (1.2.5) 的展开式，故性质 2 成立. $□$

推论 1　两行（列）相同则行列式为零

行列式若有两行（列）对应元素全相等，行列式为零.

证设行列式 $D$ 的第 $i$ 行与第 $k$ 行相同，若将 $D$ 的第 $i$ 行与第 $k$ 行互换，所得仍为 $D$ . 但由性质 2 知，两者互为相反数，即 $D = - D$ ，故 $D = 0$ . $□$

性质 3　某行（列）乘数 k 等于行列式乘 k

以数 $k$ 乘行列式中某一行（列）中所有元素，等于用 $k$ 乘此行列式. 换言之，行列式某一行（列）所有元素有公因子 $k$ ，可将 $k$ 提到行列式记号外相乘，即

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = k | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

证左端 $= \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots (k a_{i j_{i}}) \dots a_{n j_{n}}$

= k \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{i j_{i}} \dots a_{n j_{n}},

此即右端. $□$

推论 2　有一行（列）全为零则行列式为零

若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式为零.

证此即性质 3 中 $k = 0$ 的情况. $□$

性质 4　两行（列）成比例则行列式为零

若行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式为零.

证设 $D$ 的第 $i$ 行与第 $t$ 行成比例（ $i \neq t$ ），不妨设 $i < t$ ，有

a_{t j} = k a_{i j} (j = 1, 2, \dots, n) .

于是

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \dots & a_{t n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = k | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = k \cdot 0 = 0 .

其中第一个等号用了 $a_{t j} = k a_{i j}$ ，第二个等号用了性质 3，最后一个等号用了推论 1. $□$

性质 5　分行（列）相加性

行列式可按某一行（列）拆成两个行列式之和：

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} + c_{i 1} & b_{i 2} + c_{i 2} & \dots & b_{i n} + c_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{i 1} & c_{i 2} & \dots & c_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

证左端 $= \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots (b_{i j_{i}} + c_{i j_{i}}) \dots a_{n j_{n}}$

= \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots b_{i j_{i}} \dots a_{n j_{n}} + \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots c_{i j_{i}} \dots a_{n j_{n}}

此即右端. $□$

推论 3　分行（列）相加性的推广

若行列式的某一行（列）是若干组元素之和，则它可以拆成同样多个行列式之和：

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} + c_{i 1} + \dots + h_{i 1} & b_{i 2} + c_{i 2} + \dots + h_{i 2} & \dots & b_{i n} + c_{i n} + \dots + h_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \dots & b_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{i 1} & c_{i 2} & \dots & c_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + \dots + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{i 1} & h_{i 2} & \dots & h_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

性质 6　某行（列）加上另一行（列）的 k 倍行列式不变

行列式的某一行（列）元素加上另一行（列）对应元素的 $k$ 倍，行列式不变，即 $i \neq j$ 时，

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} + k a_{j 1} & a_{i 2} + k a_{j 2} & \dots & a_{i n} + k a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | .

证由性质 5 知左端为

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{j 1} & k a_{j 2} & \dots & k a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |,

而据性质 4，上式第二个行列式为零，即得左端 $=$ 右端. $□$

说明已掌握+

说明　为什么要研究行列式的性质

计算 $n$ 阶行列式是本章的中心课题之一，然而从定义出发，只有计算某些特殊的行列式（如上三角形行列式）才较为可行. 对一般的行列式而言，随着行列式阶数 $n$ 的增大，用定义来计算行列式，其计算量是相当大的. 一个 $n$ 阶行列式按定义展开，要做 $(n - 1) \times n!$ 次乘法（请注意 $50! = 3.041 \times 10^{64}$ ， $60! = 8.321 \times 10^{81}$ ）. 而在天气预报、大地测量等实际课题中所需解的线性方程组，其变量成百上千. 本节将研究行列式的性质，这些性质不仅能简化行列式的计算，而且在理论上也相当重要.

说明　行与列的地位平等

性质 1 再次表明行列式中行与列地位平等. 因而下面对行成立的性质，对列相应性质也成立. 所以以下性质只对行进行证明是可以的.

说明　化简行列式时的记号约定

在计算行列式时，为了使计算过程醒目，约定如下记号：

用 $R_{i} \pm k R_{j}$ 表示第 $i$ 行元素加上（减去）第 $j$ 行对应元素的 $k$ 倍.

用 $C_{i} \pm k C_{j}$ 表示第 $i$ 列元素加上（减去）第 $j$ 列对应元素的 $k$ 倍.

说明　化三角形计算行列式

例 1.2.1 已阐明上三角形行列式可直接写出，为其主对角线上元素的乘积. 而下三角形行列式的转置行列式为上三角形行列式，从而据性质 1，下三角形行列式也为主对角线上元素的乘积. 这样我们常常利用行列式的性质，把一些行列式化为上（下）三角形来进行计算.

说明　思考题：例 1.3.1 的

n

阶推广

计算 $n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} 1 + a_{1} & 2 + a_{1} & 3 + a_{1} & \dots & n + a_{1} \\ 1 + a_{2} & 2 + a_{2} & 3 + a_{2} & \dots & n + a_{2} \\ 1 + a_{3} & 2 + a_{3} & 3 + a_{3} & \dots & n + a_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 + a_{n} & 2 + a_{n} & 3 + a_{n} & \dots & n + a_{n} \end{array} | .

提示：将第 $2, 3, \dots, n$ 列分别减去第 1 列，所得各列的元素对应成比例，故 $n \geq 3$ 时 $D = 0$ ； $n = 2$ 时 $D = a_{1} - a_{2}$ .

注　例 1.3.4 的讨论

（1） 在本例中如果将 $a$ 改为变量 $x$ ，同样可计算得

| \begin{array}{c} x & b & b & \dots & b \\ b & x & b & \dots & b \\ b & b & x & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & x \end{array} | = [x + (n - 1) b] (x - b)^{n - 1},

这就是一个 $x$ 的 $n$ 次多项式，它的 $n$ 个根为

x_{1} = (1 - n) b, x_{i} = b (i = 2, 3, \dots, n) .

（2） 同样的解法还可求出本例的变形（ $n$ 阶行列式）

| \begin{array}{c} b & b & \dots & b & a \\ b & b & \dots & a & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & a & \dots & b & b \\ a & b & \dots & b & b \end{array} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} .

（3） 解法二中出现连加号“ $\sum$ ”，有关连加号的概念和一些性质，建议读者可参阅附录一.

配习题　习题 1.3

本节之后为「习题 1.3」（p.20–22），共 9 题：第 1 题由 $n$ 阶行列式（各行各列元素全为 1）等于零，说明 $n!$ 个不同的 $n$ 阶排列中奇偶排列各占一半；第 2 题用行列式的性质计算 5 个行列式（三阶数字行列式、含零较多的四阶行列式、 $a - b - c$ 型三阶行列式、五阶对角占优行列式等）；第 3 题计算 5 个 $n$ 阶行列式（ $x_{i} y_{j}$ 型、 $(a + i)^{2}$ 型、 $a_{i} + b_{i}$ 型、 $x_{i} + j$ 型、逐行递增型）；第 4 题求一个 $n$ 阶行列式展开后正项的个数；第 5 题证明两个行列式恒等式（一个等于 2 倍的行列式，一个等于 $(a^{3} + b^{3})$ 倍的行列式）；第 6 题求 3 个多项式 $f (x)$ 的根；第 7 题设三阶行列式 $D = a$ ，据此计算 3 个与 $D$ 有关的行列式；第 8 题计算一个带 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 的 $n + 1$ 阶行列式；第 9 题已知 18055，83283，61042，48576，57776 都能被 23 整除，证明相应的五阶行列式也能被 23 整除.

例题已掌握

例 1.3.1★★☆☆☆计算题用性质化零与成比例展开题目与讲解

例 1.3.1　用性质化出成比例的列

计算行列式

D = | \begin{array}{c} 1 + a_{1} & 2 + a_{1} & 3 + a_{1} \\ 1 + a_{2} & 2 + a_{2} & 3 + a_{2} \\ 1 + a_{3} & 2 + a_{3} & 3 + a_{3} \end{array} | .

解将第 2 列、第 3 列分别减去第 1 列（即 $C_{2} - C_{1}$ ， $C_{3} - C_{1}$ ），得

D = | \begin{array}{c} 1 + a_{1} & 1 & 2 \\ 1 + a_{2} & 1 & 2 \\ 1 + a_{3} & 1 & 2 \end{array} | .

第 2 列与第 3 列对应元素成比例（比值为 $\frac{1}{2}$ ），由性质 4 知

D = 0 .

例 1.3.2★★★☆☆计算题化三角形法展开题目与讲解

例 1.3.2　化三角形计算四阶行列式

计算行列式

D = | \begin{array}{c} 1 & - 9 & 13 & 7 \\ - 2 & 5 & - 1 & 3 \\ 3 & - 1 & 5 & - 5 \\ 2 & 8 & - 7 & - 10 \end{array} | .

解依次作 $R_{2} + 2 R_{1}$ ， $R_{3} - 3 R_{1}$ ， $R_{4} - 2 R_{1}$ ，得

D = | \begin{array}{c} 1 & - 9 & 13 & 7 \\ 0 & - 13 & 25 & 17 \\ 0 & 26 & - 34 & - 26 \\ 0 & 26 & - 33 & - 24 \end{array} | .

再作 $R_{3} - R_{4}$ ， $R_{4} + 2 R_{2}$ ，得

D = | \begin{array}{c} 1 & - 9 & 13 & 7 \\ 0 & - 13 & 25 & 17 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 17 & 10 \end{array} | .

再作 $R_{4} + 17 R_{3}$ ，得上三角形行列式

D = | \begin{array}{c} 1 & - 9 & 13 & 7 \\ 0 & - 13 & 25 & 17 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 24 \end{array} | = 1 \times (- 13) \times (- 1) \times (- 24) = - 312 .

例 1.3.3★★★☆☆证明题逐行相减化三角展开题目与讲解

例 1.3.3　逐行相减化三角形证恒等式

试证

D = | \begin{array}{c} a & b & c & d \\ a & a + b & a + b + c & a + b + c + d \\ a & 2 a + b & 3 a + 2 b + c & 4 a + 3 b + 2 c + d \\ a & 3 a + b & 6 a + 3 b + c & 10 a + 6 b + 3 c + d \end{array} | = a^{4} .

证将第 4 行减第 3 行、第 3 行减第 2 行、第 2 行减第 1 行（即 $R_{4} - R_{3}$ ， $R_{3} - R_{2}$ ， $R_{2} - R_{1}$ ），得

D = | \begin{array}{c} a & b & c & d \\ 0 & a & a + b & a + b + c \\ 0 & a & 2 a + b & 3 a + 2 b + c \\ 0 & a & 3 a + b & 6 a + 3 b + c \end{array} | .

再将第 4 行减第 3 行、第 3 行减第 2 行，得

D = | \begin{array}{c} a & b & c & d \\ 0 & a & a + b & a + b + c \\ 0 & 0 & a & 2 a + b \\ 0 & 0 & a & 3 a + b \end{array} | .

最后将第 4 行减第 3 行，得上三角形行列式

D = | \begin{array}{c} a & b & c & d \\ 0 & a & a + b & a + b + c \\ 0 & 0 & a & 2 a + b \\ 0 & 0 & 0 & a \end{array} | = a \cdot a \cdot a \cdot a = a^{4} .

例 1.3.4★★★★☆计算题行和相等的 n 阶行列式展开题目与讲解

例 1.3.4　n 阶行和相等的行列式

计算 $n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array} | .

解法一 把 $D$ 的第 2 列，第 3 列， $\dots$ ，第 $n$ 列均加到第 1 列上，得

D = | \begin{array}{c} a + (n - 1) b & b & b & \dots & b \\ a + (n - 1) b & a & b & \dots & b \\ a + (n - 1) b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a + (n - 1) b & b & b & \dots & a \end{array} | .

提出第 1 列的公因子 $[a + (n - 1) b]$ ，得

D = [a + (n - 1) b] | \begin{array}{c} 1 & b & b & \dots & b \\ 1 & a & b & \dots & b \\ 1 & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & b & b & \dots & a \end{array} | .

将第 2 行，第 3 行， $\dots$ ，第 $n$ 行分别减去第 1 行，得

D = [a + (n - 1) b] | \begin{array}{c} 1 & b & b & \dots & b \\ 0 & a - b & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array} | = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} .

解法二 将第 2 行，第 3 行， $\dots$ ，第 $n$ 行分别减去第 1 行，得

D = | \begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b - a & a - b & 0 & \dots & 0 \\ b - a & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b - a & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array} | .

再将第 $2, 3, \dots, n$ 列均加到第 1 列上（即 $C_{1} + \sum_{j = 2}^{n} C_{j}$ ），得

D = | \begin{array}{c} a + (n - 1) b & b & b & \dots & b \\ 0 & a - b & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array} | = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} .

三按行列展开 · 克拉默法则 · 小结选自 §1.4–§1.66 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 1.4.1 余子式与代数余子式

在 $n$ 阶行列式 $D = | a_{i j} |_{n}$ 中划掉元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后，留下的元素按原来的位置构成的 $n - 1$ 阶行列式称为元素 $a_{i j}$ 的余子式，记为 $M_{i j}$ ．又记 $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ ，称 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．

易见当 $a_{i j} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ 为数时， $M_{i j}$ 和 $A_{i j}$ 均为数．

例如四阶行列式 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} |,$ 元素 $a_{32}$ 的余子式是 $M_{32} = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{array} |,$ 元素 $a_{32}$ 的代数余子式是 $A_{32} = (- 1)^{3 + 2} M_{32} = - M_{32} .$

定义 1.4.2

k

阶子式及其余子式、代数余子式

在 $n$ 阶行列式 $D$ 中选取 $k$ 行 $k$ 列（ $1 \leq k \leq n$ ），由这些行和列相交处的元素按原来相关位置构成的 $k$ 阶行列式称为 $D$ 的 $k$ 阶子式，记为 $N$ ．在行列式 $D$ 中去掉 $k$ 阶子式 $N$ 所在的行和列后，得到的 $n - k$ 阶行列式称为 $N$ 的余子式，记为 $M$ ．若构成 $N$ 的行的行指标为 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ ；构成 $N$ 的列的列指标为 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ ，则 $(- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} M$ 称为 $N$ 的代数余子式，记为 $A$ ．

定理已掌握+

定理 1.4.1 行列式按行（列）展开

$n$ 阶行列式 $D = | a_{i j} |_{n}$ 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} (i = 1, 2, \dots, n);$ $D = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} (j = 1, 2, \dots, n) .$

证（1）首先讨论 $D$ 的第一行元素除 $a_{11}$ 外，其余元素均为零的情况，即 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ 如例 1.2.3 讨论知 $D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{11} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} = a_{11} \sum_{j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{2} \dots j_{n})} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} = a_{11} | \begin{array}{c} a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = a_{11} M_{11} .$ 由 $A_{11} = (- 1)^{1 + 1} M_{11} = M_{11}$ 得 $D = a_{11} A_{11}$ ．

（2）其次讨论 $D$ 的第 $i$ 行元素除 $a_{i j}$ 外，其余元素均为零的情况．将 $D$ 的第 $i$ 行依次与第 $i - 1, \dots, 2, 1$ 各行作 $i - 1$ 次相邻交换调到第 1 行，再将第 $j$ 列依次与第 $j - 1, \dots, 2, 1$ 各列作 $j - 1$ 次相邻交换，调到第 1 列，这样共经过 $i + j - 2$ 次交换，得 $D = (- 1)^{i + j - 2} | \begin{array}{c} a_{i j} & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{1 j} & a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, j} & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, j - 1} & a_{i - 1, j + 1} & \dots & a_{i - 1, n} \\ a_{i + 1, j} & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, j - 1} & a_{i + 1, j + 1} & \dots & a_{i + 1, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n j} & a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{array} | = (- 1)^{i + j} a_{i j} M_{i j} = a_{i j} A_{i j} .$

（3）最后讨论一般情况．由 §1.3 推论 3（行列式可按某一行（列）拆开），将 $D$ 的第 $i$ 行拆成 $n$ 个行列式之和： $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} + 0 + \dots + 0 & 0 + a_{i 2} + \dots + 0 & \dots & 0 + 0 + \dots + a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $= | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i 2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | + \dots + | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $= a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} .$ 此即行列式按第 $i$ 行展开公式．同理可证行列式按第 $j$ 列展开公式．

定理 1.4.2 异乘变零定理

$n$ 阶行列式 $D = | a_{i j} |_{n}$ 中某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 $a_{k 1} A_{i 1} + a_{k 2} A_{i 2} + \dots + a_{k n} A_{i n} = 0, i \neq k;$ $a_{1 k} A_{1 j} + a_{2 k} A_{2 j} + \dots + a_{n k} A_{n j} = 0, j \neq k .$

证设 $D = | a_{i j} |_{n}$ ，将 $D$ 的第 $k$ 行加到第 $i$ 行上（ $i \neq k$ ），得 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | \overset{Ri+Rk}{\to} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} + a_{k 1} & a_{i 2} + a_{k 2} & \dots & a_{i n} + a_{k n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ 两边行列式都按第 $i$ 行展开，得 $\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} A_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} (a_{i j} + a_{k j}) A_{i j} .$ 移项化简，得 $\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} A_{i j} = 0 (i \neq k) .$ 同理可证另一式．

定理 1.4.3 拉普拉斯（Laplace）定理

设 $D$ 为 $n$ 阶行列式，任取定其中 $k$ 行（列）（ $1 \leq k < n$ ），则由这 $k$ 行（列）构成的一切 $k$ 阶子式 $N_{1}, N_{2}, \dots, N_{t}$ 与它们所对应代数余子式 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{t}$ 乘积之和等于 $D$ ，即 $D = N_{1} A_{1} + N_{2} A_{2} + \dots + N_{t} A_{t},$ 其中 $t = C_{n}^{k}$ ．

证明从略，有兴趣者可参见文献［2］，第 92 页．

定理 1.5.1 克拉默（Cramer）法则

设含有 $n$ 个未知量的 $n$ 个线性方程的方程组为 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} . \end{cases} (1)$ 由未知量系数组成的 $n$ 阶行列式 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ 称为 (1) 的系数行列式．

定理 1.5.1（克拉默法则） 设线性方程组 (1) 的系数行列式 $D \neq 0$ ，则 (1) 有惟一解，且解可用行列式表示为 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, \dots, x_{n} = \frac{D_{n}}{D},$ 其中 $D_{j} (j = 1, 2, \dots, n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列元素用方程组 (1) 右端相应的常数项代替而得到的 $n$ 阶行列式，即 $D_{j} = | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & b_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2, j - 1} & b_{2} & a_{2, j + 1} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & b_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{array} | .$ 从而若 $a_{i j} \in P$ ， $b_{k} \in P (i, j, k = 1, 2, \dots, n)$ ， $P$ 为某个数域，则解 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 均属于 $P$ ．

性质已掌握+

性质 1.5.1 齐次线性方程组只有零解的充分条件

若线性方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0 \end{cases} (I I I)$ 的系数行列式 $D = | a_{i j} |_{n} \neq 0$ ，则 (III) 只有零解．

证由 $D \neq 0$ 知，(III) 有惟一解．而 $D_{j}$ 的第 $j$ 列全为零，所以 $D_{j} = 0 (j = 1, 2, \dots, n),$ 由克拉默法则知，惟一解为 $x_{j} = \frac{D_{j}}{D} = 0 (j = 1, 2, \dots, n),$ 故 (III) 只有零解．

推论齐次线性方程组 (III) 有非零解的充要条件是 $D = | a_{i j} |_{n} = 0$ ．必要性即性质 1.5.1 的逆否命题；充分性（ $D = 0$ 时 (III) 必有非零解）将在第 3 章用矩阵的秩给出证明．

公式已掌握+

公式 (1.4.1)、(1.4.2) 代数余子式求和公式

综合定理 1.4.1 和定理 1.4.2 可得下述重要公式 $\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} A_{i j} = {\begin{cases} D, & i = k, \\ 0, & i \neq k, \end{cases} (1.4.1)$ $\sum_{i = 1}^{n} a_{i k} A_{i j} = {\begin{cases} D, & j = k, \\ 0, & j \neq k . \end{cases} (1.4.2)$ 即：本行的元素与自己的代数余子式相乘再求和得 $D$ ；本行的元素与另一行对应元素的代数余子式相乘再求和得 $0$ ．

公式

n

阶范德蒙德（Vandermonde）行列式

$D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array} | = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i}) .$ 这称为 $n$ 阶范德蒙德（Vandermonde）行列式．它表明： $n$ 阶范德蒙德行列式 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \neq 0$ 的充要条件为：当 $i \neq j$ 时，有 $a_{i} \neq a_{j} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ ．

有关连乘号「 $\prod$ 」的概念和一些性质，建议读者参阅附录一．

公式分块行列式（例 1.4.6 及其推论）

对例 1.4.6 的行列式作适当的行互换、列互换可得（设 $A = (a_{i j})_{r \times r}$ ， $B = (b_{i j})_{s \times s}$ ）： $| \begin{array}{c} A & C \\ 0 & B \end{array} | = | \begin{array}{c} A & 0 \\ C & B \end{array} | = | \begin{array}{c} A \\ B \end{array} | = | A | | B |;$ $| \begin{array}{c} 0 & A \\ B & C \end{array} | = | \begin{array}{c} C & A \\ B & 0 \end{array} | = (- 1)^{r s} | A | | B | .$ 即：分块上（下）三角形行列式等于两个对角块行列式之积；分块副对角线行列式等于 $(- 1)^{r s}$ 乘两个对角块行列式之积．

说明已掌握+

说明按行（列）展开的作用与解题策略

利用行列式按行（列）展开，可将求一个 $n$ 阶行列式归结为求 $n$ 个 $n - 1$ 阶行列式．若选取的行（列）元素几乎全为零，就可达到降阶化简的效果．比如 1.2 节中例 1.2.2 就可逐次按第 1 列展开得出结果，例 1.2.3 就可逐次按第 1 行展开得出结果．一般情况下要先利用行列式性质，使之某一行（列）中有较多的零，再按该行（列）展开．

说明递推法与递推公式

将行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，此方法常称为递推法，所得关系式（如 $D_{n} = x D_{n - 1} + a_{n}$ ）称为递推公式．求 $D_{n}$ 时可用递推公式逐次递推，最后归结到 $D_{1}$ （或 $D_{2}$ ）．§1.6 中又指出：在行列式的某一行（列）几乎全为零时，才考虑使用降阶法（递推法）；然而即使在此种情况下，有时化基本形也是可行的，如例 1.4.2 即是．

说明克拉默法则的证明思路

因这定理在第 3 章中利用逆矩阵的性质可简洁地推得，故此处叙而不证．若希望知道仅用本章知识如何证明克拉默法则，下面给出证明概要．

用 $D$ 中第 $j$ 列元素的代数余子式 $A_{1 j}, A_{2 j}, \dots, A_{n j}$ 依次乘方程组 (1) 的 $n$ 个方程的两边，再把它们相加，利用公式 (1.4.2) 可得方程组 $D x_{j} = D_{j} (j = 1, 2, \dots, n), (I I)$ 当 $D \neq 0$ 时上述方程组 (II) 有惟一解 $x_{j} = \frac{D_{j}}{D} (j = 1, 2, \dots, n)$ ．而方程组 (1) 的解必是 (II) 的解，故方程组 (1) 如有解，只能是 $x_{j} = \frac{D_{j}}{D} (j = 1, 2, \dots, n)$ ．为证明 $x_{j} = \frac{D_{j}}{D} (j = 1, 2, \dots, n)$ 确是 (1) 的解，只要把 $x_{j} = \frac{D_{j}}{D}$ 代入 (1) 去验证即可．经验证的确适合，故定理得证．

说明克拉默法则的适用性

用克拉默法则来解不见得比消元法求解方便（在第 3 章中将介绍较为简单的计算方法），但对某些特殊方程组（如系数行列式为范德蒙德行列式的情形）克拉默法则确有方便之处．克拉默法则的重要性可由性质 1.5.1 略见一斑：它给出了齐次线性方程组只有零解的一个充分条件．

说明 §1.6 概要：一个概念、九类行列式、三种方法

概要：一个概念（ $n$ 阶行列式）；九类可直接求出的行列式；三种计算行列式的方法．

（作者引华罗庚《学与识》：「由薄到厚」是学习、接受的过程，「由厚到薄」是消化、提炼的过程．经过「由薄到厚」和「由厚到薄」的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，基础就算是真正打好了．）

说明 1.6.1

n

阶行列式的概念

设 $D = | a_{i j} |_{n}$ 是由 $a_{i j}$ 组成的 $n$ 阶行列式，则 $D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}} .$ 若 $a_{i j} \in P (i, j = 1, 2, \dots, n)$ ，则 $D \in P$ ，此处 $P$ 为某个数域．若 $a_{i j}$ 中含有变量，则 $D$ 是一个含有该变量的多项式．因而计算行列式，或求行列式就是要把这个数（或多项式）计算出来．

说明 1.6.2 九类可直接求出的行列式（基本形）

（1）上（下）三角形行列式：主对角线上方（下方）全为零的三角形行列式，其值等于主对角线上元素的乘积 $| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n} .$ （2）副对角线型行列式：除副对角线外其余元素全为零，其值为 $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{n 1} a_{n - 1, 2} \dots a_{2, n - 1} a_{1 n} .$ （3）（4）分块上（下）三角形行列式：对角线上有两块非零方阵，其值等于两个对角块行列式之积 $| \begin{array}{c} A & 0 \\ C & B \end{array} | = | \begin{array}{c} A & C \\ 0 & B \end{array} | = | A | | B | .$ （5）（6）分块副对角线型行列式（「 $O$ 」块在左下或右上），其值等于 $(- 1)^{r s} | A | | B |$ ，其中 $A$ 为 $r$ 阶、 $B$ 为 $s$ 阶方阵．

以上八类行列式称为基本形．另一类已计算出的行列式是范德蒙德行列式 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array} | = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i}) .$

说明 1.6.2 化简的三种基本思路

上述方法局限于九类行列式，一般行列式的计算还是要利用行列式性质，包括展开定理来化简．基本思路有三：

（1）化基本形 将行列式归结化简为上述九类行列式的表达式，利用九类行列式的结果求得．特别如例 1.3.2、例 1.3.3 和例 1.3.4 将行列式化为上三角形的方法，对全由数字组成的行列式具有普遍意义．对于一个 $n$ 较大的 $n$ 阶行列式用计算机计算时，方法之一就是将该行列式化为上三角形来计算的（具体做法可参见第 2 章定理 2.1.2 的证明）．当 $n$ 较小时，即使用手算，该方法也不困难，所以是一个普遍适用的方法．

（2）降阶利用行列式性质将阶数较高的行列式的某一行（列）化为有尽可能多的零，然后按该行（列）展开，逐次降阶，而三阶、二阶行列式有简单的计算公式，从而推导出高阶行列式的计算式，如例 1.4.1．

（3）递推在降阶中找出高阶行列式 $D_{n}$ 与低阶行列式 $D_{r} (r < n)$ 的关系，即递推公式．利用递推公式递推出 $D_{n}$ ，如例 1.4.2 和例 1.4.3．

这些转化过程是要根据不同题型的不同的特点，采用不同的技巧，综合使用．这里难以（其实也不可能）一一罗列，仅举三例，管中窥豹，略见一斑．

例题已掌握

例 1.4.1★★☆☆☆计算题四阶行列式降阶计算展开题目与讲解

例 1.4.1

计算行列式 $D = | \begin{array}{c} - 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \\ - 1 & 1 & 2 & - 2 \end{array} | .$

解先把第 4 列加到第 1 列、第 4 列加到第 3 列： $D \to [C_{3} + C_{4}] C_{1} + C_{4} | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 3 & 4 & 4 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 & - 2 \end{array} | = (- 1)^{2 + 4} (- 1) | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 4 \\ - 3 & 1 & 0 \end{array} |$ 再以第 2 行减去第 1 行的 4 倍，然后按第 2 行展开： $(- 1) | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \end{array} | = (- 1) \cdot (- 1)^{2 + 1} (- 1) | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} | = 1 .$ 故 $D = 1$ ．

例 1.4.2★★★★☆计算题递推法求n阶行列式展开题目与讲解

例 1.4.2

计算 $n (n > 1)$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} x & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{2} & x + a_{1} \end{array} |,$ 此处 $D_{n}$ 的下标 $n$ 表示 $D_{n}$ 的阶数，从而 $D_{k}$ 就表示 $k$ 阶行列式 $D_{k} = | \begin{array}{c} x & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ a_{k} & a_{k - 1} & a_{k - 2} & \dots & a_{2} & x + a_{1} \end{array} | (k = 1, 2, \dots, n - 1, n) .$ 下文的 $D_{n}, D_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ 除特别说明（如 1.5 节的克拉默法则）外，意义同此．

解法一（按第 1 列展开） 第 1 列只有第 1 行的 $x$ 与第 $n$ 行的 $a_{n}$ 非零，故 $D_{n} = x {| \begin{array}{c} x & - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 \\ a_{n - 1} & a_{n - 2} & a_{n - 3} & \dots & x + a_{1} \end{array} |}_{n - 1} + (- 1)^{n + 1} a_{n} {| \begin{array}{c} - 1 & 0 & \dots & 0 \\ x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & x & - 1 \end{array} |}_{n - 1}$ $= x D_{n - 1} + a_{n} .$ 这式子对任何 $n (n \geq 2)$ 都成立，故有 $D_{n} = x D_{n - 1} + a_{n} = x (x D_{n - 2} + a_{n - 1}) + a_{n} = x^{2} D_{n - 2} + a_{n - 1} x + a_{n} = \dots$ $= x^{n - 1} D_{1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} .$ 因 $D_{1} = x + a_{1}$ ，所以 $D_{n} = x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} .$

解法二（化为下三角形） 依次作 $C_{1} + x C_{2}$ ， $C_{1} + x^{2} C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{1} + x^{n - 1} C_{n}$ ，得 $D_{n} \to [C_{1} + x^{2} C_{3} + \dots + x^{n - 1} C_{n}] C_{1} + x C_{2} | \begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x & - 1 \\ y & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{2} & a_{1} + x \end{array} |,$ 其中 $y = a_{n} + a_{n - 1} x + \dots + a_{2} x^{n - 2} + (a_{1} + x) x^{n - 1}$ ．再按第 1 列展开： $D_{n} = (- 1)^{n + 1} y {| \begin{array}{c} - 1 & 0 & \dots & 0 \\ x & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & x & - 1 \end{array} |}_{n - 1} = (- 1)^{2 n} y = y,$ 即 $D_{n} = x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} .$

例 1.4.3★★★☆☆计算题范德蒙德行列式推导展开题目与讲解

例 1.4.3

计算 $n (n > 1)$ 阶行列式 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array} |,$ 这个行列式称为 $n$ 阶范德蒙德（Vandermonde）行列式．

解从第 $n$ 行起，依次将前一行乘以 $a_{n}$ 后减到下一行（即 $R_{n} - a_{n} R_{n - 1}$ ， $R_{n - 1} - a_{n} R_{n - 2}$ ， $\dots$ ， $R_{2} - a_{n} R_{1}$ ），得 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ a_{1} - a_{n} & a_{2} - a_{n} & \dots & a_{n - 1} - a_{n} & 0 \\ a_{1}^{2} - a_{1} a_{n} & a_{2}^{2} - a_{2} a_{n} & \dots & a_{n - 1}^{2} - a_{n - 1} a_{n} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} - a_{1}^{n - 2} a_{n} & a_{2}^{n - 1} - a_{2}^{n - 2} a_{n} & \dots & a_{n - 1}^{n - 1} - a_{n - 1}^{n - 2} a_{n} & 0 \end{array} |$ 按第 $n$ 列展开，再提出各列公因子可得 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}) = (- 1)^{1 + n} (a_{1} - a_{n}) (a_{2} - a_{n}) \dots (a_{n - 1} - a_{n}) | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 2} & a_{2}^{n - 2} & \dots & a_{n - 1}^{n - 2} \end{array} |$ $= (a_{n} - a_{1}) (a_{n} - a_{2}) \dots (a_{n} - a_{n - 1}) D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}),$ 此处 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1})$ 为 $n - 1$ 阶的范德蒙德行列式．上式即为递推公式，于是同样有 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}) = (a_{n - 1} - a_{1}) (a_{n - 1} - a_{2}) \dots (a_{n - 1} - a_{n - 2}) D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 2}) .$ 如此继续可得 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (a_{2} - a_{1}) (a_{3} - a_{1}) \dots (a_{n} - a_{1}) \cdot (a_{3} - a_{2}) \dots (a_{n} - a_{2}) \dots (a_{n} - a_{n - 1})$ $= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i}) .$ 这表明 $n$ 阶范德蒙德行列式 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \neq 0$ 的充要条件为：当 $i \neq j$ 时，有 $a_{i} \neq a_{j} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ ．

例 1.4.4★★☆☆☆计算题范德蒙德行列式的应用展开题目与讲解

例 1.4.4

计算行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & - 2 & 4 & - 8 \end{array} | .$

解 $D$ 是 4 阶范德蒙德行列式 $D (1, - 1, 3, - 2)$ 的转置，所以 $D = D (1, - 1, 3, - 2) = (- 1 - 1) (3 - 1) (- 2 - 1) \cdot (3 + 1) (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 3)$ $= (- 2) \times 2 \times (- 3) \times 4 \times (- 1) \times (- 5) = 240 .$ 即 $D = 12 \times (- 4) \times (- 5) = 240$ ．

例 1.4.5★★★☆☆计算题拉普拉斯定理降阶展开题目与讲解

例 1.4.5

计算 4 阶行列式 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & 0 & 0 & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & 0 & 0 & a_{44} \end{array} | .$

解取定 $D$ 的第 1 行、第 4 行，由这两行构成的所有 2 阶子式应有 $C_{4}^{2} = 6$ 个，但其中 5 个 2 阶子式为零，余下 1 个为 $N_{1} = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{14} \\ a_{41} & a_{44} \end{array} | = a_{11} a_{44} - a_{14} a_{41} .$ 它对应的代数余子式为 $A_{1} = (- 1)^{1 + 4 + 1 + 4} | \begin{array}{c} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} | = a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} .$ 由拉普拉斯定理知 $D = N_{1} A_{1} = (a_{11} a_{44} - a_{14} a_{41}) (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) .$

例 1.4.6★★★☆☆计算题分块行列式的计算展开题目与讲解

例 1.4.6

计算行列式 $D = {| \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} & 0 & \dots & 0 \\ c_{11} & \dots & c_{1 r} & b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{s 1} & \dots & c_{s r} & b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} |}_{r + s} .$

解注意到 $D$ 的右上角的 $r s$ 个元素全为零，故选取 $D$ 的前 $r$ 行．由这 $r$ 行构成的所有 $r$ 阶子式中，仅有左上角的一个可能不为零，于是据拉普拉斯定理有 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{array} | \cdot (- 1)^{1 + 2 + \dots + r + 1 + 2 + \dots + r} | \begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} |$ $= | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} |,$ 即分块上三角形行列式等于两个对角块行列式之积（指数 $2 (1 + 2 + \dots + r)$ 为偶数，故符号为正）．

推论对例 1.4.6 的行列式作适当的行互换、列互换可得： $(1) | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} & c_{11} & \dots & c_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} & c_{r 1} & \dots & c_{r s} \\ 0 & \dots & 0 & b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} |;$ $(2) | \begin{array}{c} 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & a_{r 1} & \dots & a_{r r} \\ b_{11} & \dots & b_{1 s} & c_{11} & \dots & c_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} & c_{s 1} & \dots & c_{s r} \end{array} | = (- 1)^{r s} | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} |;$ $(3) | \begin{array}{c} c_{11} & \dots & c_{1 s} & a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{r 1} & \dots & c_{r s} & a_{r 1} & \dots & a_{r r} \\ b_{11} & \dots & b_{1 s} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} & 0 & \dots & 0 \end{array} | = (- 1)^{r s} | \begin{array}{c} a_{11} & \dots & a_{1 r} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} b_{11} & \dots & b_{1 s} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{s 1} & \dots & b_{s s} \end{array} | .$

例 1.4.7★★☆☆☆判断题行列式相等关系判断展开题目与讲解

例 1.4.7

已知 $D_{1} = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ a & 4 & 0 \\ b & c & 9 \end{array} |, D_{2} = | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & x \\ 9 & y & z \end{array} |,$ $D_{3} = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ e & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ f & g & 3 & 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 & 0 & 1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 2 & u \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 3 & v & t \end{array} |, D_{4} = | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & f & g & 3 \\ 0 & 0 & 1 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 2 & u & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 3 & v & t & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array} |,$ 则与 $D_{1}$ 相等的行列式是______．

解计算得 $D_{1} = 36$ ， $D_{2} = - 36$ ， $D_{3} = - 36$ ， $D_{4} = 36$ ．所以应填 $D_{4}$ ．

（ $D_{1}$ 为下三角形， $D_{1} = 1 \times 4 \times 9 = 36$ ； $D_{2}$ 按第 1 行展开得 $- (4 \times 9) = - 36$ ； $D_{3}$ 为分块上三角形（右上为零块）， $D_{3} = 6 \times (- 6) = - 36$ ； $D_{4}$ 为分块副对角线型，取 $r = s = 3$ ，符号为 $(- 1)^{3 \times 3} = - 1$ ，故 $D_{4} = (- 1) \times 6 \times (- 6) = 36$ ．）

例 1.5.1★★☆☆☆计算题克拉默法则解四元方程组展开题目与讲解

例 1.5.1

求解线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} = 1, \\ 3 x_{1} - x_{2} - x_{3} - 2 x_{4} = - 4, \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - x_{4} = - 6, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} - x_{4} = - 4 . \end{cases}$

解计算系数行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 3 & - 1 \end{array} | = - 153 \neq 0,$ 及 $D_{1} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ - 4 & - 1 & - 1 & - 2 \\ - 6 & 3 & - 1 & - 1 \\ - 4 & 2 & 3 & - 1 \end{array} | = 153, D_{2} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & - 4 & - 1 & - 2 \\ 2 & - 6 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 4 & 3 & - 1 \end{array} | = 153,$ $D_{3} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 3 & - 1 & - 4 & - 2 \\ 2 & 3 & - 6 & - 1 \\ 1 & 2 & - 4 & - 1 \end{array} | = 0, D_{4} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & - 1 & - 4 \\ 2 & 3 & - 1 & - 6 \\ 1 & 2 & 3 & - 4 \end{array} | = - 153 .$ 由克拉默法则得，方程组惟一解为 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = - 1, x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = - 1, x_{3} = \frac{D_{3}}{D} = 0, x_{4} = \frac{D_{4}}{D} = 1 .$

例 1.5.2★★★☆☆计算题范德蒙德型方程组求解展开题目与讲解

例 1.5.2

设 $a_{i} \neq a_{j} (i \neq j, i, j = 1, 2, \dots, n)$ ，求解方程组 ${\begin{cases} x_{1} + a_{1} x_{2} + a_{1}^{2} x_{3} + \dots + a_{1}^{n - 1} x_{n} = 1, \\ x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{2}^{2} x_{3} + \dots + a_{2}^{n - 1} x_{n} = 1, \\ x_{1} + a_{3} x_{2} + a_{3}^{2} x_{3} + \dots + a_{3}^{n - 1} x_{n} = 1, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{1} + a_{n} x_{2} + a_{n}^{2} x_{3} + \dots + a_{n}^{n - 1} x_{n} = 1 . \end{cases}$

解该方程的系数行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \dots & a_{1}^{n - 1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & \dots & a_{2}^{n - 1} \\ 1 & a_{3} & a_{3}^{2} & \dots & a_{3}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array} |$ 为 $n$ 阶范德蒙德行列式 $D (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的转置，故 $D = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (a_{j} - a_{i}) \neq 0 .$ 由克拉默法则知有惟一解．

计算得： $D_{1} = D$ ，当 $j \geq 2$ 时 $D_{j} = | \begin{array}{c} 1 & \dots & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & \dots & 1 & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & \dots & 1 & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{array} | = 0,$ （第 $j$ 列与第 1 列全同，故 $D_{j} = 0$ ．）

故方程组惟一解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = \dots = x_{n} = 0$ ．

例 1.5.3★★☆☆☆计算题齐次方程组只有零解的条件展开题目与讲解

例 1.5.3

问 $λ$ 取何值时，线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 0, \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 0, \\ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \end{cases}$ 一定只有零解？

解该方程组的系数行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & 1 & λ \\ 1 & λ & 1 \\ λ & 1 & 1 \end{array} | = - (λ - 1)^{2} (λ + 2) .$ 由性质 1.5.1 知，当 $λ \neq 1$ ，且 $λ \neq - 2$ 时该方程组只有零解．

例 1.6.1★★★★★计算题2n阶行列式多种解法展开题目与讲解

例 1.6.1

计算 $2 n$ 阶行列式 $D_{2 n} = {| \begin{array}{c} a & b \\ a & b \\ ⋱ & ⋱ \\ a & b \\ b & a \\ ⋱ & ⋱ \\ b & a \\ b & a \end{array} |}_{2 n}$ （未标明处为零；上图为 $2 n = 8$ 的示意， $a$ 分布在主对角线两端、 $b$ 分布在副对角线两端．）

解法一（归化为基本形）（1）以第 1 行减第 $2 n$ 行、第 2 行减第 $2 n - 1$ 行、 $\dots$ 、第 $n$ 行减第 $n + 1$ 行，得 $D_{2 n} \to [R_{n} - R_{n + 1}] R_{1} - R_{2 n}, R_{2} - R_{2 n - 1}, \dots | \begin{array}{c} a - b & b - a \\ a - b & b - a \\ ⋱ & ⋱ \\ a - b & b - a \\ b & a \\ ⋱ & ⋱ \\ b & a \\ b & a \end{array} |$ 再以第 $n + 1$ 列加第 $n$ 列、第 $n + 2$ 列加第 $n - 1$ 列、 $\dots$ 、第 $2 n$ 列加第 1 列，得 $D_{2 n} \to [C_{2 n} + C_{1}] C_{n + 1} + C_{n}, C_{n + 2} + C_{n - 1}, \dots | \begin{array}{c} a - b \\ a - b \\ ⋱ \\ a - b \\ a + b \\ ⋱ \\ a + b \\ a + b \end{array} |$ $= (a^{2} - b^{2})^{n} .$ （2）若 $a = 0$ ，则 $D_{2 n} = (- 1)^{\frac{2 n (2 n - 1)}{2}} b^{2 n} = (- 1)^{n} b^{2 n}$ ．

若 $a \neq 0$ ，则以 $- \frac{b}{a}$ 乘第 1 行加到第 $2 n$ 行、乘第 2 行加到第 $2 n - 1$ 行、 $\dots$ 、乘第 $n$ 行加到第 $n + 1$ 行，得 $D_{2 n} \to [R_{n + 1} - \frac{b}{a} R_{n}] R_{2 n} - \frac{b}{a} R_{1}, R_{2 n - 1} - \frac{b}{a} R_{2}, \dots | \begin{array}{c} a & b \\ a & b \\ ⋱ & ⋱ \\ a & b \\ a - \frac{b^{2}}{a} \\ ⋱ \\ a - \frac{b^{2}}{a} \\ a - \frac{b^{2}}{a} \end{array} |$ $= a^{n} (a - \frac{b^{2}}{a})^{n} = (a^{2} - b^{2})^{n} .$

解法二（递推）（1）利用拉普拉斯定理，按第 1 行、第 $2 n$ 行展开： $D_{2 n} = | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} | D_{2 n - 2} = (a^{2} - b^{2}) D_{2 n - 2}$ 反复用递推公式，得 $D_{2 n} = (a^{2} - b^{2})^{2} D_{2 n - 4} = \dots = (a^{2} - b^{2})^{n - 1} | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} | = (a^{2} - b^{2})^{n} .$ （2）把 $D_{2 n}$ 按第 1 行展开： $D_{2 n} = a \cdot (- 1)^{1 + 1} D_{2 n - 2}^{'} + b \cdot (- 1)^{1 + 2 n} D_{2 n - 2}^{''}$ $= a^{2} (- 1)^{2 n - 1 + 2 n - 1} D_{2 n - 2} - b^{2} (- 1)^{2 n - 1 + 1} D_{2 n - 2} = (a^{2} - b^{2}) D_{2 n - 2},$ 再递推即得 $D_{2 n} = (a^{2} - b^{2})^{n}$ ．

（3）先以第 1 行加第 $2 n$ 行，得第 $2 n$ 行的首元为 $a + b$ 、末元为 $a + b$ ；再以第 $2 n$ 列减第 1 列，然后按第 $2 n$ 行、第 1 列展开并递推，同样得 $D_{2 n} = (a^{2} - b^{2})^{n - 1} | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} | = (a^{2} - b^{2})^{n} .$

附记在用 $\frac{b}{a}$ 去乘行列式某行（列）时，必须要有 $a \neq 0$ （ $a = 0$ 时需另行讨论）．

例 1.6.2★★★★☆计算题三对角行列式递推展开题目与讲解

例 1.6.2

计算 $n + 1$ 阶行列式 $D_{n + 1} = {| \begin{array}{c} 1 & a_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 - a_{1} & a_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 - a_{2} & a_{3} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 - a_{n - 1} & a_{n} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 - a_{n} \end{array} |}_{n + 1} .$

解法一 将 $D_{n + 1}$ 按第 $n + 1$ 行展开得 $D_{n + 1} = (1 - a_{n}) D_{n} + a_{n} D_{n - 1} .$ 从而 $D_{n + 1} - D_{n} = - a_{n} (D_{n} - D_{n - 1}), ①$ $D_{n} - D_{n - 1} = - a_{n - 1} (D_{n - 1} - D_{n - 2}) . ②$ 将 ② 式代入 ① 式 $D_{n + 1} - D_{n} = (- a_{n}) (- a_{n - 1}) (D_{n - 1} - D_{n - 2}) = \dots = (- 1)^{n - 1} a_{n} a_{n - 1} \dots a_{3} a_{2} (D_{2} - D_{1}) .$ 由 $D_{1} = 1$ ， $D_{2} = 1$ 得递推公式 $D_{n + 1} = D_{n}$ ，从而 $D_{n + 1} = D_{n} = \dots = D_{2} = D_{1} = 1 .$

解法二 将 $D_{n + 1}$ 的第 1 行加到第 2 行上，再将新得的第 2 行加到第 3 行上，如此继续直到将所得新的第 $n$ 行加到第 $n + 1$ 行上．这时有 $D_{n + 1} = | \begin{array}{c} 1 & a_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a_{3} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} | = 1 .$

例 1.6.3★★★★☆计算题递推法与拆列法展开题目与讲解

例 1.6.3

计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = {| \begin{array}{c} 1 - a_{1} & a_{2} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 - a_{2} & a_{3} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 - a_{3} & a_{4} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 - a_{n - 1} & a_{n} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 - a_{n} \end{array} |}_{n} .$

解按 $D_{n}$ 的第 $n$ 行展开，如例 1.6.2 可得递推公式 $D_{n} = D_{n - 1} + (- 1)^{n} a_{n} a_{n - 1} \dots a_{2} a_{1} .$ 递推得 $D_{n} = 1 + (- 1) a_{1} + (- 1)^{2} a_{1} a_{2} + \dots + (- 1)^{n} a_{1} a_{2} \dots a_{n} .$

另一种解法是将 $D_{n}$ 的第 $n$ 列改写为 $0 + 0, 0 + 0, \dots, 0 + a_{n}, 1 + (- a_{n}),$ 这样 $D_{n}$ 可拆成两个 $n$ 阶行列式 $D^{'}$ 与 $D^{''}$ 的和．对 $D^{'}$ 按第 $n$ 列展开得 $D^{'} = D_{n - 1}$ ．对 $D^{''}$ 将第 $n$ 行加到第 $n - 1$ 行上，再将新得的第 $n - 1$ 行加到第 $n - 2$ 行上，如此继续直到将新得的第 2 行加到第 1 行上，可将 $D^{''}$ 化为基本形（与例 1.6.2 的解法二是类似的），求出 $D^{''} = (- 1)^{n} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，从而得到递推公式 $D_{n} = D_{n - 1} + (- 1)^{n} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ．同样可得结果．

02第二章线性方程组

一§2.1 消元法选自 §2.14 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义　线性方程组的初等变换

分析上例，我们对方程组施行了三种变换：

（1）交换两个方程的位置；

（2）用一个不等于零的数乘某一个方程；

（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上.

称这三种变换为线性方程组的初等变换.

定义 2.1.1　矩阵

由 $s t$ 个数 $c_{i j} (i = 1, 2, \dots, s; j = 1, 2, \dots, t)$ 排成一个 $s$ 行 $t$ 列的矩形数阵

(\begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 t} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{s 1} & c_{s 2} & \dots & c_{s t} \end{array}),

称为一个 $s$ 行 $t$ 列（或 $s \times t$ ）矩阵，简记为 $[c_{i j}]_{s \times t}$ . 横写的称为行，从上到下分别称为第 1，第 2， $\dots$ ，第 $s$ 行. 竖写的称为列，从左到右分别称为第 1，第 2， $\dots$ ，第 $t$ 列. $c_{i j}$ 是位于第 $i$ 行第 $j$ 列的元素.

定义　矩阵的初等行（列）变换

对照线性方程组的初等变换引入下面的定义.

矩阵的初等行（列）变换是对一个矩阵施行下列变换：

（1）交换矩阵的两行（列），如第 $i$ ，第 $j$ 行（列）的位置. 记为 $R_{i j} (C_{i j})$ ，简称为互换；

（2）用一个不等于零的数 $k$ 乘矩阵的某一行（列），如第 $i$ 行（列），即用 $k$ 乘矩阵第 $i$ 行（列）的每一个元素. 记为 $k R_{i} (k C_{i})$ ，简称为倍乘；

（3）用某一个数 $k$ 乘矩阵的某一行（列），如第 $j$ 行（列）后加到另一行（列），如第 $i$ 行（列）上，即用 $k$ 乘矩阵的第 $j$ 行（列）的每一个元素后加到第 $i$ 行（列）的对应元素上. 记为 $R_{i} + k R_{j} (C_{i} + k C_{j})$ ，简称为倍加.

定义 2.1.3　阶梯形矩阵

为了描述形如 (2.1.4) 的矩阵 $B$ ，引入概念.

设 $m \times n$ 矩阵 $A = [a_{i j}]$ 的前 $r (r \leq m)$ 行均不全为零，其余行全为零. $A$ 的第 $k (k = 1, 2, \dots, r)$ 行第 1 个非零元素为 $a_{k j_{k}}$ 满足

j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r},

则称 $A$ 为阶梯形矩阵，且称 $a_{k j_{k}}$ 为阶梯头.

定义　约化阶梯形矩阵（行最简形）

若阶梯形矩阵 $A$ 的每一个阶梯头均为 1，且阶梯头所在的列其他元素均为零，则称 $A$ 为约化阶梯形矩阵（也称为行最简形）.

定理已掌握+

定理 2.1.1　初等变换保持同解性

一般地由初等代数知识可推知以下定理成立.

初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.

定理 2.1.2　矩阵的初等行变换化简

设 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ，且 $a_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 不全为零. 通过初等行变换和列互换能把 $A$ 化为

B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & c_{1, r + 1} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & c_{2, r + 1} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & c_{r, r + 1} & \dots & c_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}) .

证　若 $a_{11} \neq 0$ ，则可开始讨论，否则因 $a_{i j}$ 不全为零，故必有某个 $a_{k l} \neq 0$ . 通过适当的行互换、列互换可使这个非零元素位于矩阵左上角，再开始讨论. 用 $a_{11}^{- 1}$ 乘第 1 行，然后将第 $i$ 行加上第 1 行的适当倍数 $(i = 2, \dots, m)$ ，矩阵 $A$ 化为

(\begin{array}{c} 1 & a'_{12} & a'_{13} & \dots & a'_{1 n} \\ 0 \\ 0 & A_{1} \\ ⋮ \\ 0 \end{array}),

此处 $A_{1}$ 是一个 $(m - 1) \times (n - 1)$ 矩阵.

若 $A_{1}$ 的元素全为零，则定理得证. 此时 $r = 1$ . 否则对 $A_{1}$ 重复对 $A$ 的讨论. 如此继续， $A$ 可化为

(\begin{array}{c} 1 & a''_{12} & a''_{13} & \dots & a''_{1 r} & a''_{1, r + 1} & \dots & a''_{1 n} \\ 0 & 1 & a''_{23} & \dots & a''_{2 r} & a''_{2, r + 1} & \dots & a''_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a''_{r, r + 1} & \dots & a''_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}) .

再将矩阵的第 $1, 2, \dots, r - 1$ 行分别减去第 $r$ 行的 $a''_{1 r}$ 倍， $a''_{2 r}$ 倍， $\dots$ ， $a''_{r - 1, r}$ 倍；将第 $1, 2, \dots, r - 2$ 行分别减去第 $r - 1$ 行的 $a''_{1, r - 1}$ 倍， $a''_{2, r - 1}$ 倍， $\dots$ ， $a''_{r - 2, r - 1}$ 倍，如此等等，即可把矩阵化为矩阵 $B$ . 定理得证.

说明已掌握+

引言　从克拉默法则到一般线性方程组

上一章我们只讨论了方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组解的公式. 这一章我们要讨论一般线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} . \end{cases}

解这种线性方程组，基本的也比较方便的方法还是我们中学就熟悉的消元法.

消元法的实质

这样消元法的实质是利用初等变换化简线性方程组. 即对给定的线性方程组反复施行初等变换，得到一连串与原线性方程组同解的线性方程组，使得某些未知量在线性方程组中出现次数逐渐减少，最终得到容易求出解的线性方程组. 而该线性方程组的解即为原线性方程组的解.

为何可以只看系数与常数项

据此我们来研究初等变换能把一般线性方程组 (2.1.1) 化简到何种形式，进而解决 (2.1.1) 的求解问题.

线性方程组 (2.1.1) 有没有解及有些什么样的解，完全决定于其未知量的系数和常数项. 因此在讨论线性方程组，如消元时主要研究它的系数和常数项的变化.

用线性方程组 (2.1.1) 未知量的系数可排成如下一个表

(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}),

用 (2.1.1) 未知量的系数和常数项可以排成

\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{array},

为了区分系数和常数，两者之间用虚线分隔.

矩阵相等的含义

$s \times t$ 矩阵是由 $s t$ 个数组成的一个整体概念，所以两个 $s \times t$ 矩阵 $[b_{i j}]_{s \times t}$ 和 $[c_{i j}]_{s \times t}$ 当且仅当 $b_{i j} = c_{i j} (i = 1, 2, \dots, s; j = 1, 2, \dots, t)$ ，才认为 $[b_{i j}]_{s \times t} = [c_{i j}]_{s \times t}$ .

系数矩阵与增广矩阵

于是可将矩阵 (2.1.2) 称为线性方程组 (2.1.1) 的系数矩阵，记为 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ . 将矩阵 (2.1.3) 称为线性方程组 (2.1.1) 的增广矩阵，记为 $\overline{A}$ . 线性方程组的增广矩阵显然完全能够代表这个方程组.

初等变换与增广矩阵的关系

显然对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的初等行变换. 而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩阵.

对于一个线性方程组施行初等变换的目的是消元，也就是把方程组左端化简，对应地说用初等行变换化简线性方程组的系数矩阵. 此时为了叙述方便，除了初等行变换外，还允许交换系数矩阵的两列，而这相当于方程组中未知量重新编号，所以对线性方程组的解没有实质性的影响.

对一个矩阵用初等行变换和列互换化简能为何种形式？一般情况有如下结论.

阶梯形矩阵与约化阶梯形矩阵的例

据此定义 (2.1.4) 的矩阵 $B$ 为约化阶梯形矩阵，同样地下到矩阵均为阶梯形矩阵，且后两个矩阵为约化阶梯形

(\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 & 5 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}), (\begin{array}{c} 0 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) .

遗留问题：非零行行数是否唯一确定

从解线性方程组的角度看，定理 2.1.2 是说 $m$ 个线性方程，可化简（归结）为 $r$ 个线性方程来求解. 至此就会产生这样一个问题： $r$ 这个数是由原线性方程组所唯一确定，还是随着不同的初等行（列）变换过程而变化的？或者问一个矩阵用初等行（列）变换化简为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中不全为零的行数是否唯一确定？为此我们将在下一节引入一个概念来解决此问题.

例题已掌握

例 2.1.1 用消元法解线性方程组★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 2.1.1 用消元法解线性方程组

解线性方程组

(I) {\begin{cases} 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 5, \\ x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = - 2, \\ 4 x_{1} - 2 x_{2} + 7 x_{3} = - 7, \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 3 . \end{cases}

(I) 中自上而下各方程依次记为 ①，②，③，④.

解　首先消去 ①，③，④ 中的 $x_{1}$ . 为此 ② $\times (- 2)$ 加到 ① 上得 ⑤，② $\times (- 4)$ 加到 ③ 上得 ⑥，② $\times (- 1)$ 加到 ④ 上得 ⑦，并交换 ②，⑤ 位置，这样由 (I) 得到与其同解的方程组

(II) {\begin{cases} x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = - 2, \\ x_{2} + 3 x_{3} = - 1, \\ 6 x_{2} + 11 x_{3} = 1, \\ x_{2} + 3 x_{3} = - 1, \end{cases}

其中自上而下各方程依次为原来的 ②，⑤，⑥，⑦.

继续消去 ⑥，⑦ 中的 $x_{2}$ . 为此 ⑤ $\times (- 6)$ 加到 ⑥ 上得到 ⑧，⑤ $\times (- 1)$ 加到 ⑦ 上得到 ⑨，即得与 (II) 同解的

(III) {\begin{cases} x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = - 2, \\ x_{2} + 3 x_{3} = - 1, \\ - 7 x_{3} = 7, \\ 0 x_{3} = 0, \end{cases}

其中自上而下各方程依次为 ②，⑤，⑧，⑨.

(III) 就容易求解. 因 ⑨ 是一个恒等式，故求解方程组时可不考虑. 将 ⑤ $\times 2$ 与 ⑧ $\times \frac{5}{7}$ 一起加到 ② 上，将 ⑧ $\times \frac{3}{7}$ 加到 ⑤ 上，⑧ $\times (- \frac{1}{7})$ 得同解的

(IV) {\begin{cases} x_{1} = 1, \\ x_{2} = 2, \\ x_{3} = - 1, \\ 0 x_{3} = 0 . \end{cases}

并且由前述知，(IV) 的解即 (I) 的解. 从而得出 (I) 的解为

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = - 1 .

二§2.2 矩阵的秩选自 §2.25 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 2.2.1　

k

阶子式

在一个 $m \times n$ 矩阵中，任取 $k$ 行 $k$ 列 $(k \leq m, k \leq n)$ ，位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的 $k$ 阶行列式称为这个矩阵的一个 $k$ 阶子式.

定义 2.2.2　矩阵的秩

一个矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ 中不为零的子式的最大阶数称为这个矩阵的秩，记为 $r (A)$ . 若一个矩阵没有不等于零的子式（相当于该矩阵的元素全为零），就认为这个矩阵的秩为零.

按此定义阶梯形矩阵的秩为其不全为零的行的行数.

定理已掌握+

定理 2.2.1　秩为

r

的等价描述

由性质 2.2.1 可得出矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的一个等价描述.

$r (A) = r$ 的充要条件为 $A$ 有 $r$ 阶子式不为零，而所有的 $r + 1$ 阶子式（如果有）全为零.

定理 2.2.2　初等行（列）变换不改变矩阵的秩

前已阐明 $r (B) = r$ . 下面将证明 $r$ 也是线性方程组 (2.1.1) 的系数矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ 的秩. 为此只需证明下面的定理.

初等行（列）变换不改变矩阵的秩.

证　对三种初等行变换逐个证明.

（1）互换. 设矩阵 $A$ 经 $R_{i j}$ 得到 $B$ ，则 $B$ 中任何一个子式或为 $A$ 中的一个子式，或经过适当的行变换可成为 $A$ 的一个子式. 反之亦然，故两者最多只能有符号差别，而是否为零的性质不变. 因此 $r (A) = r (B)$ .

（2）倍乘. 设矩阵 $A$ 经 $k R_{i} (k \neq 0)$ 得到 $C$ ，则 $C$ 中任何一个子式或为 $A$ 的一个子式，或为 $A$ 中相应子式的 $k$ 倍. 反之亦然，现 $k \neq 0$ ，因而两者是否为零的性质不变. 故 $r (A) = r (C)$ .

（3）倍加. 设矩阵 $A$ 经过 $R_{i} + k R_{j}$ 得到 $G$ . 设 $r (A) = r$ . 现考虑 $G$ 中任意一个 $r + 1$ 阶子式（如果有） $M$ ，则 $M$ 有三种可能：

1） $M$ 不包含 $G$ 中的第 $i$ 行元素. 这时 $M$ 为 $A$ 的一个 $r + 1$ 阶子式，故 $M = 0$ .

2） $M$ 包含 $G$ 中的第 $i$ 行元素，同时也包含 $G$ 中的第 $j$ 行元素. 这时可由行列式性质 6 得， $M = 0$ .

3） $M$ 包含 $G$ 中的第 $i$ 行元素，但不包含 $G$ 中的第 $j$ 行元素. 此时

M = | \begin{array}{c} ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i, t_{1}} + k a_{j, t_{1}} & a_{i, t_{2}} + k a_{j, t_{2}} & \dots & a_{i, t_{r + 1}} + k a_{j, t_{r + 1}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array} |

= | \begin{array}{c} ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i, t_{1}} & a_{i, t_{2}} & \dots & a_{i, t_{r + 1}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array} | + k | \begin{array}{c} ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j, t_{1}} & a_{j, t_{2}} & \dots & a_{j, t_{r + 1}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array} |

记为 $M_{1} + k M_{2}$ ，其中 $M_{1}$ 为 $A$ 的一个 $r + 1$ 阶子式，故 $M_{1} = 0$ . 而 $M_{2}$ 经适当行交换后为 $A$ 的一个 $r + 1$ 阶子式，用行列式性质 2 知， $M_{2} = 0$ . 从而 $M = 0$ .

综上所述 $G$ 中所有 $r + 1$ 阶子式全为零，所以 $r (G) \leq r = r (A)$ .

另一方面 $G$ 经 $R_{i} + (- k) R_{j}$ 得到 $A$ . 同理可得 $r (A) \leq r (G)$ . 从而 $r (A) = r (G)$ .

至此我们证明了初等行变换不改变矩阵的秩. 同理可证初等列变换不改变矩阵的秩. 定理得证.

性质已掌握+

性质 2.2.1　秩的两个估计

在确定矩阵秩时，用下面的性质是简便的.

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵.

（1）若 $A$ 有 $r$ 阶子式不为零，则 $r (A) \geq r$ .

（2）若 $A$ 的所有 $r + 1$ 阶子式全为零，则 $r (A) \leq r$ .

证　（1）是显然的.

（2）因 $A$ 的任意一个 $r + 2$ 阶子式（如果有），可按定理 1.4.1 展开为 $r + 2$ 个 $r + 1$ 阶子式与一些数相乘后的和，从而必为零. 据此可推出 $A$ 的任意一个阶数大于 $r$ 的子式（如果有）必为零. 所以 $A$ 的不为零的子式的阶数 $\leq r$ ，即 $r (A) \leq r$ .

性质 2.2.2　秩与阶数的关系

由定义 2.2.1 可直接得出下述性质.

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $r (A) \leq m$ ， $r (A) \leq n$ .

性质 2.2.3　

n

阶矩阵满秩的充要条件

设 $A = [a_{i j}]$ 是 $n \times n$ 矩阵，则

（1） $r (A) = n$ 的充要条件为 $| a_{i j} |_{n} \neq 0$ .

（2） $r (A) < n$ 的充要条件为 $| a_{i j} |_{n} = 0$ .

称 $r (A) = n$ 的 $n \times n$ 矩阵为满秩矩阵.

说明已掌握+

约化阶梯形矩阵的秩为

r

在 2.1 节中约化阶梯形矩阵 (2.1.4)

B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & c_{1, r + 1} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & c_{2, r + 1} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & c_{r, r + 1} & \dots & c_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array})

中，由第 $1$ ，第 $2$ ， $\dots$ ，第 $r$ 行；第 $1$ ，第 $2$ ， $\dots$ ，第 $r$ 列组成的 $r$ 阶子式为

| \begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} | = 1 \neq 0 .

但矩阵 $B$ 不含阶数高于 $r$ 的非零子式. 这是因为当 $r = m$ ，或 $r = n$ 时，矩阵 $B$ 根本不含阶数高于 $r$ 的子式；而当 $r < m$ ，且 $r < n$ 时，矩阵 $B$ 的任何一个阶数高于 $r$ 的子式都至少有一行元素全为零，因而该子式必为零. 这样 $r$ 为矩阵 $B$ 中不为零的子式的最大阶数.

同样道理可以证明：前 $r$ 行均不全为零，其余行全为零的阶梯形矩阵不为零的子式的最大阶数为 $r$ .

上节遗留问题的解答

现在我们解答了上节所提出的问题：将一个线性方程组的增广矩阵经过一系列初等行变换和列互换，最后得到阶梯形矩阵中由不全为零组成行的个数 $r$ 即为增广矩阵的秩，从而 $r$ 是由线性方程组唯一确定的.

接下来讨论矩阵秩的一些简单性质和求一个矩阵秩的方法.

求矩阵秩的常用方法

定理 2.2.2 给出了求矩阵秩的一个常用方法：将矩阵通过初等行（列）变换化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩为其不全为零的行的个数，而所得阶梯形矩阵的秩即为原矩阵的秩.

注记　与计算行列式化简的区别

注记　1.3 节例 1.3.5 计算行列式

D = | \begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array} |,

方法二中的化简和这里对矩阵 $A$ 所施行的变换非常类似，但前者化简过程可用等号连结，这里只能用箭头表示，因施行初等变换后的矩阵改变了.

例题已掌握

例 2.2.1 求含参数矩阵的秩★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 2.2.1 求含参数矩阵的秩

设矩阵

A = (\begin{array}{c} 2 & k & - 1 \\ k & - 1 & 1 \\ 4 & 5 & - 5 \end{array}),

求 $r (A)$ .

解　对 $A$ 依次施行 $R_{2} + R_{1}$ ， $R_{3} - 5 R_{1}$ ，得

(\begin{array}{c} 2 & k & - 1 \\ k + 2 & k - 1 & 0 \\ - 6 & - 5 k + 5 & 0 \end{array});

再施行 $R_{3} + 5 R_{2}$ ，得

(\begin{array}{c} 2 & k & - 1 \\ k + 2 & k - 1 & 0 \\ 5 k + 4 & 0 & 0 \end{array});

最后交换第 1，3 两列（ $C_{13}$ ），得

(\begin{array}{c} - 1 & k & 2 \\ 0 & k - 1 & k + 2 \\ 0 & 0 & 5 k + 4 \end{array}) .

据此，当 $k \neq 1$ ，且 $k \neq - \frac{4}{5}$ 时， $r (A) = 3$ ；当 $k = - \frac{4}{5}$ 时， $r (A) = 2$ ；当 $k = 1$ 时， $r (A) = 2$ .

例 2.2.2 求 $a$ 在对角线上、$b$ 在其余位置的 $n$ 阶矩阵的秩★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 2.2.2 求 $a$ 在对角线上、 $b$ 在其余位置的 $n$ 阶矩阵的秩

求 $n \times n (n > 1)$ 矩阵

A = (\begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array})

的秩.

解　对 $A$ 依次施行 $R_{2} - R_{1}$ ， $R_{3} - R_{1}$ ， $\dots$ ， $R_{n} - R_{1}$ ，得

(\begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b - a & a - b & 0 & \dots & 0 \\ b - a & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b - a & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array});

再施行 $C_{1} + \sum_{j = 2}^{n} C_{j}$ ，得

(\begin{array}{c} a + (n - 1) b & b & b & \dots & b \\ 0 & a - b & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array}) .

（1） $a = b$ 时：若 $a = b = 0$ ，则 $r (A) = 0$ ；若 $a = b \neq 0$ ，则 $r (A) = 1$ .

（2） $a \neq b$ 时：若 $a + (n - 1) b = 0$ ，则 $r (A) = n - 1$ ；若 $a + (n - 1) b \neq 0$ ，则 $r (A) = n$ .

三§2.3 解线性方程组选自 §2.33 个知识分组 · 含例题

定理已掌握+

定理 2.3.1　线性方程组有解的判定与解的结构

线性方程组 (I) 有解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r = r (A)$ .

在有解条件下

（1）(I) 有惟一解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A) = r = n$ （未知量个数）.

（2）(I) 有无穷多个解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A) = r < n$ （未知量个数），此时 (I) 的解中有 $n - r$ 个自由未知量.

（3）若 $a_{i j} \in P$ ， $b_{k} \in P (i, k = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ ， $P$ 为某个数域，且自由未知量（如果有）均在 $P$ 中取值，则所有解中的数均属数域 $P$ .

证　从上面推导知仅需证明 (1)，(2) 的必要性及 (3) 即可.

现用反证法证 (1) 的必要性：若 (I) 有惟一解，但 $r (A) = r \neq n$ ，则 $r (A) < n$ . 据 (2) 的充分性知 (I) 有无穷多个解，此为矛盾. 故 (1) 的必要性成立.

同理可证 (2) 的必要性成立.

现证 (3). 当 (I) 有解时，据前述知解是由 $a_{i j}$ ， $b_{k}$ 经过加、减、乘、除四则运算得到的. 故当 $a_{i j}$ ， $b_{k}$ 均属 $P$ ，且自由未知量（如果有）均在 $P$ 中取值时，所有的解中数均属 $P$ .

定理 2.3.2　齐次线性方程组解的情况

上述定理表明：线性方程组 (I) 的解是由它的增广矩阵 $\overline{A}$ 的秩和系数矩阵 $A$ 的秩决定的. 为了求出 $r (\overline{A})$ 和 $r (A)$ ，通常是对 $\overline{A}$ 施行初等行变换化阶梯形.

在线性方程组 (I) 中若常数项 $b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0$ ，则称其为齐次线性方程组（否则称其为非齐次线性方程组）. 齐次线性方程组是一类特殊的线性方程组，所以可直接应用定理 2.3.1 来讨论它的解. 首先齐次线性方程组是一定有解的，因为

x_{1} = 0, x_{2} = 0, \dots, x_{n} = 0

是它的一组解，这个解称为零解. 如果齐次线性方程组还有其他解，则称为非零解. 这也表明齐次线性方程组解惟一相当于它只有零解. 从而当齐次线性方程组有非零解时，它的解就不惟一，据定理 2.3.1 它就有无穷多个解. 故可有如下定理.

齐次线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = 0 \end{cases} (III)

解的情况如下：

（1）(III) 只有零解 $\Leftrightarrow r (A) = r = n$ （未知量个数）.

（2）(III) 有非零解 $\Leftrightarrow r (A) = r < n$ （未知量个数），此时解中有 $n - r$ 个自由未知量.

（3）若 $a_{i j} \in P (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ ， $P$ 为某个数域，且自由未知量（如果有）均在 $P$ 中取值，则所有的解中的数均属 $P$ .

此定理表明：齐次线性方程组的解是由它的系数矩阵 $A$ 的秩决定的. 因此解齐次线性方程组通常是对 $A$ 施行初等行变换化阶梯形.

推论 1　

m = n

时非齐次方程组有惟一解的判据

当 $m = n$ 时，我们将性质 2.2.3 运用于定理 2.3.1 和定理 2.3.2 可得下面结论.

当 $m = n$ 时，(I) 有惟一解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} \neq 0$ .

推论 2　

m = n

时齐次方程组只有零解的判据

当 $m = n$ 时，(III) 只有零解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} \neq 0$ .

(III) 有非零解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} = 0$ .

易见推论 1 是第 1 章克拉默法则的加强. 推论 2 是第 1 章性质 1.5.1 的加强.

说明已掌握+

引言　把一般线性方程组化为阶梯形

有了前两节的准备，现在就可以来解一般线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} . \end{cases} (1)

记 (1) 的系数矩阵为 $A_{m \times n} = [a_{i j}]_{m \times n}$ ，增广矩阵为 $\overline{A}$ . 设 $r (A) = r > 0$ . 综合定理 2.1.2 和定理 2.2.2 知，可通过初等行变换和列互换把 $A$ 化为

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & c_{1, r + 1} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & c_{2, r + 1} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & c_{r, r + 1} & \dots & c_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}),

同样的这些变换把 $\overline{A}$ 化为

\begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & c_{1, r + 1} & \dots & c_{1 n} & d_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & c_{2, r + 1} & \dots & c_{2 n} & d_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & c_{r, r + 1} & \dots & c_{r n} & d_{r} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{r + 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 & d_{m} \end{array} .

这表明 (1) 与下列线性方程组 (II) 同解（最多只有未知量编号次序上的差别）：

(II) {\begin{cases} x_{1} + c_{1, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{1 n} x_{n} = d_{1}, \\ x_{2} + c_{2, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{2 n} x_{n} = d_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{r} + c_{r, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{r n} x_{n} = d_{r}, \\ 0 x_{1} + 0 x_{2} + \dots + 0 x_{n} = d_{r + 1}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ 0 x_{1} + 0 x_{2} + \dots + 0 x_{n} = d_{m} . \end{cases}

有解的充要条件与解的结构

易见 (II) 有解的充要条件为： $d_{r + 1} = \dots = d_{m} = 0$ . 这相当于说 $r (\overline{A}) = r$ ，从而可得 (I) 有解的充要条件为： $r (\overline{A}) = r = r (A)$ .

在有解条件下，进而讨论如何确定解.

1. 若 $r = n$ ，方程组中如有恒等式就去掉，则 (II) 成为

{\begin{cases} x_{1} = d_{1}, \\ x_{2} = d_{2}, \\ \dots \dots \\ x_{n} = d_{n} . \end{cases}

这表明此时 (II) 有惟一解，从而 (I) 有惟一解： $x_{i} = d_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .

2. 若 $r < n$ ，方程组中如有恒等式就去掉，则 (II) 成为

{\begin{cases} x_{1} + c_{1, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{1 n} x_{n} = d_{1}, \\ x_{2} + c_{2, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{2 n} x_{n} = d_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{r} + c_{r, r + 1} x_{r + 1} + \dots + c_{r n} x_{n} = d_{r} . \end{cases}

移项得

{\begin{cases} x_{1} = d_{1} - c_{1, r + 1} x_{r + 1} - \dots - c_{1 n} x_{n}, \\ x_{2} = d_{2} - c_{2, r + 1} x_{r + 1} - \dots - c_{2 n} x_{n}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{r} = d_{r} - c_{r, r + 1} x_{r + 1} - \dots - c_{r n} x_{n} . \end{cases} (2.3.1)

这表明 $x_{r + 1}, \dots, x_{n}$ 可作为自由未知量. 将自由未知量任意给定的一组数 $x_{r + 1} = t_{1}, \dots, x_{n} = t_{n - r}$ 代入 (2.3.1)，即可求得 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 相应的值，把这两组数合并起来就得到 (II) 的一组解. 因此这时 (II)，从而也就是 (I) 有无穷多个解. 这些解的全体，即通解可表示为

{\begin{cases} x_{1} = d_{1} - c_{1, r + 1} t_{1} - \dots - c_{1 n} t_{n - r}, \\ x_{2} = d_{2} - c_{2, r + 1} t_{1} - \dots - c_{2 n} t_{n - r}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{r} = d_{r} - c_{r, r + 1} t_{1} - \dots - c_{r n} t_{n - r}, \\ x_{r + 1} = t_{1}, \\ \dots \dots \\ x_{n} = t_{n - r}, \end{cases}

其中 $t_{1}, \dots, t_{n - r}$ 为任意常数（常限定在某个数域中，下文不再说明）.

记号

A \Rightarrow B

与

A \Leftrightarrow B

引入记号

“ $A \Rightarrow B$ ”意指命题 $A$ 成立可推出命题 $B$ 成立；

“ $A \Leftrightarrow B$ ”意指命题 $A$ 成立的充要条件为命题 $B$ 成立.

于是我们可有下述定理.

例题已掌握

例 2.3.1 按现在的说法解例 2.1.1 中的线性方程组★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 2.3.1 按现在的说法解例 2.1.1 中的线性方程组

按现在的说法解例 2.1.1 中的线性方程组

{\begin{cases} 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 5, \\ x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = - 2, \\ 4 x_{1} - 2 x_{2} + 7 x_{3} = - 7, \\ 1 x_{1} - 1 x_{2} + 2 x_{3} = - 3 . \end{cases}

解　写出增广矩阵 $\overline{A}$ ，并对 $\overline{A}$ 施行初等行变换化阶梯形.

\overline{A} = \begin{array}{cccc} 2 & - 3 & 1 & - 5 \\ 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 4 & - 2 & 7 & - 7 \\ 1 & - 1 & 2 & - 3 \end{array} .

依次施行 $R_{1} - 2 R_{2}$ ， $R_{3} - 4 R_{2}$ ， $R_{4} - R_{2}$ ， $R_{12}$ （交换第 1，2 两行），得

\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 6 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & - 1 \end{array};

再施行 $R_{3} - 6 R_{2}$ ， $R_{4} - R_{2}$ ，得

\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & - 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array};

最后施行 $R_{1} + 2 R_{2} + \frac{5}{7} R_{3}$ ， $R_{2} + \frac{3}{7} R_{3}$ ， $- \frac{1}{7} R_{3}$ ，得

\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} .

这表明 $r (\overline{A}) = r (A) = 3 =$ 未知量个数，故有惟一解. 解为

x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = - 1 .

如上述线性方程组的第 4 个方程改为 $2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = - 5$ ，而其余方程不变，得到一个新的线性方程组. 记其系数矩阵为 $B$ ，增广矩阵为 $\overline{B}$ . 对这个线性方程组的增广矩阵 $\overline{B}$ 进行初等行变换.

\overline{B} = \begin{array}{cccc} 2 & - 3 & 1 & - 5 \\ 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 4 & - 2 & 7 & - 7 \\ 2 & - 2 & 4 & - 5 \end{array} .

依次施行 $R_{1} - 2 R_{2}$ ， $R_{3} - 4 R_{2}$ ， $R_{4} - 2 R_{2}$ ， $R_{12}$ ，得

\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 6 & 11 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & - 1 \end{array};

再施行 $R_{3} - 6 R_{2}$ ， $R_{4} - 2 R_{2}$ ，得

\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & - 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} .

这表明 $r (\overline{B}) = 4$ ， $r (B) = 3$ . 由 $r (\overline{B}) \neq r (B)$ 知，该线性方程组无解.

例 2.3.2 解线性方程组（五个未知量，无穷多解）★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 2.3.2 解线性方程组（五个未知量，无穷多解）

解线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = - 2, \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - x_{5} = 1, \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} + 3 x_{5} = 7, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} - 7 x_{4} + 4 x_{5} = 1 . \end{cases}

解　对增广矩阵 $\overline{A}$ 施行初等行变换化为阶梯形.

\overline{A} = \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & - 1 & - 3 & - 2 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 4 & 6 & - 2 & - 4 & 3 & 7 \\ 2 & - 2 & 4 & - 7 & 4 & 1 \end{array} .

依次施行 $R_{2} - R_{1}$ ， $R_{3} - 4 R_{1}$ ， $R_{4} - 2 R_{1}$ ，得

\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & - 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & - 6 & 0 & 15 & 15 \\ 0 & - 2 & 2 & - 5 & 10 & 5 \end{array};

再施行 $R_{3} - 3 R_{2}$ ， $R_{4} + R_{2}$ ，得

\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & - 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 9 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 12 & 8 \end{array};

再施行 $R_{4} - \frac{4}{3} R_{3}$ ， $- \frac{1}{3} R_{3}$ ，得

\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & - 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 2 & - 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array},

记为 $B$ .

这表明 $r (\overline{A}) = 3$ ， $r (A) = 3$ ，未知量个数 $= 5$ . 故 $r (\overline{A}) = r (A) <$ 未知量个数. 所以此方程组有无穷多个解，且有 $5 - 3 = 2$ 个自由未知量.

同时上式也表明虽然 $r (\overline{A}) = 3$ ，但 $\overline{A}$ 的左上角的 3 阶子式为零. 为此按定理 2.3.1 论述的做法要将 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 编号互换（即将 $\overline{A}$ 的第 3 列和第 4 列互换），再继续进行初等行变换，得出解后再将 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 的编号换回来. 这样做既麻烦又易混淆，在实际解题中不采用. 由于矩阵 $B$ 的第 1，第 2，第 3 行；第 1，第 2，第 4 列组成的 3 阶子式不为零，我们就对它再进行如下的初等行变换为约化阶梯形矩阵

对 $B$ 依次施行 $R_{1} + R_{3}$ ， $R_{2} - R_{3}$ ， $\frac{1}{2} R_{2}$ ，得

\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & - 6 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} .

该矩阵所对应的线性方程组为

{\begin{cases} x_{1} + x_{3} - 6 x_{5} = - 4, \\ x_{2} - x_{3} + \frac{5}{2} x_{5} = \frac{5}{2}, \\ x_{4} - 3 x_{5} = - 2 . \end{cases}

可将 $x_{3}$ ， $x_{5}$ 作为自由未知量，移项得

{\begin{cases} x_{1} = - 4 - x_{3} + 6 x_{5}, \\ x_{2} = \frac{5}{2} + x_{3} - \frac{5}{2} x_{5}, \\ x_{4} = - 2 + 3 x_{5} . \end{cases}

所以通解可表示为

{\begin{cases} x_{1} = - 4 - t_{1} + 6 t_{2}, \\ x_{2} = \frac{5}{2} + t_{1} - \frac{5}{2} t_{2}, \\ x_{3} = t_{1}, \\ x_{4} = - 2 + 3 t_{2}, \\ x_{5} = t_{2}, \end{cases}

其中 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 为任意常数.

特别要指出的是若当 $r (\overline{A}) = r (A) = r < n$ 时， $A$ 中不为零的 $r$ 阶子式未必惟一，如例 2.3.2 中由 $B$ 的第 1，第 2，第 3 行；第 1，第 3，第 4 列构成的 3 阶子式也不为零. 也可以对它再进行化简，同样可得到方程组的通解，此时无非自由未知量是 $x_{2}$ ， $x_{5}$ 而已. 虽然两者通解表达形式不一样，但两者所表示的解集合是相同的（解集合是相同的理由将在第 4 章进一步阐明），所以都可作为原线性方程组的解.

例 2.3.3 解齐次线性方程组★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 2.3.3 解齐次线性方程组

解齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - x_{5} = 0, \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} + 3 x_{5} = 0, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} - 7 x_{4} + 4 x_{5} = 0 . \end{cases}

解　此即例 2.3.2 中所有常数项为零的线性方程组，故对其系数矩阵施行初等行变换最后可得

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & - 6 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) .

所以，通解为

{\begin{cases} x_{1} = - t_{1} + 6 t_{2}, \\ x_{2} = t_{1} - \frac{5}{2} t_{2}, \\ x_{3} = t_{1}, \\ x_{4} = 3 t_{2}, \\ x_{5} = t_{2}, \end{cases}

其中 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 为任意常数.

例 2.3.4 含参数的线性方程组，$\lambda$ 取何值时有解★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 2.3.4 含参数的线性方程组， $λ$ 取何值时有解

下面介绍一类方程，含参数的线性方程组的解法.

$λ$ 取何值时，线性方程组

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 1, \\ 2 x_{1} + 2 λ x_{2} + (λ + 4) x_{3} = 3 \end{cases} (1)

无解，有惟一解，有无穷多个解？在有解时，求出解.

解　方法一　将 (1) 的增广矩阵 $\overline{A}$ 用初等行变换化为阶梯形

\overline{A} = \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & λ & 1 & 1 \\ 2 & 2 λ & λ + 4 & 3 \end{array} ⟶ \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & λ + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ + 2 & 1 \end{array} .

据此 (1) 当 $λ = - 2$ 时， $r (A) = 2$ ， $r (\overline{A}) = 3$ . 由 $r (A) \neq r (\overline{A})$ 知，此时 (1) 无解.

（2）当 $λ \neq - 1$ ，且 $λ \neq - 2$ 时， $r (A) = r (\overline{A}) = 3$ . 故此时 (1) 有惟一解，与 (1) 同解的方程组为

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ (λ + 1) x_{2} = 0, \\ (λ + 2) x_{3} = 1 . \end{cases}

解此方程组得 (1) 的惟一解为

x_{1} = \frac{λ + 1}{λ + 2}, x_{2} = 0, x_{3} = \frac{1}{λ + 2} .

（3）当 $λ = - 1$ 时， $r (A) = r (\overline{A}) = 2$ . 故此时 (1) 有无穷多个解. 与 (1) 同解的方程组为

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{3} = 1 . \end{cases}

解此方程组得 (1) 的解为

{\begin{cases} x_{1} = t, \\ x_{2} = t, \\ x_{3} = 1, \end{cases}

其中 $t$ 为任意常数.

方法二　因方程个数与未知量个数相等，故可用克拉默法则. 为此首先计算系数行列式

| A | = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & λ & 1 \\ 2 & 2 λ & λ + 4 \end{array} | = (λ + 1) (λ + 2) .

（1）当 $λ \neq - 1$ ，且 $λ \neq - 2$ 时， $| A | \neq 0$ ，由克拉默法则知，(1) 有惟一解. 惟一解可用克拉默法则求得（一般计算量较大），也可将增广矩阵 $\overline{A}$ 化为阶梯形（参见方法一之 (2)）求解.

（2）当 $λ = - 2$ 时，(1) 为

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 1, \\ 2 x_{1} - 4 x_{2} + 2 x_{3} = 3 . \end{cases}

将其增广矩阵 $\overline{A}$ 用初等行变换化为阶梯形：

\overline{A} = \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 1 \\ 2 & - 4 & 2 & 3 \end{array} ⟶ \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array},

据此 $r (\overline{A}) = 3$ ， $r (A) = 2$ . 由 $r (\overline{A}) \neq r (A)$ 知，此时 (1) 无解.

（3）当 $λ = - 1$ 时，(1) 为

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 3 x_{3} = 3 . \end{cases}

将其增广矩阵 $\overline{A}$ 用初等行变换化为阶梯形：

\overline{A} = \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 3 & 3 \end{array} ⟶ \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array},

据此 $r (\overline{A}) = r (A) = 2$ . 故 (1) 有无穷多个解. 由与 (1) 同解的线性方程组为

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{3} = 1 \end{cases}

知，(1) 的解为

{\begin{cases} x_{1} = t, \\ x_{2} = t, \\ x_{3} = 1, \end{cases}

其中 $t$ 为任意常数.

注记　此例中方法一比方法二简便.

最后要指出线性方程组理论应用非常广泛，建议有兴趣的读者参阅附录三.

四§2.4 概要及小结选自 §2.42 个知识分组 · 含例题

说明已掌握+

概要

概要：解线性方程组的方法（消元法）；线性方程组理论（秩）.

2.4.1　方法

解一般线性方程组所用方法就是中学所讲的消元法. 其原理是通过消元将线性方程组简化为容易求解的同解方程组，解同解方程组即可得原方程组的全部解. 在线性代数中将上述消元过程转化为矩阵（线性方程组的增广矩阵）的初等行变换. 这不仅使消元过程书写简便明了，更重要的是证明了消元法最后所得的独立方程的个数就是增广矩阵的秩，因而由原方程组惟一确定，不受消元过程的影响. 我们在第 4 章中还将对此内涵作进一步的阐明.

2.4.2　理论　1. 一般线性方程组

1. 一般线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} . \end{cases} (1)

解的情况如下：

方程组 (1) 有解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A)$ ，其中

A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}), \overline{A} = \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{array} .

在有解条件下

方程组 (1) 有惟一解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A) = r = n$ （未知量个数）.

方程组 (1) 有无穷多个解 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A) = r < n$ （未知量个数），此时有 $n - r$ 个自由未知量.

特别地当 $m = n$ （即方程个数与未知量个数相等）时有

方程组 (1) 有惟一解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} \neq 0$ （克拉默法则包含其中）.

2.4.2　理论　2. 齐次线性方程组

2. 齐次线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = 0 . \end{cases} (II)

(II) 是 (1) 中 $b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0$ 的特例，故可直接利用 (1) 的结论. 注意到 (II) 一定有解，零解就是其中之一，故有

(II) 只有零解（等价于有惟一解） $\Leftrightarrow r (A) = r = n$ （未知量个数）.

(II) 有非零解（等价于有无穷多个解） $\Leftrightarrow r (A) = r < n$ （未知量个数），此时有 $n - r$ 个自由未知量.

特别地当 $m = n$ （即方程个数与未知量个数相等）时有

(II) 只有零解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} \neq 0$ .

(II) 有非零解 $\Leftrightarrow | a_{i j} |_{n} = 0$ .

解题过程框图（图 2.1）

综合所述我们可将解线性方程组的过程用图 2.1 表示.

非齐次线性方程组（系数矩阵为 $A$ ）：写出增广矩阵 $\overline{A}$ → 用初等行变换化为阶梯形矩阵 → 判断 $r (A)$ 与 $r (\overline{A})$ ：

若 $r (A) \neq r (\overline{A})$ ，则原方程组无解；
若 $r (A) = r (\overline{A})$ ，则继续用初等行变换化为约化阶梯形矩阵，再判断 $r (A)$ 是否等于未知量个数：
- 若 $r (A) =$ 未知量个数，则原方程有惟一解，写出约化阶梯形矩阵对应的方程组即可得出解；
- 若 $r (A) \neq$ 未知量个数，则原方程有无穷多解，写出约化阶梯形矩阵对应的方程组即可得出解.

齐次线性方程组（系数矩阵为 $A$ ）：写出系数矩阵 $A$ → 用初等行变换化为约化阶梯形矩阵 → 判断 $r (A)$ 是否等于未知量个数：

若 $r (A) =$ 未知量个数，则原方程组只有零解；
若 $r (A) \neq$ 未知量个数，则原方程组有非零解，可写出通解.

例题已掌握

例 2.4.1 含参数的齐次线性方程组，$a$ 取何值时有非零解★★★★★计算题展开题目与讲解

例 2.4.1 含参数的齐次线性方程组， $a$ 取何值时有非零解

作为本章知识的综合运用，我们来解未知量系数或常数项含有参数的线性方程组. 这种含参数的方程组不是一个而是一类方程组，所以它的解和参数有关，需要讨论. 我们在例 2.3.4 中已解过这类题，下例也是.

设有齐次线性方程组 $(n \geq 2)$

{\begin{cases} (1 + a) x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0, \\ 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + \dots + 2 x_{n} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ n x_{1} + n x_{2} + \dots + (n + a) x_{n} = 0, \end{cases} (1)

试问 $a$ 取何值时，(1) 有非零解，并求出其通解.

解　方法一　将 (1) 的系数矩阵 $A$ 只用初等行变换化简

A = (\begin{array}{c} 1 + a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & \dots & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ n & n & n & \dots & n + a \end{array}) .

依次施行 $R_{2} - 2 R_{1}$ ， $R_{3} - 3 R_{1}$ ， $\dots$ ， $R_{n} - n R_{1}$ ，得

(\begin{array}{c} 1 + a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ - 2 a & a & 0 & \dots & 0 \\ - 3 a & 0 & a & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - n a & 0 & 0 & \dots & a \end{array}),

记为 $B$ .

据此当 $a = 0$ 时， $r (A) = 1 < n$ ，故 (1) 有非零解，与 (1) 同解的方程组为

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0,

故得 (1) 的通解为

{\begin{cases} x_{1} = - t_{1} - t_{2} - \dots - t_{n - 1}, \\ x_{2} = t_{1}, \\ x_{3} = t_{2}, \\ \dots \dots \\ x_{n} = t_{n - 1}, \end{cases}

其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - 1}$ 为任意常数.

当 $a \neq 0$ 时，再对矩阵 $B$ 作初等行变换：用 $\frac{1}{a}$ 乘第 $i$ 行 $(i = 2, \dots, n)$ ，得

(\begin{array}{c} 1 + a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 3 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - n & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array});

再将第 1 行减去第 $2, 3, \dots, n$ 行，得

(\begin{array}{c} a + \frac{n (n + 1)}{2} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 3 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - n & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) .

据此当 $a = - \frac{n (n + 1)}{2}$ 时， $r (A) = n - 1 < n$ ，故 (1) 有非零解，与 (1) 同解的方程组为

{\begin{cases} - 2 x_{1} + x_{2} = 0, \\ - 3 x_{1} + x_{3} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \\ - n x_{1} + x_{n} = 0, \end{cases}

故得 (1) 的通解为

{\begin{cases} x_{1} = t, \\ x_{2} = 2 t, \\ \dots \dots \\ x_{n} = n t, \end{cases}

其中 $t$ 为任意常数.

方法二　因方程个数与未知量个数相等，故可用克拉默法则，为此首先计算行列式

| A | = | \begin{array}{c} 1 + a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & \dots & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ n & n & n & \dots & n + a \end{array} | = (a + \frac{n (n - 1)}{2}) a^{n - 1} .

据此当 $| A | = 0$ ，即 $a = 0$ 或 $a = - \frac{n (n + 1)}{2}$ 时，(1) 有非零解.

当 $a = 0$ 时，与 (1) 同解的方程组为

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0,

故得 (1) 的通解为

{\begin{cases} x_{1} = - t_{1} - t_{2} - \dots - t_{n - 1}, \\ x_{2} = t_{1}, \\ x_{3} = t_{2}, \\ \dots \dots \\ x_{n} = t_{n - 1}, \end{cases}

其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - 1}$ 为任意常数.

当 $a = - \frac{n (n + 1)}{2}$ 时，对系数矩阵 $A$ 作初等变换

A = (\begin{array}{c} 1 + a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & \dots & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ n & n & n & \dots & n + a \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 3 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - n & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}),

据此与 (1) 同解的方程组为

{\begin{cases} - 2 x_{1} + x_{2} = 0, \\ - 3 x_{1} + x_{3} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \\ - n x_{1} + x_{n} = 0, \end{cases}

故得 (1) 的通解为

{\begin{cases} x_{1} = t, \\ x_{2} = 2 t, \\ \dots \dots \\ x_{n} = n t, \end{cases}

其中 $t$ 为任意常数.

此例和例 2.3.4 均表明解含参数的线性方程组一般可有两种方法：

方法一　将增广矩阵（非齐次线性方程组），或系数矩阵（齐次线性方程组）只用初等行变换化为阶梯形矩阵.

方法二　当方程个数与未知量个数相等时，用克拉默法则.

03第三章矩阵

一§3.1 矩阵的运算选自 §3.16 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义矩阵（m×n 矩阵、实矩阵、复矩阵、n 阶方阵）

设 $P$ 为数域，用 $P$ 中数 $a_{i j}$ 构成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形数阵

A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}),

$A$ 就称为 $P$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵。当 $P = R$ 时，称其为实矩阵；当 $P = C$ 时，称其为复矩阵；如前所述它可简记为 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ，如仅需表明矩阵的行数和列数，则可简记为 $A_{m \times n}$ 。特别地当 $m = n$ 时， $A = [a_{i j}]_{n \times n} = A_{n}$ 称为 $n$ 阶方阵，或 $n$ 阶矩阵。

对 $n$ 阶方阵 $A$ 而言，可联系一个 $n$ 阶行列式

| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |,

记为 $| A |$ ，称为方阵 $A$ 的行列式。

定义矩阵的相等

$P$ 上的两个矩阵只有在它们有相同的行数和列数，且对应位置上的元素都相等时，才认为是相等的。即若

A = [a_{i j}]_{m \times n}, B = [b_{i j}]_{s \times t},

则

A = B \Leftrightarrow m = s, n = t, a_{i j} = b_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n) .

定义零矩阵与负矩阵

我们将元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 $O$ （有时为标明行数与列数记为 $O_{m \times n}$ ）。若矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ，则称 $[- a_{i j}]_{m \times n}$ 为 $A$ 的负矩阵，记为 $- A$ 。容易得出 $- A = (- 1) A$ 。

定义 3.1.1 矩阵的数量乘积（数乘）

$k$ 是数域 $P$ 上的数， $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ 是 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵。 $k$ 与 $A$ 的乘积指的是矩阵 $[k a_{i j}]_{m \times n}$ ，记作 $k A = [k a_{i j}]_{m \times n}$ ，称为矩阵的数量乘积，简称为数乘。

易见 $k A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵。

定义 3.1.2 矩阵的加法

设 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ， $B = [b_{i j}]_{m \times n}$ 均为数域 $P$ 上 $m \times n$ 矩阵。它们的和指的是矩阵 $[a_{i j} + b_{i j}]_{m \times n}$ ，记为 $A + B = [a_{i j} + b_{i j}]_{m \times n}$ ，求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法。

易见 $A + B$ 也是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵。若将数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵的全体记为 $P^{m \times n}$ ，则上述性质可表述为： $P^{m \times n}$ 关于加法封闭。

定义 3.1.3 矩阵的乘法

数域 $P$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ 与 $n \times t$ 矩阵 $B = [b_{i j}]_{n \times t}$ 的乘积 $A B$ ，是指这样一个 $m \times t$ 矩阵 $C = [c_{i j}]_{m \times t}$ ，它的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{i j}$ 等于 $A$ 的第 $i$ 行元素与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和，即

c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j},

其中 $i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, t$ 。记为 $A B = C$ ，求两个矩阵乘积的运算称为矩阵的乘法。

注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

定义 n 阶单位矩阵 E_n

在矩阵乘法中存在着类似数 1 性质的矩阵，它就是主对角线上元素都是 1，其余位置元素均为零的 $n$ 阶方阵

(\begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}),

称为 $n$ 阶单位矩阵，记为 $E_{n}$ （简记为 $E$ ）。

定义数量矩阵 λE 与 n 阶对角矩阵

称矩阵

λ E_{n} = {(\begin{array}{c} λ & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ \end{array})}_{n \times n}

为数量矩阵。称矩阵

{(\begin{array}{c} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{array})}_{n \times n}

为 $n$ 阶对角矩阵，简记为 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 。

定义方阵的幂

对于 $n$ 阶方阵 $A$ 而言，自乘 $A A$ 有意义，故可导入方阵 $A$ 的 $k$ 次幂的概念。规定

A^{k} = A A \dots A

（即 $k$ 个 $A$ 相乘），约定 $A^{0} = E$ 。

定义矩阵多项式

设 $f (x) = a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，系数 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{m}$ 均为数域 $P$ 中的数， $A$ 为 $P$ 上一个 $n$ 阶方阵，那么

a_{m} A^{m} + a_{m - 1} A^{m - 1} + \dots + a_{1} A + a_{0} E

有意义，它仍为 $P$ 上一个 $n$ 阶方阵，记为 $f (A)$ 。即

f (A) = a_{m} A^{m} + a_{m - 1} A^{m - 1} + \dots + a_{1} A + a_{0} E,

称为 $A$ 的矩阵多项式。

定义 3.1.4 转置矩阵

设 $m \times n$ 矩阵

A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}),

将 $A$ 的行与列依次互换位置，得到 $n \times m$ 矩阵

(\begin{array}{c} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \dots & a_{m n} \end{array}),

这个矩阵称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{T}$ （或 $A'$ ）。

例如，矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})$ 的转置矩阵 $A^{T} = (\begin{array}{c} 1 & 6 \\ - 1 & 7 \\ 5 & 8 \end{array})$ 。

$1 \times n$ 矩阵（行向量） $A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}]$ 的转置矩阵为 $n \times 1$ 矩阵（列向量）

A^{T} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{array}) .

这表明 $A$ 的第 1 行第 $j$ 列元素是 $A^{T}$ 的第 $j$ 行第 1 列元素，一般地矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素与 $A^{T}$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素相等。即

{A}_{i j} = {A^{T}}_{j i} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n) .

定义 3.1.5 对称矩阵与反对称矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若 $A^{T} = A$ ，则称 $A$ 为一个 $n$ 阶对称矩阵；若 $A^{T} = - A$ ，则称 $A$ 是一个 $n$ 阶反对称矩阵。

定理已掌握+

定理 3.1.1 矩阵加法与数乘的运算律

设 $A, B, C \in P^{m \times n}$ ， $k, t \in P$ ，则有

(1) 加法交换律 $A + B = B + A$ ；

(2) 加法结合律 $(A + B) + C = A + (B + C)$ ；

(3) $O + A = A + O = A$ ；

(4) $A + (- A) = (- A) + A = O$ ；

(5) $k (A + B) = k A + k B$ ；

(6) $(k + t) A = k A + t A$ ；

(7) $(k t) A = k (t A)$ ；

(8) $1 A = A$ 。

特别地，这 8 条运算规律对 $n$ 元行（列）向量均成立。

利用负矩阵我们可以借助加法派生出减法，即规定

A - B = A + (- B) .

于是就有

A + B = C \Leftrightarrow A = C - B,

这就是我们熟悉的移项规则。

定理 3.1.2 矩阵乘法的运算律

设 $k \in P$ ， $A, B, C$ 是矩阵，它们的行数和列数使下列各式有意义，则有

(1) 乘法结合律 $(A B) C = A (B C)$ ；

(2) 乘法对加法分配律 $A (B + C) = A B + A C$ ， $(B + C) A = B A + C A$ ；

(3) $k (A B) = (k A) B = A (k B)$ 。

证这些性质的证明繁而不难，故仅以 (1) 为例给出证明，其余可自行完成。

设 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ， $B = [b_{j k}]_{n \times t}$ ， $C = [c_{k l}]_{t \times s}$ 。容易看出 $(A B) C$ 与 $A (B C)$ 均为 $m \times s$ 矩阵，因此 (1) 的证明可以归结为证明：

$(A B) C$ 的 $i$ 行 $l$ 列元素（记为 ${(A B) C}_{i l}$ ） $= A (B C)$ 的 $i$ 行 $l$ 列元素（记为 ${A (B C)}_{i l}$ ），

对 $i = 1, 2, \dots, m; l = 1, 2, \dots, s$ 均成立。由矩阵乘法定义计算得

{(A B) C}_{i l} = \sum_{k = 1}^{t} {A B}_{i k} c_{k l} = \sum_{k = 1}^{t} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k}) c_{k l} = \sum_{k = 1}^{t} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k} c_{k l};

{A (B C)}_{i l} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} {B C}_{j l} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (\sum_{k = 1}^{t} b_{j k} c_{k l}) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{t} a_{i j} b_{j k} c_{k l} .

由于双重连加是可交换次序（参见附录一），即得

{(A B) C}_{i l} = {A (B C)}_{i l} (i = 1, 2, \dots, m; l = 1, 2, \dots, s) .

定理 3.1.3 方阵乘积的行列式

两个 $n$ 阶方阵乘积的行列式等于行列式的乘积。即若 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $| A B | = | A | | B |$ 。

证设 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ， $B = [b_{i j}]_{n \times n}$ ， $A B = C = [c_{i j}]_{n \times n}$ ，其中

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} (i, j = 1, 2, \dots, n) .

考虑 $2 n$ 阶行列式

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & 0 & \dots & 0 & b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ 0 & - 1 & \dots & 0 & b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - 1 & b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{array} | .

据 1.6 节基本形知， $D = | A | | B |$ 。另一方面，将第 $j$ 列（ $j = n + 1, n + 2, \dots, 2 n$ ）加上前面 $n$ 列分别乘 $b_{1 j}, b_{2 j}, \dots, b_{n j}$ 的和，即作 $C_{n + j} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i j} C_{i}$ ，得

D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} & c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \\ - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} |

= (- 1)^{n^{2}} | \begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{array} | \cdot | \begin{array}{c} - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - 1 \end{array} |

= (- 1)^{n^{2} + n} | A B | = | A B | .

综上即得 $| A B | = | A | | B |$ 。

推论多个方阵乘积的行列式

设 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 都是 $n$ 阶方阵，则

| A_{1} A_{2} \dots A_{m} | = | A_{1} | | A_{2} | \dots | A_{m} | .

定理 3.1.4 数乘方阵的行列式

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $| k A | = k^{n} | A |$ 。

证设 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ，则

| k A | = | \begin{array}{c} k a_{11} & k a_{12} & \dots & k a_{1 n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \dots & k a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{n 1} & k a_{n 2} & \dots & k a_{n n} \end{array} | = k^{n} | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = k^{n} | A | .

定理 3.1.5 转置的运算性质

设 $k \in P$ ， $A, B$ 是矩阵，它们的行数和列数使下列各式有意义，则有

(1) $(A^{T})^{T} = A$ ；(2) $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ ；

(3) $(k A)^{T} = k A^{T}$ ；(4) $| A | = | A^{T} |$ ；

(5) $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 。

证性质 (1)～(4) 均可由定义直接导出。下面证明性质 (5)。

设 $A$ 为 $m \times s$ 矩阵， $B$ 为 $s \times n$ 矩阵，则 $(A B)^{T}$ 和 $B^{T} A^{T}$ 均为 $n \times m$ 矩阵，加之

{(A B)^{T}}_{i j} = {A B}_{j i} = \sum_{k = 1}^{s} {A}_{j k} {B}_{k i},

{B^{T} A^{T}}_{i j} = \sum_{k = 1}^{s} {B^{T}}_{i k} {A^{T}}_{k j} = \sum_{k = 1}^{s} {B}_{k i} {A}_{j k}

= \sum_{k = 1}^{s} {A}_{j k} {B}_{k i} = {(A B)^{T}}_{i j} \begin{array}{l} i = 1, 2, \dots, n \\ j = 1, 2, \dots, m \end{array},

故 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ 。

定理 3.1.6 对称矩阵与反对称矩阵的性质

(1) 对称矩阵的和、数量乘积、方幂仍为对称矩阵；

(2) 反对称矩阵的和、数量乘积仍为反对称矩阵；

(3) $A$ 为反对称矩阵，则当 $k$ 为奇数时， $A^{k}$ 为反对称矩阵； $k$ 为偶数时， $A^{k}$ 为对称矩阵。

性质已掌握+

性质单位矩阵与矩阵相乘

可直接计算知 $E_{n}$ 有如下性质：

A_{m \times n} E_{n} = A_{m \times n}, E_{m} A_{m \times n} = A_{m \times n} .

特别地有

E_{n} A_{n \times n} = A_{n \times n} = A_{n \times n} E_{n} .

性质数量矩阵与方阵相乘

易知

(λ E_{n}) A_{n \times n} = λ (E_{n} A_{n}) = λ A_{n \times n},

A_{n \times n} (λ E_{n}) = λ (A_{n \times n} E_{n}) = λ A_{n \times n} .

从上两式得到：数量矩阵 $λ E_{n}$ 左乘或右乘矩阵 $A_{n \times n}$ 均为 $λ A_{n \times n}$ 。这首先表明数量矩阵 $λ E$ 乘矩阵 $A$ 相当于数 $λ$ 和矩阵 $A$ 作数量乘积，这也是 $λ E$ 之所以称为数量矩阵的由来。其次表明数量矩阵和同阶方阵乘法可换。即

(λ E_{n}) A_{n \times n} = A_{n \times n} (λ E_{n}) .

性质对角矩阵的运算

对角矩阵之间的运算特别简单，从运算的定义容易推得

diag [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] + diag [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}] = diag [a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}],

λ diag [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] = diag [λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}],

diag [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] diag [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}] = diag [a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}] .

性质方幂的乘法可换

注意到

A^{k} A^{t} = (A A \dots A) (A A \dots A) = A^{k + t},

故有 $A$ 的方幂乘法可换。即

A^{k} A^{t} = A^{t} A^{k},

其中 $k, t$ 为非负整数。

性质矩阵乘法与数的乘法运算律的差异

从上面的例题中可以看出矩阵乘法和我们熟悉的数的乘法运算规律有许多不同之处：

(1) 矩阵乘法交换律不成立。即不是对所有矩阵 $A, B$ 都有 $A B = B A$ 。首先当 $t \neq m$ 时， $A_{m \times n} B_{n \times t}$ 有意义，而 $B_{n \times t} A_{m \times n}$ 无意义（如例 3.1.5），无法谈是否相等。其次虽然 $A_{m \times n} B_{n \times m}$ 和 $B_{n \times m} A_{m \times n}$ 都有意义，但是当 $m \neq n$ 时，第一个乘积为 $m \times m$ 矩阵，而第二个乘积为 $n \times n$ 矩阵（如例 3.1.4），它们不能相等。最后即使 $A_{n \times n} B_{n \times n}$ 和 $B_{n \times n} A_{n \times n}$ 都有意义，且都是 $n \times n$ 矩阵，但两者亦未必相等（如例 3.1.6）。

(2) 矩阵中存在 $A \neq O$ ， $B \neq O$ 有 $A B = O$ （如例 3.1.6）。把有这样性质的矩阵 $A, B$ 称作互为零因子。这表明在矩阵论中不能说：若 $A B = O$ ，必有 $A = O$ 或 $B = O$ 。

(3) 乘法消去律不成立，即 $A \neq O$ ，且有 $A B = A C$ ，不能导出必有 $B = C$ （例 3.1.6）。

性质一阶方阵与数的等同

在以上矩阵运算讨论中，我们看到一阶方阵 $[a]$ 和数 $a$ 的运算规律相同，因此有时我们把一阶方阵 $[a]$ 视作为数 $a$ 较为方便。比如说运算结果为一阶矩阵时，可以把它与数等同看待，矩阵符号也常省去。但在运算过程中，还是要按矩阵对待。

公式已掌握+

公式矩阵乘积的元素公式

设 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ， $B = [b_{i j}]_{n \times t}$ ，则 $A B = C = [c_{i j}]_{m \times t}$ ，其中

c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, t) .

公式乘积行列式与数乘行列式

| A B | = | A | | B |, | A_{1} A_{2} \dots A_{m} | = | A_{1} | | A_{2} | \dots | A_{m} |,

| k A | = k^{n} | A |, | A^{T} | = | A | .

说明已掌握+

说明方阵与行列式是两个不同的概念

方阵 $A$ 和它的行列式 $| A |$ 虽然符号上有些类似，但当 $n > 1$ 时两者是截然不同的概念。 $| A |$ 是 $P$ 中的一个数，而 $A$ 是 $n^{2}$ 个数按一定顺序构成的数阵。当然两者有一定的联系，如后面我们将看到 $| A |$ 是否为零，能反映方阵 $A$ 的某种特性。

说明例 3.1.1 所揭示的矩阵与行列式的区别

该例表明了矩阵和行列式概念上的差别。

如无特殊说明本书所说矩阵均指数域 $P$ 上的矩阵。

说明单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵的内涵

注意上述矩阵的内涵：单位矩阵 $E$ 是数量矩阵 $λ E$ （ $λ = 1$ ），数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必然。当然零矩阵 $O_{n \times n}$ 也是数量矩阵 $λ E$ （ $λ = 0$ ）。

说明由数的乘法公式导出的公式未必适合矩阵

由于矩阵乘法的运算规律和数的乘法运算规律不完全相同，故由数的乘法运算规律导出的一些公式未必完全适合矩阵。例如在数中有

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2},

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

但类似公式

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2},

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

在 $n$ （ $n \geq 2$ ）阶矩阵中未必成立（为什么？参见习题 3.1 的第 9 题）。这是在矩阵运算中需要特别注意的。

说明定理 3.1.4 与行列式性质 3 的区别

注记这一结论容易与行列式的性质 3 混淆，请注意行列式的性质 3 是指

k | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \dots & k a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |,

现在所讨论的是

| k A | = | \begin{array}{c} k a_{11} & k a_{12} & \dots & k a_{1 n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \dots & k a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k a_{n 1} & k a_{n 2} & \dots & k a_{n n} \end{array} | .

当 $n > 1$ 时，两者是不同的，所以当 $n > 1$ 时 $| 2 E_{n} | \neq 2 | E_{n} |$ ；当 $n$ 为偶数时， $| - A_{n} | \neq - | A_{n} |$ 。

说明本章开头：矩阵运算的重要性

我们在上一章已经看到矩阵在解一般线性方程组时所起的作用。然而矩阵的应用不仅限于线性方程组而是多方面的，在后续内容的讨论中，矩阵更是担任了重要角色。更进一步说，矩阵的理论和方法在许多科技领域中都有重要应用。

矩阵之所以如此重要是由于我们在矩阵中引入运算，使之反映了某类事物的客观规律。矩阵的运算是矩阵理论的基石，我们从矩阵的运算开始研究矩阵理论。

说明行向量、列向量与 n 元向量

当 $n = 2$ ， $n = 3$ 时是我们所熟悉的（欧氏）平面、空间向量（矢量）用坐标表示的加法和数乘。故 $1 \times n$ 矩阵也可称为 $n$ 元行向量。同样地 $n \times 1$ 矩阵也可称为 $n$ 元列向量。

例题已掌握

例 3.1.1 矩阵与行列式的区别★☆☆☆☆判断题矩阵相等与行列式相等展开题目与讲解

例 3.1.1 矩阵与行列式的区别

设

A = (\begin{array}{c} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ x & 3 & 0 \\ y & z & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{c} 6 & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\ 0 & 1 & c_{23} & c_{24} \\ 0 & 0 & 1 & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}),

则 $| A | = 6$ ， $| B | = 6$ ， $| C | = 6$ ，从而 $| A | = | B | = | C |$ 。但显然有

A \neq B, A \neq C, B \neq C .

例 3.1.2 矩阵的数乘与加法★☆☆☆☆计算题数乘与加法的组合运算展开题目与讲解

例 3.1.2 矩阵的数乘与加法

设

A = (\begin{array}{c} 5 & 2 & - 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}), B = (\begin{array}{c} - 1 & 4 & 0 \\ 2 & 8 & 1 \end{array}),

则

3 A + (- 2) B = (\begin{array}{c} 3 \times 5 & 3 \times 2 & 3 \times (- 1) \\ 3 \times 3 & 3 \times 0 & 3 \times 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} (- 2) \times (- 1) & (- 2) \times 4 & (- 2) \times 0 \\ (- 2) \times 2 & (- 2) \times 8 & (- 2) \times 1 \end{array})

= (\begin{array}{c} 15 & 6 & - 3 \\ 9 & 0 & 6 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 & - 8 & 0 \\ - 4 & - 16 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 17 & - 2 & - 3 \\ 5 & - 16 & 4 \end{array}) .

例 3.1.3 行向量的加法与数乘★☆☆☆☆计算题行向量的线性运算展开题目与讲解

例 3.1.3 行向量的加法与数乘

设 $A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}]$ ， $B = [b_{1} b_{2} \dots b_{n}]$ 均为 $1 \times n$ 矩阵，则

A + B = [a_{1} + b_{1} a_{2} + b_{2} \dots a_{n} + b_{n}];

k A = [k a_{1} k a_{2} \dots k a_{n}] .

例 3.1.4 列向量与行向量相乘★★☆☆☆计算题列向量乘行向量得方阵展开题目与讲解

例 3.1.4 列向量与行向量相乘

设

A = {(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{array})}_{n \times 1}, B = [b_{1} b_{2} \dots b_{n}]_{1 \times n},

求 $A B$ ， $B A$ 。

解

A B = {(\begin{array}{c} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \dots & a_{n} b_{n} \end{array})}_{n \times n};

B A = [b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2} + \dots + b_{n} a_{n}]_{1 \times 1} .

例 3.1.5 矩阵乘法（BA 无意义）★★☆☆☆计算题乘法可行性与计算展开题目与讲解

例 3.1.5 矩阵乘法（BA 无意义）

设

A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}) .

求 $A B$ 。

解

A B = (\begin{array}{c} 1 \times 0 + (- 1) \times (- 1) + 0 \times 1 & 1 \times 1 + (- 1) \times 2 + 0 \times 0 \\ 2 \times 0 + 1 \times (- 1) + (- 1) \times 1 & 2 \times 1 + 1 \times 2 + (- 1) \times 0 \\ (- 1) \times 0 + 0 \times (- 1) + 1 \times 1 & (- 1) \times 1 + 0 \times 2 + 1 \times 0 \end{array})

= (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 2 & 4 \\ 1 & - 1 \end{array}) .

注记 $B$ 为 $3 \times 2$ 矩阵， $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵。 $B$ 的列数不等于 $A$ 的行数，所以 $B$ 与 $A$ 不能相乘，即 $B A$ 无意义。

例 3.1.6 乘法交换律、消去律不成立★★☆☆☆计算题零因子与消去律的反例展开题目与讲解

例 3.1.6 乘法交换律、消去律不成立

设

A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}), C = (\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}),

求 $A B$ ， $A C$ 及 $B A$ 。

解

A B = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array});

A C = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array});

B A = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) .

例 3.1.7 与给定矩阵可交换的矩阵★★★☆☆计算题可交换矩阵的求解展开题目与讲解

例 3.1.7 与给定矩阵可交换的矩阵

设

A = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array}),

试确定所有与 $A$ 乘法可换的矩阵。即求满足条件 $A X = X A$ 的矩阵 $X$ 。

解由题设 $A X$ ， $X A$ 均有意义，故 $X$ 应是 $2 \times 2$ 矩阵。设

X = (\begin{array}{c} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}),

则由 $A X = X A$ 得

(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array}),

(\begin{array}{c} x_{11} & x_{12} \\ - x_{11} & - x_{12} \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{11} - x_{12} & 0 \\ x_{21} - x_{22} & 0 \end{array}) .

由矩阵相等定义知

{\begin{cases} x_{11} = x_{11} - x_{12}, \\ x_{12} = 0, \\ - x_{11} = x_{21} - x_{22}, \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{12} = 0, \\ x_{11} = x_{22} - x_{21} . \end{cases}

令 $x_{21} = t_{1}$ ， $x_{22} = t_{2}$ ，于是所有与 $A$ 乘法可换的矩阵为

(\begin{array}{c} t_{2} - t_{1} & 0 \\ t_{1} & t_{2} \end{array}),

其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意常数。

例 3.1.8 矩阵多项式的计算★★☆☆☆计算题矩阵多项式求值展开题目与讲解

例 3.1.8 矩阵多项式的计算

设 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ， $A = (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{array})$ ，求 $f (A)$ 。

解

A^{2} = (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{array}),

f (A) = A^{2} - 2 A - 3 E = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 8 & 9 \end{array}) - 2 (\begin{array}{c} - 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}) - 3 (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) .

例 3.1.9 由 AB+2E=O 求 |B|★★★☆☆计算题行列式的乘法公式展开题目与讲解

例 3.1.9 由 AB+2E=O 求 |B|

设 $A, B$ 均为 $n$ （ $n > 1$ ）阶方阵，且 $| A | = a \neq 0$ ，若

A B + 2 E = O,

求 $| B |$ 。

解将题设条件 $A B + 2 E = O$ 移项得： $A B = - 2 E$ 。两边取行列式得

| A B | = | - 2 E | = (- 2)^{n} .

因 $| A B | = | A | | B | = a | B |$ ，所以 $| B | = (- 2)^{n} a^{- 1}$ 。

例 3.1.10 |A+B|≠|A|+|B|★☆☆☆☆判断题行列式对加法不线性展开题目与讲解

例 3.1.10 |A+B|≠|A|+|B|

设

A = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}), B = (\begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 10 \end{array}),

则

A + B = (\begin{array}{c} 0 & 6 \\ 0 & 12 \end{array}) .

有

| A | = 2, | B | = - 10, | A + B | = 0 .

故

| A + B | \neq | A | + | B | .

例 3.1.11 各列元素之和为 1 的矩阵★★★☆☆证明题列和恒定的矩阵乘法展开题目与讲解

例 3.1.11 各列元素之和为 1 的矩阵

设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ， $B = [b_{i j}]_{n \times n}$ ，矩阵 $A$ 和 $B$ 的每列元素之和都等于 1。设 $α$ 为 $n \times 1$ 矩阵，且每个元素都为 1。

(1) 计算 $α^{T} A$ ， $α^{T} B$ 。

(2) 证明：矩阵 $A B$ 的每列元素之和都等于 1。

解由已知得

\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} = 1, \sum_{i = 1}^{n} b_{i j} = 1 (j = 1, 2, \dots, n) .

(1)

α^{T} A = [1 1 \dots 1] (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array})

= [\sum_{i = 1}^{n} a_{i 1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i 2} \dots \sum_{i = 1}^{n} a_{i n}] = [1 1 \dots 1] = α^{T} .

同理可得 $α^{T} B = α^{T}$ 。

(2) 设 $A B = [c_{i j}]_{n \times n}$ ，则有

α^{T} (A B) = [\sum_{i = 1}^{n} c_{i 1} \sum_{i = 1}^{n} c_{i 2} \dots \sum_{i = 1}^{n} c_{i n}] .

另一方面，利用 (1) 可有

α^{T} (A B) = (α^{T} A) B = α^{T} B = [1 1 \dots 1],

从而 $\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} = 1$ （ $j = 1, 2, \dots, n$ ）。

思考设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的每列元素之和都等于 $k$ ， $n$ 阶矩阵 $B$ 的每列元素之和都等于 $t$ ，则 $A B$ 每列元素之和等于什么？

例 3.1.12 求 (AB)^n★★★★☆计算题秩为 1 矩阵的高次幂展开题目与讲解

例 3.1.12 求 (AB)^n

设

A = [1 2 3 4]^{T}, B = [1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4}] .

求 $(A B)^{n}$ （ $n \geq 2$ ）。

解

(A B)^{n} = (A B) (A B) \dots (A B) = A (B A) \dots (B A) B .

注意到

B A = [1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4}] (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = [4],

故

(B A)^{n - 1} = [4^{n - 1}] .

从而

(A B)^{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) [4^{n - 1}] [1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4}] = (\begin{array}{c} 4^{n - 1} \\ 2 \cdot 4^{n - 1} \\ 3 \cdot 4^{n - 1} \\ 4 \cdot 4^{n - 1} \end{array}) [1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4}]

= 4^{n - 1} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) [1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4}] = 4^{n - 1} (\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{4} \\ 4 & 2 & \frac{4}{3} & 1 \end{array}) .

注记本例表明若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 均为 $n \times 1$ 矩阵， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 均为数，则

α_{1} [k_{1}] + α_{2} [k_{2}] + \dots + α_{s} [k_{s}] = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} .

此结论在下文 4.2 节性质 4.2.2 和 4.2.3 中将扮演重要角色。

二§3.2 可逆矩阵选自 §3.25 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 3.2.1 可逆矩阵与逆矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使得 $A B = E = B A$ ，则称 $A$ 为可逆矩阵， $B$ 为 $A$ 的一个逆矩阵。

定义伴随矩阵 A*

设 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ，称矩阵

A^{*} = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{array})

为 $A$ 的伴随矩阵，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 的行列式 $| A |$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。

定理已掌握+

定理 3.2.1 可逆的充要条件与逆矩阵公式

$n$ 阶方阵 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ 可逆 $\Leftrightarrow | A | \neq 0$ 。且当 $A$ 可逆时

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*},

其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

证 必要性。因 $A$ 可逆，故有 $B$ 存在使得 $A B = E$ 。两边取行列式得

| A | | B | = | E | = 1 \neq 0,

从而 $| A | \neq 0$ 。

充分性。利用矩阵乘法及行列式按一行展开（1.4.1）有

A A^{*} = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{array})

= (\begin{array}{c} | A | & 0 & \dots & 0 \\ 0 & | A | & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & | A | \end{array}) = | A | E .

现 $| A | \neq 0$ ，故 $A (\frac{1}{| A |} A^{*}) = E$ 。同样计算知， $(\frac{1}{| A |} A^{*}) A = E$ 。按定义 3.2.1 知， $A$ 可逆，其逆为 $\frac{1}{| A |} A^{*}$ 。

推论由 AB=E 判定可逆

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵。若 $A B = E$ ，则 $A, B$ 均可逆，且 $A^{- 1} = B$ ， $B^{- 1} = A$ 。

证由 $A B = E$ ，两边取行列式得 $| A | | B | = 1$ 。故 $| A | \neq 0$ ， $| B | \neq 0$ 。据定理 3.2.1 知， $A, B$ 均可逆，从而 $A^{- 1}, B^{- 1}$ 均存在。在等式 $A B = E$ 两边左乘 $A^{- 1}$ 得 $A^{- 1} (A B) = A^{- 1} E$ ，即 $B = A^{- 1}$ 。同理在等式 $A B = E$ 两边右乘 $B^{- 1}$ 可得 $A = B^{- 1}$ 。

这推论表明若要证明" $A$ 可逆，且其逆为 $B$ "这样的结论成立，只要验算一下 $A B = E$ 即可。于是下述性质为显然。

性质已掌握+

说明可逆矩阵的唯一性

若 $A$ 是可逆矩阵，则 $A$ 的逆矩阵是惟一的。这是因为若 $B, C$ 均为 $A$ 的逆矩阵，则有

A B = E = B A, A C = E = C A .

从而

B = B E = B (A C) = (B A) C = E C = C .

由此可将 $A$ 的惟一逆矩阵记为 $A^{- 1}$ 。

性质 3.2.1 矩阵方程的解

若 $A$ 为可逆矩阵，则矩阵方程 $A X = C$ 有惟一解 $X = A^{- 1} C$ ；矩阵方程 $X A = C$ 有惟一解 $X = C A^{- 1}$ 。若 $A, B$ 均可逆，则矩阵方程 $A X B = C$ 有惟一解 $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ 。

请对照中学数学：当 $a \neq 0$ 时，解线性方程 $a x = c$ 。

性质 3.2.2 可逆矩阵的运算性质

(1) 设 $A$ 为可逆矩阵，则有如下性质：

1) $A^{- 1}$ 可逆，且 $(A^{- 1})^{- 1} = A$ ；

2) $k \neq 0$ 时， $k A$ 可逆，且 $(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$ ；

3) $A^{T}$ 可逆，且 $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ ；

4) $| A^{- 1} | = | A |^{- 1}$ ；

5) 若 $A B = O$ ，则 $B = O$ ；

6) 若 $A B = A C$ ，则 $B = C$ 。

(2) 若 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A B$ 可逆，且 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ 。

(3) 若 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A_{1} A_{2} \dots A_{k}$ 可逆，且

(A_{1} A_{2} \dots A_{k})^{- 1} = A_{k}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} A_{1}^{- 1} .

(4) 对角矩阵 $A = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 可逆 $\Leftrightarrow λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} \neq 0$ $\Leftrightarrow λ_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ 。

当 $A$ 可逆时， $A^{- 1} = diag [λ_{1}^{- 1}, λ_{2}^{- 1}, \dots, λ_{n}^{- 1}]$ 。

此处 (1) 之 5) 说可逆矩阵不是零因子。(1) 之 6) 说对可逆矩阵而言，矩阵乘法消去律成立（相当于在做除法）。

说明可逆矩阵与满秩矩阵的一致性

回忆 2.2 节性质 2.2.3，我们阐明了：

$n$ 阶方阵 $A$ 是满秩的 $\Leftrightarrow r (A) = n \Leftrightarrow | A | \neq 0$ 。

这样可逆矩阵与满秩矩阵两个概念是一致的， $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 的秩为 $n$ 。

说明用矩阵运算证明克拉默法则

利用定理 3.2.1，可简洁地证明第 1 章的克拉默法则。首先利用矩阵运算规律，可将线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

改写为

A X = b .

其中

A = [a_{i j}]_{n \times n}, X = [x_{1} x_{2} \dots x_{n}]^{T}, b = [b_{1} b_{2} \dots b_{n}]^{T} .

克拉默法则的条件是 $| A | = D \neq 0$ ，这相当于说 $A$ 可逆。故 $A^{- 1}$ 存在，在 $A X = b$ 两边左乘 $A^{- 1}$ 得 $X = A^{- 1} b = \frac{1}{| A |} A^{*} b$ ，即

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = \frac{1}{D} (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}) .

从而

x_{i} = \frac{1}{D} (b_{1} A_{1 i} + b_{2} A_{2 i} + \dots + b_{n} A_{n i}) = \frac{D_{i}}{D} .

最后一个等式是用 $D_{i}$ 按第 $i$ 列展开得到的。

解的惟一性也是清楚的。若 $X_{1}, X_{2}$ 均为 $A X = b$ 的解，则 $A X_{1} = b$ ， $A X_{2} = b$ ，从而 $A X_{1} = A X_{2}$ 。两边同时左乘 $A^{- 1}$ 即可得： $X_{1} = X_{2}$ 。

说明可逆性的判定与 A^{-1} 的计算量

按定理 3.2.1 对一个给定数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ ，判断其是否可逆，只要计算 $| A |$ 即可。但是当 $A$ 可逆时，用该定理确定 $A^{- 1}$ 的计算量随着 $n$ 增大迅速增加，但是当 $n = 2$ 时结论非常简单。

说明不是方阵不谈可逆

最后要指出的是：不是方阵就不论及可逆的概念，即使在方阵中，也不是所有的方阵都是可逆矩阵。可逆矩阵是方阵中那些行列式不为零的矩阵。

公式已掌握+

公式二阶方阵求逆

设 $A = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array})$ ，则 $| A | = a d - b c$ 。当 $a d - b c \neq 0$ 时 $A$ 可逆，其逆为

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{array}) = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) .

公式逆矩阵的基本公式

A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}, (A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}, (A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T},

| A^{- 1} | = | A |^{- 1}, (k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1} (k \neq 0), (A^{- 1})^{- 1} = A .

例题已掌握

例 3.2.1 二阶矩阵的逆★★☆☆☆计算题二阶方阵求逆公式展开题目与讲解

例 3.2.1 二阶矩阵的逆

设 $A = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array})$ ，则 $| A | = a d - b c$ 。当 $a d - b c \neq 0$ 时 $A$ 可逆，其逆为

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) .

例 3.2.2 由 A*BA=2BA−12E 求 B★★★★☆计算题矩阵方程的化简求解展开题目与讲解

例 3.2.2 由 A*BA=2BA−12E 求 B

已知 $A^{*} B A = 2 B A - 12 E$ ，其中 $A = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array})$ ，求 $B$ 。

解由 $A^{*} B A = 2 B A - 12 E$ 整理得， $(2 E - A^{*}) B A = 12 E$ 。故 $(2 E - A^{*})$ 可逆， $A$ 可逆。在该式两边左乘 $(2 E - A^{*})^{- 1}$ ，右乘 $A^{- 1}$ 得

B = 12 (2 E - A^{*})^{- 1} A^{- 1} = 12 (A (2 E - A^{*}))^{- 1}

= 12 (2 A - | A | E)^{- 1} = 12 (2 A + 2 E)^{- 1}

= 6 (A + E)^{- 1} .

由

A + E = (\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{array}),

得出

(A + E)^{- 1} = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}) .

故

B = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 12 & 6 \\ 0 & - 6 & 6 \end{array}) .

注记本例所用的方法可概括为：先化简，再代入计算。这种方法在解项数多于 2 的矩阵方程时经常用到。

例 3.2.3 由 A²−2A−3E=O 判断可逆并求逆★★★☆☆证明题由多项式关系判定可逆展开题目与讲解

例 3.2.3 由 A²−2A−3E=O 判断可逆并求逆

设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2} - 2 A - 3 E = O$ 。

(1) 证明： $A$ 为可逆矩阵，且求出 $A^{- 1}$ ；

(2) 证明： $A + 2 E$ 为可逆矩阵，且求出 $(A + 2 E)^{- 1}$ 。

解 (1) 将题设等式移项得： $A^{2} - 2 A = 3 E$ ，再恒等变形得

A (A - 2 E) = 3 E, A (\frac{1}{3} A - \frac{2}{3} E) = E .

据重要推论知， $A$ 为可逆矩阵，且 $A^{- 1} = \frac{1}{3} A - \frac{2}{3} E$ 。

(2) 类似 (1) 将题设等式恒等变形得

A (A + 2 E - 4 E) = 3 E, A (A + 2 E) - 4 A - 8 E = - 5 E,

A (A + 2 E) - 4 (A + 2 E) = - 5 E, - \frac{1}{5} (A - 4 E) (A + 2 E) = E .

据重要推论知， $A + 2 E$ 为可逆矩阵，且 $(A + 2 E)^{- 1} = - \frac{1}{5} (A - 4 E)$ 。

三§3.3 矩阵的分块选自 §3.34 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义分块矩阵与子矩阵

设 $A$ 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上纵、横贯穿整个矩阵的虚线，把这个矩阵分成若干小块，如

A = [a_{i j}]_{4 \times 3} = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array})

可以分成若干小块。被这种方法分成若干小块的矩阵称为一个分块矩阵。

在一个分块矩阵里，每一小块也可以看成一个矩阵（称为子矩阵）。如上例中，若记

A_{11} = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}), A_{12} = (\begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array}), A_{21} = (\begin{array}{c} a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42} \end{array}), A_{22} = (\begin{array}{c} a_{33} \\ a_{43} \end{array}),

则有

A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}) .

给了一个矩阵可以有多种不同的分块方法。为了方便，可将 $A$ 自己视为 1 个子块，也可将 $A$ 的每个元素视为 1 个子块（即把 $A$ 划分为 12 个小块）。以下两种分块是常用的。

(1) 按列分块，即

A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array}) = [α_{1} α_{2} α_{3}],

其中 $α_{i} = [a_{1 i} a_{2 i} a_{3 i} a_{4 i}]^{T}$ ， $i = 1, 2, 3$ 。

(2) 按行分块，即

A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{array}) = (\begin{array}{c} β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \\ β_{4} \end{array}),

其中 $β_{j} = [a_{j 1} a_{j 2} a_{j 3}]$ ， $j = 1, 2, 3, 4$ 。

定义 3.3.1 准对角矩阵

设分块矩阵

A = (\begin{array}{c} A_{1} & O & \dots & O \\ O & A_{2} & \dots & O \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ O & O & \dots & A_{t} \end{array}),

其中 $A_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, t$ ）都是方阵，则方阵 $A$ 称为准对角矩阵，简记为 $diag [A_{1}, A_{2}, \dots, A_{t}]$ 。

性质已掌握+

性质分块矩阵的加法

设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 矩阵。将 $A, B$ 按同样的方法进行适当分块

A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 q} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p 1} & A_{p 2} & \dots & A_{p q} \end{array}), B = (\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 q} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{p 1} & B_{p 2} & \dots & B_{p q} \end{array}),

其中 $A_{i j}, B_{i j}$ 都是 $m_{i} \times n_{j}$ 矩阵（ $i = 1, 2, \dots, p$ ； $j = 1, 2, \dots, q$ ），适合 $\sum_{i = 1}^{p} m_{i} = m$ ， $\sum_{j = 1}^{q} n_{j} = n$ 。容易直接验证

A + B = (\begin{array}{c} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} & \dots & A_{1 q} + B_{1 q} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} & \dots & A_{2 q} + B_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p 1} + B_{p 1} & A_{p 2} + B_{p 2} & \dots & A_{p q} + B_{p q} \end{array}) .

性质分块矩阵的数乘

$k \in P$ ， $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $A$ 的分法如上。容易直接验证

k A = (\begin{array}{c} k A_{11} & k A_{12} & \dots & k A_{1 q} \\ k A_{21} & k A_{22} & \dots & k A_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k A_{p 1} & k A_{p 2} & \dots & k A_{p q} \end{array}) .

性质分块矩阵的乘法

设 $A = [a_{i j}]_{m \times s}$ ， $B = [b_{i j}]_{s \times n}$ 。对矩阵 $A$ 列的分块方法与对矩阵 $B$ 行的分块方法一致。即

A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p 1} & A_{p 2} & \dots & A_{p t} \end{array}), B = (\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 q} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{t 1} & B_{t 2} & \dots & B_{t q} \end{array}),

其中 $\sum_{i = 1}^{p} m_{i} = m$ ， $\sum_{k = 1}^{t} s_{k} = s$ ， $\sum_{j = 1}^{q} n_{j} = n$ 。 $A_{i k}$ 是 $m_{i} \times s_{k}$ 子矩阵， $B_{k j}$ 是 $s_{k} \times n_{j}$ 子矩阵（ $i = 1, 2, \dots, p$ ； $k = 1, 2, \dots, t$ ； $j = 1, 2, \dots, q$ ）。可以证明（为篇幅计略去证明，有兴趣者可参见文献 $[1]$ ，210 页）

A B = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 q} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ C_{p 1} & C_{p 2} & \dots & C_{p q} \end{array}),

其中 $C_{i j} = A_{i 1} B_{1 j} + A_{i 2} B_{2 j} + \dots + A_{i t} B_{t j} = \sum_{k = 1}^{t} A_{i k} B_{k j}$ （ $i = 1, 2, \dots, p$ ； $j = 1, 2, \dots, q$ ）。

这表明此时分块矩阵 $A, B$ 之间乘法的规则如将子矩阵看成"数"与以数为元素的 $p \times t$ 矩阵乘 $t \times q$ 矩阵规则相同。

性质分块矩阵的转置

设分块矩阵

A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 q} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p 1} & A_{p 2} & \dots & A_{p q} \end{array}),

容易直接验证分块矩阵 $A$ 的转置矩阵为

A^{T} = (\begin{array}{c} A_{11}^{T} & A_{21}^{T} & \dots & A_{p 1}^{T} \\ A_{12}^{T} & A_{22}^{T} & \dots & A_{p 2}^{T} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 q}^{T} & A_{2 q}^{T} & \dots & A_{p q}^{T} \end{array}) .

性质分块矩阵求逆公式

对某一类矩阵作适当分块，可将高阶矩阵求逆归结为低阶矩阵求逆，从而简化计算。设 $A, B$ 分别为 $r$ 阶、 $s$ 阶可逆矩阵，则

{(\begin{array}{c} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array}),

特别地，当 $C = O$ 时有

{(\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array}) .

推导过程见例 3.3.5。

性质 3.3.1 准对角矩阵的运算

设

A = diag [A_{1}, A_{2}, \dots, A_{t}], B = diag [B_{1}, B_{2}, \dots, B_{t}],

其中 $A_{i}$ 及 $B_{i}$ 都是 $n_{i}$ 阶方阵（ $i = 1, 2, \dots, t$ ），则

(1) $A \pm B = diag [A_{1} \pm B_{1}, A_{2} \pm B_{2}, \dots, A_{t} \pm B_{t}]$ ；

(2) $k A = diag [k A_{1}, k A_{2}, \dots, k A_{t}]$ ；

(3) $A B = diag [A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, \dots, A_{t} B_{t}]$ ；

(4) $B A = diag [B_{1} A_{1}, B_{2} A_{2}, \dots, B_{t} A_{t}]$ ；

(5) $A^{m} = diag [A_{1}^{m}, A_{2}^{m}, \dots, A_{t}^{m}]$ ；

(6) $| A | = | A_{1} | | A_{2} | \dots | A_{t} |$ ；

(7) $A$ 可逆 $\Leftrightarrow A_{i} (i = 1, 2, \dots, t)$ 均可逆；且若 $A$ 可逆，则

A^{- 1} = diag [A_{1}^{- 1}, A_{2}^{- 1}, \dots, A_{t}^{- 1}] .

特别地，当 $A_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, t$ ）均为 $1 \times 1$ 矩阵（数）时，准对角阵 $A$ 就是 3.1 节中已引入的对角矩阵。

说明已掌握+

说明矩阵分块的原则

本节将介绍一种在处理行数和列数较大的矩阵的运算（特别是乘法）时常用的方法：矩阵分块。

矩阵按某种方法分块有两个原则：第一是要求作适当分块后，在矩阵运算中，可将子矩阵当作"数"，像普通的数为元素的矩阵一样运算。第二是尽量使运算能简单方便。因此矩阵分块时必须注意到矩阵的运算规则，对于不同的运算，矩阵分块的原则也不相同。

说明分块计算的实际意义

由于矩阵的加法和数乘比较简单，一般不需分块计算。而矩阵的乘法比较繁复，所以分块计算有较大的实际意义。

综上所述矩阵分块是矩阵运算中的一个很有效的方法，它不仅能使运算简明，而且在理论的推导中也起着重要作用。在下面有关章节中会经常采用矩阵分块这一方法。

说明由 AB=O 得到的结论

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times t$ 矩阵，若将 $B$ 按列分块，记作为 $B = [α_{1} α_{2} \dots α_{t}]$ ，则

A B = A [α_{1} α_{2} \dots α_{t}] = [A α_{1} A α_{2} \dots A α_{t}],

从而有

A B = O \Leftrightarrow A α_{i} = O, i = 1, 2, \dots, t .

这表明 $A B = O$ 的充要条件为 $B$ 的每一列 $α_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, t$ ）均为齐次线性方程组 $A X = O$ 的解。

说明例 3.3.4 与例 3.1.4 的比较

可将此例与例 3.1.4 比较。然要注意到 $α_{i}$ 为 $m \times 1$ 矩阵，故 $α_{i} α_{i}^{T}$ 为 $m \times m$ 矩阵， $α_{i}^{T} α_{j}$ 为 $1 \times 1$ 矩阵（数）（ $i, j = 1, 2, \dots, n$ ）。

例题已掌握

例 3.3.1 分块矩阵乘法★★★★☆计算题分块乘法简化计算展开题目与讲解

例 3.3.1 分块矩阵乘法

设

A = (\begin{array}{c} - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \end{array}) .

对 $A, B$ 作适当分块，计算 $A B$ 。

解将矩阵 $A, B$ 分块（比如先确定 $A$ 的分法，然后据此确定 $B$ 的分法，因 $B$ 的行的分法必须和 $A$ 的列的分法一致）。

A = (\begin{array}{c} - 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} A_{11} & E_{3} \\ 3 E_{2} & O_{2 \times 3} \end{array}),

B = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} O_{2 \times 3} & B_{12} \\ B_{21} & O_{3 \times 1} \end{array}) .

有

A B = (\begin{array}{c} A_{11} & E_{3} \\ 3 E_{2} & O_{2 \times 3} \end{array}) (\begin{array}{c} O_{2 \times 3} & B_{12} \\ B_{21} & O_{3 \times 1} \end{array}) = (\begin{array}{c} B_{21} & A_{11} B_{12} \\ O_{2 \times 3} & 3 B_{12} \end{array}) .

这样 $B_{21}, 3 B_{12}$ 可直接写出，仅需计算

A_{11} B_{12} = (\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 11 \\ 15 \end{array}) .

故

A B = (\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 & 4 \\ 1 & - 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 4 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{array}) .

例 3.3.2 按列分块表示乘法★★☆☆☆计算题列分块与对角阵右乘展开题目与讲解

例 3.3.2 按列分块表示乘法

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，若把 $A$ 按列分块，则

A = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] .

按分块矩阵的乘法规则，以下等式成立：

A A = A [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] = [A α_{1} A α_{2} \dots A α_{n}] .

A (\begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & n \end{array}) = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] (\begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & n \end{array})

= [α_{1} 2 α_{2} \dots n α_{n}] .

例 3.3.3 AB=O 的列形式与参数求值★★★☆☆计算题零因子与奇异矩阵展开题目与讲解

例 3.3.3 AB=O 的列形式与参数求值

(1) 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times t$ 矩阵，若将 $B$ 按列分块，记作为 $B = [α_{1} α_{2} \dots α_{t}]$ ，则

A B = A [α_{1} α_{2} \dots α_{t}] = [A α_{1} A α_{2} \dots A α_{t}],

从而有

A B = O \Leftrightarrow A α_{i} = O, i = 1, 2, \dots, t .

这表明 $A B = O$ 的充要条件为 $B$ 的每一列 $α_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, t$ ）均为齐次线性方程组 $A X = O$ 的解。

(2) 设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & a & - 4 \\ 2 & 4 & 2 a \end{array})$ ，若存在非零矩阵 $B_{3 \times t}$ 使得 $A B = O$ ，则 $a =$ ？

解因 $B$ 为非零矩阵，所以 $B$ 的 $t$ 列中至少有一列不全为零。据 (1) 知， $A X = O$ 有非零解。利用定理 2.3.2 推论 2 知， $| A | = 0$ 。而

| A | = | \begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & a & - 4 \\ 2 & 4 & 2 a \end{array} | = 2 (a + 2)^{2},

所以应填 $- 2$ 。

例 3.3.4 计算 AA^T 与 A^T A★★★☆☆计算题列分块表示 Gram 矩阵展开题目与讲解

例 3.3.4 计算 AA^T 与 A^T A

将 $m \times n$ 矩阵 $A$ 按列分块 $A = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}]$ ，由此计算 $A A^{T}$ ， $A^{T} A$ 。

解

A A^{T} = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] (\begin{array}{c} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ ⋮ \\ α_{n}^{T} \end{array}) = [α_{1} α_{1}^{T} + α_{2} α_{2}^{T} + \dots + α_{n} α_{n}^{T}];

A^{T} A = (\begin{array}{c} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ ⋮ \\ α_{n}^{T} \end{array}) [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] = (\begin{array}{c} α_{1}^{T} α_{1} & α_{1}^{T} α_{2} & \dots & α_{1}^{T} α_{n} \\ α_{2}^{T} α_{1} & α_{2}^{T} α_{2} & \dots & α_{2}^{T} α_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{n}^{T} α_{1} & α_{n}^{T} α_{2} & \dots & α_{n}^{T} α_{n} \end{array}) .

例 3.3.5 分块三角矩阵求逆★★★★☆证明题分块三角阵求逆展开题目与讲解

例 3.3.5 分块三角矩阵求逆

设分块矩阵

P = {(\begin{array}{c} A & O \\ C & B \end{array})}_{r + s},

其中 $A, B$ 分别为 $r$ 阶、 $s$ 阶可逆矩阵。求证： $P$ 可逆，且求出 $P^{- 1}$ 。

证由 1.6 节行列式基本形知， $| P | = | A | | B | \neq 0$ ，故 $P$ 可逆，从而 $P^{- 1}$ 存在，将 $P^{- 1}$ 按与 $P$ 相同的分法分块。可设

P^{- 1} = (\begin{array}{c} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array}),

其中 $X_{11}, X_{22}$ 分别为 $r$ 阶、 $s$ 阶方阵。由 $P P^{- 1} = E$ 得

(\begin{array}{c} A & O \\ C & B \end{array}) (\begin{array}{c} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & E_{s} \end{array}),

(\begin{array}{c} A X_{11} & A X_{12} \\ C X_{11} + B X_{21} & C X_{12} + B X_{22} \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & E_{s} \end{array}) .

由矩阵相等定义知

{\begin{cases} A X_{11} = E_{r}, \\ A X_{12} = O, \\ C X_{11} + B X_{21} = O, \\ C X_{12} + B X_{22} = E_{s} . \end{cases}

因 $A$ 可逆，故从第 1、2 式可导出： $X_{11} = A^{- 1}$ ， $X_{12} = O$ ，代入第 3、4 式得

{\begin{cases} C A^{- 1} + B X_{21} = O, \\ B X_{22} = E_{s} . \end{cases}

解得 $X_{21} = - B^{- 1} C A^{- 1}$ ， $X_{22} = B^{- 1}$ 。所以

P^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array}) .

特别地，当 $C = O$ 时有

{(\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array}) .

例 3.3.6 准对角矩阵求逆★★★☆☆计算题准对角矩阵求逆展开题目与讲解

例 3.3.6 准对角矩阵求逆

设

A = (\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 5 \end{array}),

证明： $A$ 是可逆矩阵，且求出 $A^{- 1}$ 。

解将 $A$ 分块为 $A = diag [A_{1}, A_{2}, A_{3}]$ ，其中

A_{1} = [- 2], A_{2} = (\begin{array}{c} 6 & 1 \\ - 10 & - 2 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}) .

由 $| A | = | A_{1} | | A_{2} | | A_{3} | = (- 2) \times (- 2) \times (- 1) = - 4 \neq 0$ 知， $A$ 可逆，且 $A^{- 1} = diag [A_{1}^{- 1}, A_{2}^{- 1}, A_{3}^{- 1}]$ 。而

A_{1}^{- 1} = [- \frac{1}{2}], A_{2}^{- 1} = - \frac{1}{2} (\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 10 & 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ - 5 & - 3 \end{array}),

A_{3}^{- 1} = - (\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array}) .

故

A^{- 1} = (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ [4 p t] 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ [4 p t] 0 & - 5 & - 3 & 0 & 0 \\ [4 p t] 0 & 0 & 0 & - 5 & 2 \\ [4 p t] 0 & 0 & 0 & 3 & - 1 \end{array}) .

四§3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵选自 §3.45 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 3.4.1 初等矩阵

对单位矩阵 $E_{n}$ 施行一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。

据此对单位矩阵 $E_{n}$ 施行三种初等变换所对应的初等矩阵分别为

(1) 互换 $R_{i j}$ （或 $C_{i j}$ ）：将 $E_{n}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换，所得矩阵记为 $E (i, j)$ ，即

E (i, j) = (\begin{array}{c} 1 \\ ⋱ \\ 0 & \dots & 1 \\ ⋮ & 1 & ⋮ \\ 1 & \dots & 0 \\ ⋱ \end{array}),

即它与 $E_{n}$ 只在第 $i$ 、 $j$ 行（列）的交叉位置处不同：第 $(i, i)$ 、 $(j, j)$ 位置为 0，第 $(i, j)$ 、 $(j, i)$ 位置为 1，其余位置与 $E_{n}$ 相同；

(2) 倍乘 $k R_{i}$ （或 $k C_{i}$ ）：将 $E_{n}$ 的第 $i$ 行（列）乘上非零数 $k$ ，所得矩阵记为 $E (i (k))$ ， $k \neq 0$ ；

(3) 倍加 $R_{i} + k R_{j}$ （或 $C_{i} + k C_{j}$ ）：将 $E_{n}$ 的第 $j$ 行乘 $k$ 加到第 $i$ 行（当 $i < j$ 时），所得矩阵记为 $E (i + j (k), j)$ 。

定理已掌握+

定理 3.4.1 初等变换与初等矩阵的对应

对矩阵 $A_{m \times n}$ 施行一次初等行变换相当于在 $A_{m \times n}$ 的左边乘一个相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A_{m \times n}$ 施行一次初等列变换相当于在 $A_{m \times n}$ 的右边乘一个相应的 $n$ 阶初等矩阵。

证将矩阵 $A_{m \times n}$ 按行分块，且记 $A$ 的第 $i$ 行为 $β_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, m$ ），则

A = (\begin{array}{c} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{array}) .

(1) 矩阵 $A_{m \times n}$ 左边乘一个 $m$ 阶初等矩阵 $E (i, j)$ 得

E (i, j) A = (\begin{array}{c} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{j} \\ ⋮ \\ β_{i} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{array}),

这相当于对矩阵 $A$ 施行初等行变换 $R_{i j}$ （互换）。

(2) 矩阵 $A_{m \times n}$ 左乘一个 $m$ 阶初等矩阵 $E (i (k))$ ， $k \neq 0$ 得

E (i (k)) A = (\begin{array}{c} β_{1} \\ ⋮ \\ k β_{i} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{array}),

这相当于对矩阵 $A$ 施行初等行变换 $k R_{i}$ （倍乘）。

(3) 矩阵 $A_{m \times n}$ 左乘一个 $m$ 阶初等矩阵 $E (i + j (k), j)$ （ $i < j$ ）得

E (i + j (k), j) A = (\begin{array}{c} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{i} + k β_{j} \\ ⋮ \\ β_{j} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{array}),

这相当于对矩阵 $A$ 施行初等行变换 $R_{i} + k R_{j}$ （倍加）。

至此有关初等行变换结论已证得。

若将矩阵 $A_{m \times n}$ 按列分块，类似讨论可证得有关初等列变换的结论，此不赘述。

推论 1 初等变换化标准形

设 $A_{m \times n}$ 是秩为 $r$ 矩阵，则存在 $m$ 阶初等矩阵 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{s}$ ； $n$ 阶初等矩阵 $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{t}$ 使得

P_{s} \dots P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) .

若记 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} = P$ ， $Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = Q$ 。据性质 3.2.2 之 (3) 知， $P$ 和 $Q$ 均为可逆矩阵。从而推论 1 可表述如下。

推论 2 等价标准形的乘积表示

设 $A_{m \times n}$ 是秩为 $r$ 的矩阵，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ， $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使得

P A Q = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) .

推论 3 可逆矩阵与初等矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A$ 可表为初等矩阵的乘积。从而有 $A$ 是可逆矩阵 $\Leftrightarrow A$ 可表示为初等矩阵的乘积。

证 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，有 $r (A) = n$ 。据推论 1 知

P_{s} \dots P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = E,

故

A = P_{1}^{- 1} P_{2}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1} Q_{t}^{- 1} \dots Q_{2}^{- 1} Q_{1}^{- 1} .

据性质 3.4.1 知， $P_{i}^{- 1}, Q_{j}^{- 1}$ （ $i = 1, 2, \dots, s$ ； $j = 1, 2, \dots, t$ ）均为初等矩阵，故推论得证。

推论 4 可逆矩阵乘积的秩不变

若 $A, B$ 均为可逆矩阵，则

r (A C) = r (C); r (C B) = r (C); r (A C B) = r (C) .

证综合推论 3 和定理 2.2.2 即得。

推论 5 可逆矩阵经初等变换化为单位矩阵

可逆矩阵 $A$ 仅施行初等行（或列）变换即可化为单位矩阵。

证由推论 3 知

A = P_{1}^{- 1} P_{2}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1} Q_{t}^{- 1} \dots Q_{2}^{- 1} Q_{1}^{- 1},

两边左乘 $Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1}$ ，得

Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1} A = E .

这表明 $A$ 可仅施行初等行变换化为单位矩阵。

在 $A = P_{1}^{- 1} P_{2}^{- 1} \dots P_{s}^{- 1} Q_{t}^{- 1} \dots Q_{2}^{- 1} Q_{1}^{- 1}$ 两边右乘 $Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1}$ 得

A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1} = E .

这表明 $A$ 可仅施行初等列变换化为单位矩阵。

性质已掌握+

性质初等矩阵的逆矩阵

利用定理 3.2.1 的推论，可直接验证下列性质。

初等矩阵为可逆矩阵，且它们的逆矩阵仍为初等矩阵。具体地说：

$E (i, j)$ 可逆，其逆为 $E^{- 1} (i, j) = E (i, j)$ ；

$E (i (k))$ 可逆，其逆为 $E^{- 1} (i (k)) = E (i (\frac{1}{k}))$ ；

$E (i + j (k), j)$ 可逆，其逆为 $E^{- 1} (i + j (k), j) = E (i + j (- k), j)$ 。

说明已掌握+

说明用初等变换求逆矩阵的方法

利用推论 5 可得出求矩阵的逆矩阵常用方法：用初等变换来求逆矩阵。

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1} A = E$ 成立，两边右乘 $A^{- 1}$ 得

Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1} E = A^{- 1} .

两式表明：如施行若干个初等行变换可将可逆矩阵 $A$ 化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行到单位矩阵 $E$ 上就得到 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ 。从而构造一个 $n \times 2 n$ 矩阵 $[A ⋮ E]$ 就有

Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} P_{s} \dots P_{2} P_{1} [A ⋮ E] = [E ⋮ A^{- 1}] .

这表明对 $[A ⋮ E]$ 施行初等行变换，当将它左半部矩阵 $A$ 化为单位矩阵，那么它的右半部的单位矩阵 $E$ 就同时化为 $A^{- 1}$ 。即有

[A ⋮ E] ⟶ [E ⋮ A^{- 1}],

其中箭头表示施行初等行变换。同理可推导出

(\begin{array}{c} A \\ \dots \\ E \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} E \\ \dots \\ A^{- 1} \end{array}),

其中箭头表示施行初等列变换。

说明用初等变换解矩阵方程

求可逆矩阵的逆矩阵，可理解为当 $A$ 可逆时求矩阵方程 $A X = E$ 的解。据此可考虑当 $A$ 可逆时，求矩阵方程 $A X = B$ 的解。显见惟一解为 $X = A^{- 1} B$ 。按常规欲求 $X$ 要先计算出 $A^{- 1}$ ，再算出 $A^{- 1} B$ 。然据

A^{- 1} [A ⋮ B] = [E ⋮ A^{- 1} B],

表明施行若干初等行变换可将可逆矩阵 $A$ 化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行于 $B$ 就得到 $A^{- 1} B$ 。即

[A ⋮ B] ⟶ [E ⋮ A^{- 1} B]

（箭头表示施行初等行变换）。这是求解矩阵方程 $A X = B$ 较为简便的方法。

同样当 $A$ 可逆时，求矩阵方程 $X A = B$ 的惟一解 $X = B A^{- 1}$ ，亦可用初等列变换较为简便地求得

(\begin{array}{c} A \\ \dots \\ B \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} E \\ \dots \\ B A^{- 1} \end{array})

（箭头表示施行初等列变换）。

于是当 $A, B$ 均为可逆矩阵时，可用初等行（列）变换求矩阵方程 $A X B = C$ 的惟一解 $X = A^{- 1} C B^{- 1}$ ：

[A ⋮ C] ⟶ [E ⋮ A^{- 1} C],

(\begin{array}{c} B \\ \dots \\ A^{- 1} C \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} E \\ \dots \\ A^{- 1} C B^{- 1} \end{array}) .

说明任意秩 r 矩阵的标准形

在 2.1 节和 2.2 节中定理 2.1.2 和定理 2.2.2 表明：若 $A_{m \times n}$ 是一个秩为 $r$ 的矩阵，则通过初等行变换，列互换可化为约化阶梯形矩阵

B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & c_{1, r + 1} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & c_{2, r + 1} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & c_{r, r + 1} & \dots & c_{r n} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array}) .

如还允许作列的倍加，则可将 $B$ 的前 $r$ 列的适当倍数分别加到第 $r + 1, \dots,$ 第 $n$ 列上， $B$ 可进一步化简为

{(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array})}_{m \times n} = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) .

这表明任意一个秩为 $r$ 的矩阵 $A_{m \times n}$ 通过初等行变换，初等列变换可化为

{(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})}_{m \times n} .

本节将指出初等行（列）变换可通过左（右）乘相应的矩阵而实现。

例题已掌握

例 3.4.1 用初等变换化标准形并写出初等矩阵★★★★☆计算题初等变换与初等矩阵的对应展开题目与讲解

例 3.4.1 用初等变换化标准形并写出初等矩阵

设

A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & - 8 \\ 3 & - 6 & - 3 & 12 \end{array}),

对 $A$ 依次施行 $R_{3} + \frac{3}{2} R_{2}$ 、 $R_{2} + 2 R_{1}$ 得

A ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),

再施行 $\frac{1}{4} R_{2}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),

再施行 $C_{3} + C_{1}$ 、 $C_{4} + 2 C_{2}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{2} & O \\ O & O \end{array}) .

这些初等行变换，初等列变换所对应的初等矩阵为

由 $R_{3} + \frac{3}{2} R_{2}$ 得到

P_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 \end{array}),

由 $R_{2} + 2 R_{1}$ 得到

P_{2} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}),

由 $\frac{1}{4} R_{2}$ 得到

P_{3} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}),

由 $C_{3} + C_{1}$ 得到

Q_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}),

由 $C_{4} + 2 C_{2}$ 得到

Q_{2} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) .

利用定理 3.4.1 的推论 1 有

P_{3} P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} = (\begin{array}{c} E_{2} & O \\ O & O \end{array}) .

若记 $P_{3} P_{2} P_{1} = P$ ， $Q_{1} Q_{2} = Q$ 就有

P A Q = (\begin{array}{c} E_{2} & O \\ O & O \end{array}) .

例 3.4.2 用初等行变换求逆矩阵★★★☆☆计算题初等行变换求逆展开题目与讲解

例 3.4.2 用初等行变换求逆矩阵

求可逆矩阵

A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array})

的逆矩阵。

解

[A ⋮ E] = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}),

施行 $R_{2} - 3 R_{1}$ 、 $R_{3} + R_{1}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 6 & - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}),

施行 $R_{23}$ （互换第 2、3 行）得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 5 & - 6 & - 3 & 1 & 0 \end{array}),

施行 $R_{1} - 2 R_{2}$ 、 $R_{3} + 5 R_{2}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & 1 & 5 \end{array}),

施行 $- R_{3}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - 1 & - 5 \end{array}),

施行 $R_{2} - R_{3}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - 1 & - 5 \end{array}) .

故

A^{- 1} = (\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 2 \\ 3 & 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & - 5 \end{array}) .

例 3.4.3 用初等变换解 AX=B★★★★☆计算题解矩阵方程 AX=B展开题目与讲解

例 3.4.3 用初等变换解 AX=B

试用初等变换求解矩阵方程 $A X = B$ ，其中

A = {(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array})}_{n \times n}, B = {(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 0 & 1 & 2 & \dots & n - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & n - 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array})}_{n \times n} .

解由 $| A | = 1 \neq 0$ 知， $A$ 可逆，故而 $X = A^{- 1} B$ 。下用初等行变换求出 $X$ ：

[A ⋮ B] = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 0 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 & 1 & 2 & \dots & n - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 1 & 0 & 0 & 1 & \dots & n - 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}),

依次施行 $R_{1} - R_{2}$ ， $R_{2} - R_{3}$ ， $\dots$ ， $R_{n - 1} - R_{n}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) .

故

X = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) = A .

例 3.4.4 用初等变换解 AXB=C★★★★★计算题两次初等变换解 AXB=C展开题目与讲解

例 3.4.4 用初等变换解 AXB=C

试用初等变换求解矩阵方程 $A X B = C$ ，其中

A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 7 & 9 \\ 4 & 5 \end{array}), C = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}) .

解 $| A | = 1 \neq 0$ ， $| B | = - 1 \neq 0$ ，故 $A, B$ 可逆。先计算

[A ⋮ C] = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 3 \end{array}),

施行 $R_{2} - 2 R_{1}$ 、 $R_{3} - R_{1}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & - 3 & - 4 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}),

施行 $R_{23}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & - 4 & - 1 & - 4 \end{array}),

施行 $R_{1} - 2 R_{2}$ 、 $R_{3} + 3 R_{2}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \end{array}),

施行 $R_{1} + R_{3}$ 、 $R_{2} + R_{3}$ 、 $(- 1) R_{3}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 \end{array}) .

故

A^{- 1} C = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}) .

再计算

(\begin{array}{c} B \\ \dots \\ A^{- 1} C \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 & 9 \\ 4 & 5 \\ \dots & \dots \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}),

施行 $C_{2} - \frac{9}{7} C_{1}$ 、 $\frac{1}{7} C_{1}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ \frac{4}{7} & - \frac{1}{7} \\ \dots & \dots \\ \frac{1}{7} & - \frac{16}{7} \\ \frac{3}{7} & - \frac{27}{7} \\ - \frac{2}{7} & \frac{25}{7} \end{array}),

施行 $C_{1} + 4 C_{2}$ 、 $- 7 C_{2}$ 得

⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \dots & \dots \\ - 9 & 16 \\ - 15 & 27 \\ 14 & - 25 \end{array}) .

故

X = A^{- 1} C B^{- 1} = (\begin{array}{c} - 9 & 16 \\ - 15 & 27 \\ 14 & - 25 \end{array}) .

五§3.5 矩阵的等价和等价标准形选自 §3.55 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 3.5.1 矩阵的等价

设 $A, B$ 均为 $m \times n$ 矩阵。若 $A$ 经过若干次初等行、列变换可化为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价。

由定义表明矩阵的等价关系是两个矩阵间的关系（二元关系）。即两个 $m \times n$ 矩阵或等价，或不等价。这样前文所述一个秩为 $r$ 的矩阵 $A$ 可通过初等行、列变换化为 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})$ ，按现在定义来说就是如下性质。

定理已掌握+

定理 3.5.1 矩阵等价的充要条件

设 $A, B$ 均为 $m \times n$ 矩阵，则下述条件中的每一个均为 $A$ 与 $B$ 等价的充要条件：

(1) 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 与 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ 使 $P A Q = B$ ；

(2) $r (A) = r (B)$ ；

(3) $A, B$ 有相同的等价标准形。

证 (1) 用定理 3.4.1 及其推论即得。

(2) 因初等变换不改变矩阵的秩，故必要性是显然的。下证充分性。设 $r (A) = r (B) = r$ 。据性质 3.5.1 知

A \sim (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}), B \sim (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}),

其中 $\sim$ 表示等价。

据对称性有

(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) \sim B,

利用传递性即得 $A$ 与 $B$ 等价。

(3) 容易得出条件 (2) $\Leftrightarrow$ (3)。

注记本定理中的 (1) 也常作为两个矩阵等价的定义。

性质已掌握+

性质 3.5.1 等价标准形

设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的矩阵，则 $A$ 与 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})$ 等价，并称 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})$ 为 $A$ 的等价标准形。

性质 3.5.2 等价关系的三条性质

由等价的定义容易得出等价关系有下述性质。矩阵间的等价关系适合

(1) 自反性：任意矩阵 $A$ 与自身等价；

(2) 对称性：若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $B$ 与 $A$ 等价；

(3) 传递性：若 $A$ 与 $B$ 等价， $B$ 与 $C$ 等价，则 $A$ 与 $C$ 等价。

说明已掌握+

说明等价类与标准形

矩阵等价关系为我们提供研究矩阵的一种方法：把所有的 $m \times n$ 矩阵按等价分类，即把彼此等价的（即秩相同的）归成一类，称为等价类。每一类都有一个标准形（其实就是这一类中形式最简单的矩阵），如秩为 $r$ 的等价类的标准形为

(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}),

而秩为 $r$ 的等价类中其他矩阵均形如

P (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q,

其中 $P, Q$ 为可逆矩阵。

这种想法对解决一些问题很有帮助。

说明本节的任务

本节将在矩阵间引进一种（二元）关系，并利用这种关系来解决一些问题。

例题已掌握

例 3.5.1 分块对角阵的秩★★★★☆计算题分块对角阵的秩展开题目与讲解

例 3.5.1 分块对角阵的秩

设 $G = (\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array})$ ，其中 $r (A) = r$ ， $r (B) = s$ ，求 $r (G)$ 。

解首先考虑 $A, B$ 均为标准形：

A = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}), B = (\begin{array}{c} E_{s} & O \\ O & O \end{array}) .

此时

G = (\begin{array}{c} E_{r} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ O & O & E_{s} & O \\ O & O & O & O \end{array}) .

显见此时 $r (G) = r + s$ 。

在一般情形下

P_{1} A Q_{1} = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}), P_{2} B Q_{2} = (\begin{array}{c} E_{s} & O \\ O & O \end{array}),

其中 $P_{1}, P_{2}, Q_{1}, Q_{2}$ 为可逆矩阵。故可有

(\begin{array}{c} P_{1} & O \\ O & P_{2} \end{array}) (\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array}) (\begin{array}{c} Q_{1} & O \\ O & Q_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} P_{1} A Q_{1} & O \\ O & P_{2} B Q_{2} \end{array})

= (\begin{array}{c} E_{r} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ O & O & E_{s} & O \\ O & O & O & O \end{array}) .

由于 $(\begin{array}{c} P_{1} & O \\ O & P_{2} \end{array})$ ， $(\begin{array}{c} Q_{1} & O \\ O & Q_{2} \end{array})$ 均为可逆矩阵，故得 $r (G) = r + s$ 。

例 3.5.2 行满秩矩阵的右逆★★★★☆证明题行满秩矩阵存在右逆展开题目与讲解

例 3.5.2 行满秩矩阵的右逆

设 $A$ 是 $m \times n$ （ $m \leq n$ ）矩阵， $r (A) = m$ （这类矩阵称为行满秩的），证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ 使 $A B = E_{m}$ 。

证首先考虑 $A$ 为标准形 $[E_{m} O]$ ，则可取 $B = (\begin{array}{c} E_{m} \\ O \end{array})$ 。此时

A B = [E_{m} O] (\begin{array}{c} E_{m} \\ O \end{array}) = E_{m} .

一般情况下， $A = P [E_{m} O] Q$ ， $P$ 和 $Q$ 为可逆矩阵。故取

B = Q^{- 1} (\begin{array}{c} E_{m} \\ O \end{array}) P^{- 1}

即适合要求。

例 3.5.3 乘积的秩不超过因子的秩★★★☆☆证明题秩的单调性展开题目与讲解

例 3.5.3 乘积的秩不超过因子的秩

证明： $r (A B) \leq r (A)$ ； $r (A B) \leq r (B)$ 。

证设 $r (A) = r$ ，则 $A = P (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q$ ，其中 $P, Q$ 为可逆矩阵。利用定理 3.4.1 的推论 4，有

r (A B) = r (P (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B) = r ((\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B) .

将 $Q B$ 适当分块

Q B = (\begin{array}{c} C_{1} \\ C_{2} \end{array}),

此处 $C_{1}$ 为 $r$ 行矩阵。从而

(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) (\begin{array}{c} C_{1} \\ C_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} C_{1} \\ O \end{array}),

最多只有 $r$ 行不全为零，故它的任意一个 $r + 1$ 阶子式必为零，所以

r (A B) = r ((\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q B) \leq r = r (A) .

另一方面

r (A B) = r ((\begin{array}{c} C_{1} \\ O \end{array})) \leq r (\begin{array}{c} C_{1} \\ C_{2} \end{array}) = r (Q B) = r (B),

其中用到 $Q$ 可逆。

所以， $r (A B) \leq r (B)$ 。

六§3.6 概要及小结选自 §3.63 个知识分组 · 含例题

性质已掌握+

性质秩的常用结论

直接从定义出发求一个矩阵的秩，除了一些特殊矩阵，如阶梯形矩阵外，一般均不方便。鉴于初等变换不改变矩阵的秩，把一个矩阵用初等行（列）变换化为阶梯形矩阵，然后求出其秩，是计算题中常用的方法，在证明题中利用下述一些有关秩的结论是很有用的。

(1) $r (A_{m \times n}) \leq min {m, n}$ 。

(2) $r (A B) \leq r (A)$ ； $r (A B) \leq r (B)$ 。

(3) 若 $A, B$ 均为可逆矩阵，则

r (A C) = r (C); r (C B) = r (C); r (A C B) = r (C) .

(4) $r ((\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array})) = r ((\begin{array}{c} O & A \\ B & O \end{array})) = r (A) + r (B)$ 。

(5) $r (A + B) \leq r (A) + r (B)$ 。

(6) $r (A) + r (B) - n \leq r (A B) \leq min {r (A), r (B)}$ ，

此处 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数（矩阵 $B$ 的行数）。

(7) 若 $A B = O$ ，则 $r (A) + r (B) \leq n$ ，

此处 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数（矩阵 $B$ 的行数）。

(8) 若 $A$ 为列满秩矩阵，则 $r (A B) = r (B)$ ；

若 $B$ 为行满秩矩阵，则 $r (A B) = r (A)$ 。

(9) $A, B, C$ 为同阶方阵，则

r (A B) + r (B C) \leq r (B) + r (A B C) .

注记凡打" $*$ "结论的证明可参阅附录四，其中 (7) 的证明也可参阅例 4.6.4。

说明已掌握+

说明本章概要

概要：矩阵的概念及运算；两种方法：矩阵分块和等价标准形；秩。

本章要点可归纳为三部分：矩阵的运算（数乘、加法、乘法、转置），两种方法（矩阵分块、等价标准形），以及秩。

说明 3.6.1 矩阵的运算

(1) 数域 $P$ 上 $m \times n$ 矩阵作为某种变换（将在第 4 章讨论）的代数形式，其运算实质上反映了这类变换的运算规律。由于矩阵的加法归结为对应数表的加法，所以矩阵的加法和数的加法相比仅有量的增多，而无质的改变。因而两者遵循相同的运算规律，如交换性、结合性等。鉴于矩阵乘法的特殊性（实际上是这类变换相乘规则所反映出来的特殊性），使得矩阵乘法和数的乘法差异甚大。如矩阵乘法

1) 交换律不成立；

2) 有零因子；

3) 消去律不成立。

这就使得许多中学所熟悉的有关数运算的公式，在矩阵中相应公式未必成立。这是在矩阵理论推导中务必注意的。

说明逆矩阵的意义与可逆矩阵的性质

(2) 引进逆矩阵实质上是希望在某些方阵中可做除法。其思想是把除法看成乘法的逆运算，其方法是类比对倒数引入逆矩阵，其结果是

即

| A | \neq 0,

（数中是： $a$ 有倒数 $\Leftrightarrow a \neq 0$ ）。

可逆矩阵在运算中恰好具有如同非零数在数的运算中类似的一些性质：

1) 可逆矩阵不是零因子。 $A$ 可逆（ $| A | \neq 0$ ），若 $A B = O$ ，则 $B = O$ （ $a \neq 0$ ，若 $a b = 0$ ，则 $b = 0$ ）。

2) 可逆矩阵适合乘法消去律。 $A$ 可逆（ $| A | \neq 0$ ），若 $A B = A C$ ，则 $B = C$ （ $a \neq 0$ ，若 $a b = a c$ ，则 $b = c$ ）。

3) 含可逆矩阵的矩阵（线性）方程可解。若 $A$ 可逆（ $| A | \neq 0$ ），则 $A X = B$ 有惟一解 $X = A^{- 1} B$ （ $a \neq 0$ ，则 $a x = b$ 有惟一解 $x = a^{- 1} b$ ）。

从以上性质看，我们是借助可逆矩阵在某些方阵运算中实施了除法。

说明求逆矩阵的方法

(3) 当 $A$ 可逆时，求 $A$ 逆矩阵方法有

1) $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$ 。这是一个基本结论，在证明中常用到。值得注意的是每一个方阵 $A$ 不论其是否可逆都有伴随矩阵 $A^{*}$ ，而且等式 $A A^{*} = A^{*} A = | A | E$ 不论 $A$ 是否可逆均成立，只是在 $A$ 不可逆时 $A A^{*} = A^{*} A = | A | E = O$ 而已。这些结果在推导中更常用到。用此基本结论于具体计算 $A^{- 1}$ 时，当 $n$ 较大时因计算量较大而不常用。但当 $n = 2$ 时可直接写出。设

A = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}),

若 $| A | = a d - b c \neq 0$ ，则

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) .

2) 利用初等变换。计算题时常用此法。

[A ⋮ E] ⟶ [E ⋮ A^{- 1}];

(\begin{array}{c} A \\ \dots \\ E \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} E \\ \dots \\ A^{- 1} \end{array}) .

3) 分块求逆。

(a) 若

A = diag [A_{1}, A_{2}, \dots, A_{t}],

则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow A_{i}$ 均可逆（ $i = 1, 2, \dots, t$ ）。 $A$ 可逆时

A^{- 1} = diag [A_{1}^{- 1}, A_{2}^{- 1}, \dots, A_{t}^{- 1}] .

(b) 若

G_{1} = (\begin{array}{c} A & O \\ C & B \end{array}), G_{2} = (\begin{array}{c} A & C \\ O & B \end{array}), G_{3} = (\begin{array}{c} O & A \\ B & C \end{array}), G_{4} = (\begin{array}{c} C & A \\ B & O \end{array}),

其中 $A, B$ 为方阵，则 $G_{i}$ 可逆 $\Leftrightarrow A, B$ 均可逆（ $i = 1, 2, 3, 4$ ）， $G_{i}$ 可逆时

G_{1}^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array}), G_{2}^{- 1} = (\begin{array}{c} A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array}),

G_{3}^{- 1} = (\begin{array}{c} - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array}), G_{4}^{- 1} = (\begin{array}{c} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \end{array}) .

4) 处理"证明 $A$ 可逆，且求出 $A^{- 1}$ "一类问题时，常用定理 3.2.1 的推论，设法找一个 $B$ 使 $A B = E$ 。这样就证明了 $A$ 可逆，其逆为 $B$ 。如 $A^{2} = 2 E$ ，则有

(A + E) (A - E) = E,

所以 $A + E$ 可逆，且 $(A + E)^{- 1} = A - E$ ； $A - E$ 可逆，且 $(A - E)^{- 1} = A + E$ 。

说明 3.6.2 两种方法

(1) 分块矩阵（包括分块矩阵的初等变换）。

(2) 等价和等价的标准形。

两个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 与 $B$ 等价 $\Leftrightarrow r (A) = r (B)$ 。秩是等价变换的不变量。而在秩为 $r$ 的等价类中，标准形 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})$ 是最简单的矩阵。

解题时这两种方法常交融在一起联合使用（等价标准形就是一个分块矩阵），3.5 节的 3 个例题就是这样，下例也如此。

最后还须指出，本章介绍的用初等变换求秩、求逆矩阵，以及矩阵等价标准形等，都是线性代数中常用的基本技巧。

例题已掌握

例 3.6.1 矩阵方程 AXA=A 的广义逆★★★★★计算题广义逆与矩阵方程展开题目与讲解

例 3.6.1 矩阵方程 AXA=A 的广义逆

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，求解矩阵方程 $A X A = A$ 。

解先考虑 $A$ 为标准形 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array})$ ，此时将所求 $X$ 适当分块 $X = (\begin{array}{c} X_{r} & C \\ D & F \end{array})$ ，其中 $C, D, F$ 分别为待定的 $r \times (m - r)$ ， $(n - r) \times r$ ， $(n - r) \times (m - r)$ 矩阵，代入 $A X A = A$ ，得

(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) (\begin{array}{c} X_{r} & C \\ D & F \end{array}) (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}),

(\begin{array}{c} X_{r} & O \\ O & O \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) .

故得 $X_{r} = E_{r}$ ，而 $C, D, F$ 可任取。从而

X = (\begin{array}{c} E_{r} & C \\ D & F \end{array}) .

在一般情况下， $A = P (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Q$ ，其中 $P, Q$ 为可逆矩阵。记 $Y = Q X P$ ，以 $X = Q^{- 1} Y P^{- 1}$ 代入 $A X A = A$ ，化简即得

(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) Y (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}) .

此即 $A$ 为标准形情况，于是 $Y = (\begin{array}{c} E_{r} & C \\ D & F \end{array})$ 。从而所求

X = Q^{- 1} (\begin{array}{c} E_{r} & C \\ D & F \end{array}) P^{- 1} .

我们把适合 $A X A = A$ 的 $X$ 称为矩阵 $A$ 的广义逆。本例给出了 $m \times n$ 矩阵 $A$ （未必是方阵）的全体广义逆。

04第四章线性空间和线性变换

一§4.1 定义及其背景选自 §4.14 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.1.1　线性空间

设 $P$ 是一个数域，其中元素用 $a, b, c, \dots$ 来表示。 $V$ 是一个非空集合，其中元素用 $<mi>α</mi>, <mi>β</mi>, <mi>γ</mi>, \dots$ 来表示，如果下列条件被满足就称 $V$ 为 $P$ 上的一个线性空间。 $V$ 中元素通常称为向量。

1. 在 $V$ 中定义了一个加法，对于 $V$ 中任意两个向量 $<mi>α</mi>$ 与 $<mi>β</mi>$ ，均有 $V$ 中一个唯一确定的向量 $<mi>γ</mi>$ 与它们对应，这个向量称为 $<mi>α</mi>$ 与 $<mi>β</mi>$ 的和，记为 $<mi>γ</mi> = <mi>α</mi> + <mi>β</mi>$ 。

2. 有一个数量乘法，对于 $P$ 中每一个数 $k$ 和 $V$ 中每一个向量 $<mi>α</mi>$ ，有 $V$ 中唯一确定的向量 $<mi>δ</mi>$ 与它们对应，这个向量称为 $k$ 与 $<mi>α</mi>$ 的数量乘积，记为 $<mi>δ</mi> = k \cdot <mi>α</mi>$ 。

3. 对任意的 $<mi>α</mi>, <mi>β</mi>, <mi>γ</mi> \in V$ ，任意的 $k, t \in P$ ，加法与数量乘法满足下列运算规律：

（1）交换律 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = <mi>β</mi> + <mi>α</mi>$ ；

（2）结合律 $(<mi>α</mi> + <mi>β</mi>) + <mi>γ</mi> = <mi>α</mi> + (<mi>β</mi> + <mi>γ</mi>)$ ；

（3）在 $V$ 中存在一个零向量，记为 $0$ ，对于 $V$ 中的每一个向量 $<mi>α</mi>$ ，都有 $<mi>α</mi> + 0 = <mi>α</mi>$ ；

（4）对于 $V$ 中每一个向量 $<mi>α</mi>$ ，在 $V$ 中存在一个向量 $<mi>β</mi>$ 使得 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = 0$ ，这样的 $<mi>β</mi>$ 称为 $<mi>α</mi>$ 的一个负向量；

（5） $k \cdot (<mi>α</mi> + <mi>β</mi>) = k \cdot <mi>α</mi> + k \cdot <mi>β</mi>$ ；

（6） $(k + t) \cdot <mi>α</mi> = k \cdot <mi>α</mi> + t \cdot <mi>α</mi>$ ；

（7） $(k t) \cdot <mi>α</mi> = k \cdot (t \cdot <mi>α</mi>)$ ；

（8） $1 \cdot <mi>α</mi> = <mi>α</mi>$ 。

性质已掌握+

性质 4.1.1　零向量与负向量的唯一性

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，则

（1）零向量唯一；（2）负向量唯一。

证（1）设 $0_{1}, 0_{2}$ 均为 $V$ 的零向量，考虑 $0_{1} + 0_{2}$ 。视 $0_{1}$ 为零向量，则 $0_{1} + 0_{2} = 0_{2}$ ；然而若视 $0_{2}$ 为零向量，则 $0_{1} + 0_{2} = 0_{1}$ 。从而 $0_{1} = 0_{2}$ 。

（2）设 $<mi>α</mi>$ 有两个负向量 $<mi>β</mi>$ 与 $<mi>γ</mi>$ ，则 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = 0; <mi>α</mi> + <mi>γ</mi> = 0 .$ 从而 $<mi>β</mi> = <mi>β</mi> + 0 = <mi>β</mi> + (<mi>α</mi> + <mi>γ</mi>) = (<mi>β</mi> + <mi>α</mi>) + <mi>γ</mi> = 0 + <mi>γ</mi> = <mi>γ</mi> .$

性质 4.1.2　零元与负元的运算性质

设 ${V, +, \cdot}$ 是数域 $P$ 上的线性空间，对任意的 $<mi>α</mi> \in V$ ， $k \in P$ ，有

（1） $0 \cdot <mi>α</mi> = 0$ ；

（2） $k \cdot 0 = 0$ ；

（3） $(- k) \cdot <mi>α</mi> = k \cdot (- <mi>α</mi>) = - (k \cdot <mi>α</mi>)$ ；

（4）若 $k \cdot <mi>α</mi> = 0$ ，则 $k = 0$ ，或 $<mi>α</mi> = 0$ 。

证（1）由定义 4.1.1 知， $0 \cdot <mi>α</mi> = (0 + 0) \cdot <mi>α</mi> = 0 \cdot <mi>α</mi> + 0 \cdot <mi>α</mi>$ 。等式两边同时加 $0 \cdot <mi>α</mi>$ 的负向量即得 $0 \cdot <mi>α</mi> = 0$ 。

（2）类似（1），留作习题。

（3）为证 $(- k) \cdot <mi>α</mi> = - (k \cdot <mi>α</mi>)$ ，仅须证明 $(- k) \cdot <mi>α</mi> + k \cdot <mi>α</mi> = 0$ 。事实上， $(- k) \cdot <mi>α</mi> + k \cdot <mi>α</mi> = (- k + k) \cdot <mi>α</mi> = 0 \cdot <mi>α</mi> = 0 .$ 同理可证 $k \cdot (- <mi>α</mi>) = - (k \cdot <mi>α</mi>)$ 。综上即得 $(- k) \cdot <mi>α</mi> = - (k \cdot <mi>α</mi>) = k \cdot (- <mi>α</mi>) .$

（4）设 $k \neq 0$ ，对 $k \cdot <mi>α</mi> = 0$ ，两边用 $k^{- 1}$ 作数量乘法有 $k^{- 1} \cdot (k \cdot <mi>α</mi>) = k^{- 1} \cdot 0 = 0 .$ 另一方面， $k^{- 1} \cdot (k \cdot <mi>α</mi>) = (k^{- 1} k) \cdot <mi>α</mi> = 1 \cdot <mi>α</mi> = <mi>α</mi>$ 。从而 $<mi>α</mi> = 0$ 。

说明已掌握+

导读　线性空间与线性变换的地位

线性空间和线性变换是最基本的数学概念之一，它不仅是线性代数的核心，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术、经济管理的各个领域。借助线性空间和线性变换我们也将进一步加深对线性方程组和矩阵的理解。

背景　线性空间的来源

线性空间是从我们已经熟悉的许多研究对象，诸如数、向量、矩阵、多项式等经概括而成的。

在研究（欧氏）平面时，通过引进直角坐标系，不仅把起点在坐标原点的向量（或称矢量） $<mi>α</mi>$ 和其坐标 $[x, y]$ （平面上的点）建立起 $1 - 1$ 对应的关系，而且可把几何向量的运算（如几何向量加法的平行四边形法则）转化为其对应坐标的代数运算（分量相加）。这样可将平面上向量描述成下述代数系统：

把平面上的向量的全体记为 $R^{2} = {[x, y] | x, y \in R} .$ 对任意的 $<mi>α</mi> = [x_{1}, y_{1}] \in R^{2}$ ， $<mi>β</mi> = [x_{2}, y_{2}] \in R^{2}$ ，任意的 $k \in R$ ，规定加法和数乘为 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = [x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}] \in R^{2}; k <mi>α</mi> = [k x_{1}, k y_{1}] \in R^{2} .$ 易见向量的加法和数乘适合 3.1 节的定理 3.1.1 所说的 8 条运算规律，比如说零向量为 $[0, 0]$ ， $<mi>α</mi>$ 的负向量为 $[- x_{1}, - y_{1}]$ ，于是 $R^{2}$ 就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算加法和数乘，且这两个运算适合 8 条规律。

同样的想法和做法可在（欧氏）空间中实施。将空间的向量（或称矢量）视为 $R^{3} = {[x, y, z] | x, y, z \in R},$ 即实数域上所有三元向量的全体。类似地规定向量加法和数乘，而且加法和数乘运算也适合上述 8 条规律。

说明　数域

P

上的

n

元向量空间

平面，空间可视为二元向量、三元向量构成的“空间”，自然可推广去设想 $n$ 元向量构成的“空间”。设 $P$ 是一个数域，记 $P^{n} = {[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] | x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in P}$ 为数域 $P$ 上所有 $n$ 元向量的全体。对任意的 $<mi>α</mi> = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] \in P^{n}, <mi>β</mi> = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}] \in P^{n}, k \in P,$ 规定加法和数乘为 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = [x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, \dots, x_{n} + y_{n}] \in P^{n};$ $k <mi>α</mi> = [k x_{1}, k x_{2}, \dots, k x_{n}] \in P^{n} .$ 加法和数乘运算也适合上述 8 条规律。

这样我们就有一个 $n$ 元向量构成的“空间” $P^{n}$ ，特别地取 $P = R$ ，则 $R^{n} = {[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] | a_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, n}$ 是 $n$ 元实向量构成的“空间”，它是平面、空间的自然推广，也是将要引入线性空间的很好背景。

说明　矩阵与多项式的代数系统

再来看第 3 章刚讨论过的矩阵，记 $P^{m \times n} = {[a_{i j}]_{m \times n} | a_{i j} \in P}$ 为数域 $P$ 上所有 $n \times m$ 矩阵的全体。对任意的 $[a_{i j}]_{m \times n} \in P^{m \times n}, [b_{i j}]_{m \times n} \in P^{m \times n}, k \in P,$ 规定加法和数乘为 $[a_{i j}]_{m \times n} + [b_{i j}]_{m \times n} = [a_{i j} + b_{i j}]_{m \times n} \in P^{m \times n};$ $k [a_{i j}]_{m \times n} = [k a_{i j}]_{m \times n} \in P^{m \times n} .$ 加法与数乘适合上述 8 条运算规律。

特别地， $P^{1 \times n}$ （行向量）和 $P^{n}$ （ $n$ 元向量）不仅表现形式相似，而且有相同的加法和数乘运算规律。

又如系数取自数域 $P$ 上的次数小于 $n$ 的一元多项式，及零多项式可记为 $P [x]_{n} = {a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} | a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1} \in P} .$ 设 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} \in P [x]_{n},$ $g (x) = b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{n - 1} x^{n - 1} \in P [x]_{n}, k \in P .$ 多项式的加法和数乘可表为 $f (x) + g (x) = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + \dots + (a_{n - 1} + b_{n - 1}) x^{n - 1} \in P [x]_{n};$ $k f (x) = k a_{0} + k a_{1} x + \dots + k a_{n - 1} x^{n - 1} \in P [x]_{n} .$ 加法与数乘也适合上述 8 条运算规律。

上述种种使我们看到诸如 $n$ 元向量、矩阵、一元多项式这些从表面上看各不相同的代数系统遵循着相同的运算规律。把这些作为背景概括成更一般的概念。

说明　线性空间的记号

据此定义容易得出本节开始所述的代数系统均是线性空间。

以上例子的验证繁而不难，为篇幅计不一一赘述。从以上例子中可看出线性空间的要点可概括为：一个非空集合 $V$ ，具有两个适合 8 条规律的加法和数量乘法。为表明这几点，线性空间可表示为 ${V, +, \cdot}$ 。

说明　减法的派生定义与移项变号

据负向量的唯一性，可将 $<mi>α</mi>$ 唯一的负向量记为 $- <mi>α</mi>$ ，并由此可从加法派生定义减法： $<mi>α</mi> - <mi>β</mi> = <mi>α</mi> + (- <mi>β</mi>) .$ 据此可有 $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> = <mi>γ</mi> \Leftrightarrow <mi>α</mi> = <mi>γ</mi> - <mi>β</mi> .$ 这表明在线性空间中通常的移项变号规则成立。

例题已掌握

例 4.1.1★☆☆☆☆判断题n 元向量空间展开题目与讲解

例 4.1.1　 $n$ 元向量空间 $P^{n}$

数域 $P$ 上的 $n$ 元向量的全体，关于向量的加法和数乘构成数域 $P$ 上的一个线性空间，称为 $n$ 元向量空间，记为 $P^{n}$ 。

特别地，当 $P$ 为实数域 $R$ 时， $R^{2}$ 就是（欧氏）平面， $R^{3}$ 就是（欧氏）空间。

下文为叙述方便将行向量改为列向量，即令 $P^{n} = {[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T} | x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in P},$ 加法和数乘相应地改为列向量相加和数乘。这样一来，如无特殊说明，约定下文中 $P^{n}$ 就表示 $n$ 元列向量关于列向量的加法和数乘构成的线性空间。

例 4.1.2★☆☆☆☆判断题矩阵空间展开题目与讲解

例 4.1.2　矩阵空间 $P^{m \times n}$

数域 $P$ 上 $m \times n$ 矩阵的全体，关于矩阵的加法和数乘构成数域 $P$ 上的一个线性空间，记为 $P^{m \times n}$ 。特别地据上述约定 $P^{n \times 1}$ 就是 $P^{n}$ 。

例 4.1.3★☆☆☆☆判断题多项式空间展开题目与讲解

例 4.1.3　多项式空间 $P [x]_{n}$ 与 $P [x]$

系数取自数域 $P$ 中的次数小于 $n$ 的一元多项式全体及零多项式，关于多项式的加法和数乘构成数域 $P$ 上的一个线性空间，记为 $P [x]_{n}$ 。

同样地，系数取自数域 $P$ 中的一元多项式全体，关于多项式的加法和数乘构成数域 $P$ 上的一个线性空间，记为 $P [x]$ 。

例 4.1.4★☆☆☆☆判断题数域上的线性空间展开题目与讲解

例 4.1.4　 $C$ 作为 $R$ 上的线性空间

复数域 $C$ 关于数的加法和乘法，可以构成实数域 $R$ 上的一个线性空间。

例 4.1.5★☆☆☆☆判断题数域上的线性空间展开题目与讲解

例 4.1.5　数域 $P$ 作为自身的线性空间

任意一个数域 $P$ 关于数的加法和乘法可以构成自身 $P$ 上的一个线性空间。

例 4.1.6★☆☆☆☆判断题函数空间展开题目与讲解

例 4.1.6　连续函数空间 $C [a, b]$

定义在闭区间 $[a, b]$ 上的一切连续实函数的全体，关于函数的加法和实数与函数的数量乘法构成实数域 $R$ 上的线性空间，记为 $C [a, b]$ 。

二§4.2 向量的线性相关性选自 §4.24 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.2.1　线性组合与线性表示

设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 中 $s$ 个向量， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 是 $P$ 中任意 $s$ 个数，称 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s}$ 为向量 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 的一个线性组合。

若 $V$ 中某一个向量 $<mi>β</mi>$ 可表为向量 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 的线性组合，则称 $<mi>β</mi>$ 可经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示。

显见零向量 $0$ 可经任意一组向量 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示，这是因为 $0 = 0 {<mi>α</mi>}_{1} + 0 {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + 0 {<mi>α</mi>}_{s} .$

定义 4.2.2　线性相关与线性无关

设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 中 $s$ 个向量，如果存在 $P$ 中不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0, (4.2.1)$ 则称 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关；否则就称线性无关。

据定义，称 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关，就是指 $P$ 中找不到不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 (4.2.1) 式成立，也就是说：

若有一组数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 使 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0$ ，则必有 $k_{1} = k_{2} = \dots = k_{s} = 0 . (4.2.2)$

(4.2.2) 所述法则将常用来阐明 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 是线性无关的。

性质已掌握+

性质 4.2.1　线性相关性的五条基本性质

在线性空间 $V$ 中有

（1）一个向量组中有部分向量组线性相关，则向量组线性相关。

（2）一个向量组线性无关，则其任何一个部分向量组必线性无关。

（3）任何一个包含零向量的向量组必线性相关。

（4）一个向量 $<mi>α</mi>$ 线性相关 $\Leftrightarrow <mi>α</mi> = 0$ 。

（5）一个向量 $<mi>α</mi>$ 线性无关 $\Leftrightarrow <mi>α</mi> \neq 0$ 。

证（1）仅需证在向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}, {<mi>α</mi>}_{s + 1}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s + t}$ 中，若 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关，则 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s + t}$ 必线性相关。

据题设存在 $P$ 中不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0 .$ 从而有 $P$ 中不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}, 0, \dots, 0$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} + 0 {<mi>α</mi>}_{s + 1} + \dots + 0 {<mi>α</mi>}_{s + t} = 0 .$ 故 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s + t}$ 线性相关。

（2）（2）是（1）的逆否命题，故由（1） $\Rightarrow$ （2）。

（3）由 $1 \cdot 0 + 0 {<mi>α</mi>}_{1} + \dots + 0 {<mi>α</mi>}_{s} = 0$ 知，命题成立。

（4） $<mi>α</mi>$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 存在不为零的数 $k_{1}$ 使得 $k_{1} <mi>α</mi> = 0 \Leftrightarrow <mi>α</mi> = 0$ 。

（5）（5）是（4）的逆否命题，故由（4） $\Rightarrow$ （5）。

性质 4.2.2　线性表示的秩判别法

$P^{n}$ 中，设 $<mi>β</mi> = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]^{T}$ ， ${<mi>α</mi>}_{i} = [a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{n i}]^{T} (i = 1, 2, \dots, s)$ ，则

（1） $<mi>β</mi>$ 能经向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) = r (A)$ ；

（2） $<mi>β</mi>$ 不能经向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示 $\Leftrightarrow r (\overline{A}) \neq r (A)$ ，

（1）和（2）中的 $A = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{s}]$ ， $\overline{A} = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{s} ⋮ <mi>β</mi>]$ 。

当 $<mi>β</mi>$ 能经向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示时，若 $r (A) = s$ ，则表示式唯一，若 $r (A) < s$ ，则有无穷多种表示式。

进而 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关（线性无关），意指存在（不存在）一组不全为零的 $P$ 中数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0,$ 即 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{s}] (\begin{array}{c} k_{1} \\ k_{2} \\ ⋮ \\ k_{s} \end{array}) = 0,$ 其中 $0 = [0, 0, \dots, 0]^{T}$ 。

这就相当于齐次线性方程组 $A (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{s} \end{array}) = 0$ 有非零解 $x_{1} = k_{1}$ ， $x_{2} = k_{2}, \dots, x_{s} = k_{s}$ （只有零解）。于是利用 2.3 节的定理 2.3.2 有如下性质。

性质 4.2.3　线性相关性的秩判别法

$P^{n}$ 中，设 ${<mi>α</mi>}_{i} = [a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{n i}]^{T} (i = 1, 2, \dots, s)$ ，则

（1） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow r (A) < s$ ；

（2） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow r (A) = s$ 。

（1）和（2）中的 $A = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{s}]$ 。

推论 1 在 $P^{n}$ 中任意 $r (r > n)$ 个向量必线性相关。

特别地当 $s = n$ 时，利用 2.3 节的定理 2.3.2 推论，有如下结论。

推论 2 设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n} \in P^{n}$ ，记 $A = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{n}]$ ，则

（1） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow | A | = 0$ ；

（2） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性无关 $\Leftrightarrow | A | \neq 0$ 。

这表明在 $P^{n}$ 中利用线性方程组解的理论可非常简明地判别出 $P^{n}$ 中向量的线性关系。

说明已掌握+

说明　本节的研究对象与约定

在研究线性空间时，向量的线性关系（相关或无关）起着极为重要的作用。它不仅是建立线性空间结构与分类理论的基础，也是线性方程组理论的基础，因而是线性代数最重要的概念之一。

我们先在一般的数域 $P$ 上线性空间 $V$ 中研究向量的线性关系，然后再在具体线性空间 $P^{n}$ 中看看这些线性关系的具体表现。

由于向量的加法满足结合律，故 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s}$ 有完全确定的意义。我们由此开始讨论。

说明　在

P^{n}

中考察线性表示

现在我们在具体的线性空间 $P^{n}$ 中考察这些线性关系。设 ${<mi>α</mi>}_{i} = [a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{n i}]^{T} (i = 1, 2, \dots, s), <mi>β</mi> = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]^{T},$ 则 $<mi>β</mi>$ 能否用 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示相当于能否找到 $P$ 中数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = <mi>β</mi> . (4.2.3)$ 具体写出来是 $k_{1} (\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{array}) + k_{2} (\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{n 2} \end{array}) + \dots + k_{s} (\begin{array}{c} a_{1 s} \\ a_{2 s} \\ ⋮ \\ a_{n s} \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}),$ 即 ${\begin{cases} a_{11} k_{1} + a_{12} k_{2} + \dots + a_{1 s} k_{s} = b_{1}, \\ a_{21} k_{1} + a_{22} k_{2} + \dots + a_{2 s} k_{s} = b_{2}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{n 1} k_{1} + a_{n 2} k_{2} + \dots + a_{n s} k_{s} = b_{n} . \end{cases}$ 这表明 $P$ 中是否有 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 使 (4.2.3) 式成立，相当于线性方程组 $(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 s} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n s} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{s} \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{array}),$ 即 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{s}] (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{s} \end{array}) = <mi>β</mi>$ 在数域 $P$ 中是否有解。

例题已掌握

例 4.2.1★★★☆☆计算题线性表示与相关性的秩判别展开题目与讲解

例 4.2.1　 $R^{4}$ 中线性表示与相关性的判别

在 $R^{4}$ 中已知 ${<mi>α</mi>}_{1} = [1, 0, 2, 1]^{T}, {<mi>α</mi>}_{2} = [1, 1, 1, 1]^{T},$ ${<mi>α</mi>}_{3} = [2, 1, 3, 2]^{T}, {<mi>α</mi>}_{4} = [2, 5, - 1, 4]^{T} .$ （1） ${<mi>α</mi>}_{4}$ 能否经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}$ 线性表示？ ${<mi>α</mi>}_{3}$ 能否经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 线性表示？如能表示，写出表示式；如不能表示，则说明理由。

（2）判别下列向量组是线性相关，还是线性无关：

（A） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ ．（B） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}$ ．（C） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ ．

解由性质 4.2.2 及性质 4.2.3 知，要解答（1），（2）均可归结为求某些矩阵的秩。为此将 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 作为列向量组成矩阵 $A = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3} {<mi>α</mi>}_{4}]$ ，将 $A$ 只用初等行变换化为阶梯形矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 记 $[<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{3} <mi>α</mi>'_{4}] = B$ ，即 (4.2.4) 式。

（1）因仅用初等行变换，故由 (4.2.4) 知 $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3} {<mi>α</mi>}_{4}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{3} <mi>α</mi>'_{4}]) = 3,$ $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{3}]) = 2 .$ 据此线性方程组 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3}] (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = {<mi>α</mi>}_{4}$ 无解，所以 ${<mi>α</mi>}_{4}$ 不能经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}$ 线性表示。

由 (4.2.4) 知，经初等行变换有 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{4} {<mi>α</mi>}_{3}] ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 从而 $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{4} {<mi>α</mi>}_{3}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{4} <mi>α</mi>'_{3}]) = 3,$ $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{4}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{4}]) = 3 .$ 据此线性方程组 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{4}] (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = {<mi>α</mi>}_{3}$ 有唯一解： $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 1$ ， $x_{3} = 0$ 。所以 ${<mi>α</mi>}_{3}$ 能经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 线性表示，表示式为 ${<mi>α</mi>}_{3} = {<mi>α</mi>}_{1} + {<mi>α</mi>}_{2} .$

（2）由 (4.2.4) 知 $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3} {<mi>α</mi>}_{4}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{3} <mi>α</mi>'_{4}]) = 3,$ $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{3}]) = 2,$ $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{4}]) = r ([<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} <mi>α</mi>'_{4}]) = 3 .$ 故向量组（A）线性相关，（B）线性相关，（C）线性无关。

注记实际上据 (4.2.4) 可判断出 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 中任意一个部分向量组是线性无关还是线性相关，比如还可判定 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}$ 线性无关，鉴于下文还将多次采用此种方法来解题。

例 4.2.2★★★☆☆证明题线性无关性的证明展开题目与讲解

例 4.2.2　线性无关向量组的线性组合仍线性无关

设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}$ 是线性空间 $V$ 中 3 个线性无关的向量，若 ${<mi>β</mi>}_{1} = {<mi>α</mi>}_{1} + {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>β</mi>}_{2} = {<mi>α</mi>}_{2} + {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>β</mi>}_{3} = {<mi>α</mi>}_{3} + {<mi>α</mi>}_{1},$ 求证： ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, {<mi>β</mi>}_{3}$ 线性无关。

证设有 $k_{1} {<mi>β</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>β</mi>}_{2} + k_{3} {<mi>β</mi>}_{3} = 0$ ，代入题设条件有 $k_{1} ({<mi>α</mi>}_{1} + {<mi>α</mi>}_{2}) + k_{2} ({<mi>α</mi>}_{2} + {<mi>α</mi>}_{3}) + k_{3} ({<mi>α</mi>}_{3} + {<mi>α</mi>}_{1}) = 0,$ 整理得 $(k_{1} + k_{3}) {<mi>α</mi>}_{1} + (k_{1} + k_{2}) {<mi>α</mi>}_{2} + (k_{2} + k_{3}) {<mi>α</mi>}_{3} = 0 .$ 因 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}$ 线性无关，故 ${\begin{cases} k_{1} + k_{3} = 0, \\ k_{1} + k_{2} = 0, \\ k_{2} + k_{3} = 0 . \end{cases}$ 因 $| \begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | = 2 \neq 0,$ 得出 $k_{1} = 0$ ， $k_{2} = 0$ ， $k_{3} = 0$ 。利用 (4.2.2) 知， ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, {<mi>β</mi>}_{3}$ 线性无关。

三§4.3 向量的极大线性无关组选自 §4.35 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.3.1　向量组的等价

若向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 中每一个向量都可经向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示，则称向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 可经向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示。若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

由定义容易推出等价向量组有以下性质：

（1）自反性：每一向量组都与自身等价；

（2）对称性：若向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，则向量组（Ⅱ）也与向量组（Ⅰ）等价；

（3）传递性：若向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）与向量组（Ⅲ）等价，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅲ）等价。

定义 4.3.2　极大线性无关组

向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中的一个部分向量组 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 称为原向量组的一个极大线性无关组，如果

（1） ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 线性无关；

（2）再添加原向量组的任何一个向量 ${<mi>α</mi>}_{k}$ （如果有），则 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}, {<mi>α</mi>}_{k}$ 均线性相关。

由定义易得出当向量组（Ⅰ）： ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关时，（Ⅰ）的极大线性无关组就是自身。

据定理 4.3.2 易知，在（1）条件下，（2）和下述条件等价

（2）′ ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中任何一个向量 ${<mi>α</mi>}_{k}$ 均可经 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 线性表示。

因而（1），（2）与（1），（2）′ 均可作为极大线性无关组的定义。由（2）′ 知 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 可经其极大线性无关组 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 线性表示，而 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 可经原向量组线性表示是显然的，从而可有

定理已掌握+

定理 4.3.1　线性相关的等价刻画

向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s} (s \geq 2)$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中至少有一个向量是其余 $s - 1$ 个向量的线性组合。

证必要性。设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关，则有不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0 .$ 不妨设 $k_{i} \neq 0 (1 \leq i \leq s)$ ，则有 ${<mi>α</mi>}_{i} = (- \frac{k_{1}}{k_{i}}) {<mi>α</mi>}_{1} + \dots + (- \frac{k_{i - 1}}{k_{i}}) {<mi>α</mi>}_{i - 1} + (- \frac{k_{i + 1}}{k_{i}}) {<mi>α</mi>}_{i + 1} + \dots + (- \frac{k_{s}}{k_{i}}) {<mi>α</mi>}_{s} .$

充分性。设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中有某个 ${<mi>α</mi>}_{i} (1 \leq i \leq s)$ 可表为 ${<mi>α</mi>}_{i} = k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + \dots + k_{i - 1} {<mi>α</mi>}_{i - 1} + k_{i + 1} {<mi>α</mi>}_{i + 1} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s},$ 则 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + \dots + k_{i - 1} {<mi>α</mi>}_{i - 1} + (- 1) {<mi>α</mi>}_{i} + k_{i + 1} {<mi>α</mi>}_{i + 1} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0 .$ 由 $k_{1}, \dots, k_{i - 1}, (- 1), k_{i + 1}, \dots, k_{s}$ 不全为零知， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关。

推论 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s} (s \geq 2)$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中每一个向量都不能经其余 $s - 1$ 个向量线性表示。

定理 4.3.2　添加一个向量后的线性表示

若向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关，而向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}, <mi>β</mi>$ 线性相关，则 $<mi>β</mi>$ 必可经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性表示，且线性表示式唯一。

证由 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}, <mi>β</mi>$ 线性相关知，存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}, k$ ，使得 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} + k <mi>β</mi> = 0 .$ 现用反证法来证必有 $k \neq 0$ 。若不然， $k = 0$ ，则 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 不全为零，且有 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{s} {<mi>α</mi>}_{s} = 0,$ 这与 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关矛盾，故 $k \neq 0$ 。从而有 $<mi>β</mi> = - \frac{k_{1}}{k} {<mi>α</mi>}_{1} - \frac{k_{2}}{k} {<mi>α</mi>}_{2} - \dots - \frac{k_{s}}{k} {<mi>α</mi>}_{s} .$

再证上述线性表示式唯一。设 $<mi>β</mi> = t_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + t_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + t_{s} {<mi>α</mi>}_{s},$ $<mi>β</mi> = l_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + l_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + l_{s} {<mi>α</mi>}_{s},$ 两式相减得 $(t_{1} - l_{1}) {<mi>α</mi>}_{1} + (t_{2} - l_{2}) {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + (t_{s} - l_{s}) {<mi>α</mi>}_{s} = 0 .$ 由 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关推知 $t_{1} = l_{1}, t_{2} = l_{2}, \dots, t_{s} = l_{s},$ 故线性表示式唯一。

定理 4.3.3　向量个数与线性相关性

设向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 中每一个向量都可经向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示，若 $r > s$ ，则 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 线性相关。

证由题设有 ${<mi>α</mi>}_{j} = a_{1 j} {<mi>β</mi>}_{1} + a_{2 j} {<mi>β</mi>}_{2} + \dots + a_{s j} {<mi>β</mi>}_{s} (4.3.1)$ 记为 $[{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] (\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{s j} \end{array}) (j = 1, 2, \dots, r) . (4.3.2)$

注意因为 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 是一般线性空间中的向量，故不能认为 $[{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}]$ 是矩阵，(4.3.2) 式仅是利用矩阵的乘法将 (4.3.1) 式改写成另一种形式罢了。下面我们常用这种“形式的”记法，不再一一指明。

将 (4.3.2) 式中的 $r$ 个等式合在一起，用矩阵形式表示 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{r}] = [{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \dots & a_{s r} \end{array})$ 记为 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{r}] = [{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] A_{s \times r} .$

考虑 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{r} {<mi>α</mi>}_{r} = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{r}] (\begin{array}{c} k_{1} \\ k_{2} \\ ⋮ \\ k_{r} \end{array}) = [{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] A K, (4.3.3)$ 其中 $K = [k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}]^{T}$ 。

按向量线性相关的定义，若能找到不全为零的 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}$ 使 (4.3.3) 式等于零向量，就证明了 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 线性相关。为此考虑齐次线性方程组 $A X = 0$ ，因 $r (A_{s \times r}) \leq s < r,$ 即系数矩阵的秩小于未知量个数，据定理 2.3.2 知， $A X = 0$ 有非零解，取其一为 $[k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}]^{T} = K$ ，则有 $A K = 0$ ，从而 $k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{r} {<mi>α</mi>}_{r} = 0,$ 其中 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}$ 不全为零，故得 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 线性相关。

经常要用到的是此定理的逆否命题。

定理 4.3.4　线性无关向量组的个数估计

设向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 中每一个向量都可经向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示，若 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r}$ 线性无关，则 $r \leq s$ 。

定理 4.3.5　等价线性无关向量组所含向量个数相等

任意两个等价的线性无关向量组它们所含的向量个数相等。

证设线性无关向量组（Ⅰ）与线性无关向量组（Ⅱ）等价，且它们所含向量个数分别为 $r, s$ 。因（Ⅰ）可经（Ⅱ）线性表示，由定理 4.3.4 知， $r \leq s$ 。同样由（Ⅱ）可经（Ⅰ）线性表示可推出， $s \leq r$ 。综合即得 $r = s$ 。

性质已掌握+

性质 4.3.1　向量组与其极大线性无关组等价

向量组与其极大线性无关组等价。

性质 4.3.2　极大线性无关组所含向量个数不变

向量组的任意两个极大线性无关组必等价，从而它们所含的向量个数相等。

证因向量组与其极大线性无关组等价，且向量组的等价关系具有对称性、传递性，所以向量组的任意两个极大线性无关组必等价。据定理 4.3.5 知，两者所含向量个数相等。

据此命题我们可将向量组的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。它是由向量组唯一确定的。据此，例 4.3.1 中向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的秩为 3。

说明已掌握+

说明　本节要解决的问题

我们将在一般的线性空间 $V$ 中研究向量间线性组合、线性相关、线性无关这三者之间的内在联系。

本节所说的向量都是一般线性空间 $V$ 的向量，所说的向量组都是由有限个向量构成的。

说明　极大线性无关组的选取方法

现设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 是线性空间 $V$ 中一组不全为零向量的向量组，我们总可从中选取出一个含有尽可能多的线性无关部分向量组 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 来。也就是说 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 线性无关，而再添加（如果可能）原向量组的任何一个向量 ${<mi>α</mi>}_{k}$ 都有 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}, {<mi>α</mi>}_{k}$ 线性相关。具体做法可以是：因 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 不全为零向量，不妨设 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}} \neq 0$ ，则 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}$ 线性无关。考察 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{k}$ ，让 $k$ 取遍 $1, 2, \dots, s$ ，若 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{k}$ 均线性相关，则 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}$ 就是。否则就可有 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}$ 线性无关，则对 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}$ 重复上述讨论。如此继续，即可从 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中选出一个含有尽可能多的线性无关的部分向量组。

说明　向量组的秩

前文已说从线性空间 $V$ 中任意一组不全为零向量的向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 中总可选取出一个极大线性无关向量组来。而在具体线性空间 $P^{n}$ 中，选取方法可通过下例来展现。

例题已掌握

例 4.3.1★★★☆☆计算题极大线性无关组的求法展开题目与讲解

例 4.3.1　求 $R^{4}$ 中向量组的极大线性无关组

在 $R^{4}$ 中已知 ${<mi>α</mi>}_{1} = [1, 0, 2, 1]^{T}, {<mi>α</mi>}_{2} = [1, 1, 1, 1]^{T},$ ${<mi>α</mi>}_{3} = [2, 1, 3, 2]^{T}, {<mi>α</mi>}_{4} = [2, 5, - 1, 4]^{T} .$ 求 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的极大线性无关组。

解例 4.2.1 已表明 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} {<mi>α</mi>}_{3} {<mi>α</mi>}_{4}] = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 且由此得出 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 线性无关， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 线性相关，故 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 是 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的一个极大线性无关组。另一方面， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 线性无关， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}, {<mi>α</mi>}_{2}$ 线性相关，故 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 也是 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的一个极大线性无关组，这表明每一个不全为零向量的向量组不仅都有极大线性无关组，而还可能不只含一个极大线性无关组。在此例中已找出两个极大线性无关组（还能再找出其他的极大线性无关组吗？），它们都是由 3 个向量构成，一般地有下面结论。

四§4.4 基和维数选自 §4.44 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.4.1　基

设 $V$ 是数域 $P$ 上的一个线性空间， $V$ 中满足下列条件的向量组 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 称为 $V$ 的一组基。

（1） ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 线性无关；

（2） $V$ 中每一个向量都可经 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 线性表示。

据此定义知 $V$ 的两组基是彼此等价的线性无关向量组，故两者由相同个数的向量组成。我们给这个唯一确定的数下一个定义。

定义 4.4.2　维数

线性空间 $V$ 的基所含向量个数称为 $V$ 的维数，记为 $dim V$ 。

下文如无特殊说明所说的线性空间都是有限维的。

定义 4.4.3　过渡矩阵

设（Ⅰ）： ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 与（Ⅱ）： $<mi>ε</mi>'_{1}, <mi>ε</mi>'_{2}, \dots, <mi>ε</mi>'_{n}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基， $<mi>ε</mi>'_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 经基（Ⅰ）线性表示为 ${\begin{cases} <mi>ε</mi>'_{1} = m_{11} {<mi>ε</mi>}_{1} + m_{21} {<mi>ε</mi>}_{2} + \dots + m_{n 1} {<mi>ε</mi>}_{n}, \\ <mi>ε</mi>'_{2} = m_{12} {<mi>ε</mi>}_{1} + m_{22} {<mi>ε</mi>}_{2} + \dots + m_{n 2} {<mi>ε</mi>}_{n}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ <mi>ε</mi>'_{n} = m_{1 n} {<mi>ε</mi>}_{1} + m_{2 n} {<mi>ε</mi>}_{2} + \dots + m_{n n} {<mi>ε</mi>}_{n} . \end{cases}$ 以 $<mi>ε</mi>'_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 在基（Ⅰ）下的坐标作为列向量构成的矩阵 $M = (\begin{array}{c} m_{11} & m_{12} & \dots & m_{1 n} \\ m_{21} & m_{22} & \dots & m_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ m_{n 1} & m_{n 2} & \dots & m_{n n} \end{array})$ 称为由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵。

据定理 4.4.1 推论 3 之（3）知， $M$ 为可逆矩阵，且借助矩阵形式有 $[<mi>ε</mi>'_{1} <mi>ε</mi>'_{2} \dots <mi>ε</mi>'_{n}] = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} \dots {<mi>ε</mi>}_{n}] M . (4.4.1)$

定理已掌握+

定理 4.4.1　用坐标判别向量组的线性关系

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间， ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 是 $V$ 的一组基， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 是 $V$ 中任意的一组向量，若 ${<mi>α</mi>}_{i}$ 在 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 下的坐标为 $[a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{n i}]^{T}, i = 1, 2, \dots, s .$ 以 ${<mi>α</mi>}_{i}$ 的坐标为列向量构成的矩阵记为 $A = {(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 s} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n s} \end{array})}_{n \times s},$ 则

（1） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow r (A) < s$ ；

（2） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow r (A) = s$ 。

此定理的证明与定理 4.3.3 类似，故不赘述，再则在后面第 7 节中利用“同构”可非常简便地得出此结论。

推论 1 $n$ 维线性空间 $V$ 中向量个数 $k$ 大于 $n$ 的任意向量组必线性相关。特别是 $n + 1$ 个向量必线性相关。

推论 2 $n$ 维线性空间 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量均可作为 $V$ 的一组基。

当定理 4.4.1 那组向量 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{s}$ 的个数 $s = n$ 时，可有下述结论。

推论 3 在 $n$ 维线性空间 $V$ 中

（1） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性相关 $\Leftrightarrow | A | = 0$ ；

（2） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性无关 $\Leftrightarrow | A | \neq 0$ ；

（3） ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 是 $V$ 的一组基 $\Leftrightarrow | A | \neq 0$ ，

此处 $A$ 是由 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 在一组基下的坐标作为列向量构成的矩阵。

请对照一下定理 4.4.1 和性质 4.2.3，可发现两者是十分类似的。这种雷同的原因，我们将在第 7 节中阐明。

定理 4.4.2　坐标变换公式

设（Ⅰ）： ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 与（Ⅱ）： $<mi>ε</mi>'_{1}, <mi>ε</mi>'_{2}, \dots, <mi>ε</mi>'_{n}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基， $M$ 是基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵， $<mi>α</mi>$ 是 $V$ 中的一个向量， $<mi>α</mi>$ 在基（Ⅰ），基（Ⅱ）下的坐标分别为 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}, X' = [x'_{1}, x'_{2}, \dots, x'_{n}]^{T} .$ 则 $X = M X', X' = M^{- 1} X . (4.4.2)$

证据题设有 $[<mi>ε</mi>'_{1} <mi>ε</mi>'_{2} \dots <mi>ε</mi>'_{n}] = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} \dots {<mi>ε</mi>}_{n}] M, (4.4.3)$ $<mi>α</mi> = x_{1} {<mi>ε</mi>}_{1} + x_{2} {<mi>ε</mi>}_{2} + \dots + x_{n} {<mi>ε</mi>}_{n} = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} \dots {<mi>ε</mi>}_{n}] X,$ $<mi>α</mi> = x'_{1} <mi>ε</mi>'_{1} + x'_{2} <mi>ε</mi>'_{2} + \dots + x'_{n} <mi>ε</mi>'_{n} = [<mi>ε</mi>'_{1} <mi>ε</mi>'_{2} \dots <mi>ε</mi>'_{n}] X' = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} \dots {<mi>ε</mi>}_{n}] M X' .$ 这意指 $X$ 与 $M X'$ 均为 $<mi>α</mi>$ 在基（Ⅰ）下的坐标，据坐标唯一性得 $X = M X',$ 由 $M$ 可逆即可推出 $X' = M^{- 1} X .$

(4.4.1) 式常称为基变换公式，(4.4.2) 式常称为坐标变换公式。

说明已掌握+

说明　有限维与无限维

现将这些概念放在整个线性空间 $V$ 上来考察，即考虑 $V$ 中全体向量组成的向量组的极大线性无关组，那么这极大线性无关组或是由有限个向量构成，或有无穷多个向量，对于后者，即 $V$ 中有无穷多个线性无关的向量， $V$ 称为无限维的，这将主要是另一门数学分支泛函分析研究的对象。线性代数把线性空间的研究范围常常局限在前者，即 $V$ 中存在有限个向量构成的极大线性无关组， $V$ 称为有限维的，并引入以下概念。

说明　向量的坐标

下面的论述体现出线性空间中基的重要意义。

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间， ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 是 $V$ 的一组基。据基的定义及定理 4.3.2 知， $V$ 中任何一个向量 $<mi>α</mi>$ 均可经 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 线性表示，且表法唯一。即 $<mi>α</mi> = x_{1} {<mi>ε</mi>}_{1} + x_{2} {<mi>ε</mi>}_{2} + \dots + x_{n} {<mi>ε</mi>}_{n},$ 其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是唯一确定的，故可称为向量 $<mi>α</mi>$ 在基 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ε</mi>}_{n}$ 下的坐标，记为 $[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ 。

利用向量在一组基下的坐标，我们可判别一般线性空间 $V$ 中向量组的线性关系。

说明　坐标唯一性的注记

实际上我们是在解线性方程组 $A X = b$ ，这里 $A$ 是由 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 在常用基下坐标作为列向量构成的矩阵， $b$ 是 $<mi>α</mi>$ 在常用基下的坐标。因 $| A | \neq 0$ ，利用克拉默法则知有唯一解。这再次表明：当 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 是基时，任意一个向量在 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 下的坐标是唯一确定的。

从上述例子讨论中看到在 $n$ 维线性空间中，一般说来同一个向量在不同基下的坐标是不同的。下面就来研究随着基的改变，向量坐标的变化规律。

例题已掌握

例 4.4.1★★☆☆☆计算题常用基与维数展开题目与讲解

例 4.4.1　求 $P^{n}$ 的一组基与维数

确定线性空间 $P^{n}$ 的一组基和维数。

解记 ${<mi>e</mi>}_{i} = [0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0]^{T}$ （第 $i$ 个分量为 1，其余分量为 0）， $i = 1, 2, \dots, n$ 。则可直接验证 ${<mi>e</mi>}_{i}$ 是线性无关的，且 $P^{n}$ 中的任意向量 $<mi>α</mi> = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]^{T}$ 均可表为 $<mi>α</mi> = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {<mi>e</mi>}_{i} .$ 故 ${<mi>e</mi>}_{1}, {<mi>e</mi>}_{2}, \dots, {<mi>e</mi>}_{n}$ 为 $P^{n}$ 的一组基（称为常用基）， $dim P^{n} = n$ 。

容易看出在（欧氏）平面 $R^{2}$ 、（欧氏）空间 $R^{3}$ 中常用基分别就是我们熟悉的直角坐标系 $O x y$ ， $O x y z$ 。

例 4.4.2★★☆☆☆计算题矩阵空间的基与维数展开题目与讲解

例 4.4.2　求 $P^{m \times n}$ 的一组基与维数

确定线性空间 $P^{m \times n}$ 的一组基和维数。

解记 $E_{i j}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1，其余元素均为零的 $m \times n$ 矩阵，则可直接验证 $E_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 线性无关，且对 $P^{m \times n}$ 中的任意矩阵 $A = [a_{i j}]$ ，有 $A = [a_{i j}] = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} E_{i j} .$ 故 $E_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 为 $P^{m \times n}$ 的一组基（称为常用基）， $dim P^{m \times n} = m \times n$ 。

例 4.4.3★★☆☆☆计算题多项式空间的基与维数展开题目与讲解

例 4.4.3　求 $P [x]_{n}$ 的一组基与维数

确定线性空间 $P [x]_{n}$ 的一组基和维数。

解易见 $1, x, \dots, x^{n - 1}$ 是 $P [x]_{n}$ 中线性无关的向量组，且 $P [x]_{n}$ 中任意多项式 $f (x)$ 可表为 $f (x) = a_{0} \cdot 1 + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1},$ 故 $1, x, \dots, x^{n - 1}$ 为 $P [x]_{n}$ 的一组基（称为常用基）， $dim P [x]_{n} = n$ 。

例 4.4.4★☆☆☆☆判断题无限维空间展开题目与讲解

例 4.4.4　 $P [x]$ 是无限维的

线性空间 $P [x]$ 中存在着无穷多个线性无关的向量，这是因为对任意的正整数 $k$ ，向量 $1, x, \dots, x^{k - 1}, x^{k}$ 均线性无关。

例 4.4.5★★★☆☆计算题用行列式判定基展开题目与讲解

例 4.4.5　判断哪些向量组可作为 $P [x]_{4}$ 的基

在线性空间 $P [x]_{4}$ 中，问下列向量组中哪一组可作为 $P [x]_{4}$ 的基？

（1） $f_{1} = 1 + 2 x + 2 x^{3}$ ， $f_{2} = 1 + x + 2 x^{2}$ ； $f_{3} = 1 + 2 x^{2}$ ； $f_{4} = 1 + 3 x + 2 x^{3}$ ；

（2） $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 如（1）， $f_{5} = 1 + 3 x + 3 x^{3}$ 。

解取 $P [x]_{4}$ 的一组常用基为 $1, x, x^{2}, x^{3}$ 。

（1）以 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 在常用基下的坐标作为列向量构成矩阵 $A$ ，计算 $| A |$ 。 $| A | = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{array} | = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 0 \end{array} | = 0 .$ 由定理 4.4.1 推论 3 之（1）知， $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 线性相关，因而不能作为 $P [x]_{4}$ 的基。

（2）类似地，计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 3 \end{array} | = 2 \neq 0 .$ 由定理 4.4.1 推论 3 之（3）知， $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{5}$ 是 $P [x]_{4}$ 的一组基。

例 4.4.6★★★☆☆计算题坐标的计算展开题目与讲解

例 4.4.6　求向量在两基下的坐标

在线性空间 $P^{3}$ 中，设向量 $<mi>α</mi> = [5, 2, - 2]^{T}$ 。

（1）求 $<mi>α</mi>$ 在 $P^{3}$ 的常用基 ${<mi>e</mi>}_{1}, {<mi>e</mi>}_{2}, {<mi>e</mi>}_{3}$ 下的坐标。

（2）设 ${<mi>ε</mi>}_{1} = [1, 0, 0]^{T}$ ， ${<mi>ε</mi>}_{2} = [1, 1, 0]^{T}$ ， ${<mi>ε</mi>}_{3} = [1, 1, 1]^{T}$ 。证明： ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 是 $P^{3}$ 的一组基，且求出 $<mi>α</mi>$ 在 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 下的坐标。

解（1） $<mi>α</mi> = 5 {<mi>e</mi>}_{1} + 2 {<mi>e</mi>}_{2} - 2 {<mi>e</mi>}_{3}$ ，故 $<mi>α</mi>$ 在 ${<mi>e</mi>}_{1}, {<mi>e</mi>}_{2}, {<mi>e</mi>}_{3}$ 下的坐标为 $[5, 2, - 2]^{T}$ 。

（2）因 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 在常用基 ${<mi>e</mi>}_{1}, {<mi>e</mi>}_{2}, {<mi>e</mi>}_{3}$ 下的坐标分别为 $[1, 0, 0]^{T}, [1, 1, 0]^{T}, [1, 1, 1]^{T},$ 而 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | = 1 \neq 0,$ 由定理 4.4.1 推论 3 之（3）知， ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 是 $P^{3}$ 的一组基。设 $<mi>α</mi>$ 在 ${<mi>ε</mi>}_{1}, {<mi>ε</mi>}_{2}, {<mi>ε</mi>}_{3}$ 下坐标为 $[x_{1}, x_{2}, x_{3}]^{T}$ ，则 $<mi>α</mi> = x_{1} {<mi>ε</mi>}_{1} + x_{2} {<mi>ε</mi>}_{2} + x_{3} {<mi>ε</mi>}_{3} = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} {<mi>ε</mi>}_{3}] [x_{1}, x_{2}, x_{3}]^{T},$ 即 $(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{3} \end{array}),$ 解得 $x_{1} = 3, x_{2} = 4, x_{3} = - 2 .$

例 4.4.7★★★★☆计算题过渡矩阵与坐标变换展开题目与讲解

例 4.4.7　求过渡矩阵与坐标变换

在线性空间 $P^{3}$ 中，设有两组基

（I）： ${<mi>ε</mi>}_{1} = [1, 2, 1]^{T}$ ， ${<mi>ε</mi>}_{2} = [2, 3, 3]^{T}$ ， ${<mi>ε</mi>}_{3} = [3, 7, 1]^{T}$ ；

（II）： $<mi>ε</mi>'_{1} = [9, 24, - 1]^{T}$ ， $<mi>ε</mi>'_{2} = [8, 22, - 2]^{T}$ ， $<mi>ε</mi>'_{3} = [12, 28, 4]^{T}$ 。

（1）求基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵。

（2）若向量 $<mi>α</mi>$ 在基（Ⅰ）下的坐标为 $X = [0, 1, - 1]^{T}$ ，求 $<mi>α</mi>$ 在基（Ⅱ）下的坐标 $X'$ 。

解（1）设基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为 $M$ ，则有 $[<mi>ε</mi>'_{1} <mi>ε</mi>'_{2} <mi>ε</mi>'_{3}] = [{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} {<mi>ε</mi>}_{3}] M .$ 现 $[{<mi>ε</mi>}_{1} {<mi>ε</mi>}_{2} {<mi>ε</mi>}_{3}]$ ， $[<mi>ε</mi>'_{1} <mi>ε</mi>'_{2} <mi>ε</mi>'_{3}]$ 均为矩阵，分别记为 $A, B$ 。于是问题归结为解矩阵方程 $A M = B$ 。因 $A$ 为可逆矩阵，由 3.4 节知可用初等行变换来求出 $M = A^{- 1} B .$ 将 $A, B$ 并成 $3 \times 6$ 矩阵，作初等行变换： $(\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 & 8 & 12 \\ 2 & 3 & 7 & 24 & 22 & 28 \\ 1 & 3 & 1 & - 1 & - 2 & 4 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 4 & 4 \end{array}) .$ 故 $M = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 \\ 4 & 4 & 4 \end{array}) .$

（2）据坐标变换公式有： $X' = M^{- 1} X$ 。同样由 3.4 节知，可用初等行变换来求 $X'$ 。将 $M$ 与 $X$ 并成 $3 \times 4$ 矩阵，作初等行变换： $(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & - 1 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{array}),$ 故 $X' = [0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]^{T} .$

例 4.4.8★★★★☆计算题矩阵空间的坐标变换展开题目与讲解

例 4.4.8　 $P^{2 \times 2}$ 中的过渡矩阵与坐标

在线性空间 $P^{2 \times 2}$ 中，设有两组基

（I）： $E_{11} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $E_{12} = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $E_{21} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})$ ， $E_{22} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ ；

（II）： $E'_{11} = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ ， $E'_{12} = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ ， $E'_{21} = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $E'_{22} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$ 。

（1）求基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵。

（2）求矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ 在基（Ⅰ），基（Ⅱ）下的坐标。

解（1）直接按定义 4.4.3 写出 $E'_{11}, E'_{12}, E'_{21}, E'_{22}$ 在基（Ⅰ）下的坐标，以这些坐标为列向量构成过渡矩阵，即 $M = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}) .$

（2）可直接写出 $A$ 在基（Ⅰ）下坐标为 $X = [1, 2, 3, 4]^{T}$ 。故 $A$ 在基（Ⅱ）下坐标 $X'$ 为 $X' = M^{- 1} X$ ，从而可用初等变换求出 $X'$ ： $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}) .$ 这表明 $A$ 在基（Ⅱ）下坐标为 $X' = [4, - 1, - 1, - 1]^{T}$ 。

五§4.5 子空间选自 §4.55 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.5.1　线性子空间

数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的一个非空子集 $W$ 称为 $V$ 的一个线性子空间（简称子空间），如果 $W$ 关于 $V$ 的两种运算也构成数域 $P$ 上的线性空间。

据此上述 $π$ 就是 $R^{3}$ 的一个子空间。

定理已掌握+

定理 4.5.1　子空间的判定

线性空间 $V$ 的一个非空子集 $W$ ，若关于 $V$ 的加法和数乘封闭，则 $W$ 就是 $V$ 的一个子空间。

这结果使检验 $V$ 的非空子集 $W$ 是否构成子空间非常简便。

性质已掌握+

性质 4.5.1　生成子空间的相等与维数

设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 与 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 是线性空间 $V$ 中的两个向量组。

（1） $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = L ({<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}) \Leftrightarrow {<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 与 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 等价。

（2） $dim L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 等于向量组 ${{<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}}$ 的秩，且 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 的极大线性无关组均可作为 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 的一组基。

证（1）必要性。因 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = L ({<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s})$ ，故每一个向量 ${<mi>α</mi>}_{i} (i = 1, 2, \dots, t)$ 都是 $L ({<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s})$ 中的向量，从而都可经 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示；同样地每一个向量 ${<mi>β</mi>}_{j} (j = 1, 2, \dots, s)$ 都是 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 中的向量，从而都可经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 线性表示。这就证明了两个向量组等价。

充分性。此时两个向量组等价，故凡可被 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 线性表示的向量均可经 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 线性表示，此即 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) \subseteq L ({<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}) .$ 反之亦然，故 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = L ({<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}) .$

（2）不妨设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 的极大线性无关组为 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k}$ ，则两者等价，据（1）有 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k})$ 。因 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k}$ 线性无关，据定义 4.4.1 知， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k}$ 就是 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k})$ 的基，从而也是 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 的基。故 $dim L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = dim L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{k}) = k,$ 而 $k$ 即为向量组 ${{<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}}$ 的秩。

说明已掌握+

背景　

R^{3}

中过原点的平面

在（欧氏）空间 $R^{3}$ 中，考虑一个通过坐标原点的平面 $π$ ，容易看出 $π$ 上的所有向量对于向量的加法和数乘也构成一个 $R$ 上的线性空间。这就是说 $π$ 一方面是 $R^{3}$ 的一部分（子集合），同时 $π$ 自身关于 $R^{3}$ 的运算也构成了线性空间。本节将研究线性空间中这样的子集合。

说明　子空间的条件分析

我们来分析一下 $V$ 的一个子集 $W$ 要满足什么条件才能成为 $V$ 的子空间。按定义 $W$ 应满足：

1） $W$ 是 $V$ 的非空子集；

2） $<mi>α</mi> + <mi>β</mi> \in W$ ， $\forall <mi>α</mi>, <mi>β</mi> \in W$ （加法封闭）；

3） $k <mi>α</mi> \in W$ ， $\forall <mi>α</mi> \in W$ ， $\forall k \in P$ （数乘封闭）；

4）适合定义 4.1.1 中的 8 条运算规律。

首先要指出的是 $W$ 中向量也是线性空间 $V$ 中的向量，故在 $V$ 的加法和数乘下当然适合 8 条运算规律中的（1），（2），（5），（6），（7），（8）。进而考察运算规律中的（3）和（4）是否成立，即 $0 \in W$ ？及当 $<mi>α</mi> \in W$ 时， $- <mi>α</mi> \in W$ ？而这只要注意到 $0 = 0 <mi>α</mi>, - <mi>α</mi> = (- 1) <mi>α</mi> .$ 故若 3）成立就能导出 $0 \in W$ ， $- <mi>α</mi> \in W$ 。于是有如下定理。

说明　子空间自身的基与维数

线性空间 $V$ 的子空间 $W$ 自身也是线性空间，故有基和维数，如 $W = {0}$ 时，规定 $dim W = 0$ 。下面来具体讨论子空间 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 的基和维数。

例题已掌握

例 4.5.1★☆☆☆☆判断题平凡子空间展开题目与讲解

例 4.5.1　平凡子空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，由零向量单独组成的集合 ${0}$ 及 $V$ 自身均为 $V$ 的子空间。这两个子空间称为 $V$ 的平凡子空间，而其他子空间称为非平凡子空间（或称真子空间）。

例 4.5.2★☆☆☆☆判断题多项式空间的子空间展开题目与讲解

例 4.5.2　多项式空间的子空间

$P [x]_{n}$ 是 $P [x]$ 的子空间。进而当 $0 < n < m$ 时， $P [x]_{n}$ 是 $P [x]_{m}$ 的子空间。

例 4.5.3★★☆☆☆判断题矩阵空间的子空间展开题目与讲解

例 4.5.3　对称与反对称矩阵构成的子空间

在线性空间 $P^{n \times n}$ 中，设 $W_{1} = {A \in P^{n \times n} | A^{T} = A},$ $W_{2} = {A \in P^{n \times n} | A^{T} = - A},$ 即 $W_{1}$ 是 $n \times n$ 对称矩阵全体， $W_{2}$ 是 $n \times n$ 反对称矩阵全体。据定理 3.1.6 知， $W_{1}, W_{2}$ 是 $P^{n \times n}$ 的子空间。

例 4.5.4★★☆☆☆判断题几何子空间展开题目与讲解

例 4.5.4　 $R^{3}$ 中的三个坐标平面

在（欧氏）空间 $R^{3}$ 中，设 $W_{1} = {[x, y, 0]^{T} | x, y \in R},$ $W_{2} = {[x, 0, z]^{T} | x, z \in R},$ $W_{3} = {[0, y, z]^{T} | y, z \in R},$ 即 $W_{1}$ 是 $X Y$ 平面， $W_{2}$ 是 $X Z$ 平面， $W_{3}$ 是 $Y Z$ 平面，故 $W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 均是 $R^{3}$ 的子空间。

例 4.5.5★★☆☆☆证明题解空间的子空间性展开题目与讲解

例 4.5.5　齐次线性方程组的解空间

设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，记齐次线性方程组 $A X = 0$ 解的全体为 $W$ 。容易直接验证： $W$ 非空（至少有零解），且若 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}$ 是 $A X = 0$ 的解，则 ${<mi>ξ</mi>}_{1} + {<mi>ξ</mi>}_{2}$ ， $k {<mi>ξ</mi>}_{1}$ 均为 $A X = 0$ 的解。这表明： $W$ 是 $P^{n}$ 非空子集，且运算封闭，故 $W$ 是线性空间 $P^{n}$ 的子空间，称为齐次线性方程组 $A X = 0$ 的解空间。

例 4.5.6★★☆☆☆证明题生成子空间展开题目与讲解

例 4.5.6　由向量组生成的子空间

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 是 $V$ 中一组向量，记 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}) = {k_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + k_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + k_{t} {<mi>α</mi>}_{t} | k_{1}, k_{2}, \dots, k_{t} \in P} .$ 则可直接验证 ${{<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}} \subseteq L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 。故 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 非空，且可验证关于 $V$ 中加法、数乘封闭，从而 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t})$ 为 $V$ 的子空间，称为由 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{t}$ 生成的子空间。

容易看出若 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，则 $V = L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}) .$ 这表明线性空间可看作由一组基生成的。

例 4.5.7★★★☆☆计算题生成子空间的维数与基展开题目与讲解

例 4.5.7　求生成子空间的维数和基

在线性空间 $P^{4}$ 中，求 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4})$ 的维数和基，其中 ${<mi>α</mi>}_{1} = [1, 0, 2, 1]^{T}, {<mi>α</mi>}_{2} = [1, 1, 1, 1]^{T},$ ${<mi>α</mi>}_{3} = [2, 1, 3, 2]^{T}, {<mi>α</mi>}_{4} = [2, 5, - 1, 4]^{T} .$

解据性质 4.5.1 知问题归结为求出 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的极大线性无关组。在例 4.3.1 中已借助初等行变换得出 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 的极大线性无关组为 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 或 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 。故 $dim L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}) = 3 .$ 向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 或 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4}$ 均可作为 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, {<mi>α</mi>}_{3}, {<mi>α</mi>}_{4})$ 的基。

六§4.6 矩阵的秩·线性方程组解的结构选自 §4.64 个知识分组 · 含例题

定理已掌握+

定理 4.6.1　行秩等于列秩等于矩阵的秩

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $A$ 的行秩 $= r (A) = A$ 的列秩。

证设 $r (A) = r$ ，则 $A$ 经初等行变换可化为前 $r$ 行不全为零，后 $m - r$ 行全为零的阶梯形 $B = [<mi>α</mi>'_{1} <mi>α</mi>'_{2} \dots <mi>α</mi>'_{n}] .$ 此时 $B$ 的阶梯头所在的列向量 $<mi>α</mi>'_{i_{1}}, <mi>α</mi>'_{i_{2}}, \dots, <mi>α</mi>'_{i_{r}}$ 是 $<mi>α</mi>'_{1}, <mi>α</mi>'_{2}, \dots, <mi>α</mi>'_{n}$ 的一个极大线性无关组，从而 ${<mi>α</mi>}_{i_{1}}, {<mi>α</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>α</mi>}_{i_{r}}$ 是 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 的一个极大线性无关组，所以 $A$ 的列秩 $= r = r (A)$ 。

容易得出 $r (A^{T}) = r (A) = r$ ，对矩阵 $A^{T}$ 利用上式有 $A^{T}$ 的列秩 $= r (A^{T}) = r$ 。而 $A^{T}$ 的列秩即为 $A$ 的行秩，所以 $A$ 的行秩 $= r$ 。综上定理证毕。

推论 $A$ 是可逆矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的行向量组线性无关 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列向量组线性无关。

这定理表明我们可把矩阵的秩定义为它的行向量组线性无关向量的最大个数（行秩），也可定义为它的列向量组线性无关向量的最大个数（列秩）。这就使得我们能从一个新的角度（向量的角度）来刻画矩阵的秩，从而加深了对矩阵秩的认识，比如 $r (A) = r \Leftrightarrow A$ 的列（行）向量组中有 $r$ 个列（行）向量线性无关，且任意 $r + 1$ 个（如果有）列（行）向量均线性相关。从而若 $r (A_{5 \times 3}) = 3$ ，则 $A$ 的行向量组线性相关，列向量组线性无关。

定理 4.6.2　用线性空间语言表述的有解判别法

设线性方程组（Ⅰ）： $A X = b$ ，则

（1）有解 $\Leftrightarrow$ 向量 $b$ 可经 $A$ 的列向量组线性表示。

在（Ⅰ）有解时注意到：

（Ⅰ）的解唯一 $\Leftrightarrow$ 向量 $b$ 经 $A$ 的列向量组线性表示式唯一 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列向量组线性无关 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列秩为 $n$ $\Leftrightarrow$ $r (A) = n$ （未知量个数）。

这样我们又一次得出了线性方程组解的定理 2.3.1。

定理 4.6.3　齐次线性方程组解空间的维数与基础解系

设 $A$ 为数域 $P$ 上 $m \times n$ 矩阵， $r (A) = r$ ，则齐次线性方程组 $A X = 0$ 的解的全体 $W$ 是 $P^{n}$ 的一个子空间，且 $dim W = n - r$ ，(4.6.1) 式中的 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ 是 $W$ 的一组基。

齐次线性方程组的解空间的一组基称为该方程组的一个基础解系。

定理 4.6.4　非齐次线性方程组解的结构

设 ${<mi>ξ</mi>}_{0}$ 是（Ⅰ）的一个取定的解（一般称为特解）， $\overline{<mi>ξ</mi>}$ 是（Ⅱ）的通解，则（Ⅰ）的通解为 $<mi>ξ</mi> = {<mi>ξ</mi>}_{0} + \overline{<mi>ξ</mi>} . (4.6.2)$

证首先据性质 4.6.1 知， $<mi>ξ</mi> = {<mi>ξ</mi>}_{0} + \overline{<mi>ξ</mi>}$ 是（Ⅰ）的解。再证（Ⅰ）的解均形如 ${<mi>ξ</mi>}_{0} + \overline{<mi>ξ</mi>}$ 。设 $<mi>ξ</mi>'$ 为（Ⅰ）的任意一个解，则 $<mi>ξ</mi>' = {<mi>ξ</mi>}_{0} + (<mi>ξ</mi>' - {<mi>ξ</mi>}_{0}) .$ 据性质 4.6.1 知， $<mi>ξ</mi>' - {<mi>ξ</mi>}_{0}$ 是（Ⅱ）的解。这表明 (4.6.2) 式包含了（Ⅰ）的所有的解。定理得证。

由定理 4.6.3 知：（Ⅱ）有基础解系 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ ，且（Ⅱ）的通解可表为 $t_{1} {<mi>ξ</mi>}_{1} + t_{2} {<mi>ξ</mi>}_{2} + \dots + t_{n - r} {<mi>ξ</mi>}_{n - r},$ 故（Ⅰ）的通解可表为 ${<mi>ξ</mi>}_{0} + t_{1} {<mi>ξ</mi>}_{1} + t_{2} {<mi>ξ</mi>}_{2} + \dots + t_{n - r} {<mi>ξ</mi>}_{n - r},$ 其中 ${<mi>ξ</mi>}_{0}$ 是（Ⅰ）的一个特解， $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ 为任意常数。

性质已掌握+

性质 4.6.1　非齐次与导出组解的关系

（1）若 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}$ 均为（Ⅰ）的解，则 ${<mi>ξ</mi>}_{1} - {<mi>ξ</mi>}_{2}$ 为（Ⅱ）的解。

（2）若 ${<mi>ξ</mi>}_{0}$ 为（Ⅰ）的解， $\overline{<mi>ξ</mi>}$ 为（Ⅱ）的解，则 ${<mi>ξ</mi>}_{0} + \overline{<mi>ξ</mi>}$ 为（Ⅰ）的解。

进而可得出（Ⅰ）的解的构造。

说明已掌握+

说明　矩阵的行秩与列秩

本节将应用线性空间的理论来进一步阐明矩阵的秩和线性方程组解的结构。

首先来看一下矩阵的秩。设给出了一个数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵 $A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}) .$ 记其 $m$ 个行向量为 ${<mi>β</mi>}_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ， $n$ 个列向量为 ${<mi>α</mi>}_{j} (j = 1, 2, \dots, n)$ ，则 ${<mi>α</mi>}_{i}, {<mi>β</mi>}_{j}$ 分别为线性空间 $P^{m}$ ， $P^{n}$ 中的向量。向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{m}$ 和向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 的秩（极大线性无关组所含向量的个数）分别称为 $A$ 的行秩和列秩。

说明　用线性空间理论重证有解判别法

进而来考察线性方程组 $A X = b, (I)$ 其中 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ， $b = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}]^{T}$ 。若记 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 为矩阵 $A$ 的列向量，则方程组（Ⅰ）可改写为 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{n}] (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = x_{1} {<mi>α</mi>}_{1} + x_{2} {<mi>α</mi>}_{2} + \dots + x_{n} {<mi>α</mi>}_{n} = b .$ 这表明若（Ⅰ）有解，则 $b$ 可经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性表示，从而向量组 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 与 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}, b$ 等价。由性质 4.5.1 之（1）推得 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}) = L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}, b),$ 故 $r (A) = r (\overline{A})$ ，此处 $\overline{A} = [{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{n} b]$ 。

反之，若 $r (A) = r (\overline{A})$ ，注意到 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n})$ 是 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}, b)$ 的子空间，且两者维数相同，所以前者的基也是后者的基，从而 $L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}) = L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}, b),$ 这表明 $b \in L ({<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n})$ ，即 $b$ 可经 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{n}$ 线性表示，从而（Ⅰ）有解。

这样我们用线性空间的理论，重新证明了线性方程组有解的判别法：方程组（Ⅰ）有解 $\Leftrightarrow r (A) = r (\overline{A})$ 。

当然如果用线性空间的语言来叙述上述结论可有如下定理。

说明　齐次线性方程组解空间的结构

最后来讨论线性方程组解的结构。

在上一节例 4.5.5 中已阐明，系数矩阵 $A \in P^{m \times n}$ 的齐次线性方程组 $A X = 0$ 解的全体 $W$ 构成了线性空间 $P^{n}$ 的子空间，现在我们来探讨 $W$ 的维数和基。

设 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ ， $r (A) = r$ ，据 2.3 节知， $A X = 0$ 的解可表为 ${\begin{cases} x_{1} = - c_{1, r + 1} t_{1} - \dots - c_{1 n} t_{n - r}, \\ x_{2} = - c_{2, r + 1} t_{1} - \dots - c_{2 n} t_{n - r}, \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ x_{r} = - c_{r, r + 1} t_{1} - \dots - c_{r n} t_{n - r}, \\ x_{r + 1} = t_{1}, \\ \dots \dots \dots \\ x_{n} = t_{n - r}, \end{cases}$ 其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ 为任意常数。将此式改写为向量形式 $(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{r} \\ x_{r + 1} \\ x_{r + 2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = t_{1} (\begin{array}{c} - c_{1, r + 1} \\ - c_{2, r + 1} \\ ⋮ \\ - c_{r, r + 1} \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + t_{2} (\begin{array}{c} - c_{1, r + 2} \\ - c_{2, r + 2} \\ ⋮ \\ - c_{r, r + 2} \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array}) + \dots + t_{n - r} (\begin{array}{c} - c_{1 n} \\ - c_{2 n} \\ ⋮ \\ - c_{r n} \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) .$ 分别记上式右端的 $n - r$ 个 $n$ 元解向量为 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ ，则齐次线性方程组的通解可表为 $<mi>ξ</mi> = t_{1} {<mi>ξ</mi>}_{1} + t_{2} {<mi>ξ</mi>}_{2} + \dots + t_{n - r} {<mi>ξ</mi>}_{n - r}, (4.6.1)$ 其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ 为任意常数。由 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ 作为列向量构成的矩阵 $[{<mi>ξ</mi>}_{1} {<mi>ξ</mi>}_{2} \dots {<mi>ξ</mi>}_{n - r}]$ 的第 $r + 1$ ，第 $r + 2, \dots,$ 第 $n$ 行，第 1，第 2， $\dots$ ，第 $n - r$ 列构成的 $n - r$ 阶子式 $| \begin{array}{c} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array} | = 1 \neq 0,$ 据性质 4.2.3 知， ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ 线性无关。(4.6.1) 式表明 $A X = 0$ 的任何一个解可经 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ 线性表示，故 ${<mi>ξ</mi>}_{1}, {<mi>ξ</mi>}_{2}, \dots, {<mi>ξ</mi>}_{n - r}$ 为解空间 $W$ 的一组基， $dim W = n - r$ 。请注意 $W$ 的维数 $n - r$ 恰为 2.3 节所说的该方程组自由未知量的个数。

概括起来我们有下述定理。

说明　非齐次线性方程组与导出组

至此我们已阐明了齐次线性方程组解的结构，借此我们可以把非齐次线性方程组解的结构刻画出来。

设非齐次线性方程组为 $A X = b, (I)$ 其中 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r (A) = r$ 。称 $A X = 0 (II)$ 为（Ⅰ）对应的齐次线性方程组，或称为（Ⅰ）的导出组。

（Ⅰ）和（Ⅱ）的解之间存在着密切的关系，容易直接验证下述性质。

例题已掌握

例 4.6.1★★★☆☆计算题齐次方程组的基础解系展开题目与讲解

例 4.6.1　解齐次线性方程组并写基础解系

解齐次线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - x_{5} = 0, \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} + 3 x_{5} = 0, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} - 7 x_{4} + 4 x_{5} = 0, \end{cases}$ 且将其通解用基础解系表示。

解此题即 2.3 节中例 2.3.3，故知其系数矩阵经初等行变换后可化为 $(\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & - 6 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 通解为 ${\begin{cases} x_{1} = - t_{1} + 6 t_{2}, \\ x_{2} = t_{1} - \frac{5}{2} t_{2}, \\ x_{3} = t_{1}, \\ x_{4} = 3 t_{2}, \\ x_{5} = t_{2}, \end{cases}$ 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意常数。

写成向量形式为 $(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}) = t_{1} (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t_{2} (\begin{array}{c} 6 \\ - \frac{5}{2} \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}),$ 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意常数。

故基础解系为 ${<mi>ξ</mi>}_{1} = [- 1, 1, 1, 0, 0]^{T}, {<mi>ξ</mi>}_{2} = [6, - \frac{5}{2}, 0, 3, 1]^{T} .$ 通解为 $<mi>ξ</mi> = t_{1} {<mi>ξ</mi>}_{1} + t_{2} {<mi>ξ</mi>}_{2},$ 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意常数。

如 2.3 节所述自由未知量选取可以是不惟一的，如本例中也可选取 $x_{2}, x_{5}$ 。按现在的话来说就是虽然线性方程组的基础解系（解空间的基）可以不惟一，然而由不同的基生成的子空间均为解空间，故而它们表示的解集合是相同的。这就进一步阐明了 2.3 节所说的虽然不同的自由未知量通解的表达形式不一样，但两者所表示的解集合是相同的。

例 4.6.2★★★☆☆计算题非齐次方程组的通解结构展开题目与讲解

例 4.6.2　解非齐次线性方程组

解线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = - 2, \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - x_{5} = 1, \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} + 3 x_{5} = 7, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} - 7 x_{4} + 4 x_{5} = 1, \end{cases}$ 且将其通解用其对应的齐次线性方程组（导出组）的基础解系来表示。

解此题即 2.3 节中例 2.3.2，故知其增广矩阵通过初等行变换可化为 $(\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & - 6 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 通解为 ${\begin{cases} x_{1} = - 4 - t_{1} + 6 t_{2}, \\ x_{2} = \frac{5}{2} + t_{1} - \frac{5}{2} t_{2}, \\ x_{3} = t_{1}, \\ x_{4} = - 2 + 3 t_{2}, \\ x_{5} = t_{2} . \end{cases}$ 若令 $t_{1} = 0$ ， $t_{2} = 0$ ，就得其一个特解 ${<mi>ξ</mi>}_{0} = [- 4, \frac{5}{2}, 0, - 2, 0]^{T} .$ 而其对应的齐次线性方程组即例 4.6.1，故所求的通解可表为 $<mi>ξ</mi> = (\begin{array}{c} - 4 \\ \frac{5}{2} \\ 0 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) + t_{1} (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t_{2} (\begin{array}{c} 6 \\ - \frac{5}{2} \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}),$ 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意常数。

至此我们已用线性空间的理论阐明了矩阵的秩和线性方程组解的结构，这一方面使我们把矩阵、线性方程组的问题放在线性空间理论中来看，得出一些原先未能意识到的结果，从而加深认识。另一方面又给我们解决矩阵，线性方程组的问题提供了新的思想、方法和技巧。

例 4.6.3★★★☆☆证明题秩与初等变换展开题目与讲解

例 4.6.3　用初等变换把后几行（列）化为零

设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：

（1） $A$ 可通过若干次初等行变换使第 $r + 1$ ，第 $r + 2, \dots,$ 第 $m$ 行全为零。

（2） $A$ 可通过若干次初等列变换使第 $r + 1$ ，第 $r + 2, \dots,$ 第 $n$ 列全为零。

证（1）由 $r (A) = r$ 知， $A$ 的行秩为 $r$ ，设 $A$ 的行向量组 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{m}$ 中极大线性无关组为 ${<mi>β</mi>}_{i_{1}}, {<mi>β</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>β</mi>}_{i_{r}}$ 。经过适当的行交换后，可将 ${<mi>β</mi>}_{i_{1}}, {<mi>β</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>β</mi>}_{i_{r}}$ 依次排在第 1，第 2， $\dots$ ，第 $r$ 行，此时第 $r + 1$ ，第 $r + 2, \dots,$ 第 $m$ 行中的任意一行均可经 ${<mi>β</mi>}_{i_{1}}, {<mi>β</mi>}_{i_{2}}, \dots, {<mi>β</mi>}_{i_{r}}$ 线性表示，故通过适当的初等行变换后第 $r + 1$ ，第 $r + 2, \dots,$ 第 $m$ 行全为零。

（2）类似（1）。

例 4.6.4★★★★☆证明题秩的不等式展开题目与讲解

例 4.6.4　 $A B = O$ 的秩不等式

设 $A, B$ 分别为 $m \times n$ ， $n \times t$ 矩阵，若 $A B = O$ ，求证：

（1） $B$ 的列向量是齐次线性方程组 $A X = 0$ 的解向量。

（2） $r (A) + r (B) \leq n$ 。

（3）若 $r (A) = n$ ，则 $B = O$ 。

（4）若 $A \neq O$ ， $B \neq O$ ，则 $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关。

证（1）参见例 3.3.3 的（1）。

（2）据定理 4.6.3 知， $A X = 0$ 解空间中极大线性无关向量组（基）所含向量个数为 $n - r (A)$ 。而由（1）知， $B$ 的列向量全体只是 $A X = 0$ 的解向量的一部分，因而 $B$ 的列向量的极大线性无关组所含向量个数不大于 $n - r (A)$ ，即 $r (B) \leq n - r (A),$ 从而 $r (A) + r (B) \leq n .$

（3）证法一 由 $r (A) = n$ 知， $A X = 0$ 只有零解，而（1）表明 $B$ 的列向量均是 $A X = 0$ 的解向量，从而 $B$ 的列向量均为零向量，即得 $B = O$ 。

证法二 由（2）知， $r (B) \leq n - r (A) = n - n = 0$ ，得 $r (B) = 0$ ，故 $B = O$ 。

（4）证法一 由题设 $r (A) \geq 1$ ， $r (B) \geq 1$ ，由（2）知， $r (A) + r (B) \leq n$ ，故得 $1 \leq r (A) < n, 1 \leq r (B) < n .$ 利用定理 4.6.1 知， $A$ 的列秩 $< n$ ， $B$ 的行秩 $< n$ 。从而 $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关， $B$ 的 $n$ 个行向量线性相关。

证法二 由 $B \neq O$ ，据（1）齐次线性方程组 $A X = 0$ 有非零解，故 $r (A) < n$ ，即 $A$ 的列秩 $< n$ ，从而 $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关。利用 $B^{T} A^{T} = O$ ，类似可推出 $B$ 的 $n$ 个行向量线性相关。

例 4.6.5★★★★☆证明题向量组秩的比较展开题目与讲解

例 4.6.5　可线性表示的向量组的秩

在线性空间 $P^{n}$ 中，设向量组（Ⅰ）： ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{m}$ ；向量组（Ⅱ）： ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 。若（Ⅰ）可经（Ⅱ）线性表示，则向量组（Ⅰ）的秩不大于向量组（Ⅱ）的秩。

证证法一：设（Ⅰ）的秩为 $r_{1}$ ，不妨设（Ⅰ）的一个极大线性无关组为 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r_{1}}$ ；（Ⅱ）的秩为 $r_{2}$ ，不妨设（Ⅱ）的一个极大线性无关组为 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{r_{2}}$ 。据题设 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r_{1}}$ 可经向量组（Ⅱ）线性表示，再利用向量组与其极大线性无关组等价，可推出 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r_{1}}$ 可经 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{r_{2}}$ 线性表示，因 ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{r_{1}}$ 线性无关，据定理 4.3.4 知， $r_{1} \leq r_{2}$ 。

证法二 据题设有 ${<mi>α</mi>}_{1} = a_{11} {<mi>β</mi>}_{1} + a_{21} {<mi>β</mi>}_{2} + \dots + a_{s 1} {<mi>β</mi>}_{s},$ ${<mi>α</mi>}_{2} = a_{12} {<mi>β</mi>}_{1} + a_{22} {<mi>β</mi>}_{2} + \dots + a_{s 2} {<mi>β</mi>}_{s},$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots$ ${<mi>α</mi>}_{m} = a_{1 m} {<mi>β</mi>}_{1} + a_{2 m} {<mi>β</mi>}_{2} + \dots + a_{s m} {<mi>β</mi>}_{s} .$ 将上式改写为矩阵形式有 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{m}] = [{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \dots & a_{s m} \end{array}),$ 记 $A = [a_{i j}]_{s \times m}$ ，则有 $[{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{m}] = [{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] A .$ 故 $r ([{<mi>α</mi>}_{1} {<mi>α</mi>}_{2} \dots {<mi>α</mi>}_{m}]) = r ([{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}] A) \leq r ([{<mi>β</mi>}_{1} {<mi>β</mi>}_{2} \dots {<mi>β</mi>}_{s}]) .$ 由定理 4.6.1 知， ${<mi>α</mi>}_{1}, {<mi>α</mi>}_{2}, \dots, {<mi>α</mi>}_{m}$ 的秩不大于 ${<mi>β</mi>}_{1}, {<mi>β</mi>}_{2}, \dots, {<mi>β</mi>}_{s}$ 的秩。

注记（1）由证法一知，本例的结论对一般线性空间 $V$ 中的向量都成立。

（2）利用本例结论可推出线性空间中等价的向量组有相同的秩。

七§4.7 同构选自 §4.76 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.7.1　映射

设 $M, N$ 是二个非空集合. 若给定一个法则 $σ$ , 使 $M$ 中每个元素 $a$ 都有 $N$ 中一个惟一确定的元素 $b$ 与它对应, 则称 $σ$ 是集合 $M$ 到 $N$ 的一个映射, 记作 $σ : M \to N$ . 同时称 $b$ 为 $a$ 在 $σ$ 下的像, 记为 $b = σ (a)$ . $a$ 称为 $b$ 在 $σ$ 下的一个原像. 这样 $M$ 到 $N$ 的映射 $σ$ 可表示为 $σ : M ⟶ N, a ⟼ σ (a) = b, \forall a \in M .$ 称 $M$ 中全体元素在 $σ$ 作用下的像集合为值域, 记为 $σ (M) = {σ (a) | a \in M} .$

定义 4.7.2　满射

设 $σ$ 是 $M$ 到 $N$ 的映射. 若 $σ (M) = N$ , 则称 $σ$ 为满射. 这表明: $σ$ 为满射 $\Leftrightarrow$ $N = {σ (a) | a \in M}$ . 换言之, $σ$ 为满射当且仅当对任意的 $b \in N$ , 一定可以找到 $a \in M$ , 使得 $σ (a) = b$ .

定义 4.7.3　单射

设 $σ$ 是 $M$ 到 $N$ 的映射. 若在映射 $σ$ 下 $M$ 中不同元素的像也不同, 即若 $a_{1}, a_{2} \in M$ , 且 $a_{1} \neq a_{2}$ , 必有 $σ (a_{1}) \neq σ (a_{2})$ , 则称 $σ$ 为单射.

定义 4.7.4　双射

若 $M$ 到 $N$ 的映射 $σ$ , 既是满射又是单射, 则称 $σ$ 为双射, 或称为 $1 - 1$ 对应.

定义 4.7.5　映射的相等

若 $σ, τ$ 都是集合 $M$ 到集合 $N$ 的映射, 且对任意的 $a \in M$ 有 $σ (a) = τ (a)$ , 则称 $σ, τ$ 相等, 记为 $σ = τ$ .

定义 4.7.6　映射的乘积(合成)

设 $σ$ 和 $τ$ 分别是集合 $M_{1}$ 到集合 $M_{2}$ 和集合 $M_{2}$ 到集合 $M_{3}$ 的两个映射, 定义 $σ$ 和 $τ$ 的乘积(或称合成) $τ σ$ 为 $(τ σ) (a) = τ (σ (a)), \forall a \in M_{1} .$ 显然 $τ σ$ 是集合 $M_{1}$ 到集合 $M_{3}$ 的一个映射.

定义 4.7.7　可逆映射与逆映射

设 $σ$ 是集合 $M$ 到集合 $N$ 的一个映射, 若存在 $N$ 到 $M$ 的一个映射 $τ$ , 使得 $τ σ = I_{M}, σ τ = I_{N}$ 同时成立, 则称 $σ$ 是可逆映射, $τ$ 称为 $σ$ 的一个逆映射. 定义中 $σ$ 和 $τ$ 地位是相同的, 故此时也说 $τ$ 是可逆映射, $σ$ 为 $τ$ 的一个逆映射. 若 $σ$ 是可逆映射, 则其逆映射是惟一的, 从而可将 $σ$ 惟一的逆映射记为 $σ^{- 1}$ .

定义 4.7.8　同构

数域 $P$ 上两个线性空间 $V$ 和 $V'$ 称为同构的, 如果 $V$ 到 $V'$ 有一个满足下述条件的双射 $σ$ : (1) $σ (α + β) = σ (α) + σ (β), \forall α, β \in V$ ; (2) $σ (k α) = k σ (α), \forall α \in V, \forall k \in P$ . 记为 $V ≅ V'$ , $σ$ 称为 $V$ 到 $V'$ 的一个同构映射.

定理已掌握+

定理 4.7.1　可逆与双射

设 $σ$ 是集合 $M$ 到集合 $N$ 的一个映射, 则 $σ$ 是可逆映射当且仅当 $σ$ 是双射 (此定理的证明可参阅文献 [1], 11 页). 换言之, 映射可逆与映射为双射是等价的.

定理 4.7.2　同构保持的性质

设 $V$ 和 $V'$ 是数域 $P$ 上两个线性空间, 若 $V ≅ V'$ , 则下述性质成立: (1) 保持零向量和负向量: $σ (<mi>θ</mi>) = <mi>θ</mi>'$ , $σ (- α) = - σ (α)$ , 此处 $<mi>θ</mi>, <mi>θ</mi>'$ 分别为 $V, V'$ 的零向量, $α$ 为 $V$ 中任意向量. (2) 保持线性组合: $σ (k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{r} α_{r}) = k_{1} σ (α_{1}) + k_{2} σ (α_{2}) + \dots + k_{r} σ (α_{r}) .$ (3) 保持线性相关性: $V$ 中元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $σ (α_{1}), σ (α_{2}), \dots, σ (α_{r})$ 线性相关. (4) 保持线性无关性: $V$ 中元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $σ (α_{1}), σ (α_{2}), \dots, σ (α_{r})$ 线性无关. (5) 保持基: $V$ 中向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是一组基 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $σ (α_{1}), σ (α_{2}), \dots, σ (α_{n})$ 是 $V'$ 的一组基. (6) 保持子空间: 若 $W$ 是 $V$ 的子空间, 则 $σ (W)$ 是 $V'$ 的子空间, 且 $dim σ (W) = dim W$ .

定理 4.7.3　有限维同构的判据

设 $V, V'$ 为数域 $P$ 上两个有限维线性空间, 则 $V ≅ V' \Leftrightarrow dim V = dim V' .$

推论　

n

维空间与

P^{n}

同构

数域 $P$ 上任意一个 $n$ 维线性空间 $V$ 均与 $P^{n}$ 同构. 我们能直接写出 $V$ 与 $P^{n}$ 间的同构映射. 这只要取 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 与 $P^{n}$ 中一组常用基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ , 定义 $σ : V ⟶ P^{n}, α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε_{i} ⟼ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T},$ 则 $σ$ 是一个同构映射. 注意到 $α$ 在同构映射下的像 $σ (α) = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ 其实就是 $α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε_{i}$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标, 记为 $X_{α}$ . 至此阐明了本节开始所提出的观点: 利用同构可将数域 $P$ 上一般的抽象的 $n$ 维线性空间 $V$ 归结为特殊的具体的 $P^{n}$ 的研究.

定理 4.7.4　坐标保持线性结构

设 $V$ 是数域 $P$ 上任意一个 $n$ 维线性空间, 取其一组基为 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ , 记 $V$ 中元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标为 $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}$ , 据 $V ≅ P^{n}$ , $σ : α \to X_{α}$ 是同构映射, 则有: (1) $V$ 中元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 其坐标 ( $P^{n}$ 中元素) $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}$ 线性相关. (2) $V$ 中元素 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ 其坐标 ( $P^{n}$ 中元素) $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}$ 线性无关. (3) $V$ 中向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\Leftrightarrow$ 其坐标 $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{n}}$ 为 $P^{n}$ 的一组基 $\Leftrightarrow$ $[X_{α_{1}} X_{α_{2}} \dots X_{α_{n}}] \neq 0$ . (4) $σ (L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})) = L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}})$ , 且 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 为 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$ 的基 $\Leftrightarrow$ $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}$ 为 $L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}})$ 的基. 故 $dim L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = dim L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}) .$ 注意到 $P^{n}$ 中向量组的相关性、无关性、是否为基、求子空间 $L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}})$ 的基均有具体的方法, 从而利用定理 4.7.4 的性质就可在一般的抽象的线性空间 $V$ 中解决同样的一系列问题.

性质已掌握+

同构关系的等价性

可以直接验证线性空间之间的同构关系具有反身性、对称性、传递性. 于是数域 $P$ 上的所有有限维线性空间可按同构分类, 据定理 4.7.3 知, 所有维数相同的线性空间恰为一类. 而在维数为 $n$ 的线性空间所在类中, 可取 $P^{n}$ 作为代表 (对照矩阵等价中的标准形), 以 $P^{n}$ 来推断一般抽象的 $n$ 维线性空间.

公式已掌握+

同构映射下的坐标表示

设 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 为 $V$ 的一组基, $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 为 $P^{n}$ 的常用基, 同构映射 $σ : \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε_{i} ⟼ [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T} = X_{α}$ 把 $V$ 中向量与其坐标一一对应, 且保持加法与数乘.

维数公式的坐标形式

设 $X_{α_{i}}$ 为 $α_{i}$ 在某一组基下的坐标, 则子空间的维数等于坐标向量组所成矩阵的秩: $dim L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = dim L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}) = r ([X_{α_{1}} X_{α_{2}} \dots X_{α_{s}}]) .$ 这是把抽象线性空间的问题化为 $P^{n}$ 中具体矩阵计算的基本公式.

说明已掌握+

本节主旨

本节引入两个线性空间同构的概念, 借此可将数域 $P$ 上一般的抽象的 $n$ 维线性空间归结为特殊的具体的 $P^{n}$ 的研究. 在第 1 节中介绍过各种各样的线性空间, 诸如数域、 $P [x]_{n}$ 、 $P^{n \times n}$ 、 $P^{n}$ 、 $\dots$ , 它们的元素不相同, 运算也不一样, 如何来说明两个线性空间结构是“相同”的呢? 先从集合的映射谈起.

同构的意义

线性空间是带有适合 8 条性质的两个运算的非空集合. 要使两个线性空间结构相同, 一个自然的要求应是两者之间有一个保持运算的双射, 这就是“同构”的概念. 定义 4.7.8 中 (1) 是说 $V$ 中元素之和的像为其像在 $V'$ 中之和, (2) 是说 $V$ 中元素数乘后的像为其像在 $V'$ 中之数乘, 这就是所谓 $σ$ 保持运算. 下文将看到同构的线性空间确有相同的运算性质, 从而有相同的构造.

习题 4.7

本节末配习题 4.7, 共 8 题, 主要练习映射的单射、满射、双射判定, 有限维线性空间同构的判定, 以及用坐标法求向量组的线性关系、维数与基.

例题已掌握

例 4.7.1★☆☆☆☆判断题展开题目与讲解

例 4.7.1　恒等映射

设 $M$ 是一个非空集合, 定义 $σ : M ⟶ M, a ⟼ a, \forall a \in M .$ $σ$ 是 $M$ 到 $M$ 的映射, 称为恒等映射, 记作 $I_{M}$ , 或简写为 $I$ .

解每个 $a \in M$ 都有 $M$ 中惟一确定的元素 $a$ 与之对应, 故 $I_{M}$ 是映射; 又 $σ (a) = a$ , 显然 $σ (M) = M$ 且不同元素的像不同, 故 $I_{M}$ 是双射, 其逆映射就是自身.

例 4.7.2★☆☆☆☆判断题展开题目与讲解

例 4.7.2　零映射

取 $M, N$ 均为数域 $P$ 上的线性空间 $V$ , 定义 $σ : M ⟶ N, α ⟼ <mi>θ</mi>, \forall α \in V .$ 这是映射, 称为零映射.

解 $V$ 中每个 $α$ 的像都是 $N$ 中同一元素 $<mi>θ</mi>$ , 符合映射的定义. 当 $V \neq {<mi>θ</mi>}$ 时, 不同的 $α$ 有相同的像 $<mi>θ</mi>$ , 故不是单射; 又 $σ (V) = {<mi>θ</mi>} \neq V$ , 故也不是满射.

例 4.7.3★★☆☆☆判断题展开题目与讲解

例 4.7.3　整数集到偶数集的 $1 - 1$ 对应

取 $M$ 为整数集, $N$ 为偶数集, 定义 $σ_{1} : M ⟶ N, n ⟼ 2 n, \forall n \in M,$ 则 $σ_{1}$ 是 $M$ 到 $N$ 的 $1 - 1$ 映射.

解若 $σ_{1} (n_{1}) = σ_{1} (n_{2})$ , 即 $2 n_{1} = 2 n_{2}$ , 则 $n_{1} = n_{2}$ , 故 $σ_{1}$ 是单射; 又任一偶数 $m = 2 k$ 都有原像 $k \in M$ , 使 $σ_{1} (k) = m$ , 故 $σ_{1}$ 是满射. 因此 $σ_{1}$ 是双射, 即 $1 - 1$ 对应.

例 4.7.4★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.7.4　映射的乘积

取 $M_{1} = {A = [a_{i j}]_{n \times n} | a_{i j} \in R}$ , $M_{2} = R$ , $M_{3} = M_{1}$ , 定义映射 $σ_{2} : M_{1} ⟶ M_{2}, A ⟼ | A |, \forall A \in M_{1};$ $σ_{3} : M_{2} ⟶ M_{3}, a ⟼ a E, \forall a \in M_{2},$ 则 $σ_{2}$ 和 $σ_{3}$ 的乘积 $σ_{3} σ_{2}$ 为 $(σ_{3} σ_{2}) (A) = σ_{3} (σ_{2} (A)) = σ_{3} (| A |) = | A | E .$ 这是 $R^{n \times n}$ 到 $R^{n \times n}$ 的一个映射, 也可表示为 $σ_{3} σ_{2} : A ⟼ | A | E, \forall A \in R^{n \times n} .$

解复合映射 $σ_{3} σ_{2}$ 先用 $σ_{2}$ 把矩阵 $A$ 映为实数 $| A |$ , 再用 $σ_{3}$ 把实数 $| A |$ 映为数量矩阵 $| A | E$ . 注意 $σ_{2}$ 不是单射 (行列式相等的矩阵可以不同), 故 $σ_{3} σ_{2}$ 不是单射.

例 4.7.5★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.7.5　可逆映射与逆映射

解例 4.7.3 中的 $σ_{1}$ 是可逆映射. 这是因为定义偶数集到整数集的映射 $τ$ 为 $τ : N ⟶ M, m ⟼ \frac{m}{2}, \forall m \in N,$ 则 $(τ σ_{1}) (n) = τ (σ_{1} (n)) = τ (2 n) = n, \forall n \in M;$ $(σ_{1} τ) (m) = σ_{1} (τ (m)) = σ_{1} (\frac{m}{2}) = m, \forall m \in N .$ 故 $τ σ_{1} = I_{M}$ , $σ_{1} τ = I_{N}$ . 据定义 4.7.7 知, $σ_{1}$ 是可逆映射, $τ$ 是其惟一的逆映射.

例 4.7.6★☆☆☆☆判断题展开题目与讲解

例 4.7.6　定理 4.7.4 之特例

定理 4.7.4 之 (1) 和 (2) 即 4.4 节中述而不证的定理 4.4.1.

解坐标映射 $σ : α \mapsto X_{α}$ 是 $V$ 到 $P^{n}$ 的同构映射, 由定理 4.7.2 之 (3)(4) 知它保持线性相关性与线性无关性, 而 $P^{n}$ 中向量组的相关性由坐标矩阵的秩判定, 这正是定理 4.4.1 的结论.

例 4.7.7★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.7.7　用坐标法判断线性关系并求维数与基

在有限维线性空间 $R^{2 \times 2}$ 中取 $α_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 9 & 12 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{c} 2 & 5 \\ 6 & 8 \end{array}),$ $α_{4} = (\begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 3 \end{array}), α_{5} = (\begin{array}{c} 2 & 5 \\ 5 & 7 \end{array}) .$ 求: (1) (I) $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ ; (II) $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 是线性相关, 还是线性无关? (2) $L (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5})$ 的维数与一组基.

解 (1) 在 $R^{2 \times 2}$ 中取一组常用基 $E_{11} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}), E_{12} = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), E_{21} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}), E_{22} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}),$ 则 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}$ 在这组基下坐标分别为 $X_{α_{1}} = [1, 2, 3, 4]^{T}, X_{α_{2}} = [3, 1, 9, 12]^{T}, X_{α_{3}} = [2, 5, 6, 8]^{T},$ $X_{α_{4}} = [1, 6, 2, 3]^{T}, X_{α_{5}} = [2, 5, 5, 7]^{T} .$ 据定理 4.7.4 之性质, 只要求出 (I') $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{3}}$ ; (II') $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{4}}$ 的线性关系以及 $L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{3}}, X_{α_{4}}, X_{α_{5}})$ 的维数与一组基就够了. 为此可对下列矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵 $(\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 6 & 5 \\ 3 & 9 & 6 & 2 & 5 \\ 4 & 12 & 8 & 3 & 7 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & - 5 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (*)$ 据 $(*)$ 知, $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{3}}$ 线性相关, $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{4}}$ 线性无关, 从而推知: $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关, $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性无关. (2) 据 $(*)$ 知, $L (X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{3}}, X_{α_{4}}, X_{α_{5}})$ 的维数为 $3$ , 一组基为 $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, X_{α_{4}}$ , 从而推知 $dim L (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}) = 3$ , 一组基为 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ .

例 4.7.8★★★☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.7.8　子空间维数等于矩阵的秩

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, $A$ 是一个 $n \times s$ 矩阵, $[β_{1} β_{2} \dots β_{s}] = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] A$ , 证明: $L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩.

证设 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 在基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 下的坐标分别为 $X_{β_{1}}, X_{β_{2}}, \dots, X_{β_{s}} \in P^{n}$ , 据定理 4.7.4 性质 (4) 知 $dim L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}) = dim L (X_{β_{1}}, X_{β_{2}}, \dots, X_{β_{s}}) .$ 利用 4.5 节中性质 4.5.1 知, $dim L (X_{β_{1}}, X_{β_{2}}, \dots, X_{β_{s}})$ 恰为向量组 $X_{β_{1}}, X_{β_{2}}, \dots, X_{β_{s}}$ 的秩 $r$ , 而向量组 $X_{β_{1}}, X_{β_{2}}, \dots, X_{β_{s}}$ 恰为矩阵 $A$ 的 $s$ 个列向量, 故其秩 $r$ 即为矩阵 $A$ 的秩, 此即 $dim L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}) = r (A)$ .

八§4.8 欧氏空间选自 §4.86 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.8.1　内积与欧氏空间

设 $V$ 是实数域 $R$ 上的一个线性空间, 如果对于 $V$ 中任意两个向量 $α$ 与 $β$ 都有惟一确定的记为 $(α, β)$ 的实数与它们对应, 且具有下列性质: (1) $(α, β) = (β, α)$ ; (2) $(k α, β) = k (α, β)$ ; (3) $(α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)$ ; (4) $(α, α) \geq 0$ , 且 $(α, α) = 0 \Leftrightarrow α = <mi>θ</mi>$ , 这里 $α, β, γ$ 是 $V$ 中任意向量, $k$ 是任意实数, 则称 $(α, β)$ 为向量 $α, β$ 的内积. 具有内积的实线性空间 $V$ 称为欧几里得 (Euclid) 空间, 简称为欧氏空间.

定义 4.8.2　向量的长度

设 $α$ 为欧氏空间 $V$ 的一个向量, 则非负实数 $\sqrt{(α, α)}$ 称为向量 $α$ 的长度, 记为 $| α |$ . 在此定义下有 $| α | = 0 \Leftrightarrow α = <mi>θ</mi>, | α | > 0 \Leftrightarrow α \neq <mi>θ</mi> .$ 长度为 $1$ 的向量称为单位向量. 若 $α \neq <mi>θ</mi>$ , 由 $| k α | = | k | | α |$ 知, $\frac{1}{| α |} α$ 就是一个单位向量. 用非零向量 $α$ 的长度的倒数去数乘向量 $α$ , 得到一个与 $α$ 同方向的单位向量, 通常把这过程称为把向量 $α$ 单位化 (或称标准化).

定义 4.8.3　两个向量的夹角

设 $α$ 和 $β$ 是欧氏空间两个非零向量. $α$ 和 $β$ 的夹角 $⟨ α, β ⟩$ 由以下公式定义: $⟨ α, β ⟩ = arccos \frac{(α, β)}{| α | | β |}, 0 \leq ⟨ α, β ⟩ \leq π .$ 由柯西-施瓦茨不等式知 $- 1 \leq \frac{(α, β)}{| α | | β |} \leq 1,$ 所以这样定义两向量的夹角是合理的.

定义 4.8.4　正交

设 $V$ 是欧氏空间, $α, β \in V$ , 若 $(α, β) = 0$ , 则称 $α$ 与 $β$ 正交 (或互相垂直), 记为 $α ⊥ β$ . 由性质 4.8.1 之 (1) 知, 零向量 $<mi>θ</mi>$ 与任意向量正交, 当然就和自身正交. 由内积的正定性知, $α ⊥ α \Leftrightarrow α = <mi>θ</mi>$ . 当 $α, β$ 都不是零向量时, 有 $α ⊥ β \Leftrightarrow ⟨ α, β ⟩ = \frac{π}{2} .$

定义 4.8.5　正交向量组

欧氏空间 $V$ 的一组两两正交的非零向量称为 $V$ 的一个正交向量组. 应当指出按此定义, 由单个非零向量组成的向量组也是正交向量组, 所以欧氏空间的正交向量组总是存在的.

定义 4.8.6　正交基与标准正交基

在 $n$ 维欧氏空间中, 由 $n$ 个向量组成的正交向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基, 称为标准正交基 (或单位正交基). 容易看出如有了正交基, 则对其单位化即可得到标准正交基.

定义 4.8.7　正交矩阵

$n$ 阶实矩阵 $A$ 称为正交矩阵, 若 $A^{T} A = E$ .

定义 4.8.8　欧氏空间的同构

欧氏空间 $V$ 与 $V'$ 称为同构的, 如果有一个 $V$ 到 $V'$ 的双射 $σ$ 适合: (1) $σ (α + β) = σ (α) + σ (β), \forall α, β \in V$ ; (2) $σ (k α) = k σ (α), \forall k \in R, \forall α \in V$ ; (3) $(α, β) = (σ (α), σ (β)), \forall α, β \in V$ . 这样的映射 $σ$ 称为 $V$ 到 $V'$ 的同构映射, 记为 $V ≅ V'$ . 欧氏空间是具有内积的实线性空间, 故下述定义是自然的.

定理已掌握+

定理 4.8.1　有限维实空间可规定内积

任何一个实数域 $R$ 上的有限维线性空间 $V$ , 一定能规定适当内积使之成为欧氏空间.

证设 $dim V = n$ , 取 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ , 对 $V$ 中任意向量 $α$ 与 $β$ , 有 $α = x_{1} ε_{1} + x_{2} ε_{2} + \dots + x_{n} ε_{n}, β = y_{1} ε_{1} + y_{2} ε_{2} + \dots + y_{n} ε_{n} .$ 规定内积 $(α, β) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} = X^{T} Y,$ 这里 $X, Y$ 分别为 $α, β$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标. 可直接验证该内积适合定义 4.8.1 的 4 条性质, 故 $V$ 构成欧氏空间. 进而 $R$ 上的任意一个有限维线性空间 $V$ 不仅一定能规定适当内积使之构成欧氏空间, 而且可以规定不同的内积使得 $V$ 均成为欧氏空间. 比如在定理的证明中, 可以规定内积为 $(α, β) = k \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} (k > 0),$ 这里 $k$ 为任意正实数, 或者规定内积为 $(α, β) = x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} + \dots + n x_{n} y_{n} .$ 同一个实线性空间 $V$ 关于这些不同内积所构成的不同欧氏空间, 其差别在于“尺度”不一样.

定理 4.8.2　柯西-施瓦茨不等式

对于欧氏空间 $V$ 中任意两个向量 $α, β$ 恒有 $| (α, β) | \leq | α | | β |,$ 且等号成立 $\Leftrightarrow$ $α, β$ 线性相关.

证如 $α, β$ 线性相关, 不妨可设 $α = k β$ , 则 $| (α, β) | = | (k β, β) | = | k | (β, β),$ $| α | = | k β | = | k | | β |,$ $| α | | β | = | k | | β |^{2} = | k | (β, β) = | (α, β) | .$ 这就证明了当 $α, β$ 线性相关时等号成立. 现设 $α, β$ 线性无关, 则对任意实数 $t$ 而言, $t α + β \neq <mi>θ</mi>$ , 故 $(t α + β, t α + β) > 0,$ 即 $t^{2} (α, α) + 2 t (α, β) + (β, β) > 0 .$ 上式左端是 $t$ 的二次三项式, 由于它对 $t$ 的任意实数值来说都是正数, 所以它的判别式一定小于零, 即 $(α, β)^{2} - (α, α) (β, β) < 0,$ 即得 $| (α, β) | < | α | | β |$ . 至此已证明了不等式恒成立, 且当 $α, β$ 线性相关时等号成立. 下面用反证法来证等号成立能导出 $α, β$ 线性相关: 若不然, 据上证明知等号不成立, 此为矛盾. 综上所述定理得证.

定理 4.8.3　正交向量组的扩充

$n$ 维欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基.

证设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 是 $V$ 的一个正交向量组. 若 $m = n$ , 则定理得证. 若 $m < n$ , 由 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) \subset V$ 知存在 $V$ 中向量 $β \notin L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ , 即 $β$ 不能经 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性表示. 作向量 $α_{m + 1} = β - k_{1} α_{1} - k_{2} α_{2} - \dots - k_{m} α_{m},$ 这里 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 是待定的系数. 由 $β$ 不能经 $α_{1}, \dots, α_{m}$ 线性表示知, 不论 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 如何取值, 均有 $α_{m + 1} \neq <mi>θ</mi>$ . 用 $α_{i}$ ( $1 \leq i \leq m$ ) 与 $α_{m + 1}$ 作内积, 利用 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 两两正交性得 $(α_{i}, α_{m + 1}) = (β, α_{i}) - k_{i} (α_{i}, α_{i}), i = 1, 2, \dots, m .$ 取 $k_{i} = \frac{(β, α_{i})}{(α_{i}, α_{i})}, i = 1, 2, \dots, m,$ 有 $(α_{i}, α_{m + 1}) = 0$ , $i = 1, 2, \dots, m$ . 于是 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, α_{m + 1}$ 是正交向量组. 若 $m + 1 = n$ , 则定理得证; 否则重复讨论, 经 $n - m$ 步扩充即得 $V$ 的一组正交基. 定理得证. 正交基单位化后即可得标准正交基, 由此知任意 $n$ 维欧氏空间总可从一个非零向量开始, 经扩充后得到一组标准正交基.

定理 4.8.4　施密特正交化

对于 $n$ 维欧氏空间中任意一组基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ , 都可找到一组标准正交基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ , 且使得 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{i}) = L (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{i}), i = 1, 2, \dots, n .$

证利用原有的 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 来逐个求出 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ . 首先取 $β_{1} = α_{1}$ , 显然 $L (β_{1}) = L (α_{1})$ , 且 $β_{1} \neq <mi>θ</mi>$ , 所以 $β_{1}$ 是正交向量组. 其次令 $β_{2} = α_{2} + k_{21} β_{1},$ 因 $α_{2}, β_{1}$ (即 $α_{1}$ ) 线性无关, 故不论 $k_{21}$ 取何值, 均有 $β_{2} \neq <mi>θ</mi>$ . 用 $β_{1}$ 对上式两边作内积, 有 $(β_{2}, β_{1}) = (α_{2}, β_{1}) + k_{21} (β_{1}, β_{1}) .$ 取 $k_{21} = - \frac{(α_{2}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})}$ , 有 $(β_{2}, β_{1}) = 0$ . 这样 $β_{1}, β_{2}$ 就是正交向量组. 且向量组 $α_{1}, α_{2}$ 与向量组 $β_{1}, β_{2}$ 等价, 故 $L (α_{1}, α_{2}) = L (β_{1}, β_{2})$ . 一般的, 假定已经求出 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ ( $m < n$ ) 是正交向量组, 具有性质 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{i}) = L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{i}), i = 1, 2, \dots, m .$ 下一步求 $β_{m + 1}$ . 因 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m})$ , 所以 $α_{m + 1}$ 不能经 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 线性表示, 按定理 4.8.3 证明中方法作向量 $β_{m + 1} = α_{m + 1} - \frac{(α_{m + 1}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1} - \frac{(α_{m + 1}, β_{2})}{(β_{2}, β_{2})} β_{2} - \dots - \frac{(α_{m + 1}, β_{m})}{(β_{m}, β_{m})} β_{m},$ 适合 $β_{m + 1} \neq <mi>θ</mi>$ , $(β_{i}, β_{m + 1}) = 0$ , $i = 1, 2, \dots, m$ . 故 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}, β_{m + 1}$ 是正交向量组, 且向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, α_{m + 1}$ 与向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}, β_{m + 1}$ 等价, 故有 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m + 1}) = L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}, β_{m + 1})$ . 由归纳法原理知, 可得到一组正交基 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ , 使 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{i}) = L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{i})$ , $i = 1, 2, \dots, n$ . 将 $β_{i}$ 单位化, 即令 $η_{i} = \frac{1}{| β_{i} |} β_{i}, i = 1, 2, \dots, n,$ 可得 $V$ 的一组标准正交基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ , 且有 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{i}) = L (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{i})$ , $i = 1, 2, \dots, n$ . 定理得证.

注记 (1) 定理中要求 $L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{i}) = L (η_{1}, η_{2}, \dots, η_{i})$ , $i = 1, 2, \dots, n$ , 相当于由基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 到 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 的过渡矩阵是上三角形的. (2) 定理的证明是构造性的, 即证明过程已具体给出将任意一组基改造为标准正交基的做法, 这个方法称为施密特 (Schmidt) 正交化方法.

定理 4.8.5　欧氏空间同构保持的性质

设 $V$ 和 $V'$ 是两个欧氏空间, 若 $V ≅ V'$ , 则下述性质成立: (1) 保持零向量, 负向量. (2) 保持线性组合. (3) 保持线性相关性. (4) 保持线性无关性. (5) 保持基, 从而保持维数. (6) 保持子空间. (7) 保持正交性: $α ⊥ β \Leftrightarrow σ (α) ⊥ σ (β)$ . (8) 保持长度: $| α | = | σ (α) |$ . (9) 保持夹角: $α \neq <mi>θ</mi>, β \neq <mi>θ</mi>$ 时 $⟨ α, β ⟩ = ⟨ σ (α), σ (β) ⟩$ . (10) 保持标准正交基: $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为 $V$ 的一组标准正交基 $\Leftrightarrow$ 它们的像 $σ (α_{1}), σ (α_{2}), \dots, σ (α_{n})$ 为 $V'$ 的一组标准正交基.

证由定义 4.8.8 可看出, 如果 $σ$ 是欧氏空间 $V$ 到 $V'$ 的一个同构映射, 那么 $σ$ 也是作为线性空间 $V$ 到 $V'$ 的同构映射. 这样利用定理 4.7.2 知, 性质 (1) $\sim$ (6) 均成立. 证 (7): 因 $(α, β) = 0 \Leftrightarrow (σ (α), σ (β)) = 0$ . 证 (8): 因 $(α, α) = (σ (α), σ (α))$ . 证 (9): 因 $⟨ α, β ⟩ = arccos \frac{(α, β)}{| α | | β |} = arccos \frac{(σ (α), σ (β))}{| σ (α) | | σ (β) |} = ⟨ σ (α), σ (β) ⟩ .$ 证 (10): 将性质 (5),(7) 和 (8) 结合起来即得. 这表明同构的欧氏空间有相同的性质和结构.

定理 4.8.6　有限维欧氏空间同构的判据

设 $V, V'$ 为两个有限维欧氏空间, 则 $V ≅ V'$ 当且仅当 $dim V = dim V'$ .

证若 $V ≅ V'$ , 则 $V$ 与 $V'$ 作为线性空间是同构的, 由定理 4.7.3 知 $dim V = dim V'$ . 若 $dim V = dim V' = n$ , 在 $V$ 和 $V'$ 中分别取一组标准正交基: $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 和 $ε'_{1}, ε'_{2}, \dots, ε'_{n}$ , 定义映射 $σ : V ⟶ V', α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε_{i} ⟼ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε'_{i} = α', \forall α \in V,$ 则 $σ$ 是 $V \to V'$ 的保持加法、数乘和内积的双射, 从而 $V ≅ V'$ . 综上定理得证.

性质已掌握+

性质 4.8.1　内积的基本性质

设 $V$ 是欧氏空间, $α, β, γ, α_{i}, β_{j}$ 均为 $V$ 中任意向量, $k, k_{i}, t_{j}$ 均为任意实数, 则有 (1) $(<mi>θ</mi>, α) = 0$ ; (2) $(α, k β) = k (α, β)$ ; (3) $(α, β + γ) = (α, β) + (α, γ)$ ; (4) $(\sum_{i = 1}^{m} k_{i} α_{i}, \sum_{j = 1}^{n} t_{j} β_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} k_{i} t_{j} (α_{i}, β_{j})$ .

证 (1) $(<mi>θ</mi>, α) = (<mi>θ</mi> + <mi>θ</mi>, α) = (<mi>θ</mi>, α) + (<mi>θ</mi>, α)$ , 两边减去实数 $(<mi>θ</mi>, α)$ , 即得 $(<mi>θ</mi>, α) = 0$ . (2) $(α, k β) = (k β, α) = k (β, α) = k (α, β)$ . (3) 类似于 (2). (4) 反复应用 (2),(3) 和定义 4.8.1 中的性质 (2),(3) 即得.

性质 4.8.2　三角形不等式与勾股定理

设 $V$ 为欧氏空间, $α, β$ 为 $V$ 中向量, 则有 (1) (三角形不等式) $| α + β | \leq | α | + | β |$ . (2) (勾股定理) 若 $α ⊥ β$ , 则 $| α + β |^{2} = | α |^{2} + | β |^{2}$ .

证 (1) 利用柯西-施瓦茨不等式有 $| α + β |^{2} = (α + β, α + β) = (α, α) + 2 (α, β) + (β, β)$ $\leq | α |^{2} + 2 | α | | β | + | β |^{2} = (| α | + | β |)^{2},$ 所以 $| α + β | \leq | α | + | β |$ . (2) 当 $α ⊥ β$ 时, 有 $(α, β) = 0$ , 故 $| α + β |^{2} = (α + β, α + β) = (α, α) + (β, β) = | α |^{2} + | β |^{2} .$

性质 4.8.3　正交向量组线性无关

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个正交向量组, 则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关.

证设 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = <mi>θ</mi>$ . 用 $α_{i}$ 与等式两边的向量作内积, 且利用 $i \neq j$ 时有 $(α_{i}, α_{j}) = 0$ , 可得 $k_{i} (α_{i}, α_{i}) = 0$ . 因 $α_{i} \neq <mi>θ</mi>$ , 故 $(α_{i}, α_{i}) > 0$ , 从而 $k_{i} = 0$ ( $i = 1, 2, \dots, m$ ). 这就证明了 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关.

推论 $n$ 维欧氏空间中两两正交的非零向量的个数不能超过 $n$ . 这一事实的几何意义是清楚的, 如平面上找不到三个两两垂直的非零向量, 空间找不到四个两两垂直的非零向量.

容易看出性质 4.8.3 的逆命题不成立, 即线性无关的向量组未必是正交向量组. 如 $R^{3}$ 中的 $α_{1} = [1, 1, 1]^{T}, α_{2} = [1, 1, 0]^{T}, α_{3} = [1, 0, 0]^{T}$ 就是线性无关向量组, 但 $α_{i}$ 与 $α_{j}$ ( $i, j = 1, 2, 3$ ) 均不正交. 这表明正交向量组是比线性无关向量组更强的概念.

性质 4.8.4　标准正交基与度量矩阵

(1) $V$ 的一组基为标准正交基 $\Leftrightarrow$ 它的度量矩阵为单位矩阵; (2) $R^{n}$ 的常用基 $e_{i}$ ( $i = 1, 2, \dots, n$ ) 是标准正交基; (3) $R^{m \times n}$ 的常用基 $E_{i j}$ ( $i = 1, 2, \dots, m$ ; $j = 1, 2, \dots, n$ ) 是标准正交基. 这里 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 为标准正交基 $\Leftrightarrow$ $(ε_{i}, ε_{j}) = {\begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j, \end{cases} i, j = 1, 2, \dots, n .$

性质 4.8.5　标准正交基与正交矩阵

在欧氏空间 $R^{n}$ 中, $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为标准正交基 $\Leftrightarrow$ $A = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}]$ 为正交矩阵. 在欧氏空间 $R^{n}$ 中检验一组向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是否标准正交基可如下进行: 因此时 $(α_{i}, α_{j}) = α_{i}^{T} α_{j}$ , 故度量矩阵为 $(\begin{array}{c} α_{1}^{T} α_{1} & α_{1}^{T} α_{2} & \dots & α_{1}^{T} α_{n} \\ α_{2}^{T} α_{1} & α_{2}^{T} α_{2} & \dots & α_{2}^{T} α_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ α_{n}^{T} α_{1} & α_{n}^{T} α_{2} & \dots & α_{n}^{T} α_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ ⋮ \\ α_{n}^{T} \end{array}) [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] .$ 若记 $A = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}]$ , 则有 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为 $R^{n}$ 的标准正交基 $\Leftrightarrow$ $A^{T} A = E$ .

性质 4.8.6　标准正交基下的度量公式

设 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 为 $n$ 维欧氏空间的一组标准正交基, 向量 $α, β$ 在该基下坐标分别为 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ , $Y = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}]^{T}$ , 则 (1) $(α, β) = X^{T} Y$ ; (2) $| α | = \sqrt{X^{T} X} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ ; (3) $x_{i} = (α, ε_{i})$ , $i = 1, 2, \dots, n$ .

证 (1) 因标准正交基度量矩阵为 $E$ , 由 $(α, β) = X^{T} A Y$ 即得 $(α, β) = X^{T} Y$ . (2) (1) 中取 $β = α$ 即得. (3) $(α, ε_{i}) = (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} ε_{j}, ε_{i}) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} (ε_{j}, ε_{i}) = x_{i}$ .

公式已掌握+

标准内积

在实线性空间 $R^{n}$ 中, 对于向量 $α = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]^{T}$ , $β = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]^{T}$ , 规定内积 (称为标准内积) $(α, β) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = α^{T} β .$ 当 $n = 3, 2$ 时, 上式就是几何空间 $R^{3}, R^{2}$ 中向量内积在直角坐标系中的坐标表达式.

R^{m \times n}

的标准内积

在实线性空间 $R^{m \times n}$ 中, 对于实矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ , $B = [b_{i j}]_{m \times n}$ , 规定内积 (称为标准内积) $(A, B) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{i j} .$

C [a, b]

的内积

在实线性空间 $C [a, b]$ 中, 对任意两个实连续函数 $f (x), g (x)$ 规定内积 $(f (x), g (x)) = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x .$

度量矩阵与内积的坐标公式

设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间, 在 $V$ 中取一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ , 对 $V$ 中任意两个向量 $α = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ε_{i}$ , $β = \sum_{j = 1}^{n} y_{j} ε_{j}$ , 记 $(ε_{i}, ε_{j}) = a_{i j}$ , 则 $(α, β) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} = X^{T} A Y,$ 这里 $X, Y$ 分别为 $α, β$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标, 而矩阵 $A = [a_{i j}]_{n \times n} = [(ε_{i}, ε_{j})]_{n \times n}$ 称为基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的度量矩阵. 由内积的对称性知, $a_{i j} = a_{j i}$ , 故度量矩阵 $A$ 为实对称矩阵. 在知道了一组基的度量矩阵后, 任意两个向量的内积就可以通过坐标按上式计算得出, 因而度量矩阵确定内积.

长度与单位化

$| k α | = \sqrt{(k α, k α)} = \sqrt{k^{2} (α, α)} = | k | | α |, k \in R, α \in V .$ 若 $α \neq <mi>θ</mi>$ , 则 $\frac{1}{| α |} α$ 是与 $α$ 同方向的单位向量.

夹角与正交的判定

设 $α, β$ 为欧氏空间中两个非零向量, 则 $⟨ α, β ⟩ = arccos \frac{(α, β)}{| α | | β |}, α ⊥ β \Leftrightarrow (α, β) = 0 \Leftrightarrow ⟨ α, β ⟩ = \frac{π}{2} .$ 当 $α, β$ 中有一个为零向量时, 由 $(<mi>θ</mi>, α) = 0$ 知零向量与任意向量正交.

施密特正交化公式

由任意一组基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 出发, 依次作 $β_{1} = α_{1}, β_{m + 1} = α_{m + 1} - \sum_{i = 1}^{m} \frac{(α_{m + 1}, β_{i})}{(β_{i}, β_{i})} β_{i},$ 再单位化 $η_{i} = \frac{1}{| β_{i} |} β_{i}, i = 1, 2, \dots, n,$ 即得标准正交基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ , 且保持子空间不变.

说明已掌握+

为什么要在一般线性空间中引入度量

上节已阐明任意的数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 都同构于 $P^{n}$ , 从这个意义上讲 $P^{n}$ 代表了所有维数为 $n$ 的 $P$ 上线性空间 $V$ . 从而我们熟悉的 (欧氏) 空间 $R^{3}$ 、 (欧氏) 平面 $R^{2}$ 可作为 $R$ 上线性空间最好的背景和模型. 我们自然希望 $R^{3}, R^{2}$ 的一些良好的性态能拓广到一般线性空间 $V$ 中去, 但迄今线性空间只有向量的运算 (如加法、数乘) 性质, 尚没有 $R^{3}, R^{2}$ 所具有的向量的度量 (如长度、夹角) 性质. 而向量的度量性质在许多问题 (其中包括几何问题) 中有着特别重要的地位, 故有必要在一般线性空间中引入度量的概念. 在解析几何中, 几何空间 (即 $R^{3}, R^{2}$ ) 向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积 (或称数量积) 来表示, 而向量的内积有明显的代数性质, 所以取内积作为基本概念, 在实数域 $R$ 上的一般线性空间中导入内积, 建立起具有度量的欧氏空间.

内积的三条基本特性

定义 4.8.1 中的 (2),(3) 表明内积对第一个变量是线性的, 性质 4.8.1 中的 (2),(3) 表明内积对第二个变量也是线性的, 因而内积是具有双线性的; 定义 4.8.1 中内积的性质 (1) 说明内积有对称性; 为方便计将定义 4.8.1 中内积的性质 (4) 称为内积有正定性. 概括起来: 欧氏空间的内积具有对称性、双线性和正定性. 鉴于欧氏空间首先是一个实线性空间, 故本章前面所述关于线性空间所导入的一些基本概念, 诸如向量的线性关系 (相关、无关)、基、维数、坐标和子空间等, 以及与这些有关的定理、性质自然在欧氏空间都适用, 因而都可直接使用.

关于内积的约定

下文凡称 $R^{n}$ , $R^{m \times n}$ 为欧氏空间时, 如无特殊说明其具有的内积都是指标准内积. 另外, 欧氏空间 $V$ 的任一子空间 $W$ 关于 $V$ 所规定的内积也是一个欧氏空间, 所以都是欧氏空间的子空间.

寻求具有良好度量性质的基

欧氏空间是线性空间, 故有基. 因其还具有内积, 故可以寻求有良好度量性质的基. 例 4.8.7 表明欧氏空间 $R^{n}$ 和 $R^{m \times n}$ 都具有长度为 $1$ , 两两正交的向量组成的基. 特别地在 $R^{2}, R^{3}$ 中这种基就构成直角坐标系, 而直角坐标系使用起来特别方便. 我们希望一般的 $n$ 维欧氏空间中能够有这种使用方便的基, 这就是正交基与标准正交基.

习题 4.8

本节末配习题 4.8, 共 11 题, 主要练习内积的定义与验证、长度与夹角的计算、正交向量组与标准正交基的判定, 以及施密特正交化方法.

例题已掌握

例 4.8.1★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.1　几何空间中的内积

在几何空间 $R^{3}, R^{2}$ 中, 规定的内积为 $(α, β) = | α | | β | cos θ,$ 其中 $α, β$ 为几何向量, $| α |, | β |$ 表示向量的长度, $θ$ 为它们的夹角, 这样规定的内积 (解析几何中称为数量积) 满足定义 4.8.1 的 4 条性质, 故几何空间是欧氏空间.

解对称性由 $cos θ$ 关于 $α, β$ 对称而得; 数乘与分配律由数量积的投影性质而得; 正定性由 $(α, α) = | α |^{2} \geq 0$ 且等号仅在 $α = <mi>θ</mi>$ 时成立而得.

例 4.8.2★☆☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.2　 $R^{n}$ 的标准内积

在实线性空间 $R^{n}$ 中, 对于向量 $α = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]^{T}, β = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]^{T},$ 规定内积 (称为标准内积) $(α, β) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = α^{T} β .$ 显然适合定义 4.8.1 的 4 条性质, 故 $R^{n}$ 构成欧氏空间.

解这里 4 条性质分别对应实数的交换律、结合律与分配律, 以及 $\sum a_{i}^{2} \geq 0$ 且等号仅在 $a_{i}$ 全为零时成立.

例 4.8.3★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.3　 $R^{m \times n}$ 的标准内积

在实线性空间 $R^{m \times n}$ 中, 对于实矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}, B = [b_{i j}]_{m \times n},$ 规定内积 (称为标准内积) $(A, B) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{i j} .$ 可直接验证其适合定义 4.8.1 的 4 条性质, 故 $R^{m \times n}$ 构成欧氏空间.

解把 $m \times n$ 个元素按行拉直成 $m n$ 维向量, 则此内积就是 $R^{m n}$ 的标准内积, 故 4 条性质成立.

例 4.8.4★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.4　 $C [a, b]$ 的内积

在实线性空间 $C [a, b]$ 中, 对任意两个实连续函数 $f (x), g (x)$ 规定内积 $(f (x), g (x)) = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x .$ 由定积分的性质不难验证这样规定的内积适合定义 4.8.1 的 4 条性质, 故 $C [a, b]$ 构成欧氏空间.

解对称性与线性性由定积分的线性性得到; 正定性由 $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x \geq 0$ 及连续函数 $f$ 若 $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ 则 $f \equiv 0$ 得到.

例 4.8.5★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.5　柯西不等式

考虑例 4.8.2 中的欧氏空间 $R^{n}$ , 由柯西-施瓦茨不等式推出对任意实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ; $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ , 有不等式 $(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) .$ 上述不等式称为柯西 (Cauchy) 不等式.

解取 $α = [a_{1}, \dots, a_{n}]^{T}$ , $β = [b_{1}, \dots, b_{n}]^{T}$ , 则 $(α, β) = \sum a_{i} b_{i}$ , $| α |^{2} = \sum a_{i}^{2}$ , $| β |^{2} = \sum b_{i}^{2}$ , 代入 $| (α, β) | \leq | α | | β |$ 后两边平方即得.

例 4.8.6★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.8.6　施瓦茨不等式

考虑例 4.8.4 中的欧氏空间 $C [a, b]$ , 由柯西-施瓦茨不等式推出对于定义在 $[a, b]$ 上任意连续的实函数 $f (x), g (x)$ 有不等式 $| \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x | \leq \sqrt{\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x} \sqrt{\int_{a}^{b} g^{2} (x) d x} .$ 此不等式称为施瓦茨 (Schwarz) 不等式.

解在 $C [a, b]$ 中令 $(f, g) = \int_{a}^{b} f g d x$ , 则 $| f |^{2} = \int_{a}^{b} f^{2} d x$ , 代入柯西-施瓦茨不等式即得. 这两个不等式都是历史上著名的不等式, 它们从外表上看差异很大, 然而它们被统一在欧氏空间的不等式 $| (α, β) | \leq | α | | β |$ 中, 因而通常把该不等式称为柯西-施瓦茨不等式.

例 4.8.7★☆☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.8.7　常用基是标准正交基

在欧氏空间 $R^{n}$ 中常用基为 $e_{i} = [0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0], i = 1, 2, \dots, n,$ 其中 $1$ 位于第 $i$ 个位置. 直接计算知 $| e_{i} | = 1, i = 1, 2, \dots, n;$ $(e_{i}, e_{j}) = 0, i \neq j, i, j = 1, 2, \dots, n .$ 这表明 $R^{n}$ 中常用基是由两两正交长度为 $1$ 的向量组成. 同样可以推知, 在欧氏空间 $R^{m \times n}$ 中常用基 $E_{i j}$ ( $i = 1, 2, \dots, m$ , $j = 1, 2, \dots, n$ ) 也是由两两正交长度为 $1$ 的向量组成.

解由标准内积 $(e_{i}, e_{j}) = δ_{i j}$ 直接得到, 其中 $δ_{i j}$ 在 $i = j$ 时为 $1$ , $i \neq j$ 时为 $0$ .

例 4.8.8★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.8.8　由度量矩阵计算内积与长度

设 $V$ 是 $4$ 维欧氏空间, 基 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}, ε_{4}$ 的度量矩阵为 $(\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 3 & 4 \end{array}) .$ 若 $α = - ε_{1} + ε_{3} + 2 ε_{4}$ , $β = 4 ε_{1} + ε_{2} - ε_{3} - ε_{4}$ , 求: (1) $| ε_{2} |$ 和 $| ε_{4} |$ ; (2) $(α, β)$ .

解 (1) $| ε_{2} | = \sqrt{(ε_{2}, ε_{2})} = \sqrt{2}$ , $| ε_{4} | = \sqrt{(ε_{4}, ε_{4})} = 2$ ; (2) 代公式 $(α, β) = X^{T} A Y$ 计算得 $(α, β) = [- 1, 0, 1, 2] (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \\ 1 & - 2 & - 3 & 4 \end{array}) (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = 0 .$ 这表明 $α ⊥ β$ .

例 4.8.9★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 4.8.9　标准正交基的判定与坐标计算

设欧氏空间 $R^{4}$ 中 $α_{1} = \frac{1}{2} [1, 1, 1, 1]^{T}, α_{2} = \frac{1}{2} [1, 1, - 1, - 1]^{T},$ $α_{3} = \frac{1}{2} [1, - 1, 1, - 1]^{T}, α_{4} = \frac{1}{2} [1, - 1, - 1, 1]^{T},$ $β = [0, 0, 1, 1]^{T} .$ (1) 证明: $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 是 $R^{4}$ 的一组标准正交基. (2) 若 $α = 3 α_{1} + 2 α_{2} + 4 α_{3} - 5 α_{4}$ , 求 $| α |$ 及 $(α, β)$ .

解 (1) 方法一: 计算 $| α_{1} | = | α_{2} | = | α_{3} | = | α_{4} | = 1,$ $(α_{i}, α_{j}) = 0 (i \neq j; i, j = 1, 2, 3, 4) .$ 由定义推出结论. 方法二: 因 $\frac{1}{2} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}) \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}) = E_{4},$ 由性质 4.8.5 推出结论. (2) 由 (1) 知, $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 是标准正交基, $α$ 在该基下坐标为 $[3, 2, 4, - 5]^{T}$ . 据性质 4.8.6 之 (2), 有 $| α | = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 4^{2} + (- 5)^{2}} = 3 \sqrt{6} .$ 计算 $(α, β)$ 有两种方法. 方法一: $α = 3 α_{1} + 2 α_{2} + 4 α_{3} - 5 α_{4}$ $= \frac{3}{2} [1, 1, 1, 1]^{T} + [1, 1, - 1, - 1]^{T} + 2 [1, - 1, 1, - 1]^{T} - \frac{5}{2} [1, - 1, - 1, 1]^{T}$ $= [2, 3, 5, - 4]^{T},$ 故 $(α, β) = [2, 3, 5, - 4] (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = 1 .$ 方法二: 利用性质 4.8.6 之 (3), 求出 $β$ 在标准正交基 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 下坐标为 $(β, α_{1}) = 1, (β, α_{2}) = - 1, (β, α_{3}) = 0, (β, α_{4}) = 0,$ 从而 $(α, β) = [3, 2, 4, - 5] (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = 1 .$

例 4.8.10★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 4.8.10　施密特正交化与扩充

设欧氏空间 $R^{4}$ 的向量组 $α_{1} = [1, 0, 1, 0]^{T}, α_{2} = [0, 1, 2, 1]^{T}, α_{3} = [- 2, 1, 0, 1]^{T} .$ (1) 求 $R^{4}$ 的子空间 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 的一组标准正交基; (2) 将此标准正交基扩充成为 $R^{4}$ 的一组标准正交基.

解 (1) 先求 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 的基, 为此对下列矩阵作初等行变换 $[α_{1} α_{2} α_{3}] = (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 得 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 的维数为 $2$ , 基可取 $α_{1}, α_{2}$ . 现将 $α_{1}, α_{2}$ 改造成标准正交基. 令 $β_{1} = α_{1},$ $β_{2} = α_{2} - \frac{(α_{2}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - \frac{2}{2} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) .$ 再单位化得 $η_{1} = \frac{β_{1}}{| β_{1} |} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 0, 1, 0]^{T},$ $η_{2} = \frac{β_{2}}{| β_{2} |} = \frac{1}{2} [- 1, 1, 1, 1]^{T} .$ $η_{1}, η_{2}$ 就是 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 的一组标准正交基. (2) 设 $α = [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]^{T} \in R^{4}$ , 且 $α ⊥ η_{1}$ , $α ⊥ η_{2}$ , 即 $(α, η_{1}) = 0$ , $(α, η_{2}) = 0$ , 从而 ${\begin{cases} x_{1} + x_{3} = 0, \\ - x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 . \end{cases}$ 求出此齐次线性方程组的基础解系 (即解空间 $W$ 的基) 为 $α_{4} = [0, - 1, 0, 1]^{T}, α_{5} = [- 1, - 2, 1, 0]^{T} .$ 至此已有 $α_{4} ⊥ η_{1}$ , $α_{4} ⊥ η_{2}$ , $α_{5} ⊥ η_{1}$ , $α_{5} ⊥ η_{2}$ , 但 $α_{4}, α_{5}$ 不正交, 故还须改造 $α_{4}, α_{5}$ 使之正交. 令 $β_{3} = α_{4}$ , $β_{4} = α_{5} - \frac{(α_{5}, β_{3})}{(β_{3}, β_{3})} β_{3} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - \frac{2}{2} (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) .$ 再单位化得 $η_{3} = \frac{β_{3}}{| β_{3} |} = \frac{1}{\sqrt{2}} [0, - 1, 0, 1]^{T},$ $η_{4} = \frac{β_{4}}{| β_{4} |} = \frac{1}{2} [- 1, - 1, 1, - 1]^{T} .$ 注意到 $η_{3}, η_{4}$ 仍为解空间 $W$ 的基, 所以与 $η_{1}, η_{2}$ 均正交, 从而 $η_{1}, η_{2}, η_{3}, η_{4}$ 就是 $R^{4}$ 的一组标准正交基.

例 4.8.11★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 4.8.11　与两个矩阵均正交的矩阵全体

在欧氏空间 $R^{2 \times 2}$ 中, 设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 2 & 0 \end{array}) .$ (1) 求出所有与 $A, B$ 均正交的矩阵全体 $W$ . (2) 证明 $W$ 是 $R^{2 \times 2}$ 的子空间, 求出 $W$ 的维数和一组基.

解 (1) 设所求矩阵为 $(\begin{array}{c} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array})$ , 则 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 恰为下述方程的解: ${\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 0, \\ 2 x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 0, \end{cases} ⟹ {\begin{cases} x_{1} = 5 x_{3} + 4 x_{4}, \\ x_{2} = - 4 x_{3} - 4 x_{4} . \end{cases}$ 记 $x_{3} = t_{1}$ , $x_{4} = t_{2}$ , 其中 $t_{1}, t_{2}$ 为任意实数, 则所求矩阵为 $(\begin{array}{c} 5 t_{1} + 4 t_{2} & - 4 t_{1} - 4 t_{2} \\ t_{1} & t_{2} \end{array}) = t_{1} (\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 1 & 0 \end{array}) + t_{2} (\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ 0 & 1 \end{array}) .$ (2) 记 $C = (\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 1 & 0 \end{array}), D = (\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ 0 & 1 \end{array}) .$ 由 (1) 知 $W = L (C, D)$ , 故 $W$ 为 $R^{2 \times 2}$ 的子空间 (也可按子空间定义直接验证 $W$ 非空, 且对加法、数乘封闭). 现 $C, D$ 线性无关, 所以 $dim W = 2$ .

九§4.9 线性变换的定义和运算选自 §4.96 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.9.1　线性变换

线性空间 $V$ 的一个变换 ( $V$ 到 $V$ 的映射) $<mi>A</mi>$ 称为线性变换, 如果对 $V$ 中任意向量 $α, β$ 和数域 $P$ 中任意数 $k$ 都有 $<mi>A</mi> (α + β) = <mi>A</mi> (α) + <mi>A</mi> (β), <mi>A</mi> (k α) = k <mi>A</mi> (α) .$ 该式表明变换 $<mi>A</mi>$ 是保持加法和数乘的, 故线性变换实际上就是线性空间 $V$ 到 $V$ 的一个保持运算的映射.

定义 4.9.2　线性变换的和

对任意的 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi> \in L T (V)$ , 可在 $V$ 中定义一个变换 $(<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (α) = <mi>A</mi> (α) + <mi>B</mi> (α), \forall α \in V,$ 称为 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi>$ 的和, 记作 $<mi>A</mi> + <mi>B</mi>$ .

定义 4.9.3　负变换

对任意的 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , 可在 $V$ 中定义变换 $(- <mi>A</mi>) (α) = - <mi>A</mi> (α), \forall α \in V,$ 称为 $<mi>A</mi>$ 的负变换, 记为 $- <mi>A</mi>$ . 同样可直接验证 $- <mi>A</mi>$ 是 $V$ 上的线性变换.

定义 4.9.4　数量乘积

对任意的 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , 任意的 $k \in P$ , 可在 $V$ 中定义变换 $(k <mi>A</mi>) (α) = k \cdot <mi>A</mi> (α), \forall α \in V,$ 称为 $k$ 与 $<mi>A</mi>$ 的数量乘积 (简称为数乘), 记为 $k <mi>A</mi>$ . 可直接验证 $k <mi>A</mi>$ 是 $V$ 上的线性变换.

定义 4.9.5　线性变换的乘积

对任意的 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi> \in L T (V)$ , 可在 $V$ 中定义变换 $(<mi>A</mi> <mi>B</mi>) (α) = <mi>A</mi> (<mi>B</mi> (α)), \forall α \in V,$ 称为 $<mi>B</mi>$ 和 $<mi>A</mi>$ 的乘积, 记为 $<mi>A</mi> <mi>B</mi>$ . 可如加法、数乘一样直接验证 $<mi>A</mi> <mi>B</mi>$ 是 $V$ 上的线性变换, 即 $L T (V)$ 对乘法的运算封闭.

定义 4.9.6　可逆线性变换与逆变换

设 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , 若存在一个变换 $<mi>B</mi>$ 使得 $<mi>A</mi> <mi>B</mi> = <mi>E</mi> = <mi>B</mi> <mi>A</mi>,$ 则称 $<mi>A</mi>$ 是可逆的线性变换, 且称 $<mi>B</mi>$ 为 $<mi>A</mi>$ 的一个逆变换. 若 $<mi>A</mi>$ 是可逆线性变换, 则其逆变换也是线性变换, 而且是惟一的. 这样可把 $<mi>A</mi>$ 的惟一的逆变换记为 ${<mi>A</mi>}^{- 1}$ .

定理已掌握+

定理 4.9.1　

L T (V)

是线性空间

上述结果表明 $L T (V)$ 非空, 有两个封闭的运算: 加法和数量乘法, 而且还可直接验证这两种运算适合线性空间定义的 8 条运算规律, 其中零向量为零变换, $<mi>A</mi>$ 的负向量为 $<mi>A</mi>$ 的负变换 $- <mi>A</mi>$ . 所以有: ${L T (V), +, \cdot}$ 是数域 $P$ 上的一个线性空间.

性质已掌握+

性质 4.9.1　线性变换的基本性质

设 $<mi>A</mi>$ 是线性空间 $V$ 的线性变换. (1) 保持零向量: $<mi>A</mi> (<mi>θ</mi>) = <mi>θ</mi>$ ; (2) 保持负向量: $<mi>A</mi> (- α) = - <mi>A</mi> (α)$ ; (3) 保持线性组合: 若 $β = \sum_{i = 1}^{m} k_{i} α_{i}$ , 则 $<mi>A</mi> (β) = k_{1} <mi>A</mi> (α_{1}) + k_{2} <mi>A</mi> (α_{2}) + \dots + k_{m} <mi>A</mi> (α_{m});$ (4) 保持线性相关性: 若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关, 则 $<mi>A</mi> (α_{1}), <mi>A</mi> (α_{2}), \dots, <mi>A</mi> (α_{m})$ 线性相关.

证 (1),(2) 因 $<mi>A</mi> (k α) = k <mi>A</mi> (α)$ , 分别取 $k = 0$ , $k = - 1$ 即可证得 (1),(2). (3) 多次利用线性变换的定义式即得. (4) 因 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关, 故存在 $P$ 中不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 使 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = <mi>θ</mi> .$ 两边作线性变换 $<mi>A</mi>$ , 且利用 (1),(3) 即得 $k_{1} <mi>A</mi> (α_{1}) + k_{2} <mi>A</mi> (α_{2}) + \dots + k_{m} <mi>A</mi> (α_{m}) = <mi>θ</mi>,$ 故 $<mi>A</mi> (α_{1}), <mi>A</mi> (α_{2}), \dots, <mi>A</mi> (α_{m})$ 线性相关.

和与数乘仍是线性变换

$<mi>A</mi> + <mi>B</mi>$ 是 $V$ 上的线性变换, 这是因为对任意的 $α, β \in V$ , 任意的 $k \in P$ , 有 $(<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (α + β) = <mi>A</mi> (α + β) + <mi>B</mi> (α + β)$ $= <mi>A</mi> (α) + <mi>A</mi> (β) + <mi>B</mi> (α) + <mi>B</mi> (β)$ $= (<mi>A</mi> (α) + <mi>B</mi> (α)) + (<mi>A</mi> (β) + <mi>B</mi> (β))$ $= (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (α) + (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (β),$ $(<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (k α) = <mi>A</mi> (k α) + <mi>B</mi> (k α) = k <mi>A</mi> (α) + k <mi>B</mi> (α) = k (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (α) .$

公式已掌握+

线性变换的定义式

线性变换的定义式为

<mi>A</mi> (α + β) = <mi>A</mi> (α) + <mi>A</mi> (β), <mi>A</mi> (k α) = k <mi>A</mi> (α), \forall α, β \in V, k \in P .

线性变换的运算式

线性变换的运算式为

(<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (α) = <mi>A</mi> (α) + <mi>B</mi> (α), (- <mi>A</mi>) (α) = - <mi>A</mi> (α),

(k <mi>A</mi>) (α) = k <mi>A</mi> (α), (<mi>A</mi> <mi>B</mi>) (α) = <mi>A</mi> (<mi>B</mi> (α)) .

说明已掌握+

为什么研究线性变换

至此我们已经阐明了数域 $P$ 上任意一个 $n$ 维线性空间都与 $P^{n}$ 同构, 因而有限维线性空间的结构可以认为清楚了. 同时要指出近世代数学明显区别于古典代数学就在于近世代数学的最基本研究对象不再是代数系统中的元素特征, 而是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系. 在线性空间中, 这种联系就反映为线性空间之间的映射. 线性空间 $V$ 到自身的映射通常称为 $V$ 的一个变换. 在数学里, 变换的概念是非常基本的, 如解析几何里常要用到的坐标的变换、数学分析 (微积分) 里常要用到的变量的替换等. 如同线性函数是最简单最基本的函数一样, 下面要讨论的线性变换是线性空间最简单, 同时也可以说是最基本的一种变换. 我们将看到有限维线性空间的线性变换和矩阵之间有着很密切的联系, 这种联系有助于我们加深对线性变换和矩阵的认识. 如无特殊说明, 下面所说的线性空间都是指某个固定数域 $P$ 上的.

记号约定

下文一般用手写体拉丁字母 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi>, <mi>C</mi>, <mi>D</mi>, \dots$ 代表变换, 用 $<mi>A</mi> (α)$ 或 $<mi>A</mi> α$ 代表 $V$ 中向量 $α$ 在变换 $<mi>A</mi>$ 下的像. $<mi>A</mi> (α)$ 仍是 $V$ 中的向量.

线性变换不保持线性无关性

线性变换不能保证保持线性无关性, 即若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关, 不能保证 $<mi>A</mi> (α_{1}), <mi>A</mi> (α_{2}), \dots, <mi>A</mi> (α_{m})$ 一定线性无关. 比如 $V$ 中零变换就是把 $V$ 中所有线性无关向量组变为线性相关的向量组, $R^{3}$ 中的投影变换 ${<mi>P</mi>}_{X Y}$ 也把常用基变为线性相关的向量组.

习题 4.9

本节末配习题 4.9, 共 10 题, 主要练习线性变换的判定、线性变换的运算 (和、数乘、乘积、逆) 以及可逆线性变换的性质.

例题已掌握

例 4.9.1★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.1　旋转变换

在实线性空间 $R^{2}$ 中, 把平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转 $φ$ 角的变换记为 ${<mi>D</mi>}_{φ}$ . 设 $R^{2}$ 中任意一个向量 $α$ 在直角坐标下的坐标为 $[x, y]^{T}$ , 则其像 ${<mi>D</mi>}_{φ} (α)$ 的坐标 $[x', y']^{T}$ 有 $(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}) = (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) .$ 解

注意到 $k α$ 的坐标为 $[k x, k y]^{T}$ , 故 ${<mi>D</mi>}_{φ} (k α)$ 的坐标为 $(\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} k x \\ k y \end{array}) = k (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}),$ 这表明 ${<mi>D</mi>}_{φ} (k α) = k {<mi>D</mi>}_{φ} (α)$ . 同样设 $β$ 为 $R^{2}$ 的任意向量, 其坐标为 $[a, b]^{T}$ , 则 $α + β$ 的坐标为 $[x + a, y + b]^{T}$ , 从而 ${<mi>D</mi>}_{φ} (α + β)$ 的坐标为 $(\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} x + a \\ y + b \end{array}) = (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) ((\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) + (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}))$ $= (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) + (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array}) (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}),$ 这表明 ${<mi>D</mi>}_{φ} (α + β) = {<mi>D</mi>}_{φ} (α) + {<mi>D</mi>}_{φ} (β)$ . 所以 ${<mi>D</mi>}_{φ}$ 是 $R^{2}$ 的一个线性变换.

例 4.9.2★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.2　反射变换

在实线性空间 $R^{2}$ 中, 把平面以 $X$ 轴 (或某条过原点的直线) 为对称轴作 180 度的翻转, 这类变换称为反射, 记为 ${<mi>D</mi>}_{x}$ . 设 $R^{2}$ 中任意一个向量 $α$ 的坐标为 $[x, y]^{T}$ , 则像 ${<mi>D</mi>}_{x} (α)$ 的坐标为 $[x, - y]^{T}$ . 解

如例 4.9.1 可直接验证 ${<mi>D</mi>}_{x}$ 满足线性变换的条件, 故反射是 $R^{2}$ 的一个线性变换.

例 4.9.3★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.3　投影变换

在实线性空间 $R^{3}$ 中, 将任意一个向量 $α$ 内射影到 $X Y$ 平面上是 $R^{3}$ 的变换, 这类变换称为投影变换, 记为 ${<mi>P</mi>}_{X Y}$ . 设 $α$ 的坐标为 $[x, y, z]^{T}$ , 则 ${<mi>P</mi>}_{X Y} (α)$ 的坐标为 $[x, y, 0]^{T}$ . 解

如例 4.9.1 可直接验证 ${<mi>P</mi>}_{X Y}$ 满足线性变换的条件, 故投影变换 ${<mi>P</mi>}_{X Y}$ 是 $R^{3}$ 的一个线性变换. 类似可验证投影变换 ${<mi>P</mi>}_{Y Z}, {<mi>P</mi>}_{X Z}$ 也是 $R^{3}$ 的线性变换.

例 4.9.4★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.4　求导变换

在实线性空间 $P [x]_{n}$ 中, 对多项式求导是变换, 记为 $<mi>D</mi>$ . 在此变换下 $P [x]_{n}$ 中任意向量 $f (x)$ 的像为 $<mi>D</mi> (f (x)) = f' (x)$ . 解由求导法则易知 $<mi>D</mi> (f (x) + g (x)) = <mi>D</mi> (f (x)) + <mi>D</mi> (g (x)),$ $<mi>D</mi> (k f (x)) = k <mi>D</mi> (f (x)) .$ 故 $<mi>D</mi>$ 是 $P [x]_{n}$ 中的线性变换.

例 4.9.5★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.5　积分变换

在实线性空间 $C [a, b]$ 中, 对函数求积分是变换, 记为 $<mi>J</mi>$ . 在此变换下 $C [a, b]$ 中任意向量 $f (x)$ 的像为 $<mi>J</mi> (f (x)) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ . 解由积分法则知 $<mi>J</mi> (f (x) + g (x)) = <mi>J</mi> (f (x)) + <mi>J</mi> (g (x)),$ $<mi>J</mi> (k f (x)) = k <mi>J</mi> (f (x)) .$ 故 $<mi>J</mi>$ 是 $C [a, b]$ 中的线性变换.

例 4.9.6★☆☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.6　恒等变换与零变换

任意线性空间 $V$ 中的恒等变换 $<mi>E</mi>$ (参见例 4.7.1), 即 $<mi>E</mi> (α) = α, \forall α \in V,$ 以及零变换 $<mi>O</mi>$ (参见例 4.7.2), 即 $<mi>O</mi> (α) = <mi>θ</mi>, \forall α \in V,$ 解这两个变换都满足线性变换的条件, 因而任意线性空间上都有线性变换 $<mi>E</mi>$ 和 $<mi>O</mi>$ .

例 4.9.7★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.7　数乘变换

在实线性空间 $V$ 中, 取定 $P$ 中的一个数 $k$ , 定义变换为 $<mi>A</mi> (α) = k α, \forall α \in V .$ 解可直接验证 $<mi>A</mi>$ 满足线性变换的条件, 所以 $<mi>A</mi>$ 为 $V$ 上的线性变换, 称为数乘变换, 记为 $k <mi>E</mi>$ .

注记当 $k = 0$ 时, $k <mi>E</mi>$ 为零变换; 当 $k = 1$ 时 $k <mi>E</mi>$ 为恒等变换. 从上述例子可看出线性变换有着丰富的内涵.

例 4.9.8★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.9.8　线性变换的乘法不满足交换律

在 $L T (R^{2})$ 中, 取 ${<mi>D</mi>}_{π / 2}$ (旋转 $90^{\circ}$ 角) 和 ${<mi>D</mi>}_{x}$ (以 $X$ 轴反射), 则 ${<mi>D</mi>}_{π / 2} {<mi>D</mi>}_{x} ([x, y]^{T}) = {<mi>D</mi>}_{π / 2} ({<mi>D</mi>}_{x} ([x, y]^{T}))$ $= {<mi>D</mi>}_{π / 2} ([x, - y]^{T}) = [y, x]^{T},$ ${<mi>D</mi>}_{x} {<mi>D</mi>}_{π / 2} ([x, y]^{T}) = {<mi>D</mi>}_{x} ({<mi>D</mi>}_{π / 2} ([x, y]^{T}))$ $= {<mi>D</mi>}_{x} ([- y, x]^{T}) = [- y, - x]^{T} .$ 解

这表明 ${<mi>D</mi>}_{x} {<mi>D</mi>}_{π / 2} \neq {<mi>D</mi>}_{π / 2} {<mi>D</mi>}_{x}$ , 所以线性变换的乘法不满足交换律.

例 4.9.9★★☆☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.9.9　求导变换的幂

在 $L T (P [x]_{n})$ 中, 取求导变换 $<mi>D</mi>$ , 解可直接验证 ${<mi>D</mi>}^{n} = <mi>O</mi>$ .

例 4.9.10★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.9.10　反射与旋转的可逆性

在 $L T (R^{2})$ 中容易直接验证 ${<mi>D</mi>}_{x} {<mi>D</mi>}_{x} = <mi>E</mi>; {<mi>D</mi>}_{φ} {<mi>D</mi>}_{- φ} = <mi>E</mi>, {<mi>D</mi>}_{- φ} {<mi>D</mi>}_{φ} = <mi>E</mi> .$ 解容易直接验证, 所以 ${<mi>D</mi>}_{x}$ 为可逆线性变换, 且 ${<mi>D</mi>}_{x}^{- 1} = {<mi>D</mi>}_{x}$ ; ${<mi>D</mi>}_{φ}$ 为可逆线性变换, 且 ${<mi>D</mi>}_{φ}^{- 1} = {<mi>D</mi>}_{- φ}$ .

十§4.10 线性变换的矩阵·同构选自 §4.106 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 4.10.1　线性变换关于基的矩阵

设 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , 且有 $<mi>A</mi> (ε_{i}) = a_{1 i} ε_{1} + a_{2 i} ε_{2} + \dots + a_{n i} ε_{n} = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] (\begin{array}{c} a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ ⋮ \\ a_{n i} \end{array}), i = 1, 2, \dots, n .$ 将上述 $n$ 个等式合写成矩阵形式 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}),$ 记为 $[ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A$ , 其中数域 $P$ 上矩阵 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ 称为线性变换 $<mi>A</mi>$ 关于基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的矩阵.

定义 4.10.2　相似矩阵

设 $A, B \in P^{n \times n}$ , 若存在可逆矩阵 $P \in P^{n \times n}$ , 使得 $P^{- 1} A P = B,$ 则称 $A$ 与 $B$ 相似.

定理已掌握+

定理 4.10.1　存在唯一的线性变换

设 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, 那么对于 $V$ 中任意 $n$ 个向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ , 存在惟一的一个线性变换 $<mi>A</mi>$ , 使得 $<mi>A</mi> (ε_{i}) = α_{i}, i = 1, 2, \dots, n .$

证设 $α = x_{1} ε_{1} + x_{2} ε_{2} + \dots + x_{n} ε_{n}$ 是 $V$ 中任意向量, 定义 $V$ 的一个变换 $<mi>A</mi>$ 为 $<mi>A</mi> (α) = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} .$ 首先证明 $<mi>A</mi>$ 是 $V$ 的一个线性变换. 在 $V$ 中任取两个向量 $β = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} ε_{i}, γ = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} ε_{i},$ 于是 $β + γ = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) ε_{i}, k β = \sum_{i = 1}^{n} (k a_{i}) ε_{i}, \forall k \in P .$ 按 $<mi>A</mi>$ 的定义有 $<mi>A</mi> (β + γ) = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} + b_{i}) α_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} α_{i} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} α_{i} = <mi>A</mi> (β) + <mi>A</mi> (γ),$ $<mi>A</mi> (k β) = \sum_{i = 1}^{n} (k a_{i}) α_{i} = k \sum_{i = 1}^{n} a_{i} α_{i} = k <mi>A</mi> (β) .$ 故 $<mi>A</mi>$ 是 $V$ 的一个线性变换, 且适合 $<mi>A</mi> (ε_{i}) = <mi>A</mi> (0 ε_{1} + \dots + 0 ε_{i - 1} + 1 ε_{i} + 0 ε_{i + 1} + \dots + 0 ε_{n})$ $= 0 α_{1} + \dots + 0 α_{i - 1} + 1 α_{i} + 0 α_{i + 1} + \dots + 0 α_{n} = α_{i}, i = 1, 2, \dots, n .$ 惟一性可由性质 4.10.1 直接导出. 定理证毕. 据此上述问题可有肯定的解答: 设 $A$ 是 $P^{n \times n}$ 中的任意一个矩阵, 令 $[α_{1} α_{2} \dots α_{n}] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A,$ 则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是由 $A$ 所惟一确定的 $V$ 中 $n$ 个向量, 据定理 4.10.1 知有惟一一个 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , 使得 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A,$ 即 $<mi>A</mi>$ 关于基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的矩阵为 $A$ .

定理 4.10.2　

L T (V)

与

P^{n \times n}

同构

设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间, 则作为 $P$ 上线性空间有 $L T (V) ≅ P^{n \times n} .$

证设 $σ (<mi>A</mi>) = A$ , $σ (<mi>B</mi>) = B$ , 即 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A,$ $[<mi>B</mi> (ε_{1}) <mi>B</mi> (ε_{2}) \dots <mi>B</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] B,$ 则 $[(<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (ε_{1}) (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (ε_{2}) \dots (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) (ε_{n})]$ $= [<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] + [<mi>B</mi> (ε_{1}) <mi>B</mi> (ε_{2}) \dots <mi>B</mi> (ε_{n})]$ $= [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A + [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] B = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] (A + B),$ 从而 $σ (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) = A + B = σ (<mi>A</mi>) + σ (<mi>B</mi>)$ . 同理, 由 $[(k <mi>A</mi>) (ε_{1}) (k <mi>A</mi>) (ε_{2}) \dots (k <mi>A</mi>) (ε_{n})]$ $= [k \cdot <mi>A</mi> (ε_{1}) k \cdot <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots k \cdot <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] k A,$ 推知 $σ (k <mi>A</mi>) = k A = k σ (<mi>A</mi>)$ . 至此证明了 $L T (V) ≅ P^{n \times n}$ . 事实上 $σ$ 不仅保持加法和数乘, 还保持乘法和求逆, 即 $σ (<mi>A</mi> <mi>B</mi>) = A B = σ (<mi>A</mi>) σ (<mi>B</mi>) .$

定理 4.10.3　像的坐标公式

设 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ , $<mi>A</mi>$ 关于 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的矩阵为 $A$ . 若记向量 $α$ 在该基下坐标为 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ , $<mi>A</mi> (α)$ 在该基下坐标为 $Y = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}]^{T}$ , 则有 $Y = A X$ .

证由题设有 $α = x_{1} ε_{1} + x_{2} ε_{2} + \dots + x_{n} ε_{n},$ $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A,$ 故 $<mi>A</mi> (α) = <mi>A</mi> (x_{1} ε_{1} + x_{2} ε_{2} + \dots + x_{n} ε_{n})$ $= x_{1} <mi>A</mi> (ε_{1}) + x_{2} <mi>A</mi> (ε_{2}) + \dots + x_{n} <mi>A</mi> (ε_{n})$ $= [<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] X = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A X .$ 这意指 $<mi>A</mi> (α)$ 关于基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的坐标为 $A X$ . 据坐标惟一性有 $Y = A X$ .

定理 4.10.4　不同基下矩阵的关系

设线性空间 $V$ 的线性变换 $<mi>A</mi>$ 关于 $V$ 的两组基 (I): $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ ; (II): $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 的矩阵分别为 $A$ 和 $B$ , 从基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵为 $M = [m_{i j}]_{n \times n}$ , 则 $B = M^{- 1} A M .$

证据题设 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A,$ $[<mi>A</mi> (η_{1}) <mi>A</mi> (η_{2}) \dots <mi>A</mi> (η_{n})] = [η_{1} η_{2} \dots η_{n}] B,$ $[η_{1} η_{2} \dots η_{n}] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] M,$ $[ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] = [η_{1} η_{2} \dots η_{n}] M^{- 1} .$ 于是 $[<mi>A</mi> (η_{1}) <mi>A</mi> (η_{2}) \dots <mi>A</mi> (η_{n})] = [<mi>A</mi> (\sum_{i = 1}^{n} m_{i 1} ε_{i}) <mi>A</mi> (\sum_{i = 1}^{n} m_{i 2} ε_{i}) \dots <mi>A</mi> (\sum_{i = 1}^{n} m_{i n} ε_{i})]$ $= [\sum_{i = 1}^{n} m_{i 1} <mi>A</mi> (ε_{i}) \sum_{i = 1}^{n} m_{i 2} <mi>A</mi> (ε_{i}) \dots \sum_{i = 1}^{n} m_{i n} <mi>A</mi> (ε_{i})]$ $= [<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] M$ $= [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A M = [η_{1} η_{2} \dots η_{n}] M^{- 1} A M .$ 这意指 $<mi>A</mi>$ 关于基 (II) 的矩阵为 $M^{- 1} A M$ . 据惟一性即得 $B = M^{- 1} A M$ .

定理 4.10.5　相似与同一变换的矩阵

线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 反之, 若两个矩阵相似, 则它们可以看成同一个线性变换关于两组基的矩阵.

证前一部分即为定理 4.10.4. 现证后一部分. 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似, 此时有可逆矩阵 $P$ 使 $B = P^{- 1} A P$ . 据 $L T (V)$ 和 $P^{n \times n}$ 之间有 $1 - 1$ 对应, 故 $A$ 可看成 $n$ 维线性空间 $V$ 中某个线性变换 $<mi>A</mi>$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的矩阵. 令 $[η_{1} η_{2} \dots η_{n}] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] P .$ 因 $P$ 是可逆矩阵, 故 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 线性无关 (参见例 4.7.8), 从而 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 也为 $V$ 的一组基, 且 $P$ 为基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 到基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 的过渡矩阵, 据定理 4.10.4 知 $<mi>A</mi>$ 关于基 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 的矩阵为 $P^{- 1} A P = B$ . 定理得证.

性质已掌握+

性质 4.10.1　线性变换由基上的像唯一确定

设 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, $<mi>A</mi>, <mi>B</mi> \in L T (V)$ , 则 $<mi>A</mi> = <mi>B</mi> \Leftrightarrow <mi>A</mi> (ε_{i}) = <mi>B</mi> (ε_{i}), i = 1, 2, \dots, n .$

证必要性是显然的. 下证充分性. 设 $α$ 是 $V$ 中任意向量, 则 $α = k_{1} ε_{1} + k_{2} ε_{2} + \dots + k_{n} ε_{n}$ , 从而 $<mi>A</mi> (α) = <mi>A</mi> (\sum_{i = 1}^{n} k_{i} ε_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} <mi>A</mi> (ε_{i})$ $= \sum_{i = 1}^{n} k_{i} <mi>B</mi> (ε_{i}) = <mi>B</mi> (\sum_{i = 1}^{n} k_{i} ε_{i}) = <mi>B</mi> (α),$ 推得 $<mi>A</mi> = <mi>B</mi>$ .

性质 4.10.2　矩阵相等与变换相等

设 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi> \in L T (V)$ , 且 $<mi>A</mi>, <mi>B</mi>$ 关于 $V$ 的一组基的矩阵分别为 $A$ , $B$ , 则 $<mi>A</mi> = <mi>B</mi> \Leftrightarrow A = B$ .

性质 4.10.3　相似矩阵的秩与行列式

若 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $r (A) = r (B)$ , $| A | = | B |$ .

性质 4.10.4　相似关系的三条性质

$n$ 阶矩阵间的相似关系适合 (1) 自反性: 任意矩阵 $A$ 与自身相似; (2) 对称性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $B$ 与 $A$ 相似; (3) 传递性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, $B$ 与 $C$ 相似, 则 $A$ 与 $C$ 相似.

证 (1) $A = E^{- 1} A E$ . (2) 因 $P^{- 1} A P = B$ , 故 $A = (P^{- 1})^{- 1} B P^{- 1}$ . (3) 因 $P_{1}^{- 1} A P_{1} = B$ , $P_{2}^{- 1} B P_{2} = C$ , 故 $C = P_{2}^{- 1} B P_{2} = P_{2}^{- 1} (P_{1}^{- 1} A P_{1}) P_{2} = (P_{1} P_{2})^{- 1} A (P_{1} P_{2}) .$

公式已掌握+

线性变换的矩阵表示

$[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A, A = [a_{i j}]_{n \times n} .$ 矩阵 $A$ 的第 $j$ 列就是 $<mi>A</mi> (ε_{j})$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标.

像的坐标公式与换基公式

$Y = A X, B = M^{- 1} A M,$ 其中 $X, Y$ 分别为 $α$ 与 $<mi>A</mi> (α)$ 在同一组基下的坐标, $M$ 为从旧基到新基的过渡矩阵.

说明已掌握+

本节主旨

本节将阐明线性变换和矩阵的联系. 由变换相等定义知一个线性变换被它在 $V$ 中每一个元素的像所惟一确定, 而当 $V$ 是有限维线性空间时更有性质 4.10.1. 这命题表明线性变换 $<mi>A</mi>$ 可由它在一组基上的像 $<mi>A</mi> (ε_{i})$ 惟一确定, 注意到 $<mi>A</mi> (ε_{i})$ 是 $V$ 中元素, 故可由它在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标惟一确定, 为更确切表达这一点引入线性变换关于基的矩阵的定义.

矩阵的列向量的含义

我们看到矩阵 $A$ 的第 $j$ 个列向量就是 $<mi>A</mi> (ε_{j})$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 下的坐标, $j = 1, 2, \dots, n$ . 这样取定了 $V$ 的一组基后, 对于 $L T (V)$ 中任意一个线性变换都有 $P^{n \times n}$ 中一个确定的矩阵与之对应.

矩阵与线性变换的对应是双射

在取定了线性空间 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 后, $L T (V)$ 和 $P^{n \times n}$ 之间有一个双射 $σ : <mi>A</mi> \mapsto A$ , 其中 $A$ 是 $<mi>A</mi>$ 关于基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的矩阵. 映射 $σ$ 不仅保持加法和数乘, 还保持乘法和求逆, 即 $σ (<mi>A</mi> <mi>B</mi>) = A B = σ (<mi>A</mi>) σ (<mi>B</mi>)$ , 且 $<mi>A</mi>$ 为可逆线性变换 $\Leftrightarrow$ $σ (<mi>A</mi>) = A$ 为可逆矩阵; $<mi>A</mi>$ 为可逆线性变换时 $σ ({<mi>A</mi>}^{- 1}) = [σ (<mi>A</mi>)]^{- 1} = A^{- 1}$ . 这表明作为代数系统 $L T (V)$ 与 $P^{n \times n}$ 的运算规律和结构是相同的, 因而欲知 $L T (V)$ 的性质, 可由 $P^{n \times n}$ 着手.

相似与等价的类比

相似和 3.5 节中的等价一样是两个矩阵间的关系 (二元关系), 即两个 $n$ 阶矩阵或相似或不相似. 有了矩阵相似的概念, 定理 4.10.4 可更为完善.

习题 4.10

本节末配习题 4.10, 共 7 题, 主要练习求线性变换关于给定基的矩阵、由矩阵求像、以及用过渡矩阵求同一变换关于不同基的矩阵.

例题已掌握

例 4.10.1★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 4.10.1　 $L T (V)$ 的维数与一组基

设 $dim V = n$ , 求 $dim L T (V)$ 及其一组基.

解据定理 4.10.2, $L T (V) ≅ P^{n \times n}$ , 而 $dim P^{n \times n} = n^{2}$ , 得 $dim L T (V) = n^{2} .$ 利用 4.8 节同构中定理 4.7.2 之 (5) 知, 可由 $P^{n \times n}$ 的一组基推导出 $L T (V)$ 的一组基. 在 $P^{n \times n}$ 中取常用基 $E_{i j}$ ( $i, j = 1, 2, \dots, n$ ), 则 $E_{i j}$ 在同构映射 $σ$ 下的原像就构成 $L T (V)$ 的一组基, 从而 $L T (V)$ 中关于 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 的矩阵为 $E_{i j}$ 的线性变换 ${<mi>E</mi>}_{i j}$ 是 $L T (V)$ 的基, 即 $[{<mi>E</mi>}_{i j} (ε_{1}) {<mi>E</mi>}_{i j} (ε_{2}) \dots {<mi>E</mi>}_{i j} (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] E_{i j}, i, j = 1, 2, \dots, n .$

例 4.10.2★★★☆☆证明题展开题目与讲解

例 4.10.2　投影变换线性无关

证明例 4.9.3 所说的线性空间 $R^{3}$ 上的投影变换 ${<mi>P</mi>}_{X Y}, {<mi>P</mi>}_{Y Z}, {<mi>P</mi>}_{X Z}$ 作为线性空间 $L T (R^{3})$ 中向量是线性无关的.

证取 $R^{3}$ 的常用基 $e_{1} = [1, 0, 0]^{T}, e_{2} = [0, 1, 0]^{T}, e_{3} = [0, 0, 1]^{T} .$ 可直接求得 ${<mi>P</mi>}_{X Y}, {<mi>P</mi>}_{Y Z}, {<mi>P</mi>}_{X Z}$ 关于常用基的矩阵分别为 $P_{X Y} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), P_{Y Z} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), P_{X Z} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ 设有 $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P$ , 使得 $k_{1} P_{X Y} + k_{2} P_{Y Z} + k_{3} P_{X Z} = O,$ 即 $k_{1} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) + k_{2} (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) + k_{3} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) .$ 得到 ${\begin{cases} k_{1} + k_{3} = 0, \\ k_{1} + k_{2} = 0, \\ k_{2} + k_{3} = 0, \end{cases} ⟹ {\begin{cases} k_{1} = 0, \\ k_{2} = 0, \\ k_{3} = 0 . \end{cases}$ 这表明在线性空间 $R^{3 \times 3}$ 中矩阵 $P_{X Y}, P_{Y Z}, P_{X Z}$ 是线性无关. 利用定理 4.10.2 所阐明的 $L T (R^{3}) ≅ R^{3 \times 3}$ 和同构保持线性无关性推导出线性变换 ${<mi>P</mi>}_{X Y}, {<mi>P</mi>}_{Y Z}, {<mi>P</mi>}_{X Z}$ 是线性无关的.

例 4.10.3★★★★☆计算题展开题目与讲解

例 4.10.3　求线性变换的矩阵与逆变换

在线性空间 $R^{3}$ 中, 取一组基为 $ε_{1} = [1, 1, 1]^{T}, ε_{2} = [1, 1, 0]^{T}, ε_{3} = [1, 0, 0]^{T} .$ 设 $<mi>A</mi>$ 是 $R^{3}$ 中一个线性变换, 且 $<mi>A</mi> (ε_{1}) = [1, 1, 1]^{T}, <mi>A</mi> (ε_{2}) = [1, 1, - 1]^{T}, <mi>A</mi> (ε_{3}) = [2, 1, 2]^{T} .$ (1) 求 $<mi>A</mi>$ 关于 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}$ 的矩阵; (2) $<mi>A</mi>$ 是不是可逆线性变换? 如是可逆线性变换, 求出 ${<mi>A</mi>}^{- 1}$ .

解 (1) 设 $<mi>A</mi>$ 关于 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}$ 的矩阵为 $A$ , 则由定义 4.10.1 知 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) <mi>A</mi> (ε_{3})] = [ε_{1} ε_{2} ε_{3}] A,$ 即 $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) A,$ 故 $A = {(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})}^{- 1} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}) .$ 可利用 3.4 节介绍方法求 $A$ , 即对以 $[ε_{1} ε_{2} ε_{3}]$ 与 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) <mi>A</mi> (ε_{3})]$ 为左右两块的 $3 \times 6$ 矩阵作初等行变换: $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 2 \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}),$ 得出 $A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) .$ (2) 因 $| A | = 2 \neq 0$ , 故 $A$ 可逆. 据同构保持可逆性知 $<mi>A</mi>$ 是可逆线性变换. 因 $A^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}),$ 所以 ${<mi>A</mi>}^{- 1}$ 关于 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}$ 的矩阵为 $A^{- 1}$ , 即 ${<mi>A</mi>}^{- 1} (ε_{1}) = ε_{1}, {<mi>A</mi>}^{- 1} (ε_{2}) = \frac{1}{2} ε_{1} + \frac{1}{2} ε_{2},$ ${<mi>A</mi>}^{- 1} (ε_{3}) = \frac{1}{2} (- 3 ε_{1} + ε_{2} + 2 ε_{3}) .$ 这样 ${<mi>A</mi>}^{- 1}$ 就惟一确定下来了.

十一§4.11 概要及小结选自 §4.114 个知识分组 · 含例题

性质已掌握+

矩阵的秩的新认识

以线性空间的观点来看数域 $P$ 上矩阵 $A = [a_{i j}]_{m \times n}$ 的列向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是 $P^{m}$ 中向量, 行向量 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 是 $P^{n}$ 中向量, 且有 $dim L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) = r (A) = dim L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}) .$ 从而对矩阵 $A$ 的秩可有新的认识: 矩阵的秩是它的行 (列) 向量组的极大线性无关组所含向量的个数. 据此, $A$ 为行 (列) 满秩的 $\Leftrightarrow$ $A$ 的行 (列) 向量组线性无关.

齐次线性方程组解集的结构

以线性空间的观点来看齐次线性方程组 $A_{m \times n} X = <mi>θ</mi>$ 的解集合 $W$ 是一个线性空间 ( $P^{n}$ 的子空间), 且 $dim W = n - r$ , 其中 $r = r (A)$ . $W$ 的一组基 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n - r}$ 就是 $A X = <mi>θ</mi>$ 的基础解系, 从而 $A X = <mi>θ</mi>$ 的解的全体可表为 $ξ = t_{1} ξ_{1} + t_{2} ξ_{2} + \dots + t_{n - r} ξ_{n - r},$ 其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ 为任意常数.

保持内积的映射保持运算

设 $V$ 是欧氏空间, $σ$ 是 $V$ 到自身的一个映射, 且保持内积, 即 $(σ (α), σ (β)) = (α, β)$ , $\forall α, β \in V$ , 则 $σ$ 保持加法: $σ (α + β) = σ (α) + σ (β)$ ; 且保持数乘: $σ (k α) = k σ (α)$ , $\forall α \in V$ , $\forall k \in R$ .

公式已掌握+

矩阵的秩与向量组的维数

矩阵的秩与行、列向量组的维数关系如下:

dim L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) = r (A) = dim L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}) .

格拉姆行列式

$G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = | \begin{array}{c} (α_{1}, α_{1}) & (α_{1}, α_{2}) & \dots & (α_{1}, α_{m}) \\ (α_{2}, α_{1}) & (α_{2}, α_{2}) & \dots & (α_{2}, α_{m}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (α_{m}, α_{1}) & (α_{m}, α_{2}) & \dots & (α_{m}, α_{m}) \end{array} | .$ 称 $G$ 为向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 的格拉姆行列式.

线性变换与矩阵的双射

$σ : L T (V) ⟶ P^{n \times n}, <mi>A</mi> ⟼ A,$ 其中 $A$ 由 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A$ 确定; $σ$ 保持加法、数乘、乘法与求逆.

说明已掌握+

小引

开始, 许多学生对数学只停留在形式上的掌握, 没有进入实质的理解; 有些学生则在达到较高境界之后, 再来回顾时才达到实质 (回味) 的理解. 令人惊奇的是, 许多数学家和科学家回顾他们自己的学习过程时都符合这个模式. 任何东西只有用较高的观点来透视, 才能看清它的本质. (美国国家研究委员会《人人关心数学教育的未来》)

4.11.1 线性空间的抽象过程

我们从许许多多表面上看来很不相同的代数系统, 诸如数域、矩阵、多项式、 $n$ 元数组、一元单值函数等等, 摒弃了它们的一些具体的个别的属性, 抽象出它们共有的属性: 一个非空集合, 两个封闭的运算, 八条运算规律. 以公理化的方式建立起数域 $P$ 上线性空间的概念. 我们原先熟悉的数域、矩阵、多项式、 $n$ 元数组、一元单值函数都是具体的线性空间, 而一般的线性空间内涵更为广泛, 当然也较为抽象. 为了研究较为抽象的一般线性空间, 我们引入了同构的概念. 指出同构的线性空间具有相同的运算性质和相同的结构, 而两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相同, 从而数域 $P$ 上的一般的 $n$ 维线性空间同构于 $P^{n}$ , 于是一般的有限维线性空间的研究可归结为 $P^{n}$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) 的研究. 这种过程可表示为: 一般的线性空间 $V$ ( $dim V = n$ ) 与具体的数域、多项式、矩阵、一元单值函数、 $\dots$ 、 $P^{n}$ 、 $\dots$ 之间的相互归结.

从具体到一般, 又将一般化为具体

这也就是从许多具体背景中经概括, 升华成一般的线性空间, 又借助同构将一般的线性空间的研究归结为 $P^{n}$ 的研究. 这种从具体到一般, 又将一般化为具体的思想方法使我们既能从具体中提炼出一般, 又能用具体背景中的熟悉的方法来解决抽象的一般问题. 鉴于同构的线性空间具有相同的运算性质和规律, 所以若不考虑线性空间的向量具体是什么, 也不考虑其运算具体如何定义, 而只涉及线性空间在所定义运算下的运算性质和规律, 则同构 (维数相同) 的线性空间是可以不加区别的. 在这种观点下有限维线性空间被它的维数所惟一确定, 从而维数是有限维线性空间惟一的本质特征.

P^{n}

的特殊地位

线性空间 $P^{n}$ 具有特殊地位: 一方面它是一个具体的线性空间, 其运算可以具体计算, 性质和结构都较清楚; 另一方面它又是一般抽象的线性空间的代表, 抽象线性空间中的问题可通过它得以解决. 故可以认为掌握了 $P^{n}$ 就知道了有限维线性空间, 所以线性空间中以 $P^{n}$ 最重要, 它的性质和结构必须清楚, 必须掌握. 而 $P^{n}$ 的基本性质实际上都可归结为线性方程组理论来解决: (1) $β$ 能 (否) 经 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性表示 $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $[α_{1} α_{2} \dots α_{s}] X = β$ 有 (没有) 解 $\Leftrightarrow$ $r ([α_{1} α_{2} \dots α_{s}])$ 是 (否) 等于 $r ([α_{1} α_{2} \dots α_{s} ⋮ β])$ . (2) $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $[α_{1} α_{2} \dots α_{s}] X = <mi>θ</mi>$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ $r ([α_{1} α_{2} \dots α_{s}]) = s$ . (3) $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $[α_{1} α_{2} \dots α_{s}] X = <mi>θ</mi>$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $r ([α_{1} α_{2} \dots α_{s}]) < s$ . (4) $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是 (否) 能作为 $P^{n}$ 的一组基 $\Leftrightarrow$ 行列式 $| [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] |$ 是 (否) 不为零. (5) 计算向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 的极大线性无关组可通过对矩阵 $[α_{1} α_{2} \dots α_{s}]$ 施行初等行变换化阶梯形矩阵而推断出来. 而一般的 $n$ 维线性空间 $V$ , 只要取定一组基, 研究 $V$ 中向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 在这组基下的坐标 $X_{α_{1}}, X_{α_{2}}, \dots, X_{α_{s}}$ ( $P^{n}$ 中向量!), 即可将 $V$ 中问题转化为 $P^{n}$ 中问题来解决.

4.11.2 同构

数域 $P$ 上两个线性空间 $V, V'$ 同构是指 $V$ 到 $V'$ 有一个保持运算的双射. 因而 $V$ 和 $V'$ 不仅等浓, 而且遵循相同的运算规律. 同构是两个线性空间之间的一种具有自反、对称、传递的关系, 故可据此将数域 $P$ 上所有的线性空间进行分类, 即将同构的归并成一类. 由于 $V ≅ V' \Leftrightarrow dim V = dim V',$ 故实际上可按线性空间的维数分类, 相同维数的线性空间为一类. 在维数为 $n$ 的类中, 我们取 $P^{n}$ 为代表, 并以 $P^{n}$ 的性态来推断维数为 $n$ 的线性空间的性态.

4.11.3 欧氏空间

欧氏空间是特殊的线性空间, 即具有内积的实线性空间. 任何一个有限维实线性空间总可以适当定义内积使之成为欧氏空间. 从同构意义上讲 $n$ 维欧氏空间是以 $R^{n}$ 为代表的. 我们最熟悉的几何空间 $R^{3}, R^{2}$ 就是这样的代表. 在 $R^{n}$ 中, 向量的内积、长度、夹角、正交都可具体计算而得. 在一般的 $n$ 维欧氏空间中, 只要取一组标准正交基后, 以 $V$ 中向量在这组基下的坐标 ( $R^{n}$ 中向量!) 代替该向量来研究, 即可将 $V$ 中问题化为 $R^{n}$ 中问题而得以解决. 欧氏空间是特殊的线性空间, 故它不仅具有线性空间所有的性质, 而且有其特殊性质, 如度量性质. 这就使得在欧氏空间中可有比一般线性空间更强的性态, 列举如下: 线性空间中的线性无关向量组在欧氏空间中可加强为正交向量组; 线性空间中的基在欧氏空间中可加强为标准正交基.

用内积判断向量为零的独特方法

在欧氏空间中要判断一个向量 $α$ 是否为零向量有一个独特的方法: 计算 $(α, α)$ . 因由内积正定性有 $α = <mi>θ</mi> \Leftrightarrow (α, α) = 0$ . 推而广之在欧氏空间中为证明表达式 $β = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{r} α_{r},$ 只要计算出 $(β - \sum_{i = 1}^{r} k_{i} α_{i}, β - \sum_{i = 1}^{r} k_{i} α_{i}) = 0$ 即可.

4.11.4 线性变换与矩阵

线性变换是线性空间 $V$ 到自身的一个保持运算的映射. 它被它在 $V$ 的一组基上的像所惟一确定, 而这些像是被其坐标所惟一确定, 把像的坐标作为列向量构成矩阵, 则这个矩阵和线性变换互相惟一确定. 这样在确定 $V$ 的一组基 $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}$ 后, $V$ 的线性变换的全体 $L T (V)$ 和 $n$ 阶矩阵全体 $P^{n \times n}$ 可建立起双射 $σ : <mi>A</mi> \mapsto A$ , 此处矩阵 $A$ 由 $[<mi>A</mi> (ε_{1}) <mi>A</mi> (ε_{2}) \dots <mi>A</mi> (ε_{n})] = [ε_{1} ε_{2} \dots ε_{n}] A$ 确定. 映射 $σ$ 保持运算: (1) $σ (<mi>A</mi> + <mi>B</mi>) = σ (<mi>A</mi>) + σ (<mi>B</mi>) = A + B$ ; (2) $σ (k <mi>A</mi>) = k σ (<mi>A</mi>) = k A$ ; (3) $σ (<mi>A</mi> <mi>B</mi>) = σ (<mi>A</mi>) σ (<mi>B</mi>) = A B$ ; (4) $<mi>A</mi>$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 可逆; (5) 当 $<mi>A</mi>$ 可逆时, $σ ({<mi>A</mi>}^{- 1}) = [σ (<mi>A</mi>)]^{- 1} = A^{- 1}$ . 据 (1),(2) 还有: (6) 作为线性空间 $L T (V) ≅ P^{n \times n}$ . 如上所述 $L T (V)$ 和 $P^{n \times n}$ 有相同的运算 (加法、数乘、乘法、求逆) 规律. 从而可以说矩阵是线性变换的代数形式, 而线性变换是矩阵的几何背景. 在这种观点下某类问题既可以用线性变换的语言, 也可用矩阵的语言来描述. 因比较起来矩阵比线性变换具体, 运算也容易计算, 故常常将线性变换的问题转化为矩阵问题. 矩阵问题解决了, 线性变换的问题也就迎刃而解了.

习题 4.11

本章末配习题 4.11, 共 6 题, 内容涉及用矩阵的秩讨论线性方程组的解、矩阵乘积的秩、以及欧氏空间中保持内积的映射必保持加法与数乘等.

例题已掌握

例 4.11.1★★★★★计算题展开题目与讲解

例 4.11.1　两组贯穿前四章的题 (第一组)

第一组: (1) 计算行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \\ 1 & - 5 & 10 & - 10 \\ 3 & - 1 & 15 & - 2 a \end{array} | .$ (2) 求矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \\ 1 & - 5 & 10 & - 10 \\ 3 & - 1 & 15 & - 2 a \end{array})$ 的秩. (3) 讨论方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + 2 x_{4} = 0, \\ x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + 6 x_{4} = 0, \\ x_{1} - 5 x_{2} + 10 x_{3} - 10 x_{4} = 0, \\ 3 x_{1} - x_{2} + 15 x_{3} - 2 a x_{4} = 0, \end{cases}$ $a$ 取何值时只有零解? $a$ 取何值时有非零解? 且用通解表示非零解. (4) 已知 $4$ 元向量 $α_{1} = [1, 1, 1, 3]^{T}, α_{2} = [1, 3, - 5, - 1]^{T},$ $α_{3} = [3, 1, 10, 15]^{T}, α_{4} = [2, 6, - 10, - 2 a]^{T},$ 问 $a$ 取何值时 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关? $a$ 取何值时 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关? 当 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关时, $α_{4}$ 能否经 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出? $α_{3}$ 能否经 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性表出? 能线性表出的, 请写出表达式. (5) $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 如 (4) 题所设, 讨论 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的秩, 且写出一个极大线性无关组. (6) 讨论 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 的维数和一组基.

解这一组题的内容涵盖第 $1 \sim 4$ 章, 而其核心是第 (2) 题, 第 (3) $\sim$ (6) 题看起来是线性方程组、线性空间中的不同类型的问题, 但最终均可归结为第 (2) 题. 第 (1) 题: 将 $D$ 化为上三角形, 可求出 $D = 4 (1 - a)$ . 第 (2) 题: 对 $A$ 施行初等行变换化约化阶梯形 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 6 \\ 1 & - 5 & 10 & - 10 \\ 3 & - 1 & 15 & - 2 a \end{array}) ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - a \end{array}),$ 从而 $a \neq 1$ 时, $r (A) = 4$ ; $a = 1$ 时, $r (A) = 3$ . (注记: 仅为解此题, 可对 $A$ 施行初等列变换, 但为了下面几题我们这里仅对 $A$ 施行初等行变换.) 第 (3) 题: 据齐次线性方程组理论, $A X = <mi>θ</mi>$ 解的情况归结为系数矩阵 $A$ 的秩, 求解的方法是将系数矩阵用初等行变换化为约化阶梯形. 从而 $a \neq 1$ 时, 秩 $(A) = 4 =$ 未知量个数, 故 $A X = <mi>θ</mi>$ 只有零解; $a = 1$ 时, 秩 $(A) = 3 <$ 未知量个数, 故 $A X = <mi>θ</mi>$ 有非零解, 通解为 $t [0, - 2, 0, 1]^{T}$ , 其中 $t$ 为任意常数. 第 (4) 题: 由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关 (相关) $\Leftrightarrow$ $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} + k_{4} α_{4} = <mi>θ</mi>$ 只有零解 (有非零解), 从而该题前两个问题无非是第 (3) 题用向量的形式表叙出来, 所以结果是: $a \neq 1$ 时, $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关; $a = 1$ 时, $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关. 当 $a = 1$ , $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关时, 此时 $[α_{1} α_{2} α_{3} α_{4}] ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 由此知, $r ([α_{1} α_{2} α_{3}]) = 3 = r ([α_{1} α_{2} α_{3} ⋮ α_{4}])$ , 从而 $[α_{1} α_{2} α_{3}] X = α_{4}$ 有惟一解, 解为 $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = 0$ . 所以 $α_{4}$ 能经 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出, 且表法惟一: $α_{4} = 0 α_{1} + 2 α_{2} + 0 α_{3} = 2 α_{2}$ . 同样由上式知 $r ([α_{1} α_{2} α_{4}]) = 2$ , $r ([α_{1} α_{2} α_{4} ⋮ α_{3}]) = 3$ , 从而 $[α_{1} α_{2} α_{4}] X = α_{3}$ 无解, 所以 $α_{3}$ 不能经 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性表出. 第 (5) 题: 据本章 4.3 节所介绍的方法, 要求出 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的秩与极大线性无关组是将 $[α_{1} α_{2} α_{3} α_{4}]$ 仅施行初等行变换化为阶梯形, 即第 (2) 题的做法: $[α_{1} α_{2} α_{3} α_{4}] ⟶ (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - a \end{array}) .$ 据此: $a \neq 1$ 时, $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的秩为 $4$ , 其极大线性无关组是自身; $a = 1$ 时, $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 的秩为 $3$ , 一个极大线性无关组为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ . 第 (6) 题是第 (5) 题的另一表叙形式, 故结论相仿: $a \neq 1$ 时, $dim (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = 4$ , 一组基为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ; $a = 1$ 时, $dim (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = 3$ , 一组基为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ .

例 4.11.1（续）两组贯穿前四章的题 (第二组)★★★★★计算题展开题目与讲解

例 4.11.1（续）两组贯穿前四章的题 (第二组)

第二组: (1) 讨论矩阵 $\overline{A} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 6 & 3 \\ 1 & - 5 & 10 & - 10 & b \\ 3 & - 1 & 15 & - 2 a & 3 \end{array})$ 的秩. (2) 讨论方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + 2 x_{4} = 1, \\ x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + 6 x_{4} = 3, \\ x_{1} - 5 x_{2} + 10 x_{3} - 10 x_{4} = b, \\ 3 x_{1} - x_{2} + 15 x_{3} - 2 a x_{4} = 3, \end{cases}$ $a, b$ 取何值时无解, 有解? 有解时何时有惟一解, 何时有无穷多个解? 且写出这些解. (3) 设 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 如第一组第 (4) 题所设, $β = [1, 3, b, 3]^{T}$ . 问 $a, b$ 取何值时, $β$ 不能经 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性表示; $a, b$ 取何值时, $β$ 能经 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性表示. 进而何时表法惟一? 何时表法无穷? 且写出这些表示式. (4) 讨论 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, β$ 的秩, 并写出一个极大线性无关组. (5) 讨论 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, β)$ 的维数和一组基.

解这一组题的核心是第 (1) 题, 其余题均可由它演化而得, 所以解 (2) $\sim$ (5) 题均可归结为解 (1), 具体解题过程作为习题留给读者. 这两组题把前面四章的一些主要内容贯串起来, 展现了不同章节同一题型的演变过程, 从而揭示了从表面上看来自不同章节五花八门的题, 其实质是基于同一问题 (矩阵的秩). 熟练地掌握本节的两组题, 进而了解其思想和方法, 对掌握前四章的主要内容是很有帮助的.

例 4.11.2★★★★☆证明题展开题目与讲解

例 4.11.2　 $r (A^{T} A) = r (A A^{T}) = r (A)$

设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵, 求证: $r (A^{T} A) = r (A A^{T}) = r (A) .$

证考虑两个齐次线性方程组: $A X = <mi>θ</mi>;$ $(A^{T} A) X = <mi>θ</mi> .$ 并记它们的解空间为 $W_{1}$ , $W_{2}$ . 因凡是 $A X = <mi>θ</mi>$ 的解必是 $(A^{T} A) X = <mi>θ</mi>$ 的解, 故 $W_{1} \subseteq W_{2}$ . 反之设 $ξ$ 是 $(A^{T} A) X = <mi>θ</mi>$ 的任意一个解, 则有 $A^{T} A ξ = <mi>θ</mi>$ . 上式两边同时左乘 $ξ^{T}$ 得 $0 = ξ^{T} A^{T} A ξ = (A ξ)^{T} (A ξ)$ 记为 $[b_{1} b_{2} \dots b_{m}] (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{array}) = \sum_{i = 1}^{m} b_{i}^{2}$ , 因 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}$ 为实数, 故导致 $b_{1} = b_{2} = \dots = b_{m} = 0$ , 即 $A ξ = <mi>θ</mi>$ . 这表明 $W_{2} \subseteq W_{1}$ , 从而 $W_{1} = W_{2}$ , 故 $dim W_{1} = dim W_{2}$ . 即有 $n - r (A) = n - r (A^{T} A)$ , 从而 $r (A^{T} A) = r (A)$ . 同理可证 $r (A A^{T}) = r (A)$ .

例 4.11.3★★★★☆证明题展开题目与讲解

例 4.11.3　格拉姆行列式

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中一组向量, 称 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = | \begin{array}{c} (α_{1}, α_{1}) & (α_{1}, α_{2}) & \dots & (α_{1}, α_{m}) \\ (α_{2}, α_{1}) & (α_{2}, α_{2}) & \dots & (α_{2}, α_{m}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (α_{m}, α_{1}) & (α_{m}, α_{2}) & \dots & (α_{m}, α_{m}) \end{array} |$ 为格拉姆行列式. 证明: 向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 其格拉姆行列式 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = 0$ .

证必要性: 因 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关, 不妨设 $α_{1} = k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i} .$ 依次用 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 分别对上式两边作内积, 得 $(α_{1}, α_{1}) = (\sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{1}) = k_{2} (α_{2}, α_{1}) + \dots + k_{m} (α_{m}, α_{1}),$ $(α_{1}, α_{2}) = (\sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{2}) = k_{2} (α_{2}, α_{2}) + \dots + k_{m} (α_{m}, α_{2}),$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $(α_{1}, α_{m}) = (\sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{m}) = k_{2} (α_{2}, α_{m}) + \dots + k_{m} (α_{m}, α_{m}) .$ 这表明 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ 中第一行是其余行的线性组合, 从而导出 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ 的行向量组线性相关, 故 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = 0$ . 充分性: 因 $G (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = 0$ , 故 $G$ 对应的矩阵的行向量组线性相关, 不妨设第一行可经其余行线性表示, 即上面诸式成立. 从而可得 $(α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{1}) = 0,$ $(α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{2}) = 0,$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $(α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{m}) = 0 .$ 计算 $(α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i})$ $= (α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{1}) - (α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i})$ $= k_{2} (α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{2}) + \dots + k_{m} (α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i}, α_{m}) = 0 .$ 从而 $α_{1} - \sum_{i = 2}^{m} k_{i} α_{i} = <mi>θ</mi>$ , 故 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关.

例 4.11.4★★★★★计算题展开题目与讲解

例 4.11.4　五个线性变换的线性关系

在线性空间 $R^{3}$ 中, 定义线性变换 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}$ 为对任意的 $[x, y, z]^{T} \in R^{3}$ 有 ${<mi>A</mi>}_{1} ([x, y, z]^{T}) = [x, 0, 0]^{T};$ ${<mi>A</mi>}_{2} ([x, y, z]^{T}) = [0, y, 0]^{T};$ ${<mi>A</mi>}_{3} ([x, y, z]^{T}) = [0, 0, z]^{T};$ ${<mi>A</mi>}_{4} ([x, y, z]^{T}) = [x + y, y + z, x + z]^{T};$ ${<mi>A</mi>}_{5} ([x, y, z]^{T}) = [4 x + 2 y, 5 y + 2 z, 2 x + z]^{T} .$ (1) 问: 作为线性空间 $L T (R^{3})$ 的向量组 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}$ 是否线性相关? ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}$ 是否线性相关? 线性相关时写出线性表达式. (2) 求 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}$ 在 $L T (V)$ 中生成子空间 $L ({<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5})$ 的维数和一组基.

解取 $R^{3}$ 的一组常用基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ , 计算出 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}$ 关于该基的矩阵分别为 $A_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}),$ $A_{4} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}), A_{5} = (\begin{array}{c} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}) .$ (1) 若 $k_{1} A_{1} + k_{2} A_{2} + k_{3} A_{3} + k_{4} A_{4} = O$ , 即 $k_{1} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) + k_{2} (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) + k_{3} (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) + k_{4} (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) .$ 首先可推出 $k_{4} = 0$ , 然后可推出 $k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$ , 故 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 线性无关. 类似地由 $(\begin{array}{c} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}) = 2 (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) + 2 (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) + 3 (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}),$ 得出 $A_{5} = 2 A_{4} + 2 A_{1} + 3 A_{2} - A_{3}$ . 据 $L T (R^{3}) ≅ R^{3 \times 3}$ 可推出 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}$ 线性无关, ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}$ 线性相关, 且 ${<mi>A</mi>}_{5} = 2 {<mi>A</mi>}_{1} + 3 {<mi>A</mi>}_{2} - {<mi>A</mi>}_{3} + 2 {<mi>A</mi>}_{4} .$ (2) 由 (1) 得出 $dim L ({<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}, {<mi>A</mi>}_{5}) = 4$ , 一组基可取 ${<mi>A</mi>}_{1}, {<mi>A</mi>}_{2}, {<mi>A</mi>}_{3}, {<mi>A</mi>}_{4}$ .

注记题中应用 $L T (R^{3}) ≅ R^{3 \times 3}$ , 将线性变换问题化为矩阵问题来解. 当矩阵问题还是不容易解时, 可进一步利用 $R^{3 \times 3} ≅ R^{9}$ , 把矩阵问题化为列向量问题来解, 一般说来此时问题就比较容易解决.

05第五章特征值和特征向量·矩阵对角化

一§5.1 特征值和特征向量选自 §5.15 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 5.1.1　特征值与特征向量

设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，如果存在数域 $P$ 上的数 $λ_{0}$ 和非零向量 $ξ$ ，使得 $A ξ = λ_{0} ξ$ ，则称 $λ_{0}$ 为 $A$ 的一个特征值（或特征根），而 $ξ$ 称为 $A$ 的属于特征值 $λ_{0}$ 的一个特征向量．

定义 5.1.2　特征多项式

设 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 阶方阵， $λ$ 是一个变量，矩阵 $λ E - A$ 的行列式 $| λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & λ - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & λ - a_{n n} \end{array} |$ 称为 $A$ 的特征多项式，记为 $f (λ)$ ．它是数域 $P$ 上变量 $λ$ 的一个 $n$ 次多项式．

定理已掌握+

定理 5.1.1　矩阵可对角化的充要条件

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 能与对角矩阵相似的充要条件为 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ ，可记 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}]$ ，则 $P$ 是一个可逆矩阵，且使得 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 此处 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 是 $A$ 的特征值， $ξ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 是属于 $λ_{i}$ 的特征向量．

证记 $Λ = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，则 $A$ 能对角化就是存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P = Λ$ ，这等价于 $A P = P diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] .$ 若将矩阵 $P$ 按列向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 分块表示为 $P = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}]$ ，因 $P$ 为可逆矩阵，故 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性无关，上式即为 $A [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ $[A α_{1} A α_{2} \dots A α_{n}] = [λ_{1} α_{1} λ_{2} α_{2} \dots λ_{n} α_{n}],$ $\Leftrightarrow A α_{i} = λ_{i} α_{i}, i = 1, 2, \dots, n . (5.1.1)$ 即 $A$ 能与对角矩阵相似当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ ，此时取 $P = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}]$ 即可．

定理 5.1.2　特征值与特征向量的判别

（1） $λ_{0}$ 是 $A$ 的一个特征值的充要条件为 $λ_{0}$ 是 $A$ 的特征多项式 $f (λ)$ 在数域 $P$ 中的一个根，即 $| λ_{0} E - A | = 0$ ．

（2）若 $λ_{0}$ 是 $A$ 的一个特征值，则属于 $λ_{0}$ 的特征向量的全体是齐次线性方程组 $(λ_{0} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的所有非零解．

证设 $ξ \neq <mi>O</mi>$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，于是有 $A ξ = λ_{0} ξ$ ，即 $(λ_{0} E - A) ξ = <mi>O</mi>$ ，从而线性方程组 $(λ_{0} E - A) X = <mi>O</mi> (5.1.2)$ 有非零解 $ξ$ ．

反之，若 $(5.1.2)$ 有非零解 $ξ$ ，则 $(λ_{0} E - A) ξ = <mi>O</mi>$ ，从而 $A ξ = λ_{0} ξ$ ．据定义 5.1.1 知，向量 $ξ$ 就是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量．

据上所述，我们有： $ξ \neq <mi>O</mi>$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，当且仅当齐次线性方程组 $(λ_{0} E - A) X = <mi>O</mi>$ 有非零解 $ξ$ ，当且仅当 $| λ_{0} E - A | = 0 .$ 注意到 $| λ_{0} E - A | = f (λ_{0})$ ，故 $| λ_{0} E - A | = 0$ 等价于 $λ_{0}$ 是 $f (λ)$ 的一个根．

性质已掌握+

性质 5.1.1　特征向量的两条基本性质

（1）若 $ξ$ 是 $A$ 的特征向量，则 $ξ$ 只能属于一个特征值．

（2）属于特征值 $λ_{0}$ 的特征向量有无穷多个．

证（1）设 $ξ$ 是 $A$ 的既属于特征值 $λ_{1}$ 、又属于特征值 $λ_{2}$ 的特征向量，则 $A ξ = λ_{1} ξ, A ξ = λ_{2} ξ,$ 从而 $λ_{1} ξ = λ_{2} ξ$ ，移项得 $(λ_{1} - λ_{2}) ξ = <mi>O</mi>$ ．因 $ξ \neq <mi>O</mi>$ ，所以 $λ_{1} = λ_{2}$ ．这表明 $ξ$ 只能属于一个特征值．

（2）设 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，下证对数域 $P$ 中任意的 $k \neq 0$ ， $k ξ$ 也是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量．这是因为 $k ξ \neq <mi>O</mi>$ ，且有 $A (k ξ) = k A ξ = k λ_{0} ξ = λ_{0} (k ξ) .$ 易推得当 $k_{1} \neq k_{2}$ 时有 $k_{1} ξ \neq k_{2} ξ$ ，故 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量有无穷多个．

说明已掌握+

本章导引　矩阵对角化问题的提出

4.10 节中已阐明 $L T (V) ≅ P^{m \times n}$ ，因此研究线性空间 $V$ 上线性变换 $<mi>A</mi>$ 常借助于它关于某组基的矩阵．而同一线性变换关于不同基的矩阵一般不相同，只是彼此相似，所以对线性变换 $<mi>A</mi>$ 而言希望能找到一组基使得 $<mi>A</mi>$ 在这组基下的矩阵最简单，以便能更容易得出 $<mi>A</mi>$ 的性质．一般认为对角矩阵是一类最简单的矩阵类，故而上述问题的矩阵提法就是：对于一个 $n$ 阶方阵 $A$ 去找到一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵．这问题常被称为矩阵 $A$ 对角化．

矩阵对角化待解决的四个问题

矩阵对角化具体说来可分成下述问题：

（1） $n$ 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是什么？

（2）如果 $n$ 阶方阵 $A$ 能与对角矩阵 $Λ$ 相似，那么使得 $P^{- 1} A P = Λ$ 的可逆矩阵 $P$ 的结构如何？如何求出？

（3）如果 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵 $Λ$ ，则称 $Λ$ 为 $A$ 的相似标准形．此时对角矩阵 $Λ$ 应有何种结构？

（4）如果一个 $n$ 阶方阵 $A$ 不能相似于对角矩阵，那么与 $A$ 相似的最简单矩阵是何种形式的？

为了阐明上述问题引入特征值与特征向量的概念．

定理 5.1.1 对前三个问题的回答

（1） $n$ 阶方阵 $A$ 能与对角矩阵 $Λ$ 相似的充要条件为 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．

（2）如 $n$ 阶方阵 $A$ 能与对角矩阵 $Λ$ 相似，则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ ．将 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ 作为列向量组成矩阵 $P$ ，即 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}],$ 则 $P$ 是可逆矩阵，且 $P^{- 1} A P = Λ$ ．所以使得 $P^{- 1} A P = Λ$ 的可逆矩阵 $P$ 是由 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量作为列向量组成的．

（3）若 $P^{- 1} A P = Λ$ ，其中 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}], Λ = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 则 $A ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．所以此时对角矩阵 $Λ$ 的主对角线上元素 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 均是 $A$ 的特征值．它们排列的次序与构成 $P$ 的特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ 的次序相对应，即 $λ_{i}$ 对应于 $ξ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．

求特征值和特征向量的步骤

这样矩阵 $A$ 能否对角化问题就在于 $A$ 是否有 $n$ 个线性无关的特征向量．为此我们首先把 $A$ 的所有特征向量全确定下来，然后再确定哪些是线性无关的．利用定理 5.1.2 确定 $A$ 的全部特征值和特征向量的方法可归结为如下步骤：

1．求出 $A$ 的特征多项式 $f (λ) = | λ E - A |$ 在数域 $P$ 中的全部根 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ．据定理 5.1.2，它们就是 $A$ 的全部特征值．

2．把求出的特征值 $λ_{i}$ 逐个代入对应的齐次线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>, i = 1, 2, \dots, s .$ 求出一组基础解系为 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ ．据定理 5.1.2 属于 $λ_{i}$ 的全体特征向量可表为 $ξ_{i} = t_{1} ξ_{i 1} + t_{2} ξ_{i 2} + \dots + t_{r_{i}} ξ_{i r_{i}},$ 其中 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{r_{i}}$ 为不全为零的一组任意常数，这表明属于 $λ_{i}$ 的特征向量加上零向量构成齐次线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的全部解向量（即解空间 $W_{λ_{i}}$ ），这也说明属于 $λ_{i}$ 的特征向量有无穷多个．

3． $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{s}$ 就是 $A$ 的全部特征向量，这是因为 $A$ 的任何一个特征向量 $ξ$ 必属于某一个特征值，比如说属于 $λ_{i} (1 \leq i \leq s)$ ，而属于 $λ_{i}$ 的全体特征向量可表为 $ξ_{i}$ ，所以 $ξ_{i}$ 的某个表达式就表示了特征向量 $ξ$ ．

例题已掌握

例 5.1.1★★☆☆☆计算题行和相等的特殊矩阵的特征值展开题目与讲解

例 5.1.1　元素全为 $b$ 、主对角线为 $a$ 的矩阵的特征值

设 $n$ 阶方阵 $A = (\begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array}) .$ 解在第 1 章行列式中我们就指出该矩阵的每行元素之和为常数 $a + (n - 1) b$ ．利用此性质，取 $ξ = [1, 1, \dots, 1]^{T}$ ，则有 $A ξ = (\begin{array}{c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} a + (n - 1) b \\ a + (n - 1) b \\ a + (n - 1) b \\ ⋮ \\ a + (n - 1) b \end{array})$ $= [a + (n - 1) b] (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{array}) .$ 也就是说 $A ξ = [a + (n - 1) b] ξ,$ 所以 $a + (n - 1) b$ 是 $A$ 的一个特征值， $ξ$ 是 $A$ 的属于特征值 $a + (n - 1) b$ 的特征向量．

例 5.1.2★★★☆☆计算题特征多项式的计算展开题目与讲解

例 5.1.2　求特征多项式和全部特征值

求矩阵 $A$ 的特征多项式和全部特征值，这里 $A = (\begin{array}{c} 0 & b & b & \dots & b \\ b & 0 & b & \dots & b \\ b & b & 0 & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & 0 \end{array}) .$ 解

$| λ E - A | = | \begin{array}{c} λ & - b & - b & \dots & - b \\ - b & λ & - b & \dots & - b \\ - b & - b & λ & \dots & - b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - b & - b & - b & \dots & λ \end{array} | .$ 回忆 1.3 节中例 1.3.5 的注记知 $| λ E - A | = [λ - (n - 1) b] (λ + b)^{n - 1} .$ 所以 $A$ 的特征值为： $(n - 1) b$ ， $- b$ （ $n - 1$ 重根）．

例 5.1.3★★★☆☆计算题特征值与特征向量的完整求解展开题目与讲解

例 5.1.3　求三阶矩阵的全部特征值和特征向量

设 $A = (\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}),$ 求出 $A$ 的全部特征值和特征向量．

解先求出矩阵 $A$ 的特征多项式 $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ + 1 & - 1 & 0 \\ 4 & λ - 3 & 0 \\ - 1 & 0 & λ - 2 \end{array} | = (λ - 2) (λ - 1)^{2} .$ 所以 $A$ 的全部特征值为 $λ_{1} = 2, λ_{2} = λ_{3} = 1$ ．

然后把 $λ_{1} = 2$ 代入 $(λ_{1} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，得 $(\begin{array}{c} 3 & - 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) .$ 因 $r (λ_{1} E - A) = 2$ 知，该方程组基础解系所含向量个数为 1，解得一个基础解系为 $ξ_{1} = [0, 0, 1]^{T}$ ．故属于特征值 2 的全部特征向量为 $k ξ_{1}$ ， $0 \neq k \in P$ ．

再把 $λ_{2} = λ_{3} = 1$ 代入 $(λ_{2} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，得 $(\begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & - 2 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) .$ 因 $r (λ_{2} E - A) = 2$ 知，该方程组基础解系所含向量个数为 1，解得一个基础解系为 $ξ_{2} = [1, 2, - 1]^{T}$ ．故属于特征值 1 的全部特征向量为 $k ξ_{2}$ ， $0 \neq k \in P$ ．

例 5.1.4★★★★☆计算题复特征值与复特征向量展开题目与讲解

例 5.1.4　实数域与复数域上特征值的差异

设 $A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array})$ ，求出 $A$ 的全部特征值和特征向量．

解

$f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ & - 1 & 0 \\ 1 & λ & 0 \\ - 3 & - 2 & λ - 1 \end{array} | = (λ - 1) (λ^{2} + 1) .$ 如果把 $A$ 看作实数域上的矩阵，据定理 5.1.2 特征值只能取 $f (λ)$ 的实根，故此时 $A$ 只有特征值 $λ_{1} = 1$ ．若把 $A$ 看成复数域上的矩阵，则特征值可以取 $f (λ)$ 的复根，此时 $A$ 的特征值就是 $λ_{1} = 1, λ_{2} = i, λ_{3} = - i$ ．

把 $λ_{1} = 1$ 代入 $(λ_{1} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，解得一个基础解系 $ξ_{1} = [0, 0, 1]^{T}$ ，所以 $A$ 的属于特征值 1 的全部特征向量为 $k [0, 0, 1]^{T}$ ， $0 \neq k \in R$ ．

由上述知，若把 $A$ 看作实数域上的矩阵，则 $A$ 的全部特征值为 1，属于 1 的全部特征向量为 $k [0, 0, 1]^{T}$ ， $0 \neq k \in R$ ．

如果把 $A$ 看作复数域上的矩阵，则 $A$ 还有特征值 $λ_{2} = i, λ_{3} = - i$ ．再把 $λ_{2} = i$ 代入 $(λ_{2} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，解得一个基础解系 $ξ_{2} = [1 - 5 i, 5 + i, - 13]^{T},$ 所以 $A$ 的属于特征值 $i$ 的全部特征向量为 $t [1 - 5 i, 5 + i, - 13]^{T}$ ， $0 \neq t \in C$ ．

再把 $λ_{3} = - i$ 代入 $(λ_{3} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，解得一个基础解系 $ξ_{3} = [1 + 5 i, 5 - i, - 13]^{T},$ 所以 $A$ 的属于特征值 $- i$ 的全部特征向量为 $t [1 + 5 i, 5 - i, - 13]^{T}$ ， $0 \neq t \in C$ ．

由上述知，若把 $A$ 看作复数域上的矩阵，则 $A$ 的全部特征值为 $1, i, - i$ ．属于 1 的全部特征向量为 $k [0, 0, 1]^{T}$ ，属于 $i$ 的全部特征向量为 $t [1 - 5 i, 5 + i, - 13]^{T}$ ，属于 $- i$ 的全部特征向量为 $t [1 + 5 i, 5 - i, - 13]^{T}$ ，其中 $k, t$ 为任意非零的复数．

二§5.2 矩阵对角化选自 §5.24 个知识分组 · 含例题

定理已掌握+

定理 5.2.1　不同特征值的特征向量线性无关

方阵 $A$ 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

证设 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ 是方阵 $A$ 的互异特征值，它们对应的特征向量分别为 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{s}$ ．现对 $s$ 用数学归纳法来证明结论．

当 $s = 1$ 时，因 $ξ_{1} \neq <mi>O</mi>$ ，故 $ξ_{1}$ 是线性无关的．

设 $s - 1$ 时定理成立，下面考察 $s$ 的情况．设有 $k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s - 1} ξ_{s - 1} + k_{s} ξ_{s} = <mi>O</mi> . (5.2.1)$ 在 $(5.2.1)$ 式两边同时用 $λ_{s}$ 作数乘，得 $k_{1} λ_{s} ξ_{1} + k_{2} λ_{s} ξ_{2} + \dots + k_{s - 1} λ_{s} ξ_{s - 1} + k_{s} λ_{s} ξ_{s} = <mi>O</mi> . (5.2.2)$ 在 $(5.2.1)$ 式两边同时左乘矩阵 $A$ ，注意到 $A ξ_{i} = λ_{i} ξ_{i}$ ，有 $k_{1} λ_{1} ξ_{1} + k_{2} λ_{2} ξ_{2} + \dots + k_{s - 1} λ_{s - 1} ξ_{s - 1} + k_{s} λ_{s} ξ_{s} = <mi>O</mi> . (5.2.3)$ 将 $(5.2.2)$ 式减去 $(5.2.3)$ 式，得 $k_{1} (λ_{s} - λ_{1}) ξ_{1} + k_{2} (λ_{s} - λ_{2}) ξ_{2} + \dots + k_{s - 1} (λ_{s} - λ_{s - 1}) ξ_{s - 1} = <mi>O</mi> .$ 据归纳法假设 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{s - 1}$ 线性无关，于是 $k_{i} (λ_{s} - λ_{i}) = 0, i = 1, 2, \dots, s - 1 .$ 由题设 $λ_{s} \neq λ_{i} (i = 1, 2, \dots, s - 1)$ ，故得 $k_{1} = k_{2} = \dots = k_{s - 1} = 0 .$ 将此结果代入 $(5.2.1)$ 式，得 $k_{s} ξ_{s} = <mi>O</mi>$ ．因 $ξ_{s} \neq <mi>O</mi>$ ，从而 $k_{s} = 0$ ．这就证明了 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{s}$ 线性无关．至此根据数学归纳法原理，定理得证．

推论（判别法）　

n

个互异特征值即可对角化

$n$ 阶方阵 $A$ 若有 $n$ 个互异特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，则 $A$ 与对角矩阵 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 相似．

事实上，若 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，则属于特征值 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的特征向量 $ξ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 线性无关，从而 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．据定理 5.1.1 知，若记 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}]$ ，则 $P$ 是一个可逆矩阵，且有 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 从而 $A$ 与对角矩阵 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 相似．

定理 5.2.2　各特征值对应特征向量组的合并仍线性无关

若 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ 是方阵 $A$ 的互异的特征值，且 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ 是属于特征值 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 的线性无关的特征向量，则 $ξ_{11}, \dots, ξ_{1 r_{1}}, \dots, ξ_{s 1}, \dots, ξ_{s r_{s}}$ 线性无关．

证对 $s$ 用数学归纳法，用类似于定理 5.2.1 推理证得．

回忆我们求方阵 $A$ 的全部特征值和特征向量时，所用的方法是：求出 $A$ 的所有互异的特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ，将 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 逐个代入对应线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ ， $i = 1, 2, \dots, s$ ．求出一组基础解系（即解空间 $W_{λ_{i}}$ 的一组基） $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ ．现据定理 5.2.2 可判定 $ξ_{11}, \dots, ξ_{1 r_{1}}, ξ_{21}, \dots, ξ_{2 r_{2}}, \dots, ξ_{s 1}, \dots, ξ_{s r_{s}} (5.2.4)$ 是一组线性无关的特征向量．我们断言 $(5.2.4)$ 是 $A$ 的所有特征向量组成的向量组中的极大线性无关组．这是因为 $A$ 的任何一个特征向量 $ξ$ 必属于某个特征值 $λ_{i} (1 \leq i \leq s)$ ，从而 $ξ$ 可经基础解系 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ 线性表示．这表明 $ξ_{11}, \dots, ξ_{1 r_{1}}, \dots, ξ_{s 1}, \dots, ξ_{s r_{s}}, ξ$ 线性相关．

定理 5.2.3　可对角化的秩条件

设 $n$ 阶方阵 $A$ 的互异的特征值的全体为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ，且将 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 逐个代入对应线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi> (i = 1, 2, \dots, s)$ ，求得一组基础解系（即解空间 $W_{λ_{i}}$ 的一组基）为 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ ，则

（1） $A$ 与对角矩阵相似的充要条件为： $r_{1} + r_{2} + \dots + r_{s} = n$ ．

（2）当 $r_{1} + r_{2} + \dots + r_{s} = n$ 时， $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ ，若令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}]$ ，则有 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 恰为特征向量 $ξ_{i}$ 所属的特征值．

定理 5.2.4　重根的重数与基础解系个数相等

数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 若在 $P$ 中互异的特征根的全体为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ，它们相应的重数为 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{s}$ ，且 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 $r_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ ，则 $A$ 与对角矩阵 $diag [λ_{1}, \dots, λ_{1}, \dots, λ_{s}, \dots, λ_{s}]$ （其中 $λ_{i}$ 出现 $n_{i}$ 次）相似的充分必要条件为 $r_{i} = n_{i}, i = 1, 2, \dots, s .$

分析因 $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{s} = n$ ，故 $r_{1} + r_{2} + \dots + r_{s} = n \Leftrightarrow r_{i} = n_{i}, i = 1, 2, \dots, s .$ 再结合定理 5.2.3 即得结论．此定理表明若矩阵 $A$ 的某个 $n_{i}$ 重根 $λ_{i}$ 所对应的齐次线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量的个数 $r_{i}$ 小于 $n_{i}$ ，则立即可断定 $A$ 不能对角化．故在判断 $A$ 是否能对角化时（如例 5.2.2），这是一个简便的方法．

性质已掌握+

性质 5.2.1　特征子空间的维数不超过重数

设 $λ_{0}$ 是方阵 $A$ 的 $k$ 重特征根，则齐次线性方程组 $(λ_{0} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数（即 $dim W_{λ_{0}}$ ） $\leq k$ ．

证明参见文献［1］，303 页： $λ_{0}$ 的特征子空间 $W_{λ_{0}}$ 的维数不能大于 $λ_{0}$ 的重数．

这性质首先表明若 $λ_{0}$ 为单根，则必有线性方程组 $(λ_{0} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 1．其次，若 $A$ 的全部相异特征根为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ，它们的重数相应为 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{s}$ ，则 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 $r_{i} \leq n_{i}, i = 1, 2, \dots, s .$

说明已掌握+

注记　判别法只是充分条件

本判别法只是 $A$ 与对角矩阵相似的一个充分性条件，而不是必要条件．下文就有例子表明一个方阵的特征值如果有重根可能与对角矩阵相似，也可能不与对角矩阵相似．

上述注记表明当方阵 $A$ 的特征值有重根时，用本判别法无法判别．为了解决此问题，需要将定理 5.2.1 推广为定理 5.2.2．

注记　用矩阵的秩计算基础解系所含向量个数

若仅需求出方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ 基础解系所含向量的个数 $r_{i}$ ，大可不必去求解该方程组，因为据定理 4.4.3 知 $r_{i} = n - r (λ_{i} E - A) .$ 而计算矩阵 $λ_{i} E - A$ 的秩显然比解方程组更为简单．

例题已掌握

例 5.2.1★★★☆☆计算题用判别法判别对角化展开题目与讲解

例 5.2.1　三个互异特征值判别对角化并求可逆矩阵

对例 5.1.3 中的矩阵 $A$ 略作变动得到 $B = (\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}),$

解容易求得 $f (λ) = | λ E - B | = (λ + 1) (λ - 2) (λ - 3)$ ．所以 $B$ 有 3 个相异的特征根 $λ_{1} = - 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3$ ．

将 $λ_{1} = - 1$ 代入 $(λ_{1} E - B) X = <mi>O</mi>$ 可解得属于 $λ_{1} = - 1$ 的全部特征向量为 $k ξ_{1} = k [3, 0, - 1]^{T}, k \neq 0 .$ 将 $λ_{2} = 2$ 代入 $(λ_{2} E - B) X = <mi>O</mi>$ 可解得属于 $λ_{2} = 2$ 的全部特征向量为 $k ξ_{2} = k [0, 0, 1]^{T}, k \neq 0 .$ 将 $λ_{3} = 3$ 代入 $(λ_{3} E - B) X = <mi>O</mi>$ 可解得属于 $λ_{3} = 3$ 的全部特征向量为 $k ξ_{3} = k [1, 4, 1]^{T}, k \neq 0 .$ 据定理 5.2.1 知， $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 线性无关．3 阶方阵 $B$ 有 3 个线性无关的特征向量，所以 $B$ 能对角化．令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}]$ ，有 $P^{- 1} B P = diag [- 1, 2, 3] .$

例 5.2.2★★★☆☆判断题用秩条件判断不可对角化展开题目与讲解

例 5.2.2　基础解系个数不足时的不可对角化

判别矩阵 $A = (\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array})$ 能否与对角矩阵相似．

解 $A$ 即为例 5.1.3 中的矩阵 $A$ ．据例 5.1.3 知， $A$ 有两个相异特征值 $λ_{1} = 2, λ_{2} = 1$ （二重），所对应的线性方程组的基础解系所含向量个数 $r_{1} = 1, r_{2} = 1$ ．因 $r_{1} + r_{2} = 2 < 3$ ，所以 $A$ 不能与对角矩阵相似．

例 5.2.3★★★★☆计算题重特征根情形的对角化展开题目与讲解

例 5.2.3　有重根但可对角化并写出 $P$

判别矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array})$ 能否与对角矩阵相似，如能则写出可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵．

解先解 $A$ 的特征多项式 $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & λ - 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & λ - 1 \end{array} | = (λ - 5) (λ + 1)^{2},$ 故 $A$ 的特征值为 $λ_{1} = 5, λ_{2} = - 1$ （二重）．

然后以 $λ_{1} = 5$ 代入齐次线性方程组 $(λ_{1} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，解得一个基础解系为 $ξ_{1} = [1, 1, 1]^{T}$ ．故属于特征值 5 的特征向量为 $k_{1} ξ_{1}$ ，其中 $k_{1} \neq 0$ ．

再以 $λ_{2} = - 1$ 代入齐次线性方程组 $(λ_{2} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，解得一个基础解系为 $ξ_{2} = [1, 0, - 1]^{T}, ξ_{3} = [0, 1, - 1]^{T} .$ 故属于特征值 $- 1$ 的特征向量为 $k_{2} ξ_{2} + k_{3} ξ_{3}$ ，其中 $k_{2}, k_{3}$ 不同时为零．

这表明： $r_{1} = 1, r_{2} = 2$ ．由 $r_{1} + r_{2} = 3 = A$ 的阶数，利用定理 5.2.3 知， $A$ 能与对角矩阵相似，若令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}] = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{array}),$ 则有 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}] = diag [5, - 1, - 1] .$

例 5.2.4★★☆☆☆计算题秩与基础解系个数的换算展开题目与讲解

例 5.2.4　由可对角化反求矩阵的秩

已知 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, 2$ ，且 $A$ 能与对角矩阵 $diag [1, 2, 2]$ 相似，则 $r (E - A) = \underline{}$ ， $r (2 E - A) = \underline{}$ ．

解因 1 是 $A$ 的单根，所以方程组 $(E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 1，从而由 $3 - r (E - A) = 1$ 推知， $r (E - A) = 2$ ．因 $A$ 能与对角矩阵相似，所以 $A$ 的 2 重特征值 2 所对应的方程组 $(2 E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 2，从而由 $3 - r (2 E - A) = 2$ 推知， $r (2 E - A) = 1$ ．

例 5.2.5★★★★☆计算题含参数矩阵的可对角化条件展开题目与讲解

例 5.2.5　秩为 1 的矩阵 $A = α β^{T}$ 的可对角化条件

设 $α = [1, 2, 3, 4]^{T}, β = [3, - 2, - 1, a]^{T}, A = α β^{T}$ ．问 $a$ 取何值时， $A$ 能对角化？为什么？

解

$A = α β^{T} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}) [3 - 2 - 1 a] = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & - 1 & a \\ 6 & - 4 & - 2 & 2 a \\ 9 & - 6 & - 3 & 3 a \\ 12 & - 8 & - 4 & 4 a \end{array}),$ 故 $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - 3 & 2 & 1 & - a \\ - 6 & λ + 4 & 2 & - 2 a \\ - 9 & 6 & λ + 3 & - 3 a \\ - 12 & 8 & 4 & λ - 4 a \end{array} | = λ^{3} (λ - 4 a + 4) .$ 从而 $A$ 的特征值为 $λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0, λ_{4} = 4 (a - 1)$ ．

当 $a = 1$ 时，0 是 $A$ 的 4 重特征根，由 $r (A) = 1$ 知， $(0 E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 $4 - r (A) = 3 < 4$ ，所以此时 $A$ 不能对角化．

当 $a \neq 1$ 时，0 是 $A$ 的 3 重特征根，由 $r (A) = 1$ 知， $(0 E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数为 $4 - r (A) = 3 =$ 特征根的重数，所以此时 $A$ 能对角化．

例 5.2.6★★★★☆证明题幂零矩阵的特征值展开题目与讲解

例 5.2.6　幂零矩阵不能与对角矩阵相似

设 $n$ 阶矩阵 $A \neq O$ ，若存在正整数 $k \geq 2$ 使 $A^{k} = O$ ，求证： $A$ 不能与对角矩阵相似．

证设 $λ$ 是 $A$ 的任意一个特征值，属于 $λ$ 的一个特征向量为 $ξ \neq <mi>O</mi>$ ，则 $A ξ = λ ξ .$ 从而 $A^{k} ξ = A^{k - 1} (A ξ) = A^{k - 1} (λ ξ) = λ A^{k - 1} ξ = \dots = λ^{k} ξ .$ 另一方面，由 $A^{k} = O$ 得， $A^{k} ξ = <mi>O</mi>$ ．从而推得 $λ^{k} ξ = <mi>O</mi>$ ．因 $ξ \neq <mi>O</mi>$ ，所以 $λ^{k} = 0$ ，即得 $λ = 0$ ．这表明 $A$ 的特征值均为零．若 $A$ 能与对角矩阵 $Λ$ 相似，即有可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = Λ$ ，则 $Λ$ 主对角线上元素恰为 $A$ 的全体特征值，从而 $Λ = O$ ，即 $P^{- 1} A P = O$ ，导出 $A = O$ ，此与题设 $A \neq O$ 矛盾，原命题得证．

三§5.3 矩阵相似的理论和应用选自 §5.34 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义　矩阵的迹

我们将矩阵 $A$ 的主对角线上元素之和 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹，记为 $tr A$ ．

性质已掌握+

性质 5.3.1　特征多项式的展开式与韦达定理

设 $A = [a_{i j}]$ 为 $n$ 阶方阵， $A$ 的全部特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ．

（1） $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & λ - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & λ - a_{n n} \end{array} |$ $= λ^{n} - (a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} | A | .$

（2） $\sum_{i = 1}^{n} a_{i i} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}, | A | = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} .$

证（1）将行列式 $| λ E - A |$ 按定义（1.2.5）式展开，其中一项为主对角线上元素的乘积 $(λ - a_{11}) (λ - a_{22}) \dots (λ - a_{n n}) . (5.3.1)$ 展开式中其余的项至多含有 $n - 2$ 个主对角线上的元素，因而 $λ$ 的次数不能超过 $n - 2$ ，所以 $f (λ)$ 的最高次项、次高次项只能在 $(5.3.1)$ 式中出现，故 $f (λ) = λ^{n} - (a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}) λ^{n - 1} + \dots .$ $f (λ)$ 的常数项为 $f (0)$ ，而 $f (0) = (- 1)^{n} | A |$ ．所以 $f (λ) = λ^{n} - (a_{11} + a_{22} + \dots + a_{n n}) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} | A | . (5.3.2)$

（2）因 $f (λ)$ 的全部特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，且首项系数为 1，故 $f (λ) = (λ - λ_{1}) (λ - λ_{2}) \dots (λ - λ_{n})$ $= λ^{n} - (λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n}) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} . (5.3.3)$ 比较 $(5.3.2)$ 式和 $(5.3.3)$ 式，即得 $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i} = tr A, λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} = | A | .$

性质 5.3.2　

A^{2}

的特征值

设 $λ_{0}$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的一个特征值， $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $λ_{0}^{2}$ 是 $A^{2}$ 的一个特征值， $ξ$ 是 $A^{2}$ 的属于 $λ_{0}^{2}$ 的特征向量．

证由题设知， $A ξ = λ_{0} ξ$ ，从而 $A^{2} ξ = A (A ξ) = A (λ_{0} ξ) = λ_{0} A ξ = λ_{0}^{2} ξ .$ 这表明 $λ_{0}^{2}$ 是 $A^{2}$ 的一个特征值， $ξ$ 是 $A^{2}$ 的属于 $λ_{0}^{2}$ 的特征向量．

性质 5.3.3　矩阵多项式

f (A)

的特征值

设 $f (x) = a_{k} x^{k} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 是数域 $P$ 上的一个多项式， $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，此时 $f (A) = a_{k} A^{k} + \dots + a_{1} A + a_{0} E$ ．若 $λ_{0}$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $f (λ_{0}) = a_{k} λ_{0}^{k} + \dots + a_{1} λ_{0} + a_{0}$ 是 $f (A)$ 的一个特征值．同时若 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $ξ$ 也是 $f (A)$ 的属于 $f (λ_{0})$ 的特征向量．

证上述已由 $A ξ = λ_{0} ξ$ 推得 $A^{2} ξ = λ_{0}^{2} ξ$ ，如法炮制可推得 $A^{3} ξ = λ_{0}^{3} ξ, \dots, A^{k} ξ = λ_{0}^{k} ξ$ ．进而可推得 $a_{1} A ξ = a_{1} λ_{0} ξ,$ $a_{2} A^{2} ξ = a_{2} λ_{0}^{2} ξ,$ $\dots \dots \dots \dots$ $a_{k} A^{k} ξ = a_{k} λ_{0}^{k} ξ,$ 且显然有 $a_{0} E ξ = a_{0} ξ .$ 把这些等式两边加起来即得 $a_{k} A^{k} ξ + \dots + a_{2} A^{2} ξ + a_{1} A ξ + a_{0} E ξ = a_{k} λ_{0}^{k} ξ + \dots + a_{2} λ_{0}^{2} ξ + a_{1} λ_{0} ξ + a_{0} ξ,$ 即 $(a_{k} A^{k} + \dots + a_{2} A^{2} + a_{1} A + a_{0} E) ξ = (a_{k} λ_{0}^{k} + \dots + a_{2} λ_{0}^{2} + a_{1} λ_{0} + a_{0}) ξ .$

性质 5.3.4　可逆矩阵的特征值与

A^{- 1}

的特征值

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则

（1） $A$ 的特征值均不为零．

（2）若 $λ_{0}$ 为 $A$ 的特征值，则 $λ_{0}^{- 1}$ 是 $A^{- 1}$ 的一个特征值．同时若 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $ξ$ 也是 $A^{- 1}$ 的属于 $λ_{0}^{- 1}$ 的特征向量．

证（1）证法一 设 $A$ 的全部特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，则据性质 5.3.1 之（2）知， $λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} = | A | \neq 0$ ．故 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 均不为零．

证法二（反证法）设 $A$ 有一个特征值 $λ_{0} = 0$ ，则 $0 = | λ_{0} E - A | = | - A | = (- 1)^{n} | A |,$ 这与 $A$ 是可逆矩阵矛盾．故命题成立．

证法三（反证法）设 $A$ 有一个特征值 $λ_{0} = 0$ ， $ξ$ 是属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $A ξ = λ_{0} ξ = <mi>O</mi> .$ 因 $A$ 是可逆矩阵，上式两边同时左乘 $A^{- 1}$ 可推得 $ξ = <mi>O</mi>$ ，这与 $ξ$ 是特征向量矛盾，故命题成立．

（2）据（1）知，此时 $λ_{0} \neq 0$ ．设 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $A ξ = λ_{0} ξ$ ．两边同时左乘 $A^{- 1}$ 得 $A^{- 1} A ξ = A^{- 1} (λ_{0} ξ) .$ 上式左端为 $ξ$ ，右端为 $λ_{0} A^{- 1} ξ$ ，所以 $λ_{0} A^{- 1} ξ = ξ$ ．两边同时用 $λ_{0}^{- 1}$ 作数乘得 $A^{- 1} ξ = λ_{0}^{- 1} ξ,$ 故 $λ_{0}^{- 1}$ 为 $A^{- 1}$ 的一个特征值，同时 $ξ$ 也是 $A^{- 1}$ 的属于 $λ_{0}^{- 1}$ 的一个特征向量．

性质 5.3.5　相似矩阵有相同的特征多项式

相似矩阵有相同的特征多项式，即若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $| λ E - A | = | λ E - B | .$

证因 $A$ 与 $B$ 相似，故存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$ ．从而 $| λ E - B | = | λ E - P^{- 1} A P | = | P^{- 1} (λ E - A) P |$ $= | P^{- 1} | | λ E - A | | P | = | λ E - A | .$

注记性质 5.3.5 的逆命题不成立，也就是说特征多项式相同只是矩阵相似的必要条件，而不是充分条件．例子见例 5.3.3．

性质 5.3.6　相似矩阵有相同的迹和行列式

相似矩阵有相同的迹和行列式．即若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $tr A = tr B, | A | = | B | .$

证由性质 5.3.1 知， $A$ 的特征多项式次高次项系数为 $- tr A$ ，常数项为 $(- 1)^{n} | A |$ ．现 $A$ 与 $B$ 相似，所以有相同的特征多项式，特别地次高次项系数相同和常数项相同．故 $tr A = tr B, | A | = | B | .$

注记性质 5.3.6 的逆命题不成立，例子可见例 5.3.3．这表明迹相同、行列式相同均只是矩阵相似的必要条件，而不是充分条件．

性质 5.3.7　方幂与矩阵多项式的相似性

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵， $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 均为数域 $P$ 中任意的数，若 $A$ 与 $B$ 相似，则

（1） $A^{2}$ 与 $B^{2}$ 相似， $A^{3}$ 与 $B^{3}$ 相似， $\dots$ ， $A^{k}$ 与 $B^{k}$ 相似；

（2） $f (x) = a_{k} x^{k} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 为系数取自数域 $P$ 的一个多项式，则 $f (A)$ 与 $f (B)$ 相似，这里 $f (A) = a_{k} A^{k} + \dots + a_{1} A + a_{0} E,$ $f (B) = a_{k} B^{k} + \dots + a_{1} B + a_{0} E .$

证（1）由题设知，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = B$ ．从而 $B^{2} = (P^{- 1} A P) (P^{- 1} A P) = P^{- 1} A^{2} P,$ $B^{3} = (P^{- 1} A P) (P^{- 1} A P) (P^{- 1} A P) = P^{- 1} A^{3} P,$ $\dots \dots \dots \dots$ $B^{k} = (P^{- 1} A P) (P^{- 1} A P) \dots (P^{- 1} A P) = P^{- 1} A^{k} P,$ 其中最后一个等式右端括号内共 $k$ 个因子．这表明 $A^{2}$ 与 $B^{2}$ 相似， $A^{3}$ 与 $B^{3}$ 相似， $\dots$ ， $A^{k}$ 与 $B^{k}$ 相似．

（2）同样由 $P^{- 1} A P = B$ ，可推得 $a_{1} B = P^{- 1} (a_{1} A) P,$ $a_{2} B^{2} = P^{- 1} (a_{2} A^{2}) P,$ $\dots \dots \dots \dots$ $a_{k} B^{k} = P^{- 1} (a_{k} A^{k}) P .$ 将这些等式相加，再加上等式 $a_{0} E = P^{- 1} (a_{0} E) P$ 得 $a_{k} B^{k} + \dots + a_{2} B^{2} + a_{1} B + a_{0} E = P^{- 1} (a_{k} A^{k} + \dots + a_{2} A^{2} + a_{1} A + a_{0} E) P,$ 即 $f (B) = P^{- 1} f (A) P$ ．这表明 $f (A)$ 与 $f (B)$ 相似．

性质 5.3.8　可对角化矩阵的方幂与矩阵多项式

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，其全体特征根为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ （重根按重数计）．若 $A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，则

（1） $A^{2} = P diag [λ_{1}^{2}, λ_{2}^{2}, \dots, λ_{n}^{2}] P^{- 1}, \dots, A^{k} = P diag [λ_{1}^{k}, λ_{2}^{k}, \dots, λ_{n}^{k}] P^{- 1} .$

（2） $f (A) = P diag [f (λ_{1}), f (λ_{2}), \dots, f (λ_{n})] P^{- 1},$ 其中 $f (x)$ 为数域 $P$ 上的一个多项式 $f (x) = a_{k} x^{k} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ．从而 $| f (A) | = f (λ_{1}) f (λ_{2}) \dots f (λ_{n}) .$

说明已掌握+

说明　矩阵多项式在相似变换下的联系

矩阵多项式 $f (A)$ 与 $B$ 的矩阵多项式 $f (B)$ 相似．特别要指出的是联系 $B^{k}$ 与 $A^{k}$ 、联系 $f (B)$ 与 $f (A)$ 的矩阵就是联系 $B$ 与 $A$ 的矩阵 $P$ 和 $P^{- 1}$ ．这一点在下面应用于可对角化矩阵时，将带来方便．

将性质 5.3.7 应用于可对角化矩阵就得到性质 5.3.8．

说明　相似标准形的计算价值

例 5.2.1、例 5.2.3、例 5.3.1 和例 5.3.5 均是可对角化矩阵，所以均可利用性质 5.3.8．这表明计算可对角化矩阵的任意方幂，以及矩阵多项式，在利用了相似标准形后都变得并不困难了（参见例 5.3.1 和例 5.3.5）．

例题已掌握

例 5.3.1★★★★★计算题特征值与矩阵多项式展开题目与讲解

例 5.3.1　特征值、矩阵多项式与行列式的综合计算

设矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}) .$ （1）求 $A$ 的全部特征值和特征向量，并判断 $A$ 能否对角化？若能写出可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵 $Λ$ ．

（2）求 $2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E$ 的全部特征值和特征向量．

（3）求 $| 2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E |$ ．

（4）求 $2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E$ ．

解（1）计算 $A$ 的特征多项式 $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & λ - 1 & 2 \\ 2 & 2 & λ - 1 \end{array} | = (λ + 1) (λ - 3) (λ - 1) .$ 所以 $A$ 的全部特征值为 $λ_{1} = - 1, λ_{2} = 1, λ_{3} = 3$ ．分别将 $λ_{1} = - 1, λ_{2} = 1, λ_{3} = 3$ 代入 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi> (i = 1, 2, 3)$ ，可求得

$A$ 的属于 $- 1$ 的全部特征向量为 $k ξ_{1} = k [1, - 1, 0]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$A$ 的属于 1 的全部特征向量为 $k ξ_{2} = k [1, - 1, 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$A$ 的属于 3 的全部特征向量为 $k ξ_{3} = k [0, 1, - 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ．

因 $A$ 有 3 个相异的特征值，所以 $A$ 能对角化．取 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}]$ ，则 $P$ 为可逆矩阵，且 $P^{- 1} A P = diag [- 1, 1, 3] .$

（2）令 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$ ，则 $2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E = f (A)$ ．据性质 5.3.3 知， $f (A)$ 的全部特征值为 $f (- 1) = - 2 - 3 + 4 + 2 = 1; f (1) = 2 - 3 - 4 + 2 = - 3;$ $f (3) = 54 - 27 - 12 + 2 = 17 .$ $f (A)$ 的属于 $f (- 1) = 1$ 的全部特征向量 $k ξ_{1} = k [1, - 1, 0]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$f (A)$ 的属于 $f (1) = - 3$ 的全部特征向量 $k ξ_{2} = k [1, - 1, 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$f (A)$ 的属于 $f (3) = 17$ 的全部特征向量 $k ξ_{3} = k [0, 1, - 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ．

（3）由性质 5.3.1 得 $| 2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E | = | f (A) | = f (- 1) f (1) f (3) = - 51 .$

（4）由（2）知 $f (A)$ 有 3 个线性无关特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ ．所以若令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}],$ 有 $P^{- 1} f (A) P = diag [1, - 3, 17]$ ，从而 $f (A) = P diag [1, - 3, 17] P^{- 1}$ $= (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{array}) (\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$ $= (\begin{array}{c} - 3 & - 4 & - 4 \\ 20 & 21 & 4 \\ - 20 & - 20 & - 3 \end{array}) .$

注记本例的第（4）小题表明，若 $A$ 能与对角矩阵相似，则 $A$ 的矩阵多项式 $f (A)$ 也容易求得．

例 5.3.2★★★☆☆计算题伴随矩阵与矩阵多项式的特征值展开题目与讲解

例 5.3.2　由特征值求伴随矩阵与矩阵多项式的特征值

设 3 阶方阵 $A$ 的行列式 $| A | = 6$ ， $A$ 有一个特征值为 $- 2$ ，则 $A^{*}$ 必有一个特征值为 $\underline{}$ ； $A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E$ 必有一个特征值为 $\underline{}$ ； $| A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E | = \underline{}$ ．

解由 $| A | = 6 \neq 0$ 知， $A$ 为可逆矩阵，且 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*} = \frac{1}{6} A^{*},$ 从而 $A^{*} = 6 A^{- 1}$ ．现 $- 2$ 是可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，由性质 5.3.4 知， $- \frac{1}{2}$ 是 $A^{- 1}$ 的一个特征值．进而 $6 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 3$ 是 $A^{*}$ 的一个特征值，所以第一个空格应填 $- 3$ ．

取 $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 8$ ，则 $A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E = f (A)$ ．由性质 5.3.3 知， $f (A)$ 有一个特征值为 $f (- 2) = (- 2)^{3} + 4 (- 2)^{2} + 8 (- 2) + 8 = 0,$ 所以第二个空格应填 0．

据性质 5.3.1 知， $| A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E |$ 为矩阵 $A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E$ 的全部特征值的乘积．现已知其特征值有一个为零，所以 $| A^{3} + 4 A^{2} + 8 A + 8 E | = 0,$ 这样第 3 个空格应填 0．

例 5.3.3★★☆☆☆证明题相似的必要条件不是充分的展开题目与讲解

例 5.3.3　特征多项式相同却不一定相似

设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = E, B = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}),$ 则

证直接计算得 $| λ E - E | = (λ - 1)^{2} = | λ E - B | .$ $E, B$ 有相同的特征多项式．然而和 $E$ 相似的矩阵只有自身，因凡和 $E$ 相似的矩阵均形如 $P^{- 1} E P = E$ ．现 $B \neq E$ ，所以 $E$ 与 $B$ 不相似．

例 5.3.4★★★★☆计算题用迹与行列式定参数展开题目与讲解

例 5.3.4　由相似关系确定参数并求过渡矩阵

已知矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，其中 $A = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array}) .$ （1）求参数 $a, b$ ；（2）求可逆矩阵 $P$ 使 $P^{- 1} A P = B$ ．

解（1）由 $tr A = tr B$ 得： $5 + a = 3 + b$ ；由 $| A | = | B |$ 得： $6 a - 8 = 2 b$ ．从而解得： $a = 3, b = 5$ ．

（2）由（1）知，此时 $A = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}) .$ $A$ 有 3 个相异的特征值 $λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 5$ ．分别将 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ 代入 $(λ E - A) X = <mi>O</mi>$ 可求得

$A$ 的属于 1 的特征向量为 $k ξ_{1} = k [0, 1, - 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$A$ 的属于 2 的特征向量为 $k ξ_{2} = k [1, 0, 0]^{T}$ ， $k \neq 0$ ；

$A$ 的属于 5 的特征向量为 $k ξ_{3} = k [0, 1, 1]^{T}$ ， $k \neq 0$ ．

$ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 是 $A$ 的 3 个线性无关的特征向量，令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}]$ ，则 $P$ 为可逆矩阵，且 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}] = B$ ，故所求 $P = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}) .$

例 5.3.5★★★★☆计算题相似标准形求方幂展开题目与讲解

例 5.3.5　由特征向量反求矩阵及其高次幂

设 $A$ 是 3 阶方阵，已知向量 $ξ_{1} = [1, 2, 0]^{T}, ξ_{2} = [2, 3, 0]^{T}, ξ_{3} = [0, 0, 2]^{T}$ 满足 $A ξ_{1} = ξ_{1}, A ξ_{2} = - ξ_{2}, A ξ_{3} = 2 ξ_{3} .$ （1）证明： $A$ 能与对角矩阵相似；（2）求出 $A$ 及 $A^{1000}$ ．

解（1）由题设知 $A$ 有 3 个相异的特征值 $λ_{1} = 1, λ_{2} = - 1, λ_{3} = 2$ ，所以 $A$ 能与对角矩阵 $Λ = diag [1, - 1, 2]$ 相似．

（2）记 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}] = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) .$ 则由（1）知， $P^{- 1} A P = Λ$ ，所以 $A = P Λ P^{- 1} = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array})$ $= (\begin{array}{c} - 7 & 4 & 0 \\ - 12 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) .$ $A^{1000} = P Λ^{1000} P^{- 1} = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{1000} \end{array}) (\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{array})$ $= (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{1000} \end{array}) .$

四§5.4 实对称矩阵的对角化选自 §5.44 个知识分组 · 含例题

定理已掌握+

定理 5.4.1　实对称矩阵可用正交矩阵对角化

设 $A$ 是一个 $n$ 阶的实对称矩阵，则存在一个正交矩阵 $U$ 使得 $U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

限于篇幅上述定理证明略去，有兴趣的读者可参阅文献［2］，379 页．

定理 5.4.1 的重要性在于从理论上证明了对任意的实对称矩阵 $A$ 存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ．但证明并没有提供正交矩阵 $U$ 如何求得的方法．下面就来提供求 $U$ 的具体方法．

性质已掌握+

性质 5.4.1　实对称矩阵的特征值与特征向量都是实的

实对称矩阵 $A_{n \times n}$ 的特征值都是实数，特征向量均为 $n$ 元实向量．

证设 $λ$ 是 $A$ 的任意一个特征值， $<mi>O</mi> \neq ξ = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]^{T}$ 是 $A$ 的属于 $λ$ 的一个特征向量，则有 $A ξ = λ ξ . (5.4.1)$ 令 $\overline{ξ} = [{\overline{a}}_{1}, {\overline{a}}_{2}, \dots, {\overline{a}}_{n}]^{T},$ 其中 ${\overline{a}}_{i}$ 表示 $a_{i}$ 的共轭复数， $i = 1, 2, \dots, n$ ．对 $(5.4.1)$ 式两边取共轭得 $A \overline{ξ} = \overline{λ} \overline{ξ} .$ 因 $A$ 为实矩阵，所以 $\overline{A} = A$ ，从而得： $A \overline{ξ} = \overline{λ} \overline{ξ} . (5.4.2)$ 对 $(5.4.1)$ 式两边转置得 $ξ^{T} A^{T} = λ ξ^{T}$ ，因 $A$ 为对称矩阵，所以 $A^{T} = A$ ，从而 $ξ^{T} A = λ ξ^{T} . (5.4.3)$ 对 $(5.4.2)$ 式两边左乘 $ξ^{T}$ ，对 $(5.4.3)$ 两边右乘 $\overline{ξ}$ ，分别得 $ξ^{T} A \overline{ξ} = \overline{λ} ξ^{T} \overline{ξ}; ξ^{T} A \overline{ξ} = λ ξ^{T} \overline{ξ} .$ 从而 $\overline{λ} ξ^{T} \overline{ξ} = λ ξ^{T} \overline{ξ}$ ，移项得 $(λ - \overline{λ}) ξ^{T} \overline{ξ} = 0 .$ 因 $ξ^{T} \overline{ξ} \neq 0$ ，所以 $λ = \overline{λ}$ ．这表明 $λ$ 为实数．

这样属于 $λ$ 的特征向量 $ξ$ 就是实系数的齐次线性方程组 $(λ E - A) X = <mi>O</mi>$ 的解，从而 $ξ \in R^{n}$ ．

性质 5.4.2　不同特征值的特征向量必正交

设 $A_{n \times n}$ 是一个实对称矩阵，则属于 $A$ 的不同特征值的特征向量一定正交．

证设 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 分别是 $A$ 的属于不同特征值 $λ_{1}, λ_{2}$ 的特征向量，则有 $A ξ_{1} = λ_{1} ξ_{1}, ξ_{1} \in R^{n}; A ξ_{2} = λ_{2} ξ_{2}, ξ_{2} \in R^{n} .$ 在欧氏空间 $R^{n}$ 中作内积有 $(A ξ_{1}, ξ_{2}) = (λ_{1} ξ_{1}, ξ_{2}) = λ_{1} (ξ_{1}, ξ_{2}) .$ 另一方面， $(A ξ_{1}, ξ_{2}) = (A ξ_{1})^{T} ξ_{2} = ξ_{1}^{T} A^{T} ξ_{2} = ξ_{1}^{T} (A ξ_{2})$ $= ξ_{1}^{T} (λ_{2} ξ_{2}) = λ_{2} (ξ_{1}^{T} ξ_{2}) = λ_{2} (ξ_{1}, ξ_{2}) .$ 从而 $λ_{1} (ξ_{1}, ξ_{2}) = λ_{2} (ξ_{1}, ξ_{2})$ ，整理得 $(λ_{2} - λ_{1}) (ξ_{1}, ξ_{2}) = 0 .$ 因 $λ_{1} \neq λ_{2}$ ，得 $(ξ_{1}, ξ_{2}) = 0$ ．即 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 正交，性质得证．

说明已掌握+

求正交矩阵

U

的具体步骤

1．求出实对称矩阵 $A$ 的全部互异的特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ．据性质 5.4.1 知， $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s} \in R$ ．

2．对每个 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, s)$ 解齐次线性方程组 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，得到一组基础解系为 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ ．据定理 5.4.1 知， $r_{1} + r_{2} + \dots + r_{s} = n$ ．故 $ξ_{11}, \dots, ξ_{1 r_{1}}, ξ_{21}, \dots, ξ_{2 r_{2}}, \dots, ξ_{s 1}, \dots, ξ_{s r_{s}}$ 为 $R^{n}$ 的一组基．

3．当 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值时，有 $s = n$ ，且 $r_{i} = 1 (i = 1, 2, \dots, n)$ ．据性质 5.4.2 知， $ξ_{11}, ξ_{22}, \dots, ξ_{n n}$ 为正交向量组，将它们单位化，即得 $R^{n}$ 的一组标准正交基 $η_{11}, η_{12}, \dots, η_{n n} .$ 从而 $U = [η_{11} η_{22} \dots η_{n n}]$ 为正交矩阵，且 $U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ．

当 $A$ 的特征值有重根 $λ_{i}$ 时，将所有重根所对应的线性无关特征向量 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ 用施密特正交化方法改造成标准正交向量组 $η_{i 1}, η_{i 2}, \dots, η_{i r_{i}}$ ，利用性质 5.4.2 知， $η_{11}, \dots, η_{1 r_{1}}, η_{21}, \dots, η_{2 r_{2}}, \dots, η_{s 1}, \dots, η_{s r_{s}}$ 为 $R^{n}$ 的一组标准正交基．从而 $U = [η_{11} \dots η_{1 r_{1}} \dots η_{s 1} \dots η_{s r_{s}}]$ 为正交矩阵，且 $U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, \dots, λ_{s}],$ 其中重根 $λ_{i}$ 要按重数计．

例题已掌握

例 5.4.1★★★☆☆计算题正交矩阵求法（无重根）展开题目与讲解

例 5.4.1　三个互异特征值情形的正交对角化

求一个正交矩阵 $U$ ，将实对称矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ 化为对角矩阵．

解因 $f (λ) = | λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & λ - 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ - 1 \end{array} | = λ (λ - 1) (λ - 2),$ 所以 3 阶方阵 $A$ 有 3 个相异的特征值 $λ_{1} = 0, λ_{2} = 1, λ_{3} = 2$ ．

将 $λ_{1} = 0$ 代入 $(λ_{1} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，求得一个基础解系为 $ξ_{1} = [1, - 1, 0]^{T}$ ；

将 $λ_{2} = 1$ 代入 $(λ_{2} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，求得一个基础解系为 $ξ_{2} = [0, 0, 1]^{T}$ ；

将 $λ_{3} = 2$ 代入 $(λ_{3} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，求得一个基础解系为 $ξ_{3} = [1, 1, 0]^{T}$ ．

据性质 5.4.2 知， $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 为正交向量组，将它们单位化得 $R^{3}$ 的一组标准正交基 $η_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, - 1, 0]^{T}, η_{2} = [0, 0, 1]^{T}, η_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 1, 0]^{T} .$ 故所求正交矩阵 $U = [η_{1} η_{2} η_{3}]$ ，且 $U^{- 1} A U = diag [0, 1, 2] .$

例 5.4.2★★★★☆计算题施密特正交化与正交对角化展开题目与讲解

例 5.4.2　含重根时用施密特正交化求正交矩阵

求一个正交矩阵 $U$ ，将实对称矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array})$ 化为对角矩阵．

解此即例 5.2.3 中的矩阵 $A$ ，故由例 5.2.3 知， $A$ 的特征值为 $5$ ， $- 1$ （二重）．

对应于 5 求得一个基础解系为 $ξ_{1} = [1, 1, 1]^{T}$ ．对应于 $- 1$ 求得一个基础解系为 $ξ_{2} = [1, 0, - 1]^{T}, ξ_{3} = [0, 1, - 1]^{T}$ ．将 $ξ_{2}, ξ_{3}$ 改造成正交向量组： $ξ_{2}' = ξ_{2} = [1, 0, - 1]^{T},$ $ξ_{3}' = ξ_{3} - \frac{(ξ_{3}, ξ_{2}')}{(ξ_{2}', ξ_{2}')} ξ_{2}' = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) - \frac{1}{2} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) .$ 将 $ξ_{1}, ξ_{2}', ξ_{3}'$ 单位化后，得到 $R^{3}$ 的一组标准正交基 $η_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} [1, 1, 1]^{T}, η_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 0, - 1]^{T}, η_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} [- 1, 2, - 1]^{T} .$ 故所求正交矩阵 $U = [η_{1} η_{2} η_{3}] = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}),$ 且 $U^{- 1} A U = diag [5, - 1, - 1] .$

例 5.4.3★★★★☆计算题实对称矩阵的反问题展开题目与讲解

例 5.4.3　由部分特征向量补全并反求矩阵

设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, 3$ ；矩阵 $A$ 的属于特征值 $1, 2$ 的特征向量分别为 $ξ_{1} = [- 1, - 1, 1]^{T}, ξ_{2} = [1, - 2, - 1]^{T} .$ （1）求 $A$ 的属于特征值 3 的特征向量；（2）求出矩阵 $A$ ．

解（1）设 $A$ 的属于特征值 3 的特征向量为 $ξ_{3} = [x_{1}, x_{2}, x_{3}]^{T}$ ，据性质 5.4.2 知， $ξ_{3} ⊥ ξ_{1}, ξ_{3} ⊥ ξ_{2}$ ，故得线性方程组 ${\begin{cases} - x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0, \\ x_{1} - 2 x_{2} - x_{3} = 0 . \end{cases}$ 解得该方程组的一个基础解系为 $[1, 0, 1]^{T}$ ．故 $A$ 的属于特征值 3 的特征向量为 $k [1, 0, 1]^{T}, k \neq 0 .$

（2）解法一 取 $ξ_{3} = [1, 0, 1]^{T}$ ，记 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}] = (\begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}),$ 由 $P^{- 1} A P = diag [1, 2, 3]$ ，得 $A = P diag [1, 2, 3] P^{- 1}$ ．求出 $P^{- 1} = \frac{1}{6} (\begin{array}{c} - 2 & - 2 & 2 \\ 1 & - 2 & - 1 \\ 3 & 0 & 3 \end{array}),$ 代入计算得 $A = \frac{1}{6} (\begin{array}{c} 13 & - 2 & 5 \\ - 2 & 10 & 2 \\ 5 & 2 & 13 \end{array}) .$

解法二 注意到 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 是 $R^{3}$ 的一组正交基，单位化后可得标准正交基 $η_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} [- 1, - 1, 1]^{T}, η_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} [1, - 2, - 1]^{T}, η_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 0, 1]^{T} .$ 记 $U = [η_{1} η_{2} η_{3}]$ ，则 $U$ 为正交阵．从而 $A = U diag [1, 2, 3] U^{T} = \frac{1}{6} (\begin{array}{c} 13 & - 2 & 5 \\ - 2 & 10 & 2 \\ 5 & 2 & 13 \end{array}) .$

五§5.5 概要及小结选自 §5.54 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 5.5.1　线性变换的特征值与特征向量

设 $<mi>A</mi> \in L T (V)$ ，若对于数域 $P$ 上的数 $λ_{0}$ ，存在一个非零向量 $ξ$ ，使得 $<mi>A</mi> (ξ) = λ_{0} ξ,$ 则称 $λ_{0}$ 为 $<mi>A</mi>$ 的一个特征值，称 $ξ$ 为 $<mi>A</mi>$ 的属于特征值 $λ_{0}$ 的一个特征向量．

据此在欧氏空间 $R^{n}$ （特别当 $n = 2, 3$ 时），特征向量的几何意义是清楚的，它是那些经过变换后，保持在同一条直线上拉长或压缩的向量，且当 $λ_{0} > 0$ 时方向不变，当 $λ_{0} < 0$ 时方向相反．

性质已掌握+

性质 5.5.1　两矩阵均可对角化时相似与特征多项式的等价

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A, B$ 均能对角化，则 $A$ 与 $B$ 相似当且仅当 $A, B$ 有相同的特征多项式，即 $A \sim B \Leftrightarrow | λ E - A | = | λ E - B | .$

证必要性，性质 5.3.5 已证，下证充分性．

因 $A, B$ 有相同的特征多项式，所以 $A, B$ 有相同的特征值，设为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ．现 $A, B$ 均能对角化，所以存在可逆矩阵 $P_{1}, P_{2}$ ，使 $P_{1}^{- 1} A P_{1} = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}], P_{2}^{- 1} B P_{2} = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] .$ 从而 $P_{1}^{- 1} A P_{1} = P_{2}^{- 1} B P_{2} .$ 上式两边左乘 $P_{2}$ ，右乘 $P_{2}^{- 1}$ 得 $(P_{1} P_{2}^{- 1})^{- 1} A (P_{1} P_{2}^{- 1}) = B,$ 而 $P_{1} P_{2}^{- 1}$ 是可逆矩阵，所以 $A$ 与 $B$ 相似．

这再次表明可对角化矩阵有较好的性质．

说明已掌握+

5.5.1 矩阵对角化·理论

$n$ 阶方阵 $A$ 能与对角矩阵相似的充要条件为 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ ，则令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}],$ 有 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 这里 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 是 $ξ_{i}$ 对应的特征值．

5.5.1 矩阵对角化·判别流程

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，判别 $A$ 能否对角化可按下述流程进行：

（1）判断 $A$ 是否为实对称矩阵：若是，则 $A$ 能对角化；

（2）若不是实对称矩阵，求出 $A$ 的特征多项式 $| λ E - A |$ 的全部根；

（3）判断 $A$ 是否有重特征根：若无重特征根，则 $A$ 能对角化；

（4）若有重特征根，对所有的重特征根 $λ_{i}$ （ $λ_{i}$ 的重数为 $n_{i}$ ）计算 $r_{i} = n - r (λ_{i} E - A);$

（5）判断 $n_{i} = r_{i}$ 是否成立：若成立，则 $A$ 能对角化；若不成立，则 $A$ 不能对角化．

5.5.1 矩阵对角化·具体步骤

对能对角化的矩阵 $A$ ，对角化的具体步骤如下：

① 解特征多项式 $f (λ) = | λ E - A |$ ，求出 $A$ 的全部相异的特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s}$ ．

② 将 $λ_{i} (1 \leq i \leq s)$ 逐个代入 $(λ_{i} E - A) X = <mi>O</mi>$ ，求得一个基础解系（即解空间 $W_{λ_{i}}$ 的一组基） $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}}$ ，这是一组线性无关的特征向量．

③ 因 $A$ 可对角化，所以 $\sum_{i = 1}^{s} r_{i} = n$ ．将这 $n$ 个线性无关的特征向量记为 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n}$ ．

④ 取 $P = [ξ_{1} ξ_{2} \dots ξ_{n}]$ ，则有 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{i}$ 是特征向量 $ξ_{i}$ 所对应的特征值（ $i = 1, 2, \dots, n$ ）．

5.5.1 能对角化矩阵的特例：实对称矩阵

从前述知 $n$ 阶方阵 $A$ 能对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量构成 $P^{n}$ 的一组基．对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 而言，在欧氏空间 $R^{n}$ 中看 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量构成 $R^{n}$ 的一组标准正交基，因而存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{- 1} A U$ 为对角矩阵．具体做法如下：

（1）、（2）即为第 2 条中的①、②．

（3）用施密特正交化方法将线性无关向量组 $ξ_{i 1}, ξ_{i 2}, \dots, ξ_{i r_{i}} (i = 1, 2, \dots, s)$ 改造成标准正交向量组 $η_{i 1}, η_{i 2}, \dots, η_{i r_{i}} (i = 1, 2, \dots, s)$ ，且 $\sum_{i = 1}^{s} r_{i} = n$ ．则 $η_{11}, \dots, η_{1 r_{1}}, \dots, η_{s 1}, \dots, η_{s r_{s}}$ 就是 $R^{n}$ 的一组标准正交基，记 $U = [η_{11} \dots η_{1 r_{1}} \dots η_{s 1} \dots η_{s r_{s}}]$ ，则 $U$ 就是正交矩阵，且 $U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, \dots, λ_{s}],$ 其中主对角线上元素为 $A$ 的全部特征值．

5.5.2 特征值和特征向量·四条结论

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 是 $A$ 的全体特征根（重根按重数计），则

（1） $\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = tr A, λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} = | A | .$

（2） $A$ 为可逆矩阵 $\Leftrightarrow λ_{i} \neq 0, i = 1, 2, \dots, n$ ．

（3）设 $f (x) = a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，若 $λ_{0}$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $f (λ_{0})$ 是 $f (A)$ 的一个特征值．同时若 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $ξ$ 也是 $f (A)$ 的属于 $f (λ_{0})$ 的特征向量．

特别地若 $A$ 可对角化，则 $f (A)$ 的全部特征值为 $f (λ_{1}), f (λ_{2}), \dots, f (λ_{n})$ ．

（4） $A$ 为可逆矩阵时，若 $λ_{0}$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $λ_{0}^{- 1}$ 是 $A^{- 1}$ 的一个特征值．同时若 $ξ$ 是 $A$ 的属于 $λ_{0}$ 的特征向量，则 $ξ$ 也是 $A^{- 1}$ 的属于 $λ_{0}^{- 1}$ 的特征向量．

5.5.2 阐明性质（3）（4）的两种方法

阐明上述性质（3）和（4）有两种方法．

一是由 $A ξ = λ_{0} ξ$ 着手，利用矩阵运算规律逐步推得所需结果．如性质 5.3.2 和性质 5.3.4 之（2）的证法．用此种方法我们还可以证明：

若 $A^{2} = A$ ，则 $A$ 的特征值或为零，或为 1．

若 $A^{2} = E$ ，则 $A$ 的特征值或为 1，或为 $- 1$ ．

若 $A^{k} = O$ ，则 $A$ 的特征值均为零（参见例 5.2.6）．

注记说得更严格一点是：若 $A^{2} = A$ ，则 $A$ 的特征值取值范围为 ${0, 1}$ ；若 $A^{2} = E$ ，则 $A$ 的特征值取值范围为 ${- 1, 1}$ ．

二是由 $| λ_{0} E - A | = 0$ 着手，利用行列式的性质逐步推得所需的行列式为零．如 $| λ_{0}^{2} E - A^{2} | = | (λ_{0} E + A) (λ_{0} E - A) |$ $= | λ_{0} E + A | | λ_{0} E - A | = 0,$ 所以 $λ_{0}^{2}$ 是 $A^{2}$ 的一个特征值．

又如当 $A$ 为可逆矩阵时， $λ_{0} \neq 0$ ．此时有 $| λ_{0}^{- 1} E - A^{- 1} | = | λ_{0}^{- 1} A^{- 1} A - A^{- 1} | = | - λ_{0}^{- 1} A^{- 1} (λ_{0} E - A) |$ $= (- λ_{0}^{- 1})^{n} | A^{- 1} | | λ_{0} E - A | = 0,$ 所以 $λ_{0}^{- 1}$ 是 $A^{- 1}$ 的一个特征值．

5.5.3 矩阵相似的理论和应用

能对角化的矩阵就是与对角矩阵相似的矩阵，所以对角化是矩阵相似理论的一部分．

若 $A$ 与 $B$ 相似，则

（1） $r (A) = r (B)$ ．

（2） $A, B$ 有相同的特征多项式，从而 $tr A = tr B$ ， $| A | = | B |$ ．

（3）设 $f (x) = a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $f (A)$ 与 $f (B)$ 相似．

若 $A$ 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值，则上述结果可具体化为 $A^{k} = P diag [λ_{1}^{k}, λ_{2}^{k}, \dots, λ_{n}^{k}] P^{- 1},$ $f (A) = P diag [f (λ_{1}), f (λ_{2}), \dots, f (λ_{n})] P^{- 1} .$ 特别地 $| f (A) | = f (λ_{1}) f (λ_{2}) \dots f (λ_{n}) .$ 这结果常被用来计算可对角化矩阵 $A$ 的方幂 $A^{k}$ 及 $f (A)$ ．

我们已经指出有相同特征多项式的矩阵未必是相似的，但下述性质是正确的．

5.5.4 联系·用线性变换的语言描述

鉴于 $L T (V) ≅ P^{m \times n}$ ，所以本章所讨论的问题既可用矩阵的语言，也可用线性变换的语言来描述．

本章核心问题方阵 $A$ 能否对角化（矩阵语言），用线性变换语言来说就是线性空间 $V$ 上线性变换 $<mi>A</mi>$ 能否找到 $V$ 中一组基使得 $<mi>A</mi>$ 关于该基的矩阵为对角形．

本章例 5.2.6 指出若方阵 $A$ 满足 $A^{k} = O (k \geq 2)$ ，则 $A$ 不能与对角矩阵相似．这一结论用线性变换语言说就是：若线性空间 $V$ 上线性变换 $<mi>A</mi>$ 满足 ${<mi>A</mi>}^{k} = <mi>O</mi>$ （如 $P (x)_{n}$ 中的求导变换 $<mi>D</mi>$ ），则 $<mi>A</mi>$ 在 $V$ 的任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵．

本章例 5.3.1 指出，设矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}),$ 则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = diag [- 1, 1, 3]$ ．进而对矩阵 $2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E$ 有 $P^{- 1} (2 A^{3} - 3 A^{2} - 4 A + 2 E) P = diag [1, - 3, 17] .$ 用线性变换语言说就是：设 $P^{3}$ 中线性变换 $<mi>A</mi>$ 在基 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}$ 下的矩阵为 $A$ ，则 $<mi>A</mi>$ 在基 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 下的矩阵为对角矩阵 $diag [- 1, 1, 3]$ ，线性变换 $2 {<mi>A</mi>}^{3} - 3 {<mi>A</mi>}^{2} - 4 <mi>A</mi> + 2 <mi>E</mi>$ 在基 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 下的矩阵为对角矩阵 $diag [1, - 3, 17]$ ．其中 $[η_{1} η_{2} η_{3}] = [ε_{1} ε_{2} ε_{3}] P$ ．一般地利用本章性质 5.3.8 可得到：对数域 $P$ 上任意多项式 $f (x) = a_{k} x^{k} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，线性变换 $a_{k} {<mi>A</mi>}^{k} + \dots + a_{1} <mi>A</mi> + a_{0} <mi>E</mi>$ 在基 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 下的矩阵为对角矩阵 $diag [f (- 1), f (1), f (3)]$ ．

本章例 5.4.2 指出：设矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}),$ 则存在正交矩阵 $U$ 使得 $U^{- 1} A U = diag [5, - 1, - 1] .$ 用线性变换语言说就是：设 $R^{3}$ 中线性变换 $<mi>A</mi>$ 在一组标准正交基 $ε_{1}, ε_{2}, ε_{3}$ 下的矩阵为 $A$ ，则 $<mi>A</mi>$ 在标准正交基 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 下的矩阵为对角矩阵 $diag [5, - 1, - 1]$ ，其中 $[η_{1} η_{2} η_{3}] = [ε_{1} ε_{2} ε_{3}] U$ ．而一般地利用本章性质 5.3.8 可得出：对 $R$ 上任意多项式 $f (x) = a_{k} x^{k} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ，线性变换 $a_{k} {<mi>A</mi>}^{k} + \dots + a_{1} <mi>A</mi> + a_{0} <mi>E</mi>$ 在标准正交基 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 下的矩阵为 $diag [f (5), f (- 1), f (- 1)]$ ．

说明　相似标准形的意义与若尔当标准形

回忆第 3 章的矩阵等价和等价标准形，感到现在所讲的应该是方阵的相似和相似标准形．但迄今我们并未提及相似标准形这一概念，这是因为我们没有阐明将所有同阶方阵按相似分类后，相似类的标准形（即最简单矩阵）是什么形式的？实际上，至今我们尚未给出矩阵相似的充分必要条件，所以连分类的"标准"都没有．诚然若相似类中有对角矩阵，当然该对角矩阵可作为这一类矩阵的相似标准形．但事实上并不是所有的方阵都能与对角矩阵相似，这也就是说并不是所有的相似类中都有对角矩阵存在．那么所有的同阶方阵按相似分类后，相似类的标准形（即类中最简单矩阵）是什么呢？作为介绍我们指出相似类中的标准形可取不同的形式，例如若尔当（Jordan）标准形（参见文献［2］，第八章）、有理标准形等．这些"标准形"都是准对角矩阵．这就是说凡不能与对角矩阵相似的方阵，它能相似的最简单矩阵是准对角矩阵．至此我们简短地解答了本章开始 5.1 节的问题（4）．

例题已掌握

例 5.5.2★★★☆☆证明题正交矩阵的特征值展开题目与讲解

例 5.5.2　正交矩阵必有特征值 $- 1$

设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且 $| A | = - 1$ ，则 $- 1$ 是 $A$ 的一个特征值．

证 $| - E - A | = | - A^{T} A - A | = | - A^{T} - E | | A | = - | (- E - A)^{T} | = - | - E - A | .$ 移项得 $2 | - E - A | = 0 \Rightarrow | - E - A | = 0 .$ 故 $- 1$ 是 $A$ 的一个特征值．

注记正交矩阵当然是实矩阵，但它的特征值可以是复数，如 $A = (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}),$ 易见 $A$ 是正交阵，但 $A$ 的特征值为 $\pm i$ ，所以命题"正交矩阵的特征值为 $\pm 1$ "是错误的，正确的命题应是：正交矩阵实的特征值为 $\pm 1$ ．

例 5.5.3★★★★☆计算题幂等矩阵的行列式展开题目与讲解

例 5.5.3　由 $A^{2} = A$ 与秩求 $| 5 E + A |$

设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2} = A$ ，且 $r (A) = r (0 < r \leq n)$ ，求 $| 5 E + A |$ ．

解先证 $A$ 能对角化，由 $A^{2} = A$ 可推出 $A$ 的特征值或为 0，或为 1．

特征值 0 所对应的方程组 $(0 E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数 $r_{1} = n - r (A) = n - r .$ 特征值 1 所对应的方程组 $(E - A) X = <mi>O</mi>$ 的基础解系所含向量个数 $r_{2} = n - r (E - A) .$ 由附录四练习题第二题第 3 小题知，此时 $r (A) + r (A - E) = n$ ，故 $r (E - A) = n - r (A) = n - r,$ 从而 $r_{2} = n - r (E - A) = r$ ．由 $r_{1} + r_{2} = n$ 知， $A$ 能与对角矩阵 $Λ$ 相似，且 $Λ$ 的主对角线上元素为 $r$ 个 1， $(n - r)$ 个 0，即有可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = diag [1, \dots, 1, 0, \dots, 0],$ 其中 1 有 $r$ 个，0 有 $n - r$ 个．再取多项式 $f (x) = x + 5$ ，利用性质 5.3.8 之（2）有 $| 5 E + A | = | f (A) | = f^{r} (1) f^{n - r} (0) = 6^{r} 5^{n - r} .$

例 5.5.4★★★★★计算题用相似标准形与特征向量表示求方幂展开题目与讲解

例 5.5.4　求 $A^{n} β$ 的两种解法

设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3$ ，对应的特征向量依次为： $ξ_{1} = [1, 1, 1]^{T}, ξ_{2} = [1, 2, 4]^{T}, ξ_{3} = [1, 3, 9]^{T}$ ；又设 $β = [1, 1, 3]^{T}$ ，求 $A^{n} β$ ，其中 $n$ 为任意正整数．

解

解法一 因 $A$ 有 3 个互异的特征值，故 $A$ 可对角化，令 $P = [ξ_{1} ξ_{2} ξ_{3}]$ ，有 $P^{- 1} A P = diag [1, 2, 3]$ ．于是 $A^{n} = P diag [1, 2^{n}, 3^{n}] P^{- 1}$ $= (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \end{array}) (\begin{array}{c} 3 & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ - 3 & 4 & - 1 \\ 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}),$ 从而可计算出 $A^{n} β = [(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 3^{n} \end{array})] [(\begin{array}{c} 3 & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ - 3 & 4 & - 1 \\ 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})]$ $= (\begin{array}{c} 1 & 2^{n} & 3^{n} \\ 1 & 2^{n + 1} & 3^{n + 1} \\ 1 & 2^{n + 2} & 3^{n + 2} \end{array}) (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 2^{n + 1} + 3^{n} \\ 2 - 2^{n + 2} + 3^{n + 1} \\ 2 - 2^{n + 3} + 3^{n + 2} \end{array}) .$

解法二 由 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 线性无关，所以 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 构成 $P^{3}$ 一组基．故可设 $β = x_{1} ξ_{1} + x_{2} ξ_{2} + x_{3} ξ_{3}$ ，将 $β, ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 的分量代入，即得线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 1, \\ x_{1} + 4 x_{2} + 9 x_{3} = 3 . \end{cases}$ 解之可得 $x_{1} = 2, x_{2} = - 2, x_{3} = 1$ ，故 $β = 2 ξ_{1} - 2 ξ_{2} + ξ_{3}$ ．从而 $A β = A (2 ξ_{1} - 2 ξ_{2} + ξ_{3}) = 2 A ξ_{1} - 2 A ξ_{2} + A ξ_{3}$ $= 2 λ_{1} ξ_{1} - 2 λ_{2} ξ_{2} + λ_{3} ξ_{3},$ $A^{2} β = A (A β) = A (2 λ_{1} ξ_{1} - 2 λ_{2} ξ_{2} + λ_{3} ξ_{3})$ $= 2 λ_{1} A ξ_{1} - 2 λ_{2} A ξ_{2} + λ_{3} A ξ_{3} = 2 λ_{1}^{2} ξ_{1} - 2 λ_{2}^{2} ξ_{2} + λ_{3}^{2} ξ_{3},$ $\dots \dots \dots \dots$ $A^{n} β = 2 λ_{1}^{n} ξ_{1} - 2 λ_{2}^{n} ξ_{2} + λ_{3}^{n} ξ_{3}$ $= 2 (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - 2^{n + 1} (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}) + 3^{n} (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 9 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 2^{n + 1} + 3^{n} \\ 2 - 2^{n + 2} + 3^{n + 1} \\ 2 - 2^{n + 3} + 3^{n + 2} \end{array}) .$

注记注意解法一和解法二中的一些运算技巧，并可比较一下两种方法的计算工作量．

06第六章二次型

一§6.1 配方法化二次型为标准形选自 §6.14 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 6.1.1 二次型

一个系数取自数域 $P$ 含有 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的二次齐次多项式 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + \dots + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n}$ $+ a_{22} x_{2}^{2} + \dots + 2 a_{2 n} x_{2} x_{n}$ $\dots \dots$ $+ a_{n n} x_{n}^{2}, (6.1.1)$ 称为数域 $P$ 上的一个 $n$ 元二次型，简称为二次型．特别地当 $P = R$ 时称为实二次型；当 $P = C$ 时称为复二次型．

二次型的一个重要议题就是化二次型为标准形，即用变量的线性替换化简一个二次型使它只含平方项．

定义 6.1.2 线性替换与非退化线性替换

设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}; y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 是两组变量，系数在数域 $P$ 中的一组关系式 ${\begin{cases} x_{1} = c_{11} y_{1} + c_{12} y_{2} + \dots + c_{1 n} y_{n}, \\ x_{2} = c_{21} y_{1} + c_{22} y_{2} + \dots + c_{2 n} y_{n}, \\ \dots \dots \dots \dots \\ x_{n} = c_{n 1} y_{1} + c_{n 2} y_{2} + \dots + c_{n n} y_{n} \end{cases} (6.1.2)$ 称为由 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 到 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的一个线性替换，简称为线性替换（或线性变换）．特别地当 $P = R$ 时称为实线性替换（或实线性变换），当 $P = C$ 时称为复线性替换（或复线性变换）．如果系数行列式 $| \begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{array} | \neq 0,$ 则线性替换 (6.1.2) 称为非退化的（或满秩的）．

容易看出把 (6.1.2) 式代入二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 得到的关于 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的多项式仍然是齐二次的．故线性替换把二次型变为二次型．我们将只含平方项，不含混合项的二次型称为标准形，研究如何通过非退化的线性替换将二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 化为标准形 $d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2}$ 是本章主旨之一．

定理已掌握+

定理 6.1.1 配方法化标准形

数域 $P$ 上任意一个二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 都可经 $P$ 上的非退化线性替换化为标准形 $d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2} .$ 该定理详细证明可参见文献［2］，215 页．

说明已掌握+

配方法的一般步骤

配方法是应用中学代数配平方的方法来达到逐次消去混合项，最后只剩下平方项，从而化为标准形的．

上述两例是有代表性的，所使用的方法适用于一般的二次型．令 $a_{i j} = a_{j i}$ ，(6.1.1) 式可表为 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} .$ 若 $a_{11} \neq 0$ ，对 $x_{1}$ 配方： $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = a_{11}^{- 1} (a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n})^{2} + \sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j},$ 其中 $b_{i j} = a_{i j} - a_{11}^{- 1} a_{1 i} a_{1 j}$ ．因 $a_{i j} = a_{j i}$ ，所以 $b_{i j} = b_{j i}$ ．这样 $\sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 就是一个 $n - 1$ 元二次型．若 $b_{22} \neq 0$ ，重复上述讨论，对 $x_{2}$ 配方．如此重复若干次即可化为标准形，且所作的线性替换是非退化的．

若 $a_{11} = a_{22} = \dots = a_{n n} = 0$ ，混合项系数，比如说 $a_{12} \neq 0$ ，则可如例 6.1.2 先作非退化线性替换 ${\begin{cases} x_{1} = y_{1} + y_{2}, \\ x_{2} = y_{1} - y_{2}, \\ x_{3} = y_{3}, \\ \dots \dots \\ x_{n} = y_{n}, \end{cases}$ 得到 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 2 a_{12} y_{1}^{2} + \dots .$ 再用例 6.1.1 方法逐个对 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 配方，可得标准形，且所作线性替换是非退化的．

注记标准形不惟一

用配方法所得标准形不惟一，如若作非退化线性替换为 ${\begin{cases} y_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}, \\ y_{2} = \sqrt{2} x_{2}, \\ y_{3} = \sqrt{2} (x_{2} + x_{3}), \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} x_{1} = y_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{3}, \\ x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2}, \\ x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} y_{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} y_{3}, \end{cases}$ 则二次型化得标准形是 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ．

二次型的来源与本章任务

二次型的“型”（form）意指齐次多项式，故二次型就是二次齐次多项式．二次型的研究起于解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题．回忆一下平面解析几何中，以坐标原点为中心的二次有心曲线方程为 $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} = 1,$ 方程的左端是两个变量的二次型．选取适当的旋转变换 ${<mi>R</mi>}_{φ}$ ，可将它化为标准形： $d_{1} x'^{2} + d_{2} y'^{2} = 1 .$

二次型不仅在几何中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学中也常常碰到．因而二次型的理论有着广泛的应用．

本章主要讨论两个问题：（1）化二次型为标准形；（2）实二次型的分类以及正定二次型和正定矩阵的一些基本性质．

例题已掌握

例 6.1.1 含平方项的二次型配方★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 6.1.1 含平方项的二次型配方

化二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} x_{3} - x_{3}^{2}$ 为标准形，并写出所用的非退化线性替换．

解先对 $x_{1}$ 配方消去所有含 $x_{1}$ 的项 $x_{1}^{2}, x_{1} x_{2}, x_{1} x_{3}$ ： $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 4 x_{2} x_{3} - 2 x_{3}^{2} .$ 再对 $x_{3}$ 配方消去所有含 $x_{3}$ 的项 $x_{3}^{2}, x_{2} x_{3}$ ： $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} - 2 (x_{2} + x_{3})^{2} + 2 x_{2}^{2} .$ 作线性替换 ${\begin{cases} y_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}, \\ y_{2} = x_{2} + x_{3}, \\ y_{3} = x_{2}, \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} x_{1} = y_{1} - y_{2}, \\ x_{2} = y_{3}, \\ x_{3} = y_{2} - y_{3}, \end{cases}$ 把二次型化为标准形 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2} .$ 注意到 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} | = - 1 \neq 0,$ 故所作的线性替换是非退化的．

例 6.1.2 无平方项时先作和差替换★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 6.1.2 无平方项时先作和差替换

化二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} - 6 x_{2} x_{3}$ 为标准形，并写出所用的非退化线性替换．

解作非退化线性替换 ${\begin{cases} x_{1} = y_{1} + y_{2}, \\ x_{2} = y_{1} - y_{2}, \\ x_{3} = y_{3}, \end{cases} (6.1.3)$ 则 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 (y_{1} + y_{2}) (y_{1} - y_{2}) + 2 (y_{1} + y_{2}) y_{3} - 6 (y_{1} - y_{2}) y_{3}$ $= 2 y_{1}^{2} - 2 y_{2}^{2} - 4 y_{1} y_{3} + 8 y_{2} y_{3} .$ 至此又可用例 6.1.1 的方法，先对 $y_{1}$ 配方，再对 $y_{2}$ 配方，即 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 (y_{1} - y_{3})^{2} - 2 y_{2}^{2} + 8 y_{2} y_{3} - 2 y_{3}^{2}$ $= 2 (y_{1} - y_{3})^{2} - 2 (y_{2} - 2 y_{3})^{2} + 6 y_{3}^{2} .$ 作线性替换 ${\begin{cases} z_{1} = y_{1} - y_{3}, \\ z_{2} = y_{2} - 2 y_{3}, \\ z_{3} = y_{3}, \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} y_{1} = z_{1} + z_{3}, \\ y_{2} = z_{2} + 2 z_{3}, \\ y_{3} = z_{3}, \end{cases} (6.1.4)$ 把二次型化为标准形 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 z_{1}^{2} - 2 z_{2}^{2} + 6 z_{3}^{2} .$ 把 (6.1.4) 式代入 (6.1.3) 式得 ${\begin{cases} x_{1} = z_{1} + z_{2} + 3 z_{3}, \\ x_{2} = z_{1} - z_{2} - z_{3}, \\ x_{3} = z_{3} . \end{cases} (6.1.5)$ 由 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | = - 2 \neq 0$ 知，所作的线性替换是非退化的．

二§6.2 矩阵理论化二次型为标准形和矩阵的合同选自 §6.25 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 6.2.1 矩阵的合同

设 $A, B \in P^{n \times n}$ ，若存在可逆矩阵 $C \in P^{n \times n}$ ，使得 $C^{T} A C = B$ ，则称在数域 $P$ 上 $A$ 与 $B$ 合同．

定理已掌握+

定理 6.2.1 与 6.2.1′ 对称矩阵合同于对角矩阵

用配方法已证得了定理 6.1.1，现用矩阵的语言可将定理 6.1.1 叙述如下．

定理 6.2.1 $P^{n \times n}$ 中任意一个对称矩阵 $A$ ，存在 $P^{n \times n}$ 可逆矩阵 $C$ 使 $C^{T} A C$ 为对角形．

用合同的概念，上述结论又可叙述如下．

定理 6.2.1′ $P^{n \times n}$ 中任意一个对称矩阵 $A$ 均与对角矩阵合同．

这个对角矩阵称为 $A$ 的合同标准形．

定理 6.2.2 用正交替换化实二次型为标准形

利用 5.4 节矩阵理论可得到化实二次型为标准形的另一种方法．

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 是实二次型，则它的矩阵 $A$ 是实对称矩阵．利用 5.4 节的定理 5.4.1 知，存在正交矩阵 $U$ ，使得 $U^{- 1} A U = U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

用二次型语言来说就是

定理 6.2.2 任意一个实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 都可经非退化的实线性替换 $X = U Y$ 化为 $λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}$ ，其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值， $U$ 为正交矩阵．并称线性替换 $X = U Y$ 为正交线性替换．

因在 5.4 节中已具体给出求正交矩阵 $U$ 的方法，所以在此只要依样画葫芦即可．

性质已掌握+

性质 6.2.1 二次型矩阵的惟一性

若 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X, f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} B X,$ 其中 $A, B$ 均为对称矩阵，则 $A = B$ ．

证明留作习题．

性质 6.2.2 合同是等价关系

$n$ 阶矩阵间的合同关系具有（1）自反性：任意矩阵 $A$ 与自身合同；（2）对称性：若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 合同；（3）传递性：若 $A$ 与 $B$ 合同， $B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 合同．

证明与性质 4.10.4 的证明是类似的，不再赘述．

性质 6.2.3 合同保持秩与对称性

设 $A, B$ 合同，则（1）保持秩： $r (A) = r (B)$ ；（2）保持对称性：若 $A$ 是对称矩阵，则 $B$ 也是对称矩阵．

因二次型的矩阵是对称矩阵，所以本章所讨论的合同常限定为对称矩阵的合同．

说明已掌握+

二次型的矩阵表示

为把二次型和矩阵联系起来，作如下变形称为二次型的矩阵表示： $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} = [\begin{array}{c} x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \end{array}] [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}] .$ 记 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ，因 $a_{i j} = a_{j i}$ ，故 $A$ 为对称矩阵．再记 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ ，则二次型可表为 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ，该式称为二次型的矩阵表示，其中对称矩阵 $A$ 称为二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的矩阵．

反之，任意一个 $n$ 阶对称矩阵 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ 可视作二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ 的矩阵．综上所述在 $n$ 元二次型和 $n$ 阶对称矩阵之间建立起 1–1 对应．

线性替换的矩阵形式与

C^{T} A C

同样将线性替换 (6.1.2) 式改写为矩阵形式 $[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}] = [\begin{array}{c} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{array}] [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{array}],$ 或 $X = C Y$ ，其中 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ ， $Y = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}]^{T}$ ， $C = [c_{i j}]_{n \times n}$ ．于是有 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} = X^{T} A X$ $= (C Y)^{T} A C Y = Y^{T} (C^{T} A C) Y .$ 由 $A^{T} = A$ 知 $C^{T} A C$ 也是对称矩阵，这样二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 经 $P$ 上非退化线性替换 $X = C Y$ 化为标准形，等价于存在可逆矩阵 $C \in P^{n \times n}$ 使 $C^{T} A C$ 为对角形．

注记正交替换与配方法所得标准形不同

例 6.2.2 中用配方法化得的标准形为 $x'^{2} - 8 y'^{2}, (6.2.2)$ (6.2.2) 式和 (6.2.1) 式是不同的．这再次表明同一个二次型通过不同的非退化线性替换化得的标准形可以不同．即二次型的标准形不是惟一的，与所作的非退化线性替换有关．

我们希望能得到有惟一性的特殊形式的标准形，下一节将讨论这问题．

例题已掌握

例 6.2.1 用正交线性替换化实二次型为标准形★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 6.2.1 用正交线性替换化实二次型为标准形

用正交线性替换化实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} + x_{2}^{2} + 4 x_{2} x_{3} + x_{3}^{2}$ 为标准形，并写出正交线性替换．

解二次型的矩阵为 $A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] .$ 由 5.4 节例 5.4.2 知，存在正交矩阵 $U = [\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}],$ 使得 $U^{- 1} A U = U^{T} A U = diag [5, - 1, - 1]$ ．利用此结果，作正交线性替换 $X = U Y$ ，二次型化为标准形 $5 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ．

例 6.2.2 二元二次型的正交替换及几何意义★★★★☆综合题展开题目与讲解

例 6.2.2 二元二次型的正交替换及几何意义

用正交线性替换化实二次型 $f (x, y) = x^{2} + 6 x y + y^{2}$ 为标准形，并写出正交线性替换．

解二次型的矩阵为 $A = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}] .$ $A$ 的特征多项式为 $| λ E - A | = | \begin{array}{c} λ - 1 & - 3 \\ - 3 & λ - 1 \end{array} | = (λ + 2) (λ - 4) .$ $A$ 的特征值为 $λ_{1} = - 2$ ， $λ_{2} = 4$ ．

以 $λ_{1} = - 2$ 代入 $(λ_{1} E - A) X = 0$ ，解得基础解系为 $[1, - 1]^{T}$ ，单位化得 $ξ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, - 1]^{T}$ ．

以 $λ_{2} = 4$ 代入 $(λ_{2} E - A) X = 0$ ，解得基础解系为 $[1, 1]^{T}$ ，单位化得 $ξ_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 1]^{T} .$ 记 $U = [ξ_{1} ξ_{2}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}],$ 则 $U$ 为正交矩阵，且 $U^{T} A U = \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}] .$ 所做的正交线性替换为 $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}] .$ 所得标准形为 $- 2 x'^{2} + 4 y'^{2} . (6.2.1)$

我们来看一下这道题的几何背景．设（欧氏）平面上一条有心二次曲线的方程为 $4 = x^{2} + 6 x y + y^{2} = [\begin{array}{c} x, y \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] .$ 在作正交线性替换 $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}] = [\begin{array}{c} cos \frac{- π}{4} & - sin \frac{- π}{4} \\ sin \frac{- π}{4} & cos \frac{- π}{4} \end{array}] [\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}]$ 后得到标准形 $- 2 x'^{2} + 4 y'^{2} = 4 .$ 这表明把平面围绕坐标原点按顺时针方向旋转 $45^{\circ}$ 角，在新的坐标系下该二次曲线方程为 $- \frac{x'^{2}}{2} + y'^{2} = 1 .$ 此为双曲线标准方程．

这就是本章开始所说以坐标原点为中心的二次有心曲线经过适当旋转变换 ${<mi>R</mi>}_{φ}$ 化标准形的一例．

注记本例要求用正交线性替换化实二次型 $f (x, y)$ 为标准形，如果只要求非退化线性替换化 $f (x, y)$ 为标准形，那么就可用配方法来解． $f (x, y) = x^{2} + 6 x y + y^{2} = (x + 3 y)^{2} - 8 y^{2} .$ 作非退化线性替换 ${\begin{cases} x' = x + 3 y, \\ y' = y, \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} x = x' - 3 y', \\ y = y', \end{cases}$

三§6.3 二次型的规范形选自 §6.34 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

二次型的秩

二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 的矩阵 $A$ 的秩称为二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的秩．

复二次型的规范形

设 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是秩为 $r$ 的复二次型，经适当的非退化复线性替换化为标准形后再作替换，可得 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \dots + z_{r}^{2}, (6.3.1)$ 将 (6.3.1) 式称为复二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的规范形．它是由 $r$ 项系数均为 1 的平方项构成，故由二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 惟一确定．

实二次型的规范形

设 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是秩为 $r$ 的实二次型，则经过适当的非退化实线性替换可化为标准形．在标准形中不为零的 $r$ 个平方项系数可正可负，再适当排列变量的次序可得到 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = d_{1} y_{1}^{2} + \dots + d_{p} y_{p}^{2} - d_{p + 1} y_{p + 1}^{2} - \dots - d_{r} y_{r}^{2},$ 其中 $0 < d_{i} \in R (i = 1, 2, \dots, r)$ ．再作一个非退化实线性替换后则得 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = z_{1}^{2} + \dots + z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \dots - z_{r}^{2} . (6.3.2)$ 我们将 (6.3.2) 式称为实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的规范形．

定义 6.3.1 正惯性指数、负惯性指数与符号差

在秩为 $r$ 实二次型的标准形或规范形中，正平方项的个数 $p$ 称为正惯性指数，负平方项的个数 $r - p$ 称为负惯性指数，它们的差 $p - (r - p) = 2 p - r$ 称为符号差．

定义 6.3.2 实对称矩阵的正、负惯性指数

实对称矩阵 $A$ 可看作二次型 $X^{T} A X = f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的矩阵，此时将该二次型的正（负）惯性指数称为 $A$ 的正（负）惯性指数．

定理已掌握+

定理 6.3.1 标准形中非零平方项个数等于矩阵的秩

虽然二次型的标准形不惟一，但这些不同的标准形有其共性．

定理 6.3.1 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的标准形中，系数不为零的平方项个数等于该二次型的矩阵的秩．

证设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的矩阵为 $A$ ，经过非退化线性替换 $X = C Y$ 化为标准形，即 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X = Y^{T} (C^{T} A C) Y$ $= b_{1} y_{1}^{2} + b_{2} y_{2}^{2} + \dots + b_{r} y_{r}^{2},$ 其中 $b_{i} \neq 0 (i = 1, 2, \dots, r)$ ．显然 $r = r (C^{T} A C)$ ．因 $C$ 可逆，故 $r = r (C^{T} A C) = r (A) .$ 这定理表明虽二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 可化为不同的标准形，但这些标准形中不为零的平方项个数均为 $r (A)$ ，与所作的非退化线性替换无关．

定理 6.3.2 复二次型的规范形惟一

（1）（二次型语言）任何一个复二次型经过适当的非退化复线性替换可化为规范形，规范形是惟一的，是由二次型的秩惟一确定．

（2）（矩阵语言） $C^{n \times n}$ 上的任意秩为 $r$ 的对称矩阵 $A$ 与 ${[\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}]}_{n \times n}$ 合同，即存在可逆矩阵 $C \in C^{n \times n}$ ，使得 $C^{T} A C = {[\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}]}_{n \times n} .$

推论 $A, B$ 均为 $n$ 阶复对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 在复数域上合同 $\Leftrightarrow$ $r (A) = r (B)$ ．

定理 6.3.3 惯性定理（含 6.3.3′）

任意一个秩为 $r$ 的实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 均可化为规范型，且不论用何种非退化的实线性替换化得的规范形是惟一的．

证定理的前一部分上面已阐明，下证惟一性．设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 经非退化实线性替换 $X = C Y$ 化为规范形 $f = y_{1}^{2} + \dots + y_{p}^{2} - y_{p + 1}^{2} - \dots - y_{r}^{2} . (6.3.3)$ 又设 $f$ 经另一个非退化实线性替换 $X = D Z$ 化为规范形 $f = z_{1}^{2} + \dots + z_{q}^{2} - z_{q + 1}^{2} - \dots - z_{r}^{2} . (6.3.4)$ 为证明定理仅需证 $p = q$ 即可．

（反证法）设 $p > q$ ，由 (6.3.3) 式与 (6.3.4) 式有 $y_{1}^{2} + \dots + y_{p}^{2} - y_{p + 1}^{2} - \dots - y_{r}^{2} = z_{1}^{2} + \dots + z_{q}^{2} - z_{q + 1}^{2} - \dots - z_{r}^{2} . (6.3.5)$ 由 $X = C Y$ 及 $X = D Z$ 得 $Z = D^{- 1} X = D^{- 1} C Y = G Y, (6.3.6)$ 其中 $G = D^{- 1} C = [g_{i j}]_{n \times n}$ ．则 (6.3.6) 式可表为 ${\begin{cases} z_{1} = g_{11} y_{1} + g_{12} y_{2} + \dots + g_{1 n} y_{n}, \\ z_{2} = g_{21} y_{1} + g_{22} y_{2} + \dots + g_{2 n} y_{n}, \\ \dots \dots \dots \dots \\ z_{q} = g_{q 1} y_{1} + g_{q 2} y_{2} + \dots + g_{q n} y_{n}, \\ \dots \dots \dots \dots \\ z_{n} = g_{n 1} y_{1} + g_{n 2} y_{2} + \dots + g_{n n} y_{n} . \end{cases} (6.3.7)$

构造齐次线性方程组 ${\begin{cases} g_{11} y_{1} + g_{12} y_{2} + \dots + g_{1 n} y_{n} = 0, \\ g_{21} y_{1} + g_{22} y_{2} + \dots + g_{2 n} y_{n} = 0, \\ \dots \dots \dots \dots \\ g_{q 1} y_{1} + g_{q 2} y_{2} + \dots + g_{q n} y_{n} = 0, \\ y_{p + 1} = 0, \\ \dots \dots \\ y_{n} = 0 . \end{cases} (Ⅰ)$

则 (Ⅰ) 含有 $n$ 个变量， $q + (n - p) = n - (p - q) < n$ 个方程，故有非零解，取其一个为 $Y^{0} = [k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}, k_{p + 1}, \dots, k_{n}]^{T} \neq 0,$ 显然其中 $k_{p + 1} = \dots = k_{n} = 0$ ，而 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{p}$ 不全为零．将 $Y^{0}$ 代入 (6.3.5) 式左边得 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \dots + k_{p}^{2} > 0 . (6.3.8)$ 同时将 $Y^{0}$ 代入 (6.3.7) 式得 $Z^{0} = [t_{1}, t_{2}, \dots, t_{q}, t_{q + 1}, \dots, t_{n}]^{T} .$ 由于 $Y^{0}$ 是 (Ⅰ) 的解，故 $t_{1} = \dots = t_{q} = 0$ ，将 $Z^{0}$ 代入 (6.3.5) 式右边得 $- t_{q + 1}^{2} - \dots - t_{n}^{2} \leq 0,$ 与 (6.3.8) 式矛盾．故 $p \leq q$ ．

同理可证 $q \leq p$ ，故 $p = q$ ．定理得证．

用矩阵的语言惯性定理可表达为：任意秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 与 ${[\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{r - p} & O \\ O & O & O \end{array}]}_{n \times n}$ 合同，即存在 $R^{n \times n}$ 中可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = {[\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{r - p} & O \\ O & O & O \end{array}]}_{n \times n},$ 其中 $p$ 是 $A$ 所惟一确定的．

按上述两定义惯性定理可叙述如下．

定理 6.3.3′ （1）二次型语言：实二次型经过非退化的实线性替换化为标准形或规范形，它的秩（不为零的平方项个数）、正惯性指数（正平方项的个数）及负惯性指数（负平方项的个数）都是惟一的．

（2）矩阵语言： $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 与对角矩阵 $diag [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ 合同时， $a_{i} (1 \leq i \leq n)$ 中不为零的个数（即 $r (A)$ ）、正数的个数（即 $A$ 的正惯性指数）及负数的个数（即 $A$ 的负惯性指数）都是惟一的．

定理 6.3.4 实对称矩阵合同的判别法

$A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 在实数域上合同 $\Leftrightarrow$ $A, B$ 有相同的秩和相同的正（负）惯性指数．

证先证必要性．因 $A$ 与 $B$ 在实数域上合同，故有可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T} A C = B .$ 构作实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 可化为规范形，得出二次型 $f$ ，从而也是矩阵 $A$ 的秩为 $r_{1}$ ，正惯性指数为 $p_{1}$ ．另一方面对二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 先作一个非退化实线性替换 $X = C Y$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X = (C Y)^{T} A C Y = Y^{T} (C^{T} A C) Y = Y^{T} B Y .$ 再将 $f = Y^{T} B Y$ 化为规范型，得出二次型 $f$ ，从而也是矩阵 $B$ 的秩为 $r_{2}$ ，正惯性指数为 $p_{2}$ ．据惯性定理有 $r_{1} = r_{2}, p_{1} = p_{2},$ 所以 $A, B$ 有相同的秩和相同的正惯性指数．

再证充分性．设 $r (A) = r (B) = r$ ， $A, B$ 正惯性指数均为 $p$ ，利用惯性定理知，存在可逆矩阵 $C_{1}, C_{2}$ 使得 $C_{1}^{T} A C_{1} = {[\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{r - p} & O \\ O & O & O \end{array}]}_{n \times n}; C_{2}^{T} B C_{2} = {[\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{r - p} & O \\ O & O & O \end{array}]}_{n \times n} .$ 从而 $C_{1}^{T} A C_{1} = C_{2}^{T} B C_{2} .$ 上式两边同时左乘 $(C_{2}^{T})^{- 1}$ ，右乘 $C_{2}^{- 1}$ 得 $(C_{1} C_{2}^{- 1})^{T} A (C_{1} C_{2}^{- 1}) = B,$ 所以 $A$ 与 $B$ 合同．

说明已掌握+

复数域与实数域分论的必要性

定理 6.3.1 表明虽二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 可化为不同的标准形，但这些标准形中不为零的平方项个数均为 $r (A)$ ，与所作的非退化线性替换无关．下面分复数域和实数域来进一步讨论标准形的惟一性问题．

注意秩、正负惯性指数与特征值的关系

注意到 $A$ 是实对称矩阵，据 5.4 节定理 5.4.1 知，存在正交矩阵 $U$ 使 $U^{- 1} A U = U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．据此有

$A$ 的秩即为 $A$ 的不为零的特征值的个数，

$A$ 的正惯性指数为 $A$ 的特征值中正数的个数，

$A$ 的负惯性指数为 $A$ 的特征值中负数的个数．

据惯性定理这三个数都是由 $A$ 惟一确定的．利用惯性定理可得出实对称矩阵合同的判别法．

例题已掌握

例 6.3.1 判断矩阵是否合同★★★★☆判定题展开题目与讲解

例 6.3.1 判断矩阵是否合同

设 $A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}],$ $C = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}], D = [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}],$ 则与 $A$ 合同矩阵为 $\underline{}$ ．

解注意到 $r (A) = 3$ ， $A$ 的正惯性指数为 2，而 $r (B) = r (C) = 3, r (D) = 2,$ 所以 $A$ 与 $D$ 不合同．矩阵 $B$ 可看作二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2}$ 的矩阵，所以 $B$ 的正惯性指数为 3，据此 $A$ 与 $B$ 不合同．矩阵 $C$ 可看作二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 x_{2} x_{3} - x_{3}^{2} = x_{1}^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - 2 x_{3}^{2}$ 的矩阵，所以 $C$ 的正惯性指数为 2，据此 $A$ 与 $C$ 合同．这样本例应填 $C$ ．

注记求实对称矩阵的正（负）惯性指数也可从矩阵的特征值求得，例如由 $| λ E - B | = | \begin{array}{c} λ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & λ - 2 & 0 \\ 0 & 0 & λ - 2 \end{array} | = (λ - 2) | \begin{array}{c} λ - 1 & 1 \\ 1 & λ - 2 \end{array} |$ $= (λ - 2) (λ - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}) (λ - \frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ 知， $B$ 的特征值为 $2, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 均为正数．故 $B$ 的秩为 3，正惯性指数为 3，从而 $A$ 与 $B$ 不合同．由 $| λ E - C | = | \begin{array}{c} λ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & λ + 1 \end{array} | = (λ - 1) | \begin{array}{c} λ - 1 & - 1 \\ - 1 & λ + 1 \end{array} |$ $= (λ - 2) (λ + \sqrt{2}) (λ - \sqrt{2})$ 知， $C$ 的特征值为 $1, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ ，故 $C$ 的秩为 3，正惯性指数 2，从而 $A$ 与 $C$ 合同．

四§6.4 正定二次型选自 §6.45 个知识分组 · 含例题

定义已掌握+

定义 6.4.1 正定、负定、半正定、半负定、不定

设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ．如果对任意的实向量 $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T} \neq 0$ ，恒有（1） $f = X^{T} A X > 0$ ，则称 $f$ 为正定的；（2） $f = X^{T} A X < 0$ ，则称 $f$ 为负定的；（3） $f = X^{T} A X \geq 0$ ，则称 $f$ 为半正定的；（4） $f = X^{T} A X \leq 0$ ，则称 $f$ 为半负定的；（5）如 $f$ 既不是（3），又不是（4），则称 $f$ 为不定的．

据定义容易得到如下性质．

定义 6.4.2 正定矩阵（及负定、半正定、半负定矩阵）

若实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 为正定（或负定，半正定，半负定）的，则实对称矩阵 $A$ 称为正定（或相应地负定，半正定，半负定）的．

注记按此定义正定矩阵一定是实对称矩阵．

定义 6.4.3

k

阶主子式与顺序主子式

在 $n$ 阶矩阵 $A$ 中由第 $i_{1}$ 行，第 $i_{2}$ 行， $\dots$ ，第 $i_{k}$ 行和第 $i_{1}$ 列，第 $i_{2}$ 列， $\dots$ ，第 $i_{k}$ 列组成的 $k$ 阶子式称为 $k$ 阶主子式．特别地当 $i_{1} = 1, i_{2} = 2, \dots, i_{k} = k$ 时，称为 $k$ 阶顺序主子式，记为 $Δ_{k}$ ．

易见 $n$ 阶方阵有且仅有 $n$ 个顺序主子式 $Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{n}$ ．

定理已掌握+

定理 6.4.1 正定二次型的等价刻画

设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ，则下述陈述等价：（1） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是正定的．（2） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的正惯性指数为 $n$ ．（3） $A$ 的特征值均大于零．（4）存在 $n$ 阶可逆实矩阵 $B$ ，使得 $A = B^{T} B$ ．

证（1） $\Rightarrow$ （2）设 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 经非退化的实线性替换 $X = C Y$ 化为标准形 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = b_{1} y_{1}^{2} + b_{2} y_{2}^{2} + \dots + b_{n} y_{n}^{2} .$ 若 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的正惯性指数小于 $n$ ，则 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 不能全大于零，不妨设 $b_{n} \leq 0$ ，取 $Y^{0} = [0, 0, \dots, 0, 1]^{T} \neq 0,$ 代入 $X = C Y$ ，因 $C$ 为可逆矩阵，故 $X^{0} = C Y^{0} = [x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \dots, x_{n}^{0}]^{T} \neq 0,$ 有 $f (x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \dots, x_{n}^{0}) = (Y^{0})^{T} diag [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}] Y^{0} = b_{n} \leq 0 .$ 这与 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 正定矛盾，故（2）成立．

（2） $\Rightarrow$ （3）据定理 6.2.2 实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 可经正交线性替换 $X = U Y$ 化为标准形 $λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}$ ，其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征根，据（2）知， $λ_{i} > 0$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ．（3）得证．

（3） $\Rightarrow$ （4） $A$ 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 $U$ ，使得 $U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] .$ 据（3）知， $λ_{i} > 0$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ．故 $A = U diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] U^{T}$ $= U diag [\sqrt{λ_{1}}, \dots, \sqrt{λ_{n}}] U^{T} U diag [\sqrt{λ_{1}}, \dots, \sqrt{λ_{n}}] U^{T} .$ 记 $B = U diag [\sqrt{λ_{1}}, \dots, \sqrt{λ_{n}}] U^{T},$ 则 $B$ 为 $n$ 阶可逆的实矩阵，有 $A = B^{T} B$ ．（4）得证．

（4） $\Rightarrow$ （1）据（4）知，此时有 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X = X^{T} (B^{T} B) X = (B X)^{T} (B X),$ 对任意的 $X \neq 0$ ，因 $B$ 为可逆矩阵，故实的 $n \times 1$ 矩阵 $B X = [b_{1} b_{2} \dots b_{n}]^{T} \neq 0 .$ 从而 $(B X)^{T} (B X) = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2} > 0 .$ 据定义 6.4.1， $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为正定的，（1）得证．

综上所述定理得证．

推论正定二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的规范形为： $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{n}^{2}$ ．

定理 6.4.2 正定矩阵的等价刻画

设 $A$ 为实对称矩阵，则下述陈述等价：（1） $A$ 是正定矩阵．（2） $A$ 的特征值全大于零．（3）存在可逆的实矩阵 $B$ ，使得 $A = B^{T} B$ ．（4） $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同．

推论正定矩阵 $A$ 的行列式 $| A | > 0$ ．

为了进一步刻画正定矩阵引入以下概念．

定理 6.4.3 顺序主子式判别法

实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 为正定二次型 $\Leftrightarrow$ $A$ 的所有顺序主子式全大于零．

证先证必要性．设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ 是正定的．记 $f_{k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} a_{i j} x_{i} x_{j} (k = 1, 2, \dots, n) .$ 则 $f_{k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ 是 $k$ 元的正定二次型．这是因为对任意一组不全为零的实数 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ 有 $f_{k} (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}) = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{k} a_{i j} x_{i} x_{j}$ $= f (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}, 0, \dots, 0) > 0 .$ 故 $f_{k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k})$ 是正定的，从而它的矩阵 $A_{k} = [\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k k} \end{array}]$ 是正定的．由定理 6.4.2 的推论得 $Δ_{k} = | A_{k} | > 0, k = 1, 2, \dots, n .$

再证充分性．对二次型变量个数 $n$ 作数学归纳法．

当 $n = 1$ 时， $f (x_{1}) = a_{11} x_{1}^{2}$ ．由题设条件 $a_{11} > 0$ ，故 $f (x_{1})$ 为正定的．

假设对于 $n - 1$ 个变量的二次型论断成立．现来证 $n$ 个变量的情况．为此对 $x_{1}$ 配方有 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ $= a_{11}^{- 1} (a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n})^{2} + \sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}, (6.4.1)$ 其中 $b_{i j} = a_{i j} - a_{11}^{- 1} a_{1 i} a_{1 j}$ ．因 $a_{i j} = a_{j i}$ ，所以 $b_{i j} = b_{j i}$ ．这样 $\sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 就是 $n - 1$ 个变量的二次型．如能证明 $\sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 为正定的，由 (6.4.1) 式容易推得 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是正定的，充分性就可得证．

事实上由行列式性质知 $Δ_{k} = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \dots & a_{k k} \end{array} | = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 k} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & b_{k 2} & \dots & b_{k k} \end{array} |$ $= a_{11} | \begin{array}{c} b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{k 2} & \dots & b_{k k} \end{array} | .$ 由已知条件 $Δ_{k} > 0$ ， $a_{11} > 0$ 得 $| \begin{array}{c} b_{22} & \dots & b_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{k 2} & \dots & b_{k k} \end{array} | > 0, k = 2, \dots, n .$ 由归纳法假设 $n - 1$ 个变量的二次型 $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 2}^{n} b_{i j} x_{i} x_{j}$ 是正定的．

至此定理证毕．

推论实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 是负定的 $\Leftrightarrow$ $A$ 的顺序主子式 $Δ_{k}$ 适合 $(- 1)^{k} Δ_{k} > 0$ ， $k = 1, 2, \dots, n$ ．

定理 6.4.4 半正定二次型的等价刻画

设秩为 $r$ 的实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ．则下述陈述等价：（1） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是半正定的．（2） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的正惯性指数为 $r$ ．（3） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的规范形为： $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{r}^{2}$ ．（4） $A$ 的特征值均是非负的．（5）存在 $n$ 阶实矩阵 $C$ ，使得 $A = C^{T} C$ ．（6） $A$ 与 $[\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}]$ 合同．（7） $A$ 的所有主子式均非负．

注记（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）彼此等价的证明是类似有关正定的相应证明，故不赘述，陈述（7）和陈述（1）等价性证明限于篇幅也不列出，有兴趣的读者可自行证明（在文献［2］中这就是一道习题．参见［2］，236 页，第 9 题）．在此要指出的是， $A$ 的所有顺序主子式均非负不能保证 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 为半正定．最简单例子是： $f (x_{1}, x_{2}) = - x_{2}^{2}$ ，它的矩阵为 $[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] .$ 有 $Δ_{1} = 0, Δ_{2} = 0 .$ 但显见 $f (x_{1}, x_{2})$ 不是半正定的．

性质已掌握+

性质 6.4.1 负定与半负定的转化

（1） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 负定 $\Leftrightarrow$ $- f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 正定；（2） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 半负定 $\Leftrightarrow$ $- f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 半正定．

这表明负定，半负定可分别转化为正定，半正定的问题来讨论，加之正定二次型在数学其他分支以及物理、力学等领域都有广泛应用，所以本节将着重讨论正定二次型．

性质 6.4.2 正定矩阵的运算封闭性

设 $A$ 是正定矩阵，则（1） $k A$ 为正定矩阵，其中 $k$ 为任意正实数．（2） $A^{- 1}$ 为正定矩阵．（3） $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 为正定矩阵．（4） $A^{k}$ 为正定矩阵，其中 $k$ 为任意正整数．（5） $C^{T} A C$ 为正定矩阵，其中 $C$ 为可逆实矩阵．

注记用二次型语言（5）可表叙为：非退化的实线性替换保持二次型的正定性不变．

性质 6.4.3 同阶正定矩阵的和与分块对角矩阵

设 $A, B$ 为同阶的正定矩阵，则（1） $A + B$ 为正定矩阵．（2） $[\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array}]$ 为正定矩阵．

说明已掌握+

引入实二次型的函数观点

本节所讨论的二次型都是实二次型．

任意一个实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 均可看成定义在实数域上 $n$ 个变量的实函数，因而可引入以下概念．

利用定理 6.4.1 与 6.4.3 导出的两个性质

利用定理 6.4.1 和定理 6.4.3 容易得到下述两个性质（性质 6.4.2 与性质 6.4.3）．

例题已掌握

例 6.4.1 求矩阵的顺序主子式★★☆☆☆计算题展开题目与讲解

例 6.4.1 求矩阵的顺序主子式

设 $A = [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \end{array}] .$ 则 $A$ 有 4 个顺序主子式，分别为 $Δ_{1} = 1, Δ_{2} = | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | = 1,$ $Δ_{3} = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} | = 3, Δ_{4} = | A | = 8 .$

利用本定理（定理 6.4.3）可断定性 6.4.1 中的矩阵 $A$ 是正定矩阵．

例 6.4.2 用五种方法判定二次型不正定★★★★☆综合题展开题目与讲解

例 6.4.2 用五种方法判定二次型不正定

判断实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$ 是否正定．

解 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n}^{2} .$

方法一 取 $x_{1}^{0} = 1$ ， $x_{2}^{0} = - 1$ ， $x_{3}^{0} = \dots = x_{n}^{0} = 0$ ，则 $X^{0} = [1, - 1, 0, \dots, 0]^{T} \neq 0,$ 但 $f (x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \dots, x_{n}^{0}) = 0$ ，故 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 不正定．

方法二 设 $y_{1} = x_{1} + x_{2}$ ， $y_{k} = x_{k}$ ， $k = 2, 3, \dots, n$ ，则 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = y_{1}^{2} + y_{3}^{2} + \dots + y_{n}^{2} .$ 故 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的正惯性指数为 $n - 1$ ，所以 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 不正定．

方法三 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的矩阵为 $A = {[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{array}]}_{n \times n}$ 计算得 $| λ E - A | = λ (λ - 2) (λ - 1)^{n - 2},$ 这表明 $A$ 的特征值不全大于零，故 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 不正定．

方法四（反证） 若 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 正定，则 $A$ 为正定矩阵，故有可逆矩阵 $B$ ，使得 $A = B^{T} B$ ，从而 $| A | = | B^{T} | | B | = | B |^{2} > 0 .$ 现 $| A | = 0$ ，此为矛盾，故 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 不正定．

方法五 $A$ 的 2 阶顺序主子式为 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | = 0 .$ 故 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 不正定．

例 6.4.3 求参数使二次型正定★★★☆☆计算题展开题目与讲解

例 6.4.3 求参数使二次型正定

$t$ 取何值时二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 t x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2}$ 是正定的？

解此类题应用定理 6.4.3 来解．写出该二次型的矩阵 $A = [\begin{array}{c} 1 & t & 1 \\ t & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}],$ $A$ 的顺序主子式为 $Δ_{1} = 1 > 0; Δ_{2} = | \begin{array}{c} 1 & t \\ t & 4 \end{array} | = 4 - t^{2}; Δ_{3} = | A | = - 2 t^{2} + 4 .$ 这样二次型正定的充要条件为 ${\begin{cases} 4 - t^{2} > 0, \\ - 2 t^{2} + 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \sqrt{2} < t < \sqrt{2} .$ 所以当 $- \sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ 时二次型正定．

五§6.5 概要及小结选自 §6.53 个知识分组 · 含例题

性质已掌握+

性质 6.5.1 实对称矩阵相似必合同

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵．若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 必合同．

证因 $A$ 与 $B$ 相似，所以 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式．从而 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ．现 $A, B$ 均为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 $U_{1}, U_{2}$ 使 $U_{1}^{T} A U_{1} = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}], U_{2}^{T} B U_{2} = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] .$ 从而 $U_{1}^{T} A U_{1} = U_{2}^{T} B U_{2}$ ，等式两边同时左乘 $U_{2}$ ，右乘 $U_{2}^{T}$ 导出 $(U_{1} U_{2}^{T})^{T} A (U_{1} U_{2}^{T}) = B .$ 所以 $A$ 与 $B$ 合同．

矩阵的等价，相似和合同均体现了这样的一种想法：把一个数学问题经过允许的限制条件不同的变换（等价变换、相似变换、合同变换），化为不同的标准形（在不同限制条件下的最简单形式），借助标准形解决原先的数学问题．

说明已掌握+

概要

概要：二次型及标准形（矩阵的合同）；正定二次型（正定矩阵）．

6.5.1 一、二次型及标准形

1．二次型是指二次齐次多项式 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j},$ 其中 $a_{i j} = a_{j i}$ ．

本章主要研究通过非退化线性替换 $X = C Y$ 化二次型为标准形 $b_{1} y_{1}^{2} + b_{2} y_{2}^{2} + \dots + b_{n} y_{n}^{2} .$ 数域 $P$ 上任何一个二次型都可通过配方法找到一个数域 $P$ 上的非退化线性替换，经过这个线性替换二次型化为标准形．

6.5.1 二、利用矩阵理论研究二次型

2．利用矩阵理论研究二次型

为把二次型和矩阵联系起来作如下变形称为二次型的矩阵表示： $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} = X^{T} A X,$ 其中 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ ， $X = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]^{T}$ ．若限定 $A^{T} = A$ ，则 $A$ 和二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 可互相惟一确定，故称对称矩阵 $A$ 为二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 的矩阵．这样二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 化标准形可转化为找一个可逆矩阵 $C$ 使 $C^{T} A C$ 为对角形．于是上述用配方法关于二次型的结果，用矩阵语言来说就是：

$P^{n \times n}$ 中任意一个对称矩阵 $A$ ，存在 $P^{n \times n}$ 中可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C$ 为对角形．

实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 的矩阵 $A$ 是实对称矩阵，故可用 5.7 节矩阵理论知存在正交矩阵 $U$ ，使 $U^{- 1} A U = U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

上述矩阵结果用二次型语言来说就是：

实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 经过正交线性替换 $X = U Y$ 化为标准形 $λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2},$ 其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

6.5.1 三、规范形

3．规范形

鉴于二次型的标准形不惟一，为此分别在复数域和实数域讨论二次型的规范形．

（1）复数域

二次型语言：任意一个复二次型经过适当的非退化复线性替换可化为规范形 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{r}^{2},$ 其中 $r$ 为二次型的秩，规范形是惟一的．

矩阵语言： $C^{n \times n}$ 上任意一个秩为 $r$ 的对称矩阵 $A$ ，存在 $C^{n \times n}$ 中可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = [\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}] .$

（2）实数域

二次型语言：任意一个实二次型经过适当的非退化实线性替换可化为规范形 $z_{1}^{2} + \dots + z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \dots - z_{r}^{2},$ 其中 $r$ 为二次型的秩， $p$ 为二次型的正惯性指数，规范形是惟一的．

矩阵语言： $R^{n \times n}$ 上任意秩为 $r$ 的对称矩阵 $A$ ，存在 $R^{n \times n}$ 上可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = [\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{r - p} & O \\ O & O & O \end{array}],$ 其中 $p$ 是 $A$ 所惟一确定的．

6.5.1 四、矩阵的合同

4．矩阵的合同

矩阵的合同是两个矩阵之间的关系（二元关系），且具有自反性，对称性、传递性．故与矩阵的等价、矩阵的相似一样可将矩阵按合同分类，在合同类中找出最简单矩阵（标准形），利用合同标准形来解问题．

矩阵是否合同的主要判别法是：

（1）设 $A, B$ 均为复数域上的 $n$ 阶对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 在复数域上合同 $\Leftrightarrow$ $r (A) = r (B)$ ．

（2）设 $A, B$ 均为实数域上 $n$ 阶对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 在实数域上合同 $\Leftrightarrow$ $A, B$ 有相同的秩和相同的正惯性指数．

6.5.1 五、矩阵的等价、相似和合同

5．矩阵的等价，相似和合同

等价、相似、合同都是两个矩阵间的关系，根据定义我们有： $A$ 与 $B$ 相似 $\Rightarrow A$ 与 $B$ 等价； $A$ 与 $B$ 合同 $\Rightarrow A$ 与 $B$ 等价．反之，则未必然．

这表明对矩阵 $A$ 而言， $A$ 所在的等价类既比 $A$ 所在的相似类大，也大于（实数域上）或等于（复数域上） $A$ 所在的合同类．另一方面 $A$ 所在等价类中的矩阵彼此相同的仅为秩，而 $A$ 所在的相似类中的矩阵不仅秩相同，而且有相同的特征多项式，相同的迹．同样 $A$ 在实数域上的合同类中矩阵不仅有相同的秩，而且有相同的正惯性指数．

对实对称矩阵 $A$ 而言，存在正交矩阵 $U$ ，使得 $U^{- 1} A U = U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}] .$ 这表明 $A$ 与 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 既相似，也合同（当然也是等价的）．正因为实对称矩阵有此结果，使得它有下述好性质．

三种关系对照如下表（表中 $P, Q, C$ 为可逆矩阵）．

| 关系 | 定义 | 标准形 | 判别法 | 共同性质 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $A_{m \times n}$ 与 $B_{m \times n}$ 等价 | $P A Q = B$ | $[\begin{array}{c} E_{r} & O \\ O & O \end{array}]$ ， $r = r (A)$ | $r (A) = r (B)$ | 秩相同 | | $A_{n \times n}$ 与 $B_{n \times n}$ 相似 | $P^{- 1} A P = B$ | 本书不讨论 | 特征多项式相同 | 秩相同、特征多项式相同、迹相同、行列式相同 | | 同阶实对称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同 | $C^{T} A C = B$ | $[\begin{array}{c} E_{p} & O & O \\ O & - E_{q} & O \\ O & O & O \end{array}]$ ， $p + q = r (A)$ | 秩相同且正惯性指数相同 | 秩相同且正（负）惯性指数相同 |

从表中可看出

（1） $A$ 与 $B$ 相似的判别法和相似标准形空缺，这是因为现有的线性代数教学大纲不作要求，所以本书不涉及，我们要掌握的是 $A$ 与对角矩阵相似（即 $A$ 可对角化）的判别法和标准形．对此我们有：

①（判别法） $A$ 与对角矩阵相似 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．

② $A$ 能对角化，则相似标准形为 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

③ 实对称矩阵 $A$ 一定能与对角矩阵相似，且存在正交矩阵 $U$ 使 $U^{T} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 为 $A$ 的全部特征值．

④ 当 $A$ 与 $B$ 为同阶方阵，且均能对角化，则有 $A$ 与 $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ $| λ E - A | = | λ E - B |$ （有相同的特征多项式）．

据此，利用③可有：当 $A$ 与 $B$ 均为同阶的实对称矩阵时，有 $A$ 与 $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ $| λ E - A | = | λ E - B |$ （有相同的特征多项式）．

（2）表中矩阵等价、合同的判别法和性质是相同的．这表明这些性质是等价、合同的充分必要条件．而表中相似的性质一般只是矩阵相似的必要条件而不是充分的，所以不能据此来判断两个矩阵相似，而常用来判断两个矩阵不相似，如由 $tr A \neq tr B$ （或 $| A | \neq | B |$ 等）就可推出 $A$ 与 $B$ 不相似．

（3）我们只讨论实对称矩阵的合同，是因为这时可把矩阵看成实二次型的矩阵，从而利用实二次型的某些概念，如实对称矩阵 $A$ 的正（负）惯性指数是指二次型 $X^{T} A X$ 的正（负）惯性指数．

（4）由 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow r (A) = n$ ，且正惯性指数为 $n$ ，所以两个同阶正定矩阵必合同，反之和正定矩阵合同的矩阵必是正定矩阵，所以将实对称矩阵按合同分类，所有同阶的正定矩阵分在一类，该类的标准形是单位矩阵 $E$ ．

（5）凡相似矩阵必等价，凡合同矩阵必等价，反之则未必然．所以矩阵相似、合同的条件均比等价严，而凡相似、合同的矩阵比等价的矩阵有更多的共同性质（见表中“性质”一栏），这样对于矩阵 $A$ 而言，与 $A$ 相似或与 $A$ 合同的矩阵一般说来就要比与 $A$ 等价的矩阵少．

（6）一般情况矩阵相似和合同关系较难比较，即相似矩阵未必合同，合同的矩阵未必相似，这一点从两者的定义容易看出的．然而在 $A, B$ 均为实对称矩阵时，若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 必合同（参见性质 6.5.1）．

（7）对实对称矩阵 $A$ 来说，存在正交矩阵 $U$ 使 $U^{T} A U = U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}],$ 其中 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 为 $A$ 的全部特征值．这表明 $A$ 与 $diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ 既相似，又合同．当然也等价．从而两者有许多共同之处，如秩相同、特征多项式相同（特别地，行列式相同、迹相同）、正（负）惯性指数相同等．这也是我们强调对实对称矩阵确定正交矩阵 $U$ 使 $U^{T} A U$ 为对角矩阵方法重要性的原因之一，另一个原因是这问题可源于矩阵对角化和实二次型化标准形两种不同的背景．

6.5.2 正定二次型和正定矩阵

1．在实二次型中引入正定、负定、半正定、半负定、不定的概念实质上是用分类的方法来研究二次型．在这些类中以正定二次型最为重要，应用也最广．

2．正定二次型的矩阵定义为正定矩阵，故正定矩阵一定是实对称的．

3．判别法

设实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ ，则下述命题等价：

（1） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 是正定的．（2） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的正惯性指数为 $n$ ．（3） $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的规范形为： $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{n}^{2}$ ．（4） $A$ 是正定矩阵．（5） $A$ 的全部特征值均大于零．（6） $A = B^{T} B$ ，其中 $B$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵．（7） $A$ 与 $n$ 阶单位矩阵 $E$ 合同．（8） $A$ 的所有顺序主子式全大于零．

6.5.3 联系

本章开始曾指出二次型的研究源于解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形问题，所以二次型的理论可用来解决平面二次曲线、空间二次曲面的分类问题．有兴趣的读者可参阅：孟道骥，高等代数与解析几何，北京：科学出版社，1998．

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例 6.5.1 复数域上合同而实数域上不合同★★★☆☆判定题展开题目与讲解

例 6.5.1 复数域上合同而实数域上不合同

设 $A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}] .$ 我们可断定 $A$ 与 $B$ 在复数域上合同，在实数域上不合同．这是因为 $r (A) = r (B)$ ， $A$ 正定， $B$ 不正定．

上述规范型和矩阵的合同的论述中是分实数域和复数域两种情况讨论的，而在实际问题中常限定在实数域中讨论，所以对实数域的有关结论要多加关注．

例 6.5.2 正定矩阵行列式不等式★★★★☆证明题展开题目与讲解

例 6.5.2 正定矩阵行列式不等式

设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，证明： $| A + E | > 1$ ．

证法一 $A$ 是正定矩阵，故 $A$ 是实对称的，从而有正交矩阵 $U$ 使得 $U^{T} A U = U^{- 1} A U = diag [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}]$ ，其中 $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 是 $A$ 的全部特征值．现 $A$ 正定，所以 $λ_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ．注意到一方面 $| U^{- 1} (A + E) U | = | U^{- 1} | | A + E | | U | = | A + E | .$ 另一方面 $| U^{- 1} (A + E) U | = | U^{- 1} A U + U^{- 1} E U | = | U^{- 1} A U + E |$ $= | \begin{array}{c} 1 + λ_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 + λ_{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 + λ_{3} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 + λ_{n} \end{array} |$ $= (1 + λ_{1}) (1 + λ_{2}) \dots (1 + λ_{n}) > 1 .$ 综上得： $| A + E | > 1$ ．

证法二 因 $A$ 正定，所以 $A$ 的特征值 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 全大于零，从而 $A + E$ 的全部特征值为 $λ_{1} + 1, λ_{2} + 1, \dots, λ_{n} + 1$ 全大于 1，所以 $| A + E | = (λ_{1} + 1) (λ_{2} + 1) \dots (λ_{n} + 1) > 1 .$

例 6.5.3 等价、相似、合同的选择★★★★☆判定题展开题目与讲解

例 6.5.3 等价、相似、合同的选择

设实对称矩阵 $A = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}],$ $C = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}], D = [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}] .$ ① $B, C, D$ 中与 $A$ 等价的矩阵是 $\underline{}$ ． ② $B, C, D$ 中与 $A$ 相似的矩阵是 $\underline{}$ ． ③ $B, C, D$ 中与 $A$ 合同的矩阵是 $\underline{}$ ．

解 ① 由题设易知 $r (A) = 2$ ， $r (B) = 3$ ， $r (C) = r (D) = 2$ ，从而 $B$ 与 $A$ 不等价， $C$ 与 $A$ 等价， $D$ 与 $A$ 等价，所以应填： $C, D$ ．

② 由题设得 $| λ E - A | = λ (λ - 2) (λ - 3)$ ，即 $A$ 有 3 个相异的根，所以 $A$ 能对角化．注意到 $D$ 是对角矩阵，且 $| λ E - A | = | λ E - D |$ ，所以 $A$ 与 $D$ 相似．由 $r (A) \neq r (B), tr A \neq tr C,$ 可推得 $A$ 与 $B$ 不相似， $A$ 与 $C$ 不相似，所以应填： $D$ ．

③ $A$ 可视为实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + 3 x_{3}^{2}$ 的矩阵，所以 $A$ 的秩为 2，正惯性指数为 2，注意到 $C, D$ 的秩均为 2，正惯性均为 2，所以 $C$ 与 $A$ ， $D$ 与 $A$ 均合同．由 $r (A) \neq r (B)$ 知 $A, B$ 不合同，所以应填： $C, D$ ．

注记第③小题，也可从 $| λ E - A | = λ (λ - 2) (λ - 3)$ 知， $A$ 的特征值为 $0, 2, 3$ ，故 $A$ 的秩为 2，正惯性指数为 2．

例 6.5.4 用顺序主子式判定合同★★★☆☆判定题展开题目与讲解

例 6.5.4 用顺序主子式判定合同

设实对称矩阵 $A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}],$ $C = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}], D = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}] .$ 问与 $A$ 合同的矩阵是 $\underline{}$ ．

解因 $A$ 的 3 个顺序主子式均大于零，所以 $A$ 为正定矩阵．而 $B$ 的 2 阶顺序主子式为 $- 3$ ， $C$ 的 3 阶顺序主子式为 $- 1$ ，故 $B, C$ 均不是正定矩阵，所以 $A$ 与 $B$ ， $A$ 与 $C$ 均不合同． $D$ 的三个顺序主子式也均大于零，故 $D$ 为正定矩阵，同阶的正定矩阵 $D$ 与 $A$ 合同，所以应填 $D$ ．

例 6.5.5 按等价与合同分类★★★☆☆问答题展开题目与讲解

例 6.5.5 按等价与合同分类

对所有的秩为 $r (r \leq n)$ 的 $n$ 阶实对称矩阵按等价分类（即把彼此等价的矩阵看成一类）可分成几类？按实数域上合同分类可分成几类？

解按等价可分成 1 类，因此时彼此秩均为 $r$ ．按合同可分成 $r + 1$ 类，即按正惯性指数为 $0, 1, 2, \dots, r$ 分类．

例 6.5.6 同时合同对角化★★★★☆证明题展开题目与讲解

例 6.5.6 同时合同对角化

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $B$ 为正定矩阵．证明：存在一个 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{T} A P$ 与 $P^{T} B P$ 同时化为对角形．

证因 $B$ 为正定矩阵，故存在 $n$ 阶可逆实矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} B Q = E$ ．因 $Q^{T} A Q$ 仍为实对称矩阵，故存在 $n$ 阶正交矩阵 $U$ ，使得 $U^{T} (Q^{T} A Q) U$ 为对角形．同时 $U^{T} (Q^{T} B Q) U = U^{T} E U = E .$ 记 $P = Q U$ ，则 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ 就使 $P^{T} A P$ 与 $P^{T} B P$ 同时化为对角形．

例 6.5.7 由二次曲面标准形反求参数与正交矩阵★★★★★综合题展开题目与讲解

例 6.5.7 由二次曲面标准形反求参数与正交矩阵

已知二次曲面方程 $x^{2} + a y^{2} + z^{2} + 2 b x y + 2 x z + 2 y z = 4,$ 可经正交线性替换 $[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = U [\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array}]$ 化为椭圆柱面方程 $y'^{2} + 4 z'^{2} = 4$ ．求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $U$ ．

解按题设二次型 $f (x, y, z) = x^{2} + a y^{2} + z^{2} + 2 b x y + 2 x z + 2 y z$ 经正交线性变换化为标准形： $y'^{2} + 4 z'^{2}$ ．故相应的矩阵 $[\begin{array}{c} 1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ 与 $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}]$ 相似，从而 $| A | = | B |$ ， $tr A = tr B$ ．解之可得： $a = 3$ ， $b = 1$ ．这表明矩阵 $A = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ 有特征值 $λ_{1} = 0$ ， $λ_{2} = 1$ ， $λ_{3} = 4$ ．

对应于特征值 $λ_{1} = 0$ ，可解得 $A$ 的一个单位特征向量为 $ξ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 0, - 1]^{T} .$ 对应于特征值 $λ_{2} = 1$ ，可解得 $A$ 的一个单位特征向量为 $ξ_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} [1, - 1, 1]^{T} .$ 对应于特征值 $λ_{3} = 4$ ，可解得 $A$ 的一个单位特征向量为 $ξ_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} [1, 2, 1]^{T} .$ 因而所求的正交矩阵为 $U = [\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & - \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}] .$

注记如此例改述为：将二次曲面 $x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 y z = 4$ 用正交线性替换化为标准形，并判断该二次曲面的类型．这就是解析几何中化二次曲面为标准形问题了．

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例 1.1.1

例 1.1.2

例 1.2.1

例 1.2.2

例 1.2.3

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例 1.3.1 用性质化出成比例的列

例 1.3.2 化三角形计算四阶行列式

例 1.3.3 逐行相减化三角形证恒等式

例 1.3.4 n 阶行和相等的行列式

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例 1.4.1

例 1.4.2

例 1.4.3

例 1.4.4

例 1.4.5

例 1.4.6

例 1.4.7

例 1.5.1

例 1.5.2

例 1.5.3

例 1.6.1

例 1.6.2

例 1.6.3

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例 2.1.1 用消元法解线性方程组

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例 2.2.1 求含参数矩阵的秩

例 2.2.2 求 a 在对角线上、b 在其余位置的 n 阶矩阵的秩

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例 2.3.1 按现在的说法解例 2.1.1 中的线性方程组

例 2.3.2 解线性方程组（五个未知量，无穷多解）

例 2.3.3 解齐次线性方程组

例 2.3.4 含参数的线性方程组，λ 取何值时有解

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例 2.4.1 含参数的齐次线性方程组，a 取何值时有非零解

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例 3.1.1 矩阵与行列式的区别

例 3.1.2 矩阵的数乘与加法

例 3.1.3 行向量的加法与数乘

例 3.1.4 列向量与行向量相乘

例 3.1.5 矩阵乘法（BA 无意义）

例 3.1.6 乘法交换律、消去律不成立

例 3.1.7 与给定矩阵可交换的矩阵

例 3.1.8 矩阵多项式的计算

例 3.1.9 由 AB+2E=O 求 |B|

例 3.1.10 |A+B|≠|A|+|B|

例 3.1.11 各列元素之和为 1 的矩阵

例 3.1.12 求 (AB)^n

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例 3.2.1 二阶矩阵的逆

例 3.2.2 由 A*BA=2BA−12E 求 B

例 3.2.3 由 A²−2A−3E=O 判断可逆并求逆

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例 3.3.1 分块矩阵乘法

例 3.3.2 按列分块表示乘法

例 3.3.3 AB=O 的列形式与参数求值

例 3.3.4 计算 AA^T 与 A^T A

例 3.3.5 分块三角矩阵求逆

例 3.3.6 准对角矩阵求逆

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例 3.4.1 用初等变换化标准形并写出初等矩阵

例 3.4.2 用初等行变换求逆矩阵

例 3.4.3 用初等变换解 AX=B

例 3.4.4 用初等变换解 AXB=C

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例 3.5.1 分块对角阵的秩

例 3.5.2 行满秩矩阵的右逆

例 3.5.3 乘积的秩不超过因子的秩

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例 3.6.1 矩阵方程 AXA=A 的广义逆

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例 4.1.1 n 元向量空间 Pn

例 4.1.2 矩阵空间 Pm×n

例 4.1.3 多项式空间 P[x]n 与 P[x]

例 4.1.4 C 作为 R 上的线性空间

例 4.1.5 数域 P 作为自身的线性空间

例 4.1.6 连续函数空间 C[a,b]

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例 1.3.1　用性质化出成比例的列

例 1.3.2　化三角形计算四阶行列式

例 1.3.3　逐行相减化三角形证恒等式

例 1.3.4　n 阶行和相等的行列式

例 2.2.2 求 $a$ 在对角线上、 $b$ 在其余位置的 $n$ 阶矩阵的秩

例 2.3.4 含参数的线性方程组， $λ$ 取何值时有解

例 2.4.1 含参数的齐次线性方程组， $a$ 取何值时有非零解

例 4.1.1　 $n$ 元向量空间 $P^{n}$

例 4.1.2　矩阵空间 $P^{m \times n}$

例 4.1.3　多项式空间 $P [x]_{n}$ 与 $P [x]$

例 4.1.4　 $C$ 作为 $R$ 上的线性空间

例 4.1.5　数域 $P$ 作为自身的线性空间

例 4.1.6　连续函数空间 $C [a, b]$

例 4.2.1　 $R^{4}$ 中线性表示与相关性的判别

例 4.2.2　线性无关向量组的线性组合仍线性无关

例 4.3.1　求 $R^{4}$ 中向量组的极大线性无关组

例 4.4.1　求 $P^{n}$ 的一组基与维数

例 4.4.2　求 $P^{m \times n}$ 的一组基与维数

例 4.4.3　求 $P [x]_{n}$ 的一组基与维数

例 4.4.4　 $P [x]$ 是无限维的

例 4.4.5　判断哪些向量组可作为 $P [x]_{4}$ 的基

例 4.4.6　求向量在两基下的坐标

例 4.4.7　求过渡矩阵与坐标变换

例 4.4.8　 $P^{2 \times 2}$ 中的过渡矩阵与坐标

例 4.5.1　平凡子空间

例 4.5.2　多项式空间的子空间

例 4.5.3　对称与反对称矩阵构成的子空间

例 4.5.4　 $R^{3}$ 中的三个坐标平面

例 4.5.5　齐次线性方程组的解空间

例 4.5.6　由向量组生成的子空间

例 4.5.7　求生成子空间的维数和基

例 4.6.1　解齐次线性方程组并写基础解系

例 4.6.2　解非齐次线性方程组

例 4.6.3　用初等变换把后几行（列）化为零

例 4.6.4　 $A B = O$ 的秩不等式

例 4.6.5　可线性表示的向量组的秩

例 4.7.1　恒等映射

例 4.7.2　零映射

例 4.7.3　整数集到偶数集的 $1 - 1$ 对应

例 4.7.4　映射的乘积

例 4.7.5　可逆映射与逆映射

例 4.7.6　定理 4.7.4 之特例

例 4.7.7　用坐标法判断线性关系并求维数与基

例 4.7.8　子空间维数等于矩阵的秩

例 4.8.1　几何空间中的内积

例 4.8.2　 $R^{n}$ 的标准内积

例 4.8.3　 $R^{m \times n}$ 的标准内积

例 4.8.4　 $C [a, b]$ 的内积

例 4.8.5　柯西不等式

例 4.8.6　施瓦茨不等式

例 4.8.7　常用基是标准正交基

例 4.8.8　由度量矩阵计算内积与长度

例 4.8.9　标准正交基的判定与坐标计算

例 4.8.10　施密特正交化与扩充

例 4.8.11　与两个矩阵均正交的矩阵全体

例 4.9.1　旋转变换

例 4.9.2　反射变换

例 4.9.3　投影变换

例 4.9.4　求导变换

例 4.9.5　积分变换

例 4.9.6　恒等变换与零变换

例 4.9.7　数乘变换

例 4.9.8　线性变换的乘法不满足交换律

例 4.9.9　求导变换的幂

例 4.9.10　反射与旋转的可逆性

例 4.10.1　 $L T (V)$ 的维数与一组基

例 4.10.2　投影变换线性无关

例 4.10.3　求线性变换的矩阵与逆变换

例 4.11.1　两组贯穿前四章的题 (第一组)

例 4.11.2　 $r (A^{T} A) = r (A A^{T}) = r (A)$

例 4.11.3　格拉姆行列式

例 4.11.4　五个线性变换的线性关系