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242 道自编 0作业 76 小测 0试卷 166

共 242 道

作业第一次作业第1.1-1题
证明 $ℚ (\sqrt{2}) \neq ℚ (\sqrt{3})$ 。
看解答
作业第一次作业第1.1-3(1)题
设 $F, K$ 都是数域，证明 $F \cap K$ 也是数域。
看解答
作业第一次作业第1.1-3(2)题
举例说明两个数域的并 $F \cup K$ 不一定是数域。
看解答
作业第一次作业第1.1-5(4)题
求排列 $987654321$ 的逆序数，并判断它的奇偶性。
看解答
作业第一次作业第1.1-5(5)题
求排列 $246813579$ 的逆序数，并判断它的奇偶性。
看解答
作业第一次作业第1.1-6(1)题
求排列 $135 \dots (2 n - 1) 246 \dots (2 n)$ 的逆序数，并讨论 $n$ 的奇偶性。
看解答
作业第一次作业第1.1-6(2)题
求排列 $246 \dots (2 n) 135 \dots (2 n - 1)$ 的逆序数，并讨论 $n$ 的奇偶性。
看解答
作业第一次作业第1.2-1(5)题
计算行列式 $| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array} |$ 。
看解答
作业第一次作业第1.2-3题
在五阶行列式中，判定项 $a_{1 i} a_{32} a_{4 k} a_{25} a_{53}$ 的符号并求 $i, k$ 。
看解答
作业第一次作业第1.2-6(1)题
计算五阶行列式 $| \begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} & b_{5} \\ c_{1} & c_{2} & 0 & 0 & 0 \\ d_{1} & d_{2} & 0 & 0 & 0 \\ e_{1} & e_{2} & 0 & 0 & 0 \end{array} |$ 。
看解答
作业第一次作业第1.2-6(4)题
计算 $n$ 阶行列式 $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n - 1 \\ n & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} |$ 。
看解答
作业第一次作业第1.2-8题
计算 $n$ 阶行列式（反对角线上全为 $1$ ，其右上方为任意元素 $a_{i j}$ ，左下方全为 $0$ ）。
看解答
作业第二次作业第1.4-1(1)题
计算 $D = | \begin{array}{c} x & a & b & 0 \\ 0 & y & 0 & 0 \\ 0 & e & z & 0 \\ g & h & k & u \end{array} |$ 。
看解答
作业第二次作业第2(2)题
用初等变换把四阶行列式 $D$ 化为三角形，再求值。
看解答
作业第二次作业第2(3)题
计算 $D = | \begin{array}{c} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{array} |$ 。
看解答
作业第二次作业第2(5)题
计算 $D = | \begin{array}{c} 15 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 15 & 7 & 2 & 2 & 2 \\ 15 & 2 & 7 & 2 & 2 \\ 15 & 2 & 2 & 7 & 2 \\ 15 & 2 & 2 & 2 & 7 \end{array} |$ 。
看解答
作业第二次作业第3(2)题
计算 $D = | \begin{array}{c} a^{2} & 2 a + 1 & 2 a + 3 & 2 a + 5 \\ b^{2} & 2 b + 1 & 2 b + 3 & 2 b + 5 \\ c^{2} & 2 c + 1 & 2 c + 3 & 2 c + 5 \\ d^{2} & 2 d + 1 & 2 d + 3 & 2 d + 5 \end{array} |$ 。
看解答
作业第二次作业第3(3)题
计算 $n + 1$ 阶行列式 $| \begin{array}{c} 1 & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ 1 & b_{1} + a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ 1 & a_{1} & b_{2} + a_{2} & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{1} & a_{2} & \dots & b_{n} + a_{n} \end{array} |$ 。
看解答
作业第二次作业第4题
已知 $n$ 阶行列式 $D = 2^{n - 1}$ ，求其展开式中正项、负项的个数。
看解答
作业第二次作业第6(1)题
设 $D = | \begin{array}{c} x - 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & x - 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 & x - 1 \end{array} |$ ，求 $D = 0$ 的根。
看解答
作业第二次作业第7(3)题
计算 $D = - | \begin{array}{c} 2 a_{11} & \frac{1}{2} a_{12} & 3 a_{13} - 5 a_{12} \\ 2 a_{21} & \frac{1}{2} a_{22} & 3 a_{23} - 5 a_{22} \\ 2 a_{31} & \frac{1}{2} a_{32} & 3 a_{33} - 5 a_{32} \end{array} |$ （结果用三阶行列式 $| a_{i j} |$ 表示）。
看解答
作业第二次作业第8题
计算 $n + 1$ 阶行列式 $| \begin{array}{c} - a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - a_{n} & a_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n & n + 1 \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-1(4)题
计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} a_{1} & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n - 1} & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & a_{n} \end{array} |$ 的值。
看解答
作业第三次作业第1.4-1(5)题
计算 $6$ 阶行列式 $D_{6} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-1(7)题
计算 $n + 1$ 阶行列式 $D_{n + 1} = | \begin{array}{c} a^{n} & (a - 1)^{n} & \dots & (a - n)^{n} \\ a^{n - 1} & (a - 1)^{n - 1} & \dots & (a - n)^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a & a - 1 & \dots & a - n \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-2(1)题
计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} x & y & 0 & \dots & 0 \\ 0 & x & y & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & x & y \\ y & 0 & \dots & 0 & x \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-2(3)题
计算 $n (n > 1)$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} 1 + x_{1} y_{1} & 1 + x_{1} y_{2} & \dots & 1 + x_{1} y_{n} \\ 1 + x_{2} y_{1} & 1 + x_{2} y_{2} & \dots & 1 + x_{2} y_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 + x_{n} y_{1} & 1 + x_{n} y_{2} & \dots & 1 + x_{n} y_{n} \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-3(1)题
设 $D_{n} = | \begin{array}{c} x & y & y & \dots & y \\ z & x & 0 & \dots & 0 \\ 0 & z & x & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & z & x \end{array} | (n > 1)$ ，求 $D_{n}$ 的递推公式。
看解答
作业第三次作业第1.4-3(2)题
设 $D_{n} = | \begin{array}{c} x & y & y & \dots & y \\ z & x & 0 & \dots & 0 \\ 0 & z & x & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & z & x \end{array} | (n > 1)$ ，利用递推公式求 $D_{n}$ 。
看解答
作业第三次作业第1.4-5(1)题
计算行列式 $D_{6} = | \begin{array}{c} 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 9 & 7 & 8 & 9 & 4 & 3 \\ 7 & 4 & 9 & 7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 8 & 0 & 0 \end{array} |$ 。
看解答
作业第三次作业第1.5-1(4)题
用克拉默法则解方程组 ${\begin{cases} x_{1} - 3 x_{3} - 6 x_{4} = 9, \\ 2 x_{1} - 5 x_{2} + x_{3} + x_{4} = 8, \\ - x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = - 5, \\ x_{1} - 7 x_{2} + 4 x_{3} + 6 x_{4} = 0 . \end{cases}$
看解答
作业第三次作业第1.5-3题
证明：对任意实数 $k$ ，线性方程组 $(k^{2} - 2) x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 0$ ， $- 5 x_{1} + (k^{2} + 3) x_{2} - 3 x_{3} = 0$ ， $x_{1} + (k^{2} + 2) x_{3} = 0$ 只有零解。
看解答
作业第三次作业第1.6-2(2)题
设 $sin α \neq 0$ ，用数学归纳法证明 $D_{n} = | \begin{array}{c} 2 cos α & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 cos α & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 2 cos α & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 cos α \end{array} | = \frac{sin (n + 1) α}{sin α}$ 。
看解答
作业第三次作业第1.6-5题
设 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 3 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & \dots & n \end{array} |$ ，求 $A_{11} + A_{12} + \dots + A_{1 n}$ ，其中 $A_{1 i}$ 是 $a_{1 i}$ 的代数余子式。
看解答
作业第三次作业第1.6-6题
计算 $n (n > 1)$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 2} & x_{2}^{n - 2} & \dots & x_{n}^{n - 2} \\ x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \dots & x_{n}^{n} \end{array} |$ 。
看解答
作业第四次作业第2.1-1(1)题
用初等行变换将矩阵 $(\begin{array}{c} 1 & 7 & 2 & 8 \\ 0 & - 5 & 3 & 6 \\ - 1 & - 7 & 3 & 7 \end{array})$ 化为约化阶梯形。
看解答
作业第四次作业第2.1-1(3)题
用初等行变换将矩阵 $(\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 1 & 4 \\ 3 & - 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 & 5 \end{array})$ 化为约化阶梯形。
看解答
作业第四次作业第2.1-3题
证明：互换矩阵的两行可通过连续施行若干次倍乘、倍加（第三种初等变换）来实现。
看解答
作业第四次作业第2.2-3(2)题
求矩阵 $A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & - 1 \end{array})$ 的秩。
看解答
作业第四次作业第2.2-3(4)题
求矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & - 2 & 4 & - 1 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & - 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array})$ 的秩。
看解答
作业第四次作业第2.2-4题
设 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ 不全为零， $b_{j} (j = 1, 2, \dots, n)$ 不全为零，且 $A_{m \times n} = (\begin{array}{c} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m} b_{1} & a_{m} b_{2} & \dots & a_{m} b_{n} \end{array})$ ，求矩阵 $A$ 的秩。
看解答
作业第四次作业第2.2-5(1)题
求矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & - 2 \\ 1 & 3 & - k & - 2 k \\ 1 & - 1 & 6 & 0 \end{array})$ 的秩（ $k$ 为参数）。
看解答
作业第五次作业第2.2-5(3)题
设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & t \\ 2 & 3 & k & 4 \end{array})$ ，讨论 $k, t$ 取何值时 $r (A) = 2$ ，何时 $r (A) = 3$ 。
看解答
作业第五次作业第2.3-1(2)题
解线性方程组，其增广矩阵为 $(\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & - 4 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 3 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 7 & 3 & 1 & - 3 \end{array})$ 。
看解答
作业第五次作业第2.3-1(5)题
求齐次线性方程组 $A x = 0$ 的通解，其中 $A = (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & - 3 \\ 1 & - 4 & 3 & - 2 \end{array})$ 。
看解答
作业第五次作业第2.3-4题
设 $A = (\begin{array}{c} k & 1 & 1 \\ 1 & k & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{array})$ ，问 $k$ 取何值时 $r (A) = 3$ 。
看解答
作业第五次作业第2.3-5题
讨论 $a, b$ 取何值时线性方程组有解，并在有解时求通解，增广矩阵为 $(\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & - 3 & a \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 4 & 3 & 3 & - 1 & b \end{array})$ 。
看解答
作业第五次作业第2.3-7题
讨论 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 满足什么条件时方程组 ${\begin{cases} x_{1} - x_{2} = b_{1} \\ x_{2} - x_{3} = b_{2} \\ x_{3} - x_{4} = b_{3} \\ - x_{1} + x_{4} = b_{4} \end{cases}$ 有解，并在有解时求通解。
看解答
作业第五次作业第2.4-1(2)题
讨论 $λ$ 取何值时方程组有唯一解、无解、有无穷多解（有无穷多解时求通解）： ${\begin{cases} (λ + 3) x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = λ \\ λ x_{1} + (λ - 1) x_{2} + x_{3} = λ \\ 3 (λ + 1) x_{1} + λ x_{2} + (λ + 3) x_{3} = 3 \end{cases}$
看解答
作业第五次作业第2.4-1(3)题
讨论 $λ$ 取何值时方程组有唯一解、无解、有无穷多解（有无穷多解时求通解）： ${\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = λ \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = λ^{2} \end{cases}$
看解答
作业第五次作业第2.4-3题
讨论 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 满足什么条件时方程组 ${\begin{cases} x_{1} - x_{2} = b_{1} \\ x_{2} - x_{3} = b_{2} \\ \dots \\ x_{n - 1} - x_{n} = b_{n - 1} \\ - x_{1} + x_{n} = b_{n} \end{cases}$ 有解，并在有解时求通解。
看解答
作业第五次作业第2.4-4题
设 $n$ 阶方阵 $A = (a_{i j})$ 的行列式 $| A | = D \neq 0$ ，证明方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + \dots + a_{1, n - 1} x_{n - 1} = a_{1 n} \\ \dots \\ a_{n 1} x_{1} + \dots + a_{n, n - 1} x_{n - 1} = a_{n n} \end{cases}$ 无解。
看解答
作业第六次作业第4(1)题
设 $D = (\begin{array}{c} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{array})$ 为 $n$ 阶对角矩阵， $A = (a_{i j})_{n \times n}$ ，写出 $D A$ 与 $A D$ 。
看解答
作业第六次作业第4(2)题
承上题，若 $D A = A D$ 且 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ 互不相同，证明 $A$ 为对角矩阵。
看解答
作业第六次作业第5(1)题
设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ ，求 $A^{n}$ 。
看解答
作业第六次作业第5(2)题
设 $B$ 为三阶矩阵且 $B^{2} = E$ ，求 $B^{n}$ 。
看解答
作业第六次作业第6(1)题
设 $A = (\begin{array}{c} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{array})$ ，求 $A^{n}$ 。
看解答
作业第六次作业第7(1)题
设 $E_{i j}$ 为 $n$ 阶矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $1$ 、其余元素为 $0$ 。计算 $A E_{i j}$ 。
看解答
作业第六次作业第7(2)题
承上题，计算 $E_{i j} A$ 。
看解答
作业第六次作业第7(3)题
承上题，计算 $E_{i k} E_{k j}$ 。
看解答
作业第六次作业第8题
设 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 与所有 $n$ 阶方阵乘法可换，证明 $A$ 为数量矩阵。
看解答
作业第六次作业第10题
设 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ ， $B = (b_{i j})_{n \times m}$ ，证明 $tr (A B) = tr (B A)$ 。
看解答
作业第六次作业第11题
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明 $A B - B A \neq E$ 。
看解答
作业第七次作业第1(2)题
（第 3.3 节）用分块矩阵乘法计算 $A B$ ，其中 $A = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})$ ， $B = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ 。
看解答
作业第七次作业第3(1)题
解矩阵方程 $(A - E) X = E - A^{2}$ ，其中 $A - E = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})$ （即 $A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array})$ ）。
看解答
作业第七次作业第7(1)题
设 $A^{2} + A - 4 E = 0$ ，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{- 1}$ 。
看解答
作业第七次作业第7(2)题
承上题，证明 $A - E$ 可逆，并求 $(A - E)^{- 1}$ 。
看解答
作业第七次作业第8(1)题
设 $A^{2} = A$ （即 $A^{2} - A = 0$ ），证明 $2 E - A$ 可逆，并求 $(2 E - A)^{- 1}$ 。
看解答
作业第七次作业第9(1)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $| A^{- 1} |$ 。
看解答
作业第七次作业第9(2)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $| A^{*} |$ 。
看解答
作业第七次作业第9(3)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $| - 2 A |$ 。
看解答
作业第七次作业第9(4)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $| (3 A)^{- 1} |$ 。
看解答
作业第七次作业第9(5)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $| \frac{1}{3} A^{*} - 4 A^{- 1} |$ 。
看解答
作业第七次作业第9(6)题
设 $A$ 为三阶矩阵， $| A | = 3$ ，求 $(A^{*})^{- 1}$ 。
看解答
作业第七次作业第10题
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明 $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$ 。
看解答
作业第七次作业第11题
设 $A, B, A + B$ 均可逆，证明 $A^{- 1} + B^{- 1}$ 可逆，并求其逆。
看解答
试卷期中 2016-2017 第一题
（本题 10 分）计算下列行列式的值： $D = | \begin{array}{c} 1 + x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 - x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + y & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 - y \end{array} |$ ，其中 $x, y$ 为任意实常数。
看解答
试卷期中 2016-2017 第二题
（本题 15 分）设有 $n$ 阶行列式如下（ $n \geq 2$ 为正整数）： $D = | \begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & 3 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & \dots & n \end{array} |$ ，其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 为任意实常数。试求 $A_{1} + 2 A_{2} + \dots + n A_{n}$ 的值，其中 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 分别是 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 在行列式 $D$ 中的代数余子式。
看解答
试卷期中 2016-2017 第三题
（本题 15 分）当 $λ$ 取何值时，线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + λ x_{2} + λ x_{3} = 1, \\ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = λ \end{cases}$ 无解？有解？有解时求该线性方程组的所有解。
看解答
试卷期中 2016-2017 第四题
（本题 15 分）试叙述矩阵秩的定义；设有 $n$ （ $n \geq 2$ 为正整数）阶矩阵如下： $A = (\begin{array}{c} 0 & x_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{2} & \dots & 0 & 0 \\ \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_{n - 1} \\ x_{n} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array})$ ，其中 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 为任意实常数。试求 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩。
看解答
试卷期中 2016-2017 第五题
（本题 15 分）求解下述矩阵方程： $X (\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 6 \end{array})$ 。
看解答
试卷期中 2016-2017 第六题
（本题 10 分）设 $a \neq 0$ 为实常数，试把矩阵 $(\begin{array}{c} a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{array})$ 表示成 $(\begin{array}{c} 1 & x \\ 0 & 1 \end{array})$ 和 $(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ y & 1 \end{array})$ 型矩阵的乘积。
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试卷期中 2016-2017 第七题
（本题 10 分） $n$ （ $n$ 为正整数）阶方阵 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 的主对角线上元素之和 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ 称为方阵 $A$ 的迹，记作 $tr A$ 。现设方阵 $A$ 的秩为 $r$ 且满足 $A^{2} = A$ ，试证明： $tr A = r$ 。
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试卷期中 2016-2017 第八题
（本题 10 分）设 $A, B$ 为 $n$ （ $n$ 为正整数）阶方阵且满足 $A + 2 B = A B$ ，试证明： $A - 2 E$ 可逆。
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试卷期中 2016-2017 第一题
（本题 10 分）试计算行列式 $D = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & x^{2} \\ 0 & 5 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & 0 & x^{3} \end{array} |$ 。
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试卷期中 2016-2017 第二题
（本题 15 分）解齐次线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} - 3 x_{5} = - 2, \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - x_{5} = 1, \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} - 2 x_{3} - 4 x_{4} + 3 x_{5} = 7, \\ 2 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} - 7 x_{4} + 4 x_{5} = 1 . \end{cases}$
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试卷期中 2016-2017 第三题
（本题 15 分）（1）试叙述矩阵秩的定义。（2）设 $λ$ 可取任意参数，试求矩阵 $(\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & λ & 1 & 1 \\ 2 & 2 λ & λ + 4 & 3 \end{array})$ 的秩。
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试卷期中 2016-2017 第四题
（本题 15 分）试求解矩阵方程 $A X B = C$ 的解，其中 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{array})$ ， $B = (\begin{array}{c} 7 & 9 \\ 4 & 5 \end{array})$ ， $C = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array})$ 。
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试卷期中 2016-2017 第五题
（本题 15 分）已知 $A^{*} B A = 2 B A - 12 E$ ，其中 $A = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array})$ ，求 $B$ 。
看解答
试卷期中 2016-2017 第六题
（本题 15 分）试证明 $(\begin{array}{c} 0 & A \\ B & C \end{array})$ 可逆并求其逆，这里 $A, B$ 分别为 $r$ 阶和 $s$ 阶可逆矩阵。
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试卷期中 2016-2017 第七题
（本题 15 分）（1）试证明对矩阵 $A$ 实施一次初等行变换等价于用相应的初等矩阵左乘 $A$ 。（2）试证明方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $| A | \neq 0$ 。
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试卷期中 2017-2018 第1题
（本题 10 分）计算 $D = | \begin{array}{c} 2 x & x & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 & - 1 \\ 3 & 2 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{array} |$ 。
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试卷期中 2017-2018 第2题
（本题 15 分）设 $D_{n + 1} = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & x_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & x_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 0 & 0 & \dots & x_{n} \end{array} |$ ，求 $x_{1} A_{1} + x_{2} A_{2} + \dots + x_{n} A_{n}$ ，其中 $A_{i}$ 为 $x_{i}$ 的代数余子式。
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试卷期中 2017-2018 第3题
（本题 15 分）设 ${\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = λ, \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = λ^{2} . \end{cases}$ $λ$ 取什么值时无解？唯一解？无穷多解？有解时求其解。
看解答
试卷期中 2017-2018 第4题
（本题 15 分） $A$ 为 $n$ 阶矩阵（ $n \geq 2$ ）， $A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ x & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array})$ ，求 $r ((A^{*})^{*})$ 。
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试卷期中 2017-2018 第5题
（本题 15 分）设 $A$ 是对角线上元素全为零的 $4$ 阶实对称可逆矩阵， $B = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2018 \end{array})$ 。（1） $A$ 中元素满足什么条件时， $E + A B$ 可逆。（2）当 $E + A B$ 可逆时，证明 $(E + A B)^{- 1} A$ 是对称矩阵。
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试卷期中 2017-2018 第6题
（本题 10 分）设 $A_{2 \times 2}^{2018} = 0$ ，证明： $A^{2} = 0$ 。
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试卷期中 2017-2018 第7题
（本题 10 分）设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶方阵， $A$ 可逆， $M = (\begin{array}{c} A & B \\ C & D \end{array})$ 。证明： $R (M) = n$ 当且仅当 $D = C A^{- 1} B$ 。
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试卷期中 2017-2018 第8题
（本题 10 分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{3} = 2 E$ ， $B = A^{2} - 2 A + E$ ，证明 $B$ 可逆，并求 $B^{- 1}$ 。
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试卷期中 2017-2018 第1题
（本题 15 分）计算 $n$ 阶行列式： $D_{n} = | \begin{array}{c} x & y & y & \dots & y \\ z & x & y & \dots & y \\ z & z & x & \dots & y \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ z & z & z & \dots & x \end{array} |$ ， $x, y, z$ 为任意实常数。
看解答
试卷期中 2017-2018 第2题
（本题 20 分）设 $k$ 为实常数，当 $k$ 为何值时，下面线性方程组无解？唯一解？无穷多解？有解时，求解。 ${\begin{cases} k x_{1} + x_{2} + x_{3} = k - 3, \\ x_{1} + k x_{2} + x_{3} = - 2, \\ x_{1} + x_{2} + k x_{3} = - 2 . \end{cases}$
看解答
试卷期中 2017-2018 第3题
（本题 20 分）求矩阵方程 $x (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 6 \end{array})$ 的解。
看解答
试卷期中 2017-2018 第4题
（本题 15 分）设 $R (A_{n \times n}) = r$ ，证明存在 $B_{n \times n}$ ，且 $R (B) = n - r$ ，使得 $A B = 0$ 。
看解答
试卷期中 2017-2018 第5题
（本题 15 分） $R (A_{n \times n}) = 1$ ， $A_{n \times n} \in P^{n \times n}$ （ $P$ 为数域），证明：（1）存在两组不全为零的实数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 与 $b_{1}, \dots, b_{n}$ ，使得 $A = (a_{1}, \dots, a_{n})^{T} (b_{1}, \dots, b_{n})$ ；（2）存在实数 $k$ ，使得 $A^{2} = k A$ 。
看解答
试卷期中 2017-2018 第6题
（本题 8 分）设 $A_{m \times n} X_{n \times 1} = d_{m \times 1}$ 有解， $B_{m \times s} X_{s \times 1} = c_{m \times 1}$ 无解，令 $G = (A B d c)_{m \times (n + s + 2)}$ 。证明： $R (G) \leq R (A) + R (B) + 1$ 。
看解答
试卷期中 2017-2018 第7题
（本题 10 分）设 $A, B, C, D \in ℝ^{n \times n}$ ，证明：当 $A C = C A$ 时，有 $| \begin{array}{c} A & D \\ C & B \end{array} | = | A B - C D |$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第一题
设 $A$ 是一个 $2019$ 阶实方阵，满足 $A A^{T} = E$ ， $| A | < 0$ ，求 $| A + E |$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第二题
设 $A$ 是一个 $8$ 阶实方阵，满足 $a_{i j} = - A_{i j}$ （ $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式），其中 $a_{11} \neq 0$ ，求 $| A |$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第三题
设实方阵 $A = (\begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & a \end{array})$ ， $B = (\begin{array}{c} 4 & b \\ 3 & 1 \end{array})$ ，证明：矩阵方程 $A X = B$ 有解且 $B Y = A$ 无解 $\Leftrightarrow a$ （原卷右端被裁切，条件待核）。
看解答
试卷期中 2018-2019 第四题
当实数 $a, b$ 取什么值时，方程组 ${\begin{cases} - x_{2} + a x_{3} = 0 \\ - a x_{1} + x_{2} + a x_{4} = 1 \\ x_{1} - x_{3} - x_{4} = 1 \\ x_{2} - a x_{3} = b \end{cases}$ 无解，有解，有解时求解。
看解答
试卷期中 2018-2019 第五题
设 $A, B \in R^{2 \times 2}$ ， $M = (\begin{array}{c} A \\ B \end{array})$ （空白块为 $0$ ），判断下面 $4$ 个等式：正确的给出证明，不正确的给出反例。 $(1) M^{*} = (\begin{array}{c} | A | A^{*} \\ | B | B^{*} \end{array}) (2) M^{*} = (\begin{array}{c} | B | B^{*} \\ | A | A^{*} \end{array})$ $(3) M^{*} = (\begin{array}{c} | A | B^{*} \\ | B | A^{*} \end{array}) (4) M^{*} = (\begin{array}{c} | B | A^{*} \\ | A | B^{*} \end{array})$
看解答
试卷期中 2018-2019 第六题
设 $A, B \in P^{n \times n}$ ，且满足 $A + B = A B$ ，证明：(1) $A - E$ 可逆；(2) $A B = B A$ ；(3) $r (A) = r (B)$ ；(4) 若 $B = (\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})$ ，求 $A$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第七题
设 $A \in P^{n \times n}$ ，证明：存在可逆矩阵 $B$ 和满足 $C = C^{2}$ 的矩阵 $C$ ，使得 $A = B C$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第八题
设 $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ （ $n \geq 2$ ）， $A = (\begin{array}{c} B & α \\ β & a_{n n} \end{array})$ ，其中 $B$ 为 $n - 1$ 阶方阵， $α$ 为 $n - 1$ 维列向量， $β$ 为 $n - 1$ 维行向量。如果 $| A | > 0$ ， $| B | > 0$ ，证明： $a_{n n} - β B^{- 1} α > 0$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第一题
(15) 计算 $n$ 阶行列式 $D = | \begin{array}{c} a_{1} + x & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} + x & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} + x \end{array} | .$
看解答
试卷期中 2018-2019 第二题
(15) 设 $σ = (i_{1} i_{2} \dots i_{n})$ 是一个 $n$ 阶排列， $A = [a_{i j}]$ 是一个 $n$ 阶方阵，并且 $A$ 中元素满足：对每个固定的 $r$ ，当 $j = i_{r}$ 时 $a_{r j} = 1$ ，否则 $a_{r j} = 0$ 。求 $| A |$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第三题
(15) 问 $λ$ 取什么值时，方程组 ${\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = 1 \end{cases}$ 无解？唯一解？无穷多解？有解时求解。
看解答
试卷期中 2018-2019 第四题
(15) 设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$ ，求矩阵方程 $A X = A + 2 X$ 的解 $X$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第五题
(15) 设 $A$ 为 $4$ 阶反对称矩阵， $B = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})$ ，证明 $E + A B$ 可逆。
看解答
试卷期中 2018-2019 第六题
(10) 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵（ $n > 1$ ）， $| A | = 0$ ，证明： $A_{i i} A_{j j} = (A_{i j})^{2}$ ， $i, j = 1, 2, \dots, n$ （ $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式）。
看解答
试卷期中 2018-2019 第七题
(7) 设 $A, B \in P^{n \times n}$ ， $M = (\begin{array}{c} A & B \\ B & A \end{array})$ ，证明： $R (M) \geq R (A + B) + R (A - B)$ 。
看解答
试卷期中 2018-2019 第八题
(8) 设 $A, B \in P^{n \times n}$ ，满足 $B = E + A B$ ，证明： $A B = B A$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第一题
一、（本题 10 分）设有下列 $n$ 阶行列式： $D_{n} = | \begin{array}{c} 4 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 1 & 0 & \dots \\ ⋮ & 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & 4 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 4 & 4 \end{array} |,$ 试证明： $D_{n} = (1 + n) 2^{n}$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第二题
二、（本题 10 分）设 $α = (1, 0, - 1)^{T}$ ，矩阵 $A = α α^{T}$ 。又设 $n$ 为一正整数，试求 $| 2 E - (A^{*})^{n} + A^{n} |$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第三题
三、（本题 15 分）设有实方阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ - 3 & 1 & - 7 \end{array})$ ， $B = (\begin{array}{c} 0 & a & b \\ 2 & 0 & 6 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array})$ ，其中 $a, b$ 为实常数。已知 $r (A) = r (B)$ ，且线性方程组 $A X = (b, 1, 0)^{T}$ 有解，试求 $a, b$ 的值。
看解答
试卷期中 2019-2020 第四题
四、（本题 20 分）当实数 $a$ 取何值时线性方程组 ${\begin{cases} - x_{1} - 4 x_{2} + x_{3} = 1 \\ a x_{2} - 3 a x_{3} = 3 \\ x_{1} + 3 x_{2} + (a + 1) x_{3} = 0 \end{cases}$ 无解，有唯一解，有无穷多解？有解时请求出所有解。
看解答
试卷期中 2019-2020 第五题
五、（本题 15 分）设 $A = (\begin{array}{c} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ k & k & k & k \end{array})$ ，其中 $k$ 为实常数，试求 $A$ 的秩 $r (A)$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第六题
六、（本题 20 分）设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，试证明：(1) $t r (A + B) = t r A + t r B$ ；(2) $t r (A B) = t r (B A)$ ；(3) 设 $P$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，则有 $t r (P^{- 1} A P) = t r A$ ；(4) 若 $A = E_{i j}$ ，其中 $E_{i j}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列处的元素为 $1$ 、其余元素全部为零的 $n$ 阶方阵，试求 $t r A$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第七题
七、（本题 5 分）设 $A$ 是一个 $n$ （ $n \geq 2$ ）阶方阵， $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵。若存在 $n$ 维非零列向量 $α$ 使得 $A α = θ$ ，其中 $θ$ 为 $n$ 维零列向量，且非齐次线性方程组 $A^{*} X = α$ 有解，试证明： $r (A) = n - 1$ 。
看解答
试卷期中 2019-2020 第八题
八、（本题 5 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $α, β$ 为两个 $n$ 维列向量，试证明： $| A + α β^{T} | = | A | + β^{T} A^{*} α$ 。
看解答
试卷期中 2020-2021 第一题
一、（本题 10 分）设 $x \neq 2$ 为实常数，若有 $n$ 阶行列式如下， $D_{n} = | \begin{array}{c} x & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\ 1 & x & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & 2 & x & 2 & 2 & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 2 & \dots & 2 & x & 2 \\ 1 & 2 & 2 & \dots & 2 & x \end{array} |,$ 试证明： $\forall n \in Z^{+}, D_{n} = [x + 2 (n - 1)] (x - 2)^{n - 1}$ 。
看解答
试卷期中 2020-2021 第二题
二、（本题 10 分）设 $A$ 为三阶方阵， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，已知 $| A | = \frac{1}{2}$ ，试求 $| (3 A)^{- 1} - 2 A^{*} |$ 的值。
看解答
试卷期中 2020-2021 第三题
三、（本题 15 分）设 $a \neq 1$ 是一个实常数，又已知齐次线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ x_{1} + 4 x_{2} + a^{2} x_{3} = 0 \end{cases}$ 与方程 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = a - 1$ 有公共解，试求 $a$ 的值以及所有公共解。
看解答
试卷期中 2020-2021 第四题
四、（本题 20 分）当实数 $a$ 取何值时线性方程组 ${\begin{cases} - 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 2 \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = a \\ x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = a^{2} \end{cases}$ 无解，有解？有解时求出所有解。
看解答
试卷期中 2020-2021 第五题
五、（本题 10 分）设 $A = (\begin{array}{c} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \end{array})$ ，其中 $k$ 为实常数，试求 $A$ 的秩 $r (A)$ 。
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试卷期中 2020-2021 第六题
六、（本题 15 分）设 $a, b$ 是两个实常数， $A = (\begin{array}{c} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{array})$ ， $f (x) = (x - b)^{8}$ ，试求矩阵 $f (A)$ ，并给出 $f (A)$ 可逆的条件，以及当 $f (A)$ 可逆时求其逆 $[f (A)]^{- 1}$ 。
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试卷期中 2020-2021 第七题
七、（本题 15 分）(1) 设 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，若已知 $A$ 的每一行元素之和都是常数 $c$ ，试证明： $c \neq 0$ ；(2) 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，试证明： $r (A B + A + B) \leq r (A) + r (B)$ ；(3) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，试证明：若 $E + A B$ 可逆，则 $E + B A$ 也可逆。
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试卷期中 2020-2021 第八题
八、（本题 5 分）试证明任何一个方阵可以表示为一个可逆矩阵和一个幂等矩阵的乘积。（若方阵 $A$ 满足 $A^{2} = A$ 则称 $A$ 是一个幂等矩阵。）
看解答
试卷期中 2020-2021 第一题
（本题 10 分）设 $D_{n} = {| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & - 3 & ⋱ & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & - 3 & 0 \\ 0 & ⋱ & - 1 & 4 & - 3 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 4 \end{array} |}_{n \times n}$ ，试证明： $D_{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2}$ ．
看解答
试卷期中 2020-2021 第二题
（本题 10 分）设 $B = (\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - 2 & 3 \end{array})$ ， $C = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})$ ，三阶方阵 $A$ 满足方程 $2 B A + C B = O$ ，其中 $O$ 为三阶零方阵，试求 $| A + 3 E |$ ．
看解答
试卷期中 2020-2021 第三题
（本题 15 分）设有实方阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & t & 9 \end{array})$ ，其中 $t$ 为实常数，已知 $B$ 为三阶非零方阵且满足 $B A = O$ ，其中 $O$ 为三阶零方阵，试求 $t$ 的值以及 $B$ 的秩的可能取值．
看解答
试卷期中 2020-2021 第四题
（本题 15 分）设 $a, b, c$ 为实常数，且 $b^{2} \neq a c$ ， $a + b + c = 0$ ，试证明线性方程组 ${\begin{cases} a x_{1} + b x_{2} + c = 0, \\ b x_{1} + c x_{2} + a = 0, \\ c x_{1} + a x_{2} + b = 0 \end{cases}$ 有唯一解并求出这个唯一解．
看解答
试卷期中 2020-2021 第五题
（本题 15 分）设方阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^{*} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 8 \end{array})$ ，已知矩阵 $B$ 满足 $A B = B + 3 A$ ，求矩阵 $B$ ．
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试卷期中 2020-2021 第六题
（本题 20 分）设 $A = {(\begin{array}{c} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{array})}_{n \times n}$ ．求 (1) 一个二次实系数多项式 $f (x) = x^{2} + a x$ 使得 $f (A)$ 为零矩阵； (2) $A^{100}$ ； (3) $(A + E)^{3}$ ； (4) $(A + E)^{- 1}$ ．
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试卷期中 2020-2021 第七题
（本题 8 分）设 $A, B$ 是两个 $n$ 阶实方阵，试证明： $r (A) = r (A B)$ 当且仅当存在 $n$ 阶实方阵 $C$ 使得 $A = A B C$ ．
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试卷期中 2020-2021 第八题
（本题 7 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，试证明：存在对称矩阵 $S$ 和可逆矩阵 $P$ 使得 $A = S P$ ．
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试卷期中 2021-2022 第一题
（本题 15 分）设有下列 $n$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} 7 & - 6 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 7 & - 6 & ⋱ & 0 \\ 0 & - 1 & 7 & - 6 & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & ⋱ & - 1 & 7 & - 6 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 7 \end{array} |$ ． (1) 计算 $D_{1}, D_{2}$ ； (2) 假设当 $n \leq k$ 时有 $D_{n} = \frac{6^{n + 1} - 1}{5}$ ，证明： $D_{k + 1} = \frac{6^{k + 2} - 1}{5}$ ．
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试卷期中 2021-2022 第二题
（本题 10 分）设 $B = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ ，矩阵 $A$ 满足方程 $B A = B^{T} B$ ，求 $| A^{*} - 2 E |$ ．
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试卷期中 2021-2022 第三题
（本题 10 分）设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $A^{2} = A$ ，证明： $r (A) + r (A - E) = n$ ．
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试卷期中 2021-2022 第四题
（本题 20 分）设有四元线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 0, \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} - 3 x_{3} + 5 x_{4} = 0, \\ 3 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 3 x_{4} = 0, \\ 2 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} - x_{4} = 0 . \end{cases}$ (1) 写出该方程组的系数矩阵 $A$ ； (2) 利用初等行变换将矩阵 $A$ 化为阶梯形矩阵 $U$ ； (3) 求 $r (A)$ ； (4) 写出该方程组的通解．
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试卷期中 2021-2022 第五题
（本题 10 分）设实方阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^{*} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})$ ，且 $| A | > 0$ ，已知矩阵 $B$ 满足 $A B = E + 3 A$ ，求矩阵 $B$ ．
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试卷期中 2021-2022 第六题
（本题 25 分）设矩阵 $A = (\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})$ ．求 (1) $A^{2}$ ； (2) $A^{3}$ ； (3) $A^{100}$ ； (4) $A^{- 1}$ ； (5) 一个三次实系数多项式 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 使得 $f (A)$ 为三阶零方阵．
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试卷期中 2021-2022 第七题
（本题 10 分）设有 $n$ 阶实方阵 $A = (a_{i j})$ 满足：当 $i = j$ 时， $a_{i j} = 2021$ ；当 $i < j$ 时 $a_{i j} = i^{j}$ ；当 $i > j$ 时 $a_{i j} = (i + j)!$ ．证明： $| A | \neq 0$ ．
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试卷期中 2021-2022 第八题
（本题 10 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且 $r (A) = r > 0$ ．证明存在秩为 $r$ 的实方阵 $B$ 和 $C$ 使得 $A B = C A$ ．
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试卷期中 2022-2023 第1题
1. 计算行列式 $D_{1} = | \begin{array}{c} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 4 & 6 & 8 & 2 \\ 6 & 8 & 2 & 4 \\ 8 & 2 & 4 & 6 \end{array} |$ ．（本题 10 分）
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试卷期中 2022-2023 第2题
2. 已知 $n + 1$ 阶行列式 $D = | \begin{array}{c} - 1 & x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ ⋮ & ⋱ \\ 1 & n + 1 \end{array} |$ ， $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 为任意常数，求 $4 A_{1} + 9 A_{2} + \dots + (n + 1)^{2} A_{n}$ ，其中 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 分别为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的代数余子式．（本题 12 分）
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试卷期中 2022-2023 第3题
3. 求解线性方程组 ${\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1, \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} + x_{4} = λ, \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} + x_{4} = λ^{2} . \end{cases}$ （本题 15 分）
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试卷期中 2022-2023 第4题
4. 用初等行变换将矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 5 & - 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 6 & 13 & - 1 & 1 \\ 5 & 10 & 21 & - 1 & 3 \end{array})$ 化简成行阶梯形矩阵 $B$ ，使 $B$ 的阶梯头为 $1$ ．（本题 10 分）
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试卷期中 2022-2023 第5题
5. 设 $r$ 为自然数． (1) 叙述秩的定义； (2) 证明： $r (A) \leq r$ 当且仅当 $A$ 中 $r + 1$ 阶子式（若有）均为 $0$ ； (3) 设 $A$ 通过一次行倍加得到 $B$ ，求证： $r (B) = r (A)$ ．（本题 15 分）
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试卷期中 2022-2023 第6题
6. 设有 $n (n \geq 2)$ 阶方阵 $A$ ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明： (1) $r (A^{*}) = {\begin{cases} n, & r (A) = n, \\ 1, & r (A) = n - 1, \\ 0, & r (A) < n - 1; \end{cases}$ (2) $(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} A$ ； (3) 若 $r (A) > 0$ ，则 $(A^{*})^{*} = A$ 当且仅当 $| A |^{n - 2} = 1$ ．（本题 18 分）
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试卷期中 2022-2023 第7题
7. 设 $A, C$ 均为 $m \times n$ 阶矩阵， $B, D$ 均为 $n \times s$ 阶矩阵，证明： $r (A B - C D) \leq r (A - C) + r (B - D)$ ．（本题 10 分）
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试卷期中 2022-2023 第8题
8. 设 $A$ 为 $2022^{2022}$ 阶方阵，用数学归纳法证明： $\forall n \in ℤ^{+}$ ， $(n + 1) r (A^{2}) \leq r (A^{n + 2}) + n r (A)$ ．（本题 10 分）
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试卷期末 2016-2017 第一题
（本题 10 分）计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & \dots & n - 1 & n \\ 1 & - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & n - 2 & 2 - n & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \dots & n - 1 & 1 - n \end{array} | .$
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试卷期末 2016-2017 第二题
（本题 15 分）设 $a, b, c, d$ 为任意实常数，有线性方程组如下： ${\begin{cases} x_{1} + a x_{2} + a^{2} x_{3} = a^{3}, \\ x_{1} + b x_{2} + b^{2} x_{3} = b^{3}, \\ x_{1} + c x_{2} + c^{2} x_{3} = c^{3}, \\ x_{1} + d x_{2} + d^{2} x_{3} = d^{3} . \end{cases}$ (1) 试证明当 $a, b, c, d$ 互异时，上述方程组无解；(2) 设 $a = b = k$ ， $c = d = - k$ ，且 $(- 1, 1, 1)^{T}$ 是上述方程组的一个特解，试求上述方程组的通解。
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试卷期末 2016-2017 第三题
（本题 15 分）设 $R^{2 \times 2}$ 是 $2$ 阶实矩阵关于矩阵的加法运算和数乘运算构成的实线性空间，令 $V = {A \in R^{2 \times 2} | tr A = 0}$ 。(1) 试证明 $V$ 关于矩阵的加法运算和数乘运算构成实数域 $R$ 上的线性空间；(2) 试求线性空间 $V$ 的一组基和维数。
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试卷期末 2016-2017 第四题
（本题 15 分）设有 $n$ 阶矩阵如下： $A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array})$ ，试求 $A$ 的实特征值及其对应的特征向量。
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试卷期末 2016-2017 第五题
（本题 15 分）当 $t$ 取何值时，实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 5 x_{3}^{2} + 2 t x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}$ 是正定二次型？
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试卷期末 2016-2017 第六题
（本题 15 分）设 $V = R [x]_{3}$ 是次数小于 $3$ 的实系数一元多项式和零多项式组成的关于多项式加法和数乘所构成的实线性空间。(1) 试证明 ${1 + x^{2}, 1 + x, 1}$ 是 $V$ 的一组基，记作 (I)；(2) 若对于任意的实系数多项式 $p_{1} (x) = a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2}$ ， $p_{2} (x) = b_{1} + b_{2} x + b_{3} x^{2}$ ，定义他们的内积为 $(p_{1}, p_{2}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ ，试用施密特正交化方法将上述基 ${1 + x^{2}, 1 + x, 1}$ 改造成 $V$ 的标准正交基；(3) 设 ${1 + x + x^{2}, 1 - x^{2}, 1 - x}$ 是 $V$ 的另外一组基，记作基 (II)，试求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；(4) 问基 (I) 和基 (II) 在 (2) 中的内积下的度量矩阵有何关系？
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试卷期末 2016-2017 第七题
（本题 8 分）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，求证：(1) $A B + B$ 和 $B A + B$ 有相同的特征值；(2) 如果 $A B = (B - A^{T}) A$ ，则 $A = O$ 。
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试卷期末 2016-2017 第八题
（本题 7 分）试证明任何一个方阵可表示为一个幂等矩阵（满足 $A^{2} = A$ 的方阵）和一个可逆矩阵的乘积。
看解答
试卷期末 2016-2017 第一题
（本题 10 分）计算行列式 $D = | \begin{array}{c} cos \frac{α - β}{2} & sin \frac{α + β}{2} & cos \frac{α + β}{2} \\ [2 p t] cos \frac{β - γ}{2} & sin \frac{β + γ}{2} & cos \frac{β + γ}{2} \\ [2 p t] cos \frac{γ - α}{2} & sin \frac{γ + α}{2} & cos \frac{γ + α}{2} \end{array} |$ 。
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试卷期末 2016-2017 第二题
（本题 15 分）已知矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*} = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})$ ，而且 $A^{- 1} + E$ 可逆，如果矩阵 $X$ 满足 $A^{- 1} X A + X A + 2 E = 0$ ，求矩阵 $X$ 。
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试卷期末 2016-2017 第三题
（本题 15 分）解线性方程组 ${\begin{cases} x + y + z = 1, \\ a x + b y + c z = d, \\ a^{2} x + b^{2} y + c^{2} z = d^{2} . \end{cases}$
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试卷期末 2016-2017 第四题
（本题 15 分）(1) 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ ，求矩阵 $C = (\begin{array}{c} 0 & A \\ A & 0 \end{array})$ 的特征值；(2) 已知 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 0$ ，求 $n$ 阶矩阵 $A = (\begin{array}{c} a_{1}^{2} + 1 & a_{1} a_{2} + 1 & \dots & a_{1} a_{n} + 1 \\ a_{2} a_{1} + 1 & a_{2}^{2} + 1 & \dots & a_{2} a_{n} + 1 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n} a_{1} + 1 & a_{n} a_{2} + 1 & \dots & a_{n}^{2} + 1 \end{array})$ 的特征值。
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试卷期末 2016-2017 第五题
（本题 15 分）已知 $A = (\begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \end{array})$ 为实可逆矩阵，其中 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $p \times n$ 、 $(n - p) \times n$ 矩阵。(1) 求二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} (A_{1}^{T} A_{1} - A_{2}^{T} A_{2}) X$ 的正惯性指数和负惯性指数；(2) 求证矩阵 $A_{1}^{T} A_{1} - A_{2}^{T} A_{2}$ 可逆。
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试卷期末 2016-2017 第六题
（本题 15 分）设 $R [x]$ 是实系数多项式全体，定义其上内积函数如下： $(f (x), g (x)) = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x) g (x) d x, \forall f (x), g (x) \in R [x]$ 。(1) 请将 $1, x, x^{2}, x^{3}$ 改造为正交多项式组；(2) 请将多项式 $4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ 用上述正交多项式组线性表示。
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试卷期末 2016-2017 第七题
（本题 8 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，如果对于任意 $n$ 维向量 $x$ ，都有 $| A x | = | x |$ ，则 $A$ 是正交矩阵。
看解答
试卷期末 2016-2017 第八题
（本题 7 分）设 $E_{r}, E_{s}$ 分别是 $r$ 阶和 $s$ 阶单位矩阵， $a$ 为非零常数， $A, B$ 分别为 $r \times s$ 和 $s \times r$ 矩阵。(1) 试求矩阵 $U, W, X, Y$ 使得 $(\begin{array}{c} E_{r} & O \\ X & E_{s} \end{array}) (\begin{array}{c} a E_{r} & A \\ B & E_{s} \end{array}) = (\begin{array}{c} a E_{r} & A \\ O & Y \end{array})$ ， $(\begin{array}{c} E_{r} & W \\ O & E_{s} \end{array}) (\begin{array}{c} a E_{r} & A \\ B & E_{s} \end{array}) = (\begin{array}{c} U & O \\ B & E_{s} \end{array})$ ；(2) 等式 $a^{s} | a E_{r} - A B | = a^{r} | a E_{s} - B A |$ 是否成立？请尽量详细地说明理由。
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试卷期末 2017-2018 第一题
（本题 10 分）计算行列式 $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & 5^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \\ 1 & 2^{5} & 3^{5} & 4^{5} & 5^{5} \end{array} |$ 的值。
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试卷期末 2017-2018 第二题
（本题 15 分）(1) 叙述向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性相关与线性无关的定义；(2) 设向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 线性无关，而向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}, β$ 线性相关，证明： $β$ 可以由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 唯一线性表示。
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试卷期末 2017-2018 第三题
（本题 15 分）设 $X_{1}, \dots, X_{t}$ 是非齐次线性方程组 $A X = b$ 的 $t$ 个解，证明： $k_{1} X_{1} + \dots + k_{t} X_{t}$ 是 $A X = b$ 的解 $\Leftrightarrow$ $k_{1} + \dots + k_{t} = 1$ 。
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试卷期末 2017-2018 第四题
（本题 15 分）设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为某个实线性空间 $V$ 中的 $n$ 个向量，其秩为 $r \geq 1$ ，且 $n - r \geq 1$ ，设 $W = {(k_{1}, \dots, k_{n})^{T} \in ℝ^{n} | k_{1} α_{1} + \dots + k_{n} α_{n} = 0}$ 。证明：(1) $W$ 为 $ℝ^{n}$ 的一个子空间；(2) 求 $W$ 的一组基和维数。
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试卷期末 2017-2018 第五题
（本题 15 分）设 (I)： $1, x, x^{2}$ ，(II)： $(x - 2) (x - 3), (x - 1) (x - 3), (x - 1) (x - 2)$ 是线性空间 $R [x]_{3}$ 的两组基，求：(1) 从基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；(2) 从基 (II) 到基 (I) 的过渡矩阵；(3) 设 $p (x) = 1 + x + x^{2}$ ，求 $p (x)$ 在基 (II) 下的坐标。
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试卷期末 2017-2018 第六题
（本题 15 分）暂缺。
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试卷期末 2017-2018 第七题
（本题 8 分）设 $α, β$ 是 $n$ 维欧氏空间的两个互异向量， $| α | = | β | = 1$ ，证明： $(α, β) \neq 1$ 。
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试卷期末 2017-2018 第八题
（本题 7 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，如果有 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $A B^{T} + B A$ 的所有特征值为正实数，证明： $A$ 可逆。
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试卷期末 2017-2018 第一题
（本题 10 分）设 $D = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ ，试证明： $| \begin{array}{c} a_{11} + b_{1} & a_{12} + b_{2} & \dots & a_{1 n} + b_{n} \\ a_{21} + b_{1} & a_{22} + b_{2} & \dots & a_{2 n} + b_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} + b_{1} & a_{n 2} + b_{2} & \dots & a_{n n} + b_{n} \end{array} | = D + \sum_{j = 1}^{n} b_{j} \sum_{i = 1}^{n} A_{i j},$ 其中 $A_{i j}$ 为 $D$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。
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试卷期末 2017-2018 第二题
（本题 15 分）设 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, β = α_{1} + α_{2} + α_{3}$ 是某个线性空间中的 $4$ 个向量。试证明： $β - α_{1}, β - α_{2}, β - α_{3}$ 线性无关当且仅当 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关。
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试卷期末 2017-2018 第三题
（本题 15 分）设 $A$ 是一个 $n (n \geq 2)$ 阶方阵，试求所有满足 $A^{*} = A$ 的方阵 $A$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。
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试卷期末 2017-2018 第四题
（本题 15 分）求向量组 $α_{1} = (6, 4, 1, - 1, 2)^{T}$ ， $α_{2} = (1, 0, 2, 3, - 4)^{T}$ ， $α_{3} = (1, 4, - 9, - 16, 22)^{T}$ ， $α_{4} = (7, 1, 0, - 1, 3)^{T}$ 的一个极大线性无关组和秩。
看解答
试卷期末 2017-2018 第五题
（本题 15 分）设 $A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & ω & 0 \\ 0 & 0 & ω^{2} \end{array})$ ，其中数 $ω \neq 1$ 且 $ω^{3} = 1$ ，令 $V$ 为所有形如 $f (A)$ 的矩阵组成的集合，其中 $f$ 取遍复系数一元多项式。(1) 试证明 $V$ 关于矩阵的加法和数乘运算构成复数域 $C$ 上的一个线性空间；(2) 试求线性空间 $V$ 的一组基和维数。
看解答
试卷期末 2017-2018 第六题
（本题 15 分）设 $A = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 5 & 4 \\ 0 & 0 & 3.5 & - 1.5 \\ 0 & 0 & 5 & - 2 \end{array})$ 。(1) 求 $A$ 的所有特征值与特征向量；(2) 问是否存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵？若存在，求出 $P$ ；若不存在，请说明理由；(3) 请问是否存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T} A Q$ 为对角矩阵？若存在，求出 $Q$ ；若不存在，请说明理由。
看解答
试卷期末 2017-2018 第七题
（本题 8 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，试证明 $A$ 半正定当且仅当 $\forall c > 0$ ， $c E + A$ 正定。
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试卷期末 2017-2018 第八题
（本题 7 分）设 $A$ 为可逆的 $n$ 阶实对称矩阵， $B$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，且有 $A B = B A$ ，试证明： $A - B$ 可逆。
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试卷期末 2018-2019 第一题
（本题 15 分）设有 $n$ 阶行列式如下： $D_{n} = | \begin{array}{c} a_{1} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 1 & a_{2} & 1 & \dots & 0 \\ 0 & - 1 & a_{3} & 1 & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1 \\ 0 & 0 & \dots & - 1 & a_{n} \end{array} |$ ，其中 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 为任意实常数。 (1) 证明： $\forall n \geq 3$ ， $D_{n} = a_{n} D_{n - 1} + D_{n - 2}$ ； (2) 当 $a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ 时，计算 $D_{n}$ 的值； (3) 当 $a_{1} = \dots = a_{n} = 1$ 时，计算 $D_{n}$ 的值。
看解答
试卷期末 2018-2019 第二题
（本题 15 分）设 $V$ 为所有二阶实对称矩阵组成的集合，已知 $V$ 关于矩阵加法和矩阵数乘构成一个实线性空间，试证明： $α_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}), α_{2} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), α_{3} = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array})$ 是 $V$ 的一组基。
看解答
试卷期末 2018-2019 第三题
（本题 15 分）解线性方程组 ${\begin{cases} 2 x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 2 \\ 4 x_{1} + 6 x_{2} + 3 x_{3} + 5 x_{4} = 4 \\ 4 x_{1} + 14 x_{2} + x_{3} + 7 x_{4} = 4 \\ 2 x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} + λ x_{4} = 7 \end{cases}$ ，其中 $λ$ 为实参数。
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试卷期末 2018-2019 第四题
（本题 10 分）设 $A$ 是一个 $n (n \geq 3)$ 阶方阵，试求所有满足 $(A^{*})^{*} = A$ 的方阵 $A$ 。
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试卷期末 2018-2019 第五题
（本题 15 分）设 $R [x]_{3}$ 是次数小于等于 3 的实系数多项式和零多项式组成的集合，已知 $R [x]_{3}$ 关于多项式加法和实数与多项式的乘法构成一个实线性空间。设 $W = {k_{1} x + k_{2} (1 + x^{2}) | k_{1}, k_{2} \in ℝ}$ 。 (1) 证明 $W$ 是 $R [x]_{3}$ 的一个子空间； (2) 若在 $W$ 上定义一个内积： $\forall α (x), β (x) \in W, (α (x), β (x)) = \int_{0}^{1} α (x) β (x) d x$ ，试将 $W$ 的一组基 $x, 1 + x^{2}$ 化为 $W$ 的一组标准正交基 $η_{1}, η_{2}$ ； (3) 求基 $x, 1 + x^{2}$ 到基 $η_{1}, η_{2}$ 的过渡矩阵。
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试卷期末 2018-2019 第六题
（本题 15 分）设有实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{3} x_{4} + t x_{3}^{2} + 2 x_{4}^{2}$ ，其中 $t$ 为参数。 (1) 写出二次型 $f$ 对应的矩阵 $A$ ； (2) 若 $3$ 是 $A$ 的一个特征值，试求出 $t$ 的值； (3) 设 $B = A^{T} A$ ，问 $t$ 取何值时 $B$ 不是正定的？
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试卷期末 2018-2019 第七题
（本题 8 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $| A | < 0$ ，试证明存在一个 $n$ 维实列向量 $X$ ，使得 $X^{T} A X < 0$ 。
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试卷期末 2018-2019 第八题
（本题 7 分）设 $A, B$ 是两个 $m \times n$ 阶矩阵且存在两个方阵 $C, D$ 使得 $A = B C$ ， $B = A D$ ，试证明：存在可逆矩阵 $M$ 使得 $B = A M$ 。
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试卷期末 2019-2020 第一题
（本题 10 分）设 $x$ 为非零实常数，有 $n$ 阶方阵 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 满足 $\forall i = 1, \dots, n, a_{i i} = 1 + x^{2}$ ， $\forall j = 1, \dots, n - 1, a_{j, j + 1} = x$ ， $\forall l = 2, \dots, n, a_{l, l - 1} = x$ ，其余元素全部为 $0$ 。试证明 $| A | = \sum_{k = 0}^{n} x^{2 k}$ 。
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试卷期末 2019-2020 第二题
（本题 20 分）设 $R^{4}$ 中有两组基：(Ⅰ) $α_{1} = (1, 2, - 1, 0)^{T}$ ， $α_{2} = (1, - 1, 1, 1)^{T}$ ， $α_{3} = (- 1, 2, 1, 1)^{T}$ ， $α_{4} = (- 1, - 1, 0, 1)^{T}$ ；(Ⅱ) $β_{1} = (2, 1, 0, 1)^{T}$ ， $β_{2} = (0, 1, 2, 2)^{T}$ ， $β_{3} = (- 2, 1, 1, 2)^{T}$ ， $β_{4} = (1, 3, 1, 2)^{T}$ 。(1) 试求基 (Ⅰ) 到基 (Ⅱ) 的过渡矩阵 $M$ ；(2) 设有向量 $η = (1, 0, 0, 0)^{T}$ ，试求它在基 (Ⅰ) 下的坐标 $X$ 。
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试卷期末 2019-2020 第三题
（本题 20 分）在 $R^{4}$ 中求一非零向量 $α$ ，使得它在下列两组基 (Ⅰ)、(Ⅱ) 下有相同的坐标，其中基 (Ⅰ) 为 $e_{1} = (1, 0, 0, 0)^{T}$ ， $e_{2} = (0, 1, 0, 0)^{T}$ ， $e_{3} = (0, 0, 1, 0)^{T}$ ， $e_{4} = (0, 0, 0, 1)^{T}$ ，基 (Ⅱ) 为 $ε_{1} = (2, 1, - 1, 1)^{T}$ ， $ε_{2} = (0, 3, 1, 0)^{T}$ ， $ε_{3} = (5, 3, 2, 1)^{T}$ ， $ε_{4} = (6, 6, 1, 3)^{T}$ 。
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试卷期末 2019-2020 第四题
（本题 10 分）如果一个 $n$ 阶方阵至少有 $n^{2} - n + 1$ 个元素为零，那么这个矩阵的秩最多是多少？试写出一个满足条件的具有最大秩的矩阵。
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试卷期末 2019-2020 第五题
（本题 10 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维实线性空间，(Ⅰ) $ε_{1}, \dots, ε_{n}$ ，(Ⅱ) $η_{1}, \dots, η_{n}$ 是 $V$ 的两组基。设 $W$ 为 $V$ 中这样一些向量 $α$ 的集合： $α$ 在基 (Ⅰ) 和基 (Ⅱ) 下有相同的坐标。(1) 证明 $W$ 是 $V$ 的子空间；(2) 若设向量 $ε_{1} - η_{1}, \dots, ε_{n} - η_{n}$ 的秩为 $r$ ，试求 $W$ 的维数。
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试卷期末 2019-2020 第六题
（本题 15 分）设有二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ ，试求该二次型的规范形，并判断该二次型是否正定。
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试卷期末 2019-2020 第七题
（本题 8 分）设正整数 $r$ 满足 $0 < r < n$ ，令 $A = (\begin{array}{c} E_{r} & B \\ O & - E_{n - r} \end{array})$ ，其中 $B_{r \times (n - r)}$ 为任意实矩阵， $O$ 是 $(n - r) \times r$ 零矩阵，试证明： $A$ 可相似对角化。
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试卷期末 2019-2020 第八题
（本题 7 分）(1) 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实矩阵，试证明 $A$ 是反对称矩阵当且仅当 $A A^{T} = - A^{2}$ ；(2) 设 $C$ 是 $n$ 阶正定矩阵， $B$ 是满足 $B B^{T} = - B^{2}$ 的 $n$ 阶实矩阵，试证明 $C + B$ 可逆。
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试卷期末 2019-2020 第一题
（本题 10 分）设有 $n$ 阶方阵 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j} = sin (i + j)$ ， $\forall i, j = 1, 2, \dots, n$ ，求行列式 $| A |$ 的值。
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试卷期末 2019-2020 第二题
（本题 15 分）设 $α_{1} = (1, 2, 1, 0)^{T}$ ， $α_{2} = (1, 1, 1, 2)^{T}$ ， $α_{3} = (3, 4, 3, 4)^{T}$ ， $α_{4} = (1, 1, 2, 1)^{T}$ ， $α_{5} = (4, 5, 6, 4)^{T}$ 是实向量空间 $R^{4}$ 中的一个向量组， $L$ 是该向量组生成的 $R^{4}$ 的子空间。 (1) 试证明： $β_{1} = {α_{1}, α_{2}, α_{4}}$ 和 $β_{2} = {α_{2}, α_{3}, α_{5}}$ 分别是 $L$ 的两组基； (2) 求从基 $β_{1}$ 到基 $β_{2}$ 的过渡矩阵。
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试卷期末 2019-2020 第三题
（本题 15 分）设有实矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \end{array})$ ， $B = (\begin{array}{c} 1 & b & c \\ 2 & b^{2} & c + 1 \end{array})$ ，其中 $a, b, c$ 为实常数。已知齐次线性方程组 $A X = 0$ 和 $B X = 0$ 同解，试求 $a, b, c$ 的值。
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试卷期末 2019-2020 第四题
（本题 20 分）设有三阶实方阵 $A = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ ，其中 $a, b$ 为实常数。 (1) 求出 $A$ 的特征值； (2) 试问 $a, b$ 满足什么条件时， $A$ 可相似于一对角化矩阵？ (3) 设 $B = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})$ ，若 $A$ 可相似对角化，试问 $A$ 是否相似于 $B$ ？请说明你的理由； (4) 若 $A$ 可相似对角化，求一可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。
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试卷期末 2019-2020 第五题
（本题 15 分）(1) 设 $R_{+}$ 为所有正实数组成的集合，加法和数乘定义如下： $\forall a, b \in R_{+}, k \in ℝ, a \oplus b = a b, k ⊙ a = a^{k}$ ，已知 $R_{+}$ 关于加法 $\oplus$ 和数乘 $⊙$ 构成一个实线性空间，试求 $R_{+}$ 的一组基和维数； (2) 设 $V$ 是一个 $n$ 维实线性空间，试证明：存在 $V$ 中的一个由可列无穷多个向量组成的向量组 ${α_{i} : i \in Z_{+}}$ ，使得其中的任意 $n$ 个向量组成的向量组都是 $V$ 的一组基。
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试卷期末 2019-2020 第六题
（本题 10 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，满足 $A^{2} = E$ 以及 $0 < r (A + E) = r < n$ 。 (1) 求二次型 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = X^{T} A X$ 的规范型（其中 $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ ）； (2) 设 $B = E + A + A^{2} + A^{3} + A^{4}$ ，证明 $B$ 正定，并求行列式 $| B |$ 的值。
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试卷期末 2019-2020 第七题
（本题 8 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵（ $n \geq 2$ ）， $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵且满足 $A_{11} \neq 0$ ， $α$ 是一个 $n$ 维非零列向量，试证明：非齐次线性方程组 $A X = α$ 有无穷多解当且仅当 $α$ 是齐次线性方程组 $A^{*} X = 0$ 的解。
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试卷期末 2019-2020 第八题
（本题 7 分）设 $β$ 是欧氏空间 $V$ 中的一个非零向量， $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 是 $V$ 中的三个向量，并且满足： (1) $(β_{i}, β) > 0$ ， $i = 1, 2, 3$ ； (2) $(β_{i}, β_{j}) < 0$ ， $i, j = 1, 2, 3$ ， $i \neq j$ 。试证明： $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 线性无关。
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试卷期末 2020-2021 第一题
（本题 10 分）设 $x, a, b$ 为实常数满足 $a \neq b$ ，并有 $n$ （ $n \geq 2$ ）阶方阵 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 满足 $\forall k = 1, \dots, n, a_{k k} = x$ ， $\forall p, q = 1, \dots, n, p < q, a_{p q} = a$ ， $\forall l, m = 1, \dots, n, l > m, a_{l m} = b$ ，试计算 $n$ 阶行列式 $| A |$ 。
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试卷期末 2020-2021 第二题
（本题 20 分）设 $R^{3}$ 中有一个向量组 (Ⅰ)： $α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}$ ， $α_{2} = (- 1, 0, 1)^{T}$ ， $α_{3} = (1, 2, 2)^{T}$ 。(1) 试证明向量组 (Ⅰ) 是 $R^{3}$ 的一组基；(2) 试用施密特正交化方法将基 (Ⅰ) 改造为 $R^{3}$ 的一组标准正交基，并记作 (Ⅱ)；(3) 试求基 (Ⅱ) 到基 (Ⅰ) 的过渡矩阵 $M$ 。
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试卷期末 2020-2021 第三题
（本题 20 分）设 $λ, μ$ 为实常数，试求解线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1, \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} - x_{4} = 1, \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} + μ x_{4} = 1, \\ λ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = μ . \end{cases}$
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试卷期末 2020-2021 第四题
（本题 15 分）设 $a, b$ 为实常数，已知矩阵 $A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 4 & - 2 \\ - 3 & - 3 & a \end{array})$ 与矩阵 $B = (\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array})$ 相似。(1) 试求 $a, b$ 的值；(2) 求一可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = B$ 。
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试卷期末 2020-2021 第五题
（本题 10 分）设 $m, n, p$ 为正整数， $A$ 是一个 $m \times n$ 实矩阵， $B$ 是一个 $p \times n$ 实矩阵，并设 $W = {A X \in R^{m} | B X = 0_{p}}$ ，其中 $0_{p}$ 是一个 $p$ 维零列向量。(1) 证明 $W$ 是 $R^{m}$ 的子空间；(2) 若 $r (\begin{array}{c} A \\ B \end{array}) = r_{1}$ ， $r (B) = r_{2}$ ，试求 $W$ 的维数。
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试卷期末 2020-2021 第六题
（本题 10 分）设有实二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} x_{2} - 6 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}$ ，试求该二次型的规范形，并求出该二次型的秩与正惯性指数。
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试卷期末 2020-2021 第七题
（本题 8 分）(1) 设 $A, B, C$ 为 3 个 $n$ 阶方阵，试写出关于方阵 $A, B, C$ 秩的 Frobenius 不等式；(2) 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实方阵，试证明：① $2 r (A^{2}) \leq r (A^{3}) + r (A)$ ；② $2021 r (A^{2}) \leq r (A^{2022}) + 2020 r (A)$ 。
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试卷期末 2020-2021 第八题
（本题 7 分）(1) 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵且 $A$ 正定，试证明 $A B$ 可相似对角化；(2) 设 $D$ 是一个 $n$ 阶实正交矩阵，已知 $D + E$ 可逆，试证明：① 矩阵方程 $D (E + X) = E - X$ 有解 $X$ ；② ①中的解 $X$ 为实反对称矩阵。
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试卷期末 2021-2022 第一题
$D = | \begin{array}{c} a_{1} + x & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} + x & \dots & a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} + x \end{array} |$ ，证明： $D = x^{n} + x^{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 。
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试卷期末 2021-2022 第二题
已知 $R^{3}$ 中的向量 $α_{1} = (2, 4, 2)^{T}$ ， $α_{2} = (1, 1, 0)^{T}$ ， $α_{3} = (2, 3, 1)^{T}$ ， $α_{4} = (3, 5, 2)^{T}$ ，由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 构成子空间 $L (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 。(1) 证明：基 (Ⅰ) $α_{1}, α_{2}$ 是 $L$ 的一组基，基 (Ⅱ) $α_{3}, α_{4}$ 是 $L$ 的一组基；(2) 求基 (Ⅱ) 到基 (Ⅰ) 的过渡矩阵。
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试卷期末 2021-2022 第三题
设 $λ$ 为实参数，求解线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1, \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} + λ x_{3} = 3, \\ x_{1} + λ x_{2} + 3 x_{3} = 2 . \end{cases}$
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试卷期末 2021-2022 第四题
实矩阵 $A$ 满足 $6 A^{3} + 11 A^{2} - 6 A + E = O$ 。(1) 求 $A$ 的特征值；(2) 令 $M_{k} = A^{k} = (a_{i j} (k))$ ，证明 ${lim}_{k \to + \infty} a_{i j} (k)$ 存在；(3) 当 $k \to + \infty$ 时，设 $M$ 为 $A^{k}$ 的极限，证明 $M$ 是幂等矩阵，即 $M^{2} = M$ 。
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试卷期末 2021-2022 第五题
对于 $x \in (0, 1)$ 的函数空间 $V$ ，定义加法 $\forall f, g \in V, f + g = f (x) + g (x)$ ，定义数乘法 $\forall k, f \in V, k f = k f (x)$ 。(1) 证明：由 $f (x) = a x + b e^{x}$ 能构成子空间；(2) 证明：向量 $f (x) = x$ ， $g (x) = x + e^{x}$ ，两个向量线性无关；(3) 把 $f (x) = x$ ， $g (x) = x + e^{x}$ 化为欧氏空间一组标准正交基 $η_{1}, η_{2}$ 。
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试卷期末 2021-2022 第六题
$f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3}$ ，求二次型的规范形、秩、符号差。
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试卷期末 2021-2022 第七题
证明：对 $A_{m \times n}$ ， $r \leq min (m, n)$ ， $r (A) = r$ ，当且仅当 $A$ 可分解为 $A = \sum_{i = 1}^{r} α_{i} β_{i}^{T}$ ， $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 和 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{r}$ 是线性无关的列向量。
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试卷期末 2021-2022 第八题
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，证明：矩阵 $A B$ 的特征值均为实数。(2) $A, B$ 均为实矩阵，且符合 $A^{- 1} + B^{- 1} = (A + B)^{- 1}$ ，试证明 $(A B^{- 1})^{3} = E$ 。
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试卷期末 2025-2026 第1题
1. 已知向量 $α_{1} = ()$ ， $α_{2} = ()$ ， $α_{3} = ()$ ．设矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，求行列式 $| A |$ ．（本题 5 分）
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试卷期末 2025-2026 第2题
2. 已知 $α_{1} = (- 1, - 1, t)^{T}$ ， $α_{2} = (- 1, t, - 1)^{T}$ ， $α_{3} = (t, - 1, - 1)^{T}$ ， $β = (- 1, t, - t^{2})^{T}$ ．当 $t$ ______ 时， $β$ 可以由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出，且表出方式唯一，此时 $β =$ ______；当 $t$ ______ 时， $β$ 不可由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出；当 $t$ ______ 时， $β$ 可以由 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性表出，且表出方式不唯一．（本题 20 分）
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试卷期末 2025-2026 第3题
3. 已知 $n$ 级矩阵 $A$ 满足： $A^{2} = E$ ，则 $r (A) =$ ______；二次型 $x^{T} A x$ 在复数域上的规范形为 ______；若 $x^{T} A x$ 的正惯性指数为 $2$ ，求 $A$ 在实数域上的规范形为 ______．（本题 15 分）
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试卷期末 2025-2026 第4题
4. 已知 3 阶数字矩阵 $A = ()$ ，则 $A$ 所有特征值为 ______；齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系为 ______；在复数域上，判断 $A$ 是否可以相似对角化 ______．（本题 15 分）
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试卷期末 2025-2026 第5题
5. 给定 $2 \times 2$ 矩阵空间的两组基： (I)： $e_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $e_{2} = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $e_{3} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})$ ， $e_{4} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ ； (II)： $A_{1} = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ ， $A_{2} = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ ， $A_{3} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})$ ， $A_{4} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ ．则从基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵为 ______；矩阵 $(\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ 在基 (I) 下的坐标为 ______．（本题 10 分）
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试卷期末 2025-2026 第6题
6. $2 \times 2$ 的线性空间 $V$ ， $V$ 中两个矩阵 $A, B$ 的内积定义为 $(A, B) = tr (A B^{T})$ ，由此得欧氏空间 $V$ ．记 $W$ 为所有迹为零的实二级矩阵组成的集合，写出 $W$ 的一组标准正交基 ______；已知 $A + B = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array})$ ，其中 $A$ 属于 $W$ ， $B \in V$ 且 $B$ 与 $W$ 中的所有矩阵正交，则 $A =$ ______， $B =$ ______．（本题 15 分）
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试卷期末 2025-2026 第7题
7. 已知 3 级矩阵 $A$ 满足： $| A - E | = 0$ ， $| A + E | = 0$ ， $A^{3} + 2 A^{2} - A = 2 E$ ，则 $| A^{*} - 2 A^{- 1} + 3 E | =$ ______．（本题 5 分）
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试卷期末 2025-2026 第8题
8. (1) 设 $A, B$ 为 $n$ 级正定矩阵，且 $A^{2} = B^{2}$ ，求证： $A = B$ ． (2) 设 $n$ 级矩阵 $A, B$ 满足 $A B = B A$ ，求证： $r (B) = r (A B)$ 的充要条件是 $r (A^{k}) = r (B)$ 对任意正整数 $k$ 成立．（本题 15 分）
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