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错题本

作业、小测里判错的题，加上整理过的典型错题。每张卡：原题 → 我当时的做法 → 正确答案 → 错在哪。订正过的勾一下，卡片会退到灰色。

已订正 0 / 9

第一次作业第1.1-1题作业教材习题已订正

证明

ℚ (\sqrt{2}) \neq ℚ (\sqrt{3})

。

✗我的做法

因为

\sqrt{2} \in ℚ (\sqrt{2})

，而

\sqrt{2} \notin ℚ (\sqrt{3})

，所以

ℚ (\sqrt{2}) \neq ℚ (\sqrt{3})

；同理

ℚ (\sqrt{3}) \neq ℚ (\sqrt{2})

。一般地，设

p, q

为相异素数，有

\sqrt{p} \in ℚ (\sqrt{p})

、

\sqrt{p} \notin ℚ (\sqrt{q})

；

\sqrt{q} \in ℚ (\sqrt{q})

、

\sqrt{q} \notin ℚ (\sqrt{p})

；则

ℚ (\sqrt{p}) \neq ℚ (\sqrt{q})

，

ℚ (\sqrt{q}) \neq ℚ (\sqrt{p})

。

✓正确答案

反设

\sqrt{2} = a + b \sqrt{3}

（

a, b \in ℚ

），平方得

2 = a^{2} + 3 b^{2} + 2 a b \sqrt{3}

若

a b \neq 0

，则

\sqrt{3} = \frac{2 - a^{2} - 3 b^{2}}{2 a b} \in ℚ

，与

\sqrt{3}

为无理数矛盾，故

a b = 0

。若

b = 0

，则

\sqrt{2} = a \in ℚ

，矛盾；若

a = 0

，则

b^{2} = \frac{2}{3}

，而

\sqrt{\frac{2}{3}}

不是有理数（设

\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{m}{n}

且

m, n

互素，可推出矛盾），亦矛盾。所以

\sqrt{2} \notin ℚ (\sqrt{3})

，从而

ℚ (\sqrt{2}) \neq ℚ (\sqrt{3})

。

错在哪方法缺失

复盘判定思路是对的：只要找出一个属于前者而不属于后者的数，就能断定两个数域不相等。但本题的关键一步——

\sqrt{2} \notin ℚ (\sqrt{3})

，以及一般情形的

\sqrt{p} \notin ℚ (\sqrt{q})

——只是直接断言，没有证明，等于把最需要论证的地方当成了已知。

第一次作业第1.1-3(1)题作业教材习题已订正

设

F, K

都是数域，证明

F \cap K

也是数域。

✗我的做法

设

F \cap K = {a, b, c, \dots}

。因为

F \cap K \subseteq F

，而

F

是数域，所以

F \cap K

对加、减、乘、除封闭，即

F \cap K

是数域。

✓正确答案

任取

a, b \in F \cap K

，则

a, b \in F

且

a, b \in K

。因

F, K

都是数域，故

a \pm b

、

a b

以及

b \neq 0

时的

\frac{a}{b}

既属于

F

又属于

K

，从而属于

F \cap K

；又

0, 1 \in F

且

0, 1 \in K

，故

0, 1 \in F \cap K

。因此

F \cap K

对加、减、乘、除封闭且含

0, 1

，是数域。

错在哪概念混淆

复盘结论正确，但这一步推理不成立：由

F \cap K \subseteq F

推不出

F \cap K

对运算封闭（例如

{0, 1} \subset ℚ

是子集，却对加法不封闭）。另外还应验证

0, 1 \in F \cap K

、

F \cap K

非空，这两点也漏掉了。

第一次作业第1.2-8题作业教材习题已订正

计算

n

阶行列式（反对角线上全为

1

，其右上方为任意元素

a_{i j}

，左下方全为

0

）。

✗我的做法

= (- 1)^{n} \cdot (- 1)^{τ (n (n - 1) (n - 2) \dots 1)} = (- 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}}

✓正确答案

只有一项非零，故

D = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

核对：

n = 2

时

D = - 1

，

n = 3

时

D = - 1

，

n = 4

时

D = 1

。

错在哪计算失误

复盘错在符号，多乘了一个

(- 1)^{n}

。该行列式只有取反对角线上那

n

个

1

的项非零，其列标排列为

n, n - 1, \dots, 1

，逆序数是

\frac{n (n - 1)}{2}

，所以

D = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

。学生把

(1, n)

位置那个

1

的代数余子式符号写成了

(- 1)^{n}

（应为

(- 1)^{1 + n}

），于是

n

为奇数时正负号正好反了。

第二次作业第1.4-1(1)题作业教材习题已订正

计算

D = | \begin{array}{c} x & a & b & 0 \\ 0 & y & 0 & 0 \\ 0 & e & z & 0 \\ g & h & k & u \end{array} |

。

✗我的做法

D = u \cdot | \begin{array}{c} x & a & b & 0 \\ 0 & y & 0 & 0 \\ 0 & e & z & 0 \\ g & h & k & u \end{array} | = u \cdot u \cdot | \begin{array}{c} x & a & b \\ 0 & y & 0 \\ 0 & e & z \end{array} | = u \cdot u \cdot x \cdot | \begin{array}{c} y & 0 \\ e & z \end{array} | = u \cdot u \cdot x \cdot y \cdot z

✓正确答案

按第

4

列展开（只有

(4, 4)

元素

u

非零）：

D = u \cdot | \begin{array}{c} x & a & b \\ 0 & y & 0 \\ 0 & e & z \end{array} | = u \cdot x \cdot | \begin{array}{c} y & 0 \\ e & z \end{array} | = x y z u

错在哪概念混淆

复盘错在多乘了一个

u

。第

4

列只有

(4, 4)

位置是

u

，按第

4

列展开就得到

u \cdot | \begin{array}{c} x & a & b \\ 0 & y & 0 \\ 0 & e & z \end{array} |

——此时若写成“提出公因子

u

”，方阵里那个位置必须变成

1

；学生在式子外面先乘了一个

u

，矩阵里又保留

u

，展开时再乘一次，于是结果多了因子

u

。正解是

x y z u

。

第二次作业第8题作业教材习题已订正

计算

n + 1

阶行列式

| \begin{array}{c} - a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - a_{n} & a_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n & n + 1 \end{array} |

。

✗我的做法

依次作

C_{2} + C_{1}

、

C_{3} + C_{2}

、

\dots

、

C_{n + 1} + C_{n}

，化成三角阵

| \begin{array}{c} - a_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - a_{2} & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - a_{n} & 0 \\ 1 & 2 & \dots & n & n + 1 \end{array} |

故

D = (- 1)^{n} (n + 1) a_{1} a_{2} \dots a_{n}

。

✓正确答案

化三角后对角元为

- a_{1}, \dots, - a_{n}

与累积和

\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

，故

D = (- 1)^{n} \cdot \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} \cdot a_{1} a_{2} \dots a_{n}

核对：

n = 1

得

- 3 a_{1}

，

n = 2

得

6 a_{1} a_{2}

，均与直接计算一致。

错在哪计算失误

复盘错在最后一行没有跟着变。列变换

C_{j} + C_{j - 1}

要作用到所有行，最后一行会由

(1, 2, \dots, n, n + 1)

变成累积和

(1, 3, 6, \dots, \frac{(n + 1) (n + 2)}{2})

，不是原样不动；因此最后那个因子应是

\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

而不是

n + 1

（取

n = 1

检验：二阶行列式

| \begin{array}{c} - a_{1} & a_{1} \\ 1 & 2 \end{array} | = - 3 a_{1}

，也说明

n + 1 = 2

不对）。

第五次作业第2.4-1(3)题作业教材习题已订正

讨论

λ

取何值时方程组有唯一解、无解、有无穷多解（有无穷多解时求通解）：

{\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = λ \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = λ^{2} \end{cases}

✗我的做法

| A | = | \begin{array}{c} λ & 1 & 1 \\ 1 & λ & 1 \\ 1 & 1 & λ \end{array} | = (λ - 1)^{2} (λ + 2)

λ \neq - 2

且

λ \neq 1

时方程组有唯一解。

λ = 1

时

\overline{A} = (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) \to (\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，

r (\overline{A}) = r (A) = 1 < 3

，有无穷多解，

x_{1} = 1 - t_{1} - t_{2}

，

x_{2} = t_{1}

，

x_{3} = t_{2}

。

λ = - 2

时

\overline{A} = (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 4 \end{array}) \to (\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 4 \\ 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & 1 & 1 & 1 \end{array}) \to (\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 4 \\ 0 & - 3 & 3 & - 6 \\ 0 & 3 & - 3 & 6 \end{array}) \to (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，

r (\overline{A}) = r (A) = 2 < 3

，有无穷多解，

x_{1} = 2 + t

，

x_{2} = 2 + t

，

x_{3} = t

。

✓正确答案

λ = - 2

时

r (A) = 2

，但

r (\overline{A}) = 3

，方程组无解。最简的验证：三式相加得

(λ + 2) (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 1 + λ + λ^{2}

。当

λ = - 2

时左端为

0

、右端为

1 - 2 + 4 = 3

，矛盾，故无解。（因此完整结论是：

λ \neq 1, - 2

时唯一解；

λ = 1

时无穷多解，

x = (1, 0, 0)^{T} + t_{1} (- 1, 1, 0)^{T} + t_{2} (- 1, 0, 1)^{T}

；

λ = - 2

时无解。）

错在哪计算失误

复盘前两种情形正确：

| A | = (λ - 1)^{2} (λ + 2)

算对，

λ = 1

时

r = 1

、通解

x_{1} = 1 - t_{1} - t_{2}

也对。错在

λ = - 2

这一段：作

r_{3} + 2 r_{1}

时常数项应为

1 + 2 \times 4 = 9

，卷面写成

6

，于是第 3 行被凑成

(0, 3, - 3 | 6)

，与第 2 行相加得零行，误判为无穷多解。正确结果是第 3 行化为

(0, 3, - 3 | 9)

，

r (\overline{A}) = 3 \neq r (A) = 2

，方程组无解。

第六次作业第7(1)题作业教材习题已订正

设

E_{i j}

为

n

阶矩阵，其第

i

行第

j

列元素为

1

、其余元素为

0

。计算

A E_{i j}

。

✗我的做法

A E_{i j} = {(\begin{array}{c} 0 & 0 & \dots & a_{1 j} & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & a_{2 j} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n j} & \dots & 0 \end{array})}_{n \times n}

即非零元位于第

j

列，取

A

的第

j

列。

✓正确答案

(A E_{i j})_{p q} = a_{p i} δ_{q j}

，即只有第

j

列非零、且该列就是

A

的第

i

列：

A E_{i j} = (\begin{array}{c} 0 & \dots & a_{1 i} & \dots & 0 \\ 0 & \dots & a_{2 i} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & a_{n i} & \dots & 0 \end{array})

口诀：右乘

E_{i j}

把第

i

列搬到第

j

列。

错在哪概念混淆

复盘错在列指标：

A E_{i j}

是把

A

的第

i

列搬到第

j

列的位置，非零列上的元素应是

a_{1 i}, a_{2 i}, \dots, a_{n i}

，学生写成了

a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{n j}

，等于让第

j

列原样不动。根源是没弄清“

E_{i j}

右乘是搬列、且搬的是第

i

列”。

第六次作业第7(2)题作业教材习题已订正

承上题，计算

E_{i j} A

。

✗我的做法

E_{i j} A = {(\begin{array}{c} 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \dots & a_{i n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{array})}_{n \times n}

即非零行位于第

i

行，取

A

的第

i

行。

✓正确答案

(E_{i j} A)_{p q} = δ_{p i} a_{j q}

，即第

i

行等于

A

的第

j

行：

E_{i j} A = (\begin{array}{c} 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{j 1} & a_{j 2} & \dots & a_{j n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{array})

错在哪概念混淆

复盘与

7 (1)

同一处错：

E_{i j} A

是把

A

的第

j

行搬到第

i

行，第

i

行应为

a_{j 1}, a_{j 2}, \dots, a_{j n}

，不是

a_{i 1}, \dots, a_{i n}

。两问都写成“原位置那一行/列”，说明只记了“

E_{i j}

会挑出某行某列”，没记挑的是哪个下标。

第七次作业第3(1)题作业教材习题已订正

解矩阵方程

(A - E) X = E - A^{2}

，其中

A - E = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

（即

A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array})

）。

✗我的做法

(A - E) X = E^{2} - A^{2} = (E - A) (E + A)

；

A - E = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

，

| A - E | \neq 0

，故

A - E

可逆。于是

X = - (E + A) = (\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array})

✓正确答案

X = - (E + A) = (\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & - 3 \end{array})

。也可先求

(A - E)^{- 1} = \frac{1}{8} (\begin{array}{c} - 4 & 0 & 8 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array})

再乘

E - A^{2}

，两条路结果相同。

错在哪计算失误

复盘整体思路对：把

E - A^{2}

分解成

(E - A) (E + A)

，约掉

A - E

得

X = - (E + A)

。错在最后求

E + A

：

A

的

(3, 3)

元是

2

，加

E

后是

3

，所以

- (E + A)

的

(3, 3)

元应为

- 3

，学生写成

- 1

，等于给这一元忘了加

E

的

1

。